大一上学期高数知识点

第二章 导数与微分

一、主要内容小结

1. 定义·定理·公式

（1）导数，左导数，右导数，微分以及导数和微分的几何意义

（2） 定理与运算法则

定理1 (x0)f(x0)f(x0)存在f .

定理2 若yf(x)在点x0处可导，则yf(x)在点x0处连续；反之不真.

定理3 函数f(x)在x0处可微f(x)在x0处可导.

导数与微分的运算法则：设uu(x),vv(x)均可导，则

(uv)uv, d(uv)dudv

(uv)uvvu, d(uv)udvvdu

uvuuv()(v0)2vv，

uvduudvd()(v0)2vv

（3）基本求导公式

2. 各类函数导数的求法

（1）复合函数微分法

（2）反函数的微分法

（3）由参数方程确定函数的微分法

（4）隐函数微分法

（5）幂指函数微分法

（6）函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法.

方法：对数求导法（即先对式子的两边取自然对数，然后在等式的两端再对x求导）.

（7）分段函数微分法

3. 高阶导数

（1）定义与基本公式

高阶导数公式：

(ax)(n)axlnna

(a0) (ex)(n)ex

莱布尼兹公式：

（2）高阶导数的求法 ① 直接法② 间接法

4. 导数的简单应用

(1) 求曲线的切线、法线 (2) 求变化率——相关变化率

二、 例题解析

例2.1 设

1Kxsin,x0f(x)x0,x0 , （K为整数）.问：

（1）当K为何值时，f(x)在x0处不可导；

（2）当K为何值时，f(x)在x0处可导，但导函数不连续；

（3）当K为何值时，f(x)在x0处导函数连续？

解 函数f(x)在x=0点的导数：

limx0f(x)f(0)f(x)f(0)limx0x0x(x)Ksin=x0lim1xx

=

lim(x)x0K11sinx=

发散 ，当 K10，当K1

即

不存在，K1f(0)K10,

当K1时, f(x)的导函数为：

limf(x)f(0)0为使，取K2即可。

x0因此，函数

1Kxsin,f(x)x0,x0x0

当K≤1时，f(x)在x0处不可导；

当K2时，f(x)在x0处可导，但导函数在x0处不连续；

当K2时，f(x)在x0处可导且导函数在x0处连续。

例2.2

sin2xcos2xy1ctgx1tgxdy， 求dx。

分析 本例当然可以用商的求导法则来求，但比较麻烦，若先对函数表达式进行变形就可用代数和的求导法则来求，这样就简便多了。

解

sin3xcos3xsin3xcos3xysinxcosxcosxsinxsinxcosx

=

11sin2x2。

所以 ycos2x 。

如果不经过化简，直接求导则计算将是十分繁琐的。

例2.3

yarctgexlne2xe2xdy1 ，求dx。

分析 本例若直接对原式利用差的求导法则及复合函数求导法来求，比较麻烦，但若利用对数性质对函数表达式的第二项变形，再利用差及复合函数求导法来求，就简便得多。

解 因为

1[lne2xln(e2x1)]yarctge2

xarctgexx1ln(e2x1)2

所以

ex1ex12e2x12x12x2x2xy(arctgex)x2[ln(e1)]'21ee1e1 =

例2.4 设yf(e)exf(x)dy，求dx。

解 利用积的求导法则及复合函数求导法则，有

dydx=

f(ex)exef(x)f(ex)ef(x)f(x)=

ef(x)[f(ex)exf(ex)f(x)]。

例2.5 设方程

xy2eycos(xy2), 求 y.

本例是隐函数求导问题，对隐函数求导可用下面两种方法来求。

解 (方法一) 方程两端同时对x求导( y看作x的函数yy(x)),由复合函数求导法可得

(方法二) 方程两边同时微分：

d(xy2ey)d(cos(xy2))

所以

dyy2sin(xy2)dx2xyey2ysin(xy2)

d2y例

xf(t)dy2.6 已知ytf(t)f(t) , f(t)为二次可微函数,且 f(t)0，求 dx ,

dx2。

分析 这是由参数方程所确定的函数的高阶导数的计算问题，可按参数方程求导法则来求。

解 因为 dyd[tf(t)f(t)]= tf(t)dt

所以

dytf(t)dttdxf(t)dt 。

又

d(dy)dtdx

d2y所以

dx2=

ddydt1dxdxf\"(t)dtf\"(t) 。

d2y常见错解： dx2(t)'1。

d2y错误原因 没有搞清求导对象.

dx2ddydxdxdy是一阶导数dx对x求导,而t'是一阶导数对t求导。

例2.7 求函数

yxx21的微分。

解

xdyd21x1x2dxxd1x21x2 =

1x2dxx121x21x2d(1x2)

=

1xdx1x22x21x2dxdx(1x2)32

例2.8 设

yx3(n)x23x2 , 求 y。

分析 本例是求分式有理函数的高阶导数，先将有理假分式通过多项式除法化为整式与有理真分式之和，再将有理分式写成部分分式之和，最后仿

(xm)(n)的表达式写出所给定的有理函数的n阶导数。

解

y(x3)7x681x3(x2)(x1)x2x1

y(n) =

(x3)(n)[8(x2)1](n)[(x1)1](n)

=

0(1)n8n!(x2)1n(1)nn!(x1)1n

=

81(1)nn!n1(x1)n1(x2)

（n2）

例2.9 设

x,x0ef(x)2x1,x0 求f(x)的导函数f(x) 的连续区间，若间断，判别类型，并分别作f(x)与f(x)的图形。

分析 函数

f(x)是用分段表达的函数. 在x0的两侧： 当x0 时，f(x)ex；

当x0时， f(x)2x.因此，在 x0 处，f(x)的可导情况，需根据定义来作判断，求出导函数后，

再判别它的连续区间。

解 因为

x211f(x)f(0)0f'(0)limlimx0xx0x

f(x)f(0)ex1f'(0)limlim1x0x0xx

，所以 f(x)在x0处不可导。

故

ex,f(x)2x,x0x0 。

因为在x0处f(x)无定义，所以x0是f(x)的间断点

又因为

x0limf(x)lim(2x)x = 0 = 0 ；

x0limf(x) =

x0limex1

所以 x0为f(x)的跳跃间断点。