2019高考数学文一轮分层演练：第4章三角函数与解三角形 第4讲 Word版含解析

一、选择题

1、下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) π2x＋ A、y＝cos2C、y＝sin 2x＋cos 2x

π

2x＋ B、y＝sin2D、y＝sin x＋cos x

π2π

2x＋＝－sin 2x,最小正周期T＝＝π,且为奇函数,其图象关于原点解析:选A.y＝cos22π

2x＋＝cos 2x,最小正周期为π,且为偶函数,其图象关于y轴对称,对称,故A正确；y＝sin2故B不正确；C、D均为非奇非偶函数,其图象不关于原点对称,故C、D不正确、

ππ

2x－在区间0，上的值域为( ) 2、函数f(x)＝3sin6233

－， A、223333C、－

2，23

－，3 B.233D.－ 2，3

ππ5ππ1ππ

0，时,2x－∈－，,sin2x－∈－，1,故3sin2x－∈解析:选B.当x∈6262666－3，3,即此时函数f(x)的值域是－3，3.

22

ππ

ωx＋(ω∈N*)图象的一个对称中心是，0,则ω的最小值为( ) 3、若函数y＝cos66A、1

C、4

B、2 D、8

πωππ

解析:选B.由题意知＋＝kπ＋(k∈Z)⇒ω＝6k＋2(k∈Z),又ω∈N*,所以ωmin＝2,故

662选B.

π3π4、函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间2，2内的图象是( )

解析:选D.y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|

，π，2tan x，x∈2＝结合选项图形知,D正确、

3ππ，.2sin x，x∈2

5、(2018·惠州第三次调研)函数y＝cos 2x＋2sin x的最大值为( )

π

3A、 43C、 2

解析:选C.y＝cos 2x＋2sin x＝－2sin2x＋2sin x＋1.

B、1 D、2

13

t－＋,所以当法一:设t＝sin x(－1≤t≤1),则原函数可以化为y＝－2t＋2t＋1＝－222

2

2

13

t＝时,函数取得最大值. 22

1

法二:设t＝sin x(－1≤t≤1),则原函数可以化为y＝－2t2＋2t＋1,y′＝－4t＋2.当≤t≤1

21

时,y′≤0；当－1≤t≤时,y′≥0.

2

12113当t＝时y取得最小值,ymin＝－2×2＋2×＋1＝,选C.

222

6、(2018·广州综合测试(一))已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)是奇π

函数,直线y＝2与函数f(x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为,则( )

2

π

0，上单调递减 A、f(x)在4π3πB、f(x)在8，8上单调递减 π

0，上单调递增 C、f(x)在4π3πD、f(x)在8，8上单调递增

π

解析:选D.f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝2sin(ωx＋φ＋),因为0＜φ＜π且f(x)为奇函

43π

数,所以φ＝,即f(x)＝－2sin ωx,又直线y＝2与函数f(x)的图象的两个相邻交点的横坐

4ππ2ππ

标之差的绝对值为,所以函数f(x)的最小正周期为,由＝,可得ω＝4,故f(x)＝－2sin 4x,

22ω2π3πkππkπ3ππ3π

由2kπ＋≤4x≤2kπ＋,k∈Z,即＋≤x≤＋,k∈Z,令k＝0,得≤x≤,此时f(x)在

22282888

π，3π上单调递增,故选D.

88二、填空题

π7、已知函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|＜π),若f 8＝－2,则f(x)的单调递减区间是________、π

解析:当x＝时,f(x)有最小值－2,

8ππ

所以2×＋φ＝－＋2kπ,

82

3

即φ＝－π＋2kπ,k∈Z,

4又因为|φ|＜π, 3

所以φ＝－π.

4

3

所以f(x)＝－2sin(2x－π)、

4π3π

由－＋2kπ≤2x－π≤＋2kπ,

242π5

得＋kπ≤x≤π＋kπ,k∈Z, 88

π5

＋kπ，π＋kπ,k∈Z. 所以函数f(x)的单调递减区间为88π5

＋kπ，π＋kπ,k∈Z 答案:88

π2ππ

8、若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0且|φ|＜)在区间6，3上是单调减函数,且函数值从12π减少到－1,则f4等于________、

6ω＋φ＝2＋2kπ

解析:由题意知,k∈Z,

2π3π

3ω＋φ＝2＋2kπ

π

解之得ω＝2,φ＝＋2kπ,

6ππ

又因为|φ|＜,所以φ＝.

26π2x＋. 所以f(x)＝sin6

π2×π＋π＝cosπ＝3. 所以f＝sin44662答案:

3 2

ππ

π

ωx－(ω>0)和g(x)＝3·9、已知函数f(x)＝3sincos(2x＋φ)的图象的对称中心完全相同,6π

0，,则f(x)的取值范围是________、 若x∈2解析:由两三角函数图象的对称中心完全相同,可知两函数的周期相同,故ω＝2,所以f(x)π2x－, ＝3sin6

πππ5π

0，时,－≤2x－≤, 当x∈2666

π31

2x－≤1,故f(x)∈－，3. 所以－≤sin622

3

－，3 答案:2

10、(2018·石家庄质量检测(一))若函数f(x)＝3sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)(0＜θ＜π)的图象πππ

，0对称,则函数f(x)在－，上的最小值是________、 关于246πππ

2x＋θ＋,则由题意,知f＝2sin(π＋θ＋)解析:f(x)＝3sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin626ππ5π

－，上是减函数,所以函数f(x)＝0,又0＜θ＜π,所以θ＝,所以f(x)＝－2sin 2x,f(x)在446ππππ

－，上的最小值为f＝－2sin＝－3. 在4663

答案:－3 三、解答题

π

11、(2017·高考北京卷)已知函数f(x)＝3cos(2x－)－2sin xcos x.

3(1)求f(x)的最小正周期；

ππ1－，时,f(x)≥－. (2)求证:当x∈442解:(1)f(x)＝

33

cos 2x＋sin 2x－sin 2x 22

13

＝sin 2x＋cos 2x 22π＝sin(2x＋)、

3

2π

所以f(x)的最小正周期T＝＝π.

2ππ

(2)证明:因为－≤x≤,

44ππ5π

所以－≤2x＋≤.

636

ππ1所以sin(2x＋)≥sin(－)＝－.

362ππ1

所以当x∈[－,]时,f(x)≥－.

442

12、(2016·高考北京卷)已知函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋cos 2ωx(ω＞0)的最小正周期为π.

(1)求ω的值；

(2)求f(x)的单调递增区间、

解:(1)因为f(x)＝2sin ωxcos ωx＋cos 2ωx π

＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝2sin(2ωx＋),

42ππ

所以f(x)的最小正周期T＝＝.

2ωωπ

依题意,＝π,

ω解得ω＝1.

π

(2)由(1)知f(x)＝2sin(2x＋)、

4

ππ

函数y＝sin x的单调递增区间为[2kπ－,2kπ＋](k∈Z)、

22πππ

由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z),

2423ππ

得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)、

88

3ππ

所以f(x)的单调递增区间为[kπ－,kπ＋](k∈Z)、

88