振动理论课后答案

解：物体与桌面保持相同的运动，知桌面的运动为

，

x=Asin10πt

；

由物体的受力分析，N = 0（极限状态）

物体不跳离平台的条件为： 既有

；

，

,

由题意可知

Hz，得到

，mm。

1-2 有一作简谐振动的物体，它通过距离平衡位置为cm及

cm时的速度分别为

20 cm/s及

cm/s，求其振动周

期、振幅和最大速度。 解：

设该简谐振动的方程为；二式平方和为

将数据代入上式：

；

联立求解得

A=10.69cm；

当

时，取最大，即：

1/s；T=s

得：

答：振动周期为；振幅为10.69cm；最大速度为22.63m/s。

1-3 一个机器内某零件的振动规律为的单位是cm，

，x1/s 。这个振动是否为简谐振动试求它的振幅、

最大速度及最大加速度，并用旋转矢量表示这三者之间的关系。 解：

振幅A=

最大速度 最大加速度

1-4某仪器的振动规律为谐振动试用x- t坐标画出运动图。

。此振动是否为简

解：因为ω1=ωω2=3ω,ω1≠ω2.又因为T1=2π/ω T2=2π/3ω ，所以，合成运动为周期为T=2π/3ω的非简谐运动。两个不同频率的简谐振动合成不是简谐振动，当频率比为有理数时，可合称为周期振动，合成振动的周期是两个简谐振动周期的最小公倍数。

1-5已知以复数表示的两个简谐振动分别为它们的合成的复数表示式，并写出其实部与虚部。

和，试求

解： 两简谐振动分别为则：

，，

=3cos5t+3isin5t

=5cos(5t+)+3isin(5t+)

或

其合成振幅为：

；

=

其合成振动频率为5t，初相位为：=arctan

则他们的合成振动为：部：

cos(5t+ arctan)

实

虚部：

sin(5t+ arctan)

1-6将题1-6图的三角波展为傅里叶级数。 解∶三角波一个周期内函数x (t)可表示为

，由式得

n=1，2，3……

于是，得x(t)的傅氏级数

1-7将题1-7图的锯齿波展为傅氏级数，并画出频谱

图。

解∶锯齿波一个周期内函数P (t)可表示为

，由式得

n=1，2，3…… 于是，得x(t)的傅氏级数

,

1-8将题1-8图的三角波展为复数傅氏级数，并画出频谱图。

；

P(t)平均值为0

+

+

将 代入整理得

1-9求题1-9图的矩形脉冲的频谱函数及画频谱图形。 解：

可表示为

由于

得：

即：

1-10 并画频谱图形。

解： 1-10图的半正弦波的频谱函数

求题 频谱函数：

一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动，如图T 2-1所示。已知，

30，m = 1 kg，k = 49 N/cm，开始运动时弹簧无伸长，速度为

零，求系统的运动规律。

  

图 T 2-1 答案图 T 2-1

解：

19.849120.1cm

mgsinkx0，x0mgsinkk49102n70rad/s

m1xx0cosnt0.1cos70tcm

图所示系统中，已知m，c，k1，k2，F0和。求系统动力学方程和稳态响应。

k2x  mx c2xx1 k1xx1 c1x

图 答案图(a) 答案图(b)

解：

等价于分别为x1和x2的响应之和。先考虑x1，此时右端固结，系统等价为图（a），受力为图（b），故：

k1k2xc1c2xk1xc1x mxcxkxk1A1sin1c1A11cos1t mxcc1c2，kk1k2，n （1）

k1k2 m（1）的解可参照释义（），为：

Ytk1A1ksin1t1c1A11kcos1t11s2s2221s2s222 （2）

其中：

12s，1tg1 2n1s2s12s2c11kk122k1k22c1c2212k1k222

1s2s2212mc1c211kkkk1212 k1k2mc1c212k1k22221

故（2）为：

xtk1A1sin1t1c1A11cos1t1kk12c1c2121k2m122A1kck2m22121cc2122121

21sin1t121tg12s1c1k1k21c1c21tgtg12m1s2k1k212m 1k1k22tg1c11 k1 考虑到x2t的影响，则叠加后的xt为：

xti12c1c2itg1cii1sinttg2i2222kkmk12ii k1k2mic1c2iAiki2ci2i2

如图T 2-2所示，重物W1悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物W2从高度为h处自由下落到W1上而无弹跳。求W2下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。

图 T 2-2 2-2

解：

W1W22h2gv22，v22gh 动量守恒：

W2gvW1W2W22gv12，v12W2gh 1W2 平衡位置：

WW11kx1，x1k WW1W21W2kx12，x12k 故：

x0x12x1W2k

答案图T nkkg W1W2gW1W2 故：

0xxx0cosnt x0cosntnv12sinnt

nsinnt 在图所示系统中，已知m，k1，k2，F0和，初始时物块静止且两弹簧均为原长。求物块运动规律。

k1x1

F0sint k2x2x1 k2x2x1 F0sint 2 mx

图 答案图

解：

取坐标轴x1和x2，对连接点A列平衡方程：

k1x1k2x2x1F0sint0

即：

k1k2x1k2x2F0sint （1）

对m列运动微分方程：

2k2x2x1 mx 即：

2k2x2k2x1 mx （2）

由（1），（2）消去x1得：

2mxk1k2Fkx202sint k1k2k1k2 （3）

故：

k1k2

mk1k22n 由（3）得：

F0k2sintsintn 22mk1k2nnx2tv0， 在图所示系统中，已知m，c，k，F0和，且t=0时，xx0，x求系统响应。验证系统响应为对初值的响应和零初值下对激励力响应的叠加。

F0cost

图

解：

xte0tCcosdtDsindtAcost

AF0k11s2s222，tg12s 1s2x0x0CAcos  Cx0Acos

t0e0tCcosdtDsindtx e0tCdsindtDdcosdtAsintv00C

0v00CDdAsin  DxdAsind

求出C，D后，代入上面第一个方程即可得。

求图T 2-7中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是k1及

k3，悬臂梁的质量忽略不计。

图 T 2-7 答案图 T 2-7

解：

k1k2。（因为总变形为求和）

k1k2

k1和k2为串联，等效刚度为：k12

k12和k3为并联（因为k12的变形等于k3的变形），则：

k1k2kkkkk2k3k31213

k1k2k1k2k123k12k3

k123和k4为串联（因为总变形为求和），故：

kek123k4k1k2k4k1k3k4k2k3k4

k123k4k1k2k1k3k2k3k1k4k2k4 故：

ke mn

由一对带偏心质量的等速反向旋转齿轮构成的振动机械安装在弹簧和阻尼器构成的支承上，如图所示。当齿轮转动角速度为时，偏心质量惯性力在垂直方向大小为me2sint。已知偏心重W = N，偏心距e = 15.0 cm，支承弹簧总刚度系数k = N/cm，测得垂直方向共振振幅Xm1.07cm，远离共振时垂直振幅趋近常值X00.32cm。求支承阻尼器的阻尼比及在300rmin运行时机器的垂直振幅。

me2sint 1me2 21me2 2

图

解：

mextMs21s2s222sint，tg12s 21s s=1时共振，振幅为：

me11.07cm M2X1 （1）

远离共振点时，振幅为：

X2me0.32cm M （2）

由（2）Mme X2 由（1）me1me1X20.15 M2X1meX22X12X1300rmin，0k，s0

1M 故：

meXM

s21s2s2223.8103m

如图T 2-9所示，一质量m连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，求下列情况系统作垂直振动的固有频率： （1）振动过程中杆被约束保持水平位置；

（2）杆可以在铅锤平面内微幅转动；

（3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。

Fx 1l2lmg1l2Fl12lmg1l2

图 T 2-9 2-9

解：

（1）保持水平位置：k1k2nm （2）微幅转动：

答案图

T F1x2x1l1xx1xk1l1l2 l2mglll1l1l2llmg12k1l12l1l2k2l12k1 lmgllkl21112k2lmg

1l2k1l1l2l1l2k1k2 l2k2l1l22l1k1l1l2k2lkmg1l22k12 l221k1l2k2l2kmg1l21k2 故：

kel21l2k1k2l2kl2 112k2nkem

求图T 2-10所示系统的固有频率，刚性杆的质量忽略不计。

图 T 2-10 答案图2-10

T

解：

mgxA k2 m的位置：xx2xAmglF1a，F1mglmgl，x1

ak1ax1aamgl2，xAx12 xAllak1mgmgl21l2xx2xA22mgk2ak1kak12

22ak1lk2 mga2k1k2kea2k1k2， ke2n2mak1lk2 图T 2-11所示是一个倒置的摆。摆球质量为m，刚杆质量可忽略，每个弹簧的刚度为。

（1）求倒摆作微幅振动时的固有频率；

（2）摆球质量m为0.9 kg时，测得频率fn为 Hz，m为1.8 kg时，测得频率为 Hz，问摆球质量为多少千克时恰使系统处于不稳定平衡状态

k2 lcos

图 T 2-1 答案图 T 2-11(1) 答案图 T 2-11(2)

解：（1）

T12122Iml 22112U2kamgl1cos22

111 ka22mgl2ka2mgl2222 利用TmaxUmax，maxnmax

ka2mglka2gn22mlmllgka21 lmgl----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

（2）

若取下面为平衡位置，求解如下：

T12122Iml 221112U2kamglcoska22mgl12sin22222 111 ka22mglmgl2ka2mgl2mgl222d2ka2mgl0 TU0，2ml2dtka2mgl0 ml2ka2mgl n2ml

图T 2-17所示的系统中，四个弹簧均未受力，k1= k2= k3= k4= k，试问：

（1）若将支承缓慢撤去，质量块将下落多少距离 （2）若将支承突然撤去，质量块又将下落多少距离

图 T 2-17 解：

k23k2k32kk123k1234k1k232k

k1k233k123k41kk123k42（1）mgk1234x0，x02mg k4mg k（2）xtx0cosnt，xmax2x0

如图T 2-19所示，质量为m2的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为I，忽略绳子的弹性、质量及各轴承间的摩擦力，求此系统的固有频率。

 x

图 T 2-19

解：

系统动能为：

2T12m1x21x2IR212m2x2112x222m2rr 12m1IR23m22

22x 12mex2系统动能为：

V1k212R122x2k1Rx21R2 212k2k1R2x

2 1k22ex根据：

TmaxVmax，xmaxnxmax R2k12k12R2n2 mI31R2m222 如图T 2-20所示，刚性曲臂绕支点的转动惯量为I0，求系统的固有频率。

图 T 2-20 解：

系统动能为：

T121a21ml2I0m12222

12 I0m1a2m2l22系统动能为：

V111222k1ak2lk3b222

1 k1a2k2l2k3b222 TmaxVmax，maxnmax根据：

k1a2k2l2k3b2 I0m1a2m2l22n 一长度为l、质量为m的均匀刚性杆铰接于O点并以弹簧和粘性

阻尼器支承，如图T 2-24所示。写出运动微分方程，并求临界阻尼系数和无阻尼固有频率的表达式。

ka cl

图 T 2-24 2-24

解：

利用动量矩方程，有：

Jkaacll，J1ml23 ml23cl23ka203ka2nml2 答案图T

3cl22n，1 ml2223ka22amk cmnm233mll3

图T 2-25所示的系统中，刚杆质量不计，写出运动微分方程，并求临界阻尼系数及阻尼固有频率。

a ckb ml

图 T 2-25 答案图 T 2-25

解：

aakbb0 mllcca2kb20 ml2kb2bk n2mllmca2ca2ca2m2n， ml22ml2n2mlbkbkc2a4m12224dn114kmlbca 2222lm4mlbk2ml2由1c2blmk 2a 图T 2-26所示的系统中，m = 1 kg，k = 144 N / m，c = 48 N•s / m，l1 = l = 0.49 m，l2 = 0.5 l， l3 = 0.25 l，不计刚杆质量，求无阻尼固有频率n及阻尼。

ml1

 cl3 kl2

图 T 2-26 答案图 T 2-25 解：

受力如答案图T 2-26。对O点取力矩平衡，有：

llkll0 ml1l1c3322cl2kl20 ml1232

m11ck0 12n1k36 4mn6 rad/s

1c162

nmc10.25 16m2n

两质量均为m的质点系于具有张力F的弦上，如图所示。忽略振动过程中弦张力的变化写出柔度矩阵，建立频率方程。求系统的固有频率和模态，并计算主质量、主刚度、简正模态，确定主坐标和简正坐标。

1 2 3

图 答案图(1)

解：

sin11y1yy1y，sin2，sin32232 lll 根据m1和m2的自由体动力平衡关系，有：

y1yy1FF2y22y1 lllyy1yF2Fsin2Fsin3m2yF2y12y2 F2lll1Fsin1Fsin2m1yF故：

1F21y1ym100 0ml12y22y2 当m1=m2时，令：

y1Y1sint，y2Y2sint，2mlF

代入矩阵方程，有：

211Y10 2Y22211221130

1,21,3

12FFF3F，222 1mlmlmlml 根据2Y1Y20得：

Y1Y111，11 Y2Y1212222

第一振型 第二振型 答案图(2)

图T 4-11所示的均匀刚性杆质量为m1，求系统的频率方程。

图 T 4-11 解：

先求刚度矩阵。 令1，x0，得：

k11k1bbk2aak1b2k2a2 k21k2a

k1b  k2a

令0，x1，得：

k12k2a k22k2

k21

答

k1b2k2a2则刚度矩阵为：Kk2ak2a k2再求质量矩阵。

1，0，得： 令x1m11m1a2，m210

30，1，得： 令xm120，m22m2

12ma1则质量矩阵为：M300 m2故频率方程为：K2M0

多自由度振动系统质量矩阵M和刚度矩阵K均为正定。对于模态

xi和xj及自然数n证明：

xiTMK1Mxj0，xiTKM1Kxj0

解：

1Kxj2jMxj，等号两边左乘KM

T12KM1Kxj2jKMMxjjKxj，等号两边左乘xi

TxiTKM1Kxj2jxiKxj0，当ij时

 重复两次：

1KM1Kxj2jKxj，等号两边再左乘KM

T1KM1KM1Kxj2jKMKxj，等号两边左乘xi

T1xiTKM1Kxj2jxiKMKxj0，当ij时

2 重复n次得到：

xiTKM1Kxj0

1，等号两边左乘 MKKxj2Mxjjn1MK1Kxj2jMKMxj

故：

T1Mxj2jMKMxj，等号两边左乘xi

T1xiTMxj2jxiMKMxj0，当ij时

即xiTMxj0，当ij时 重复运算：

1MK1Mxj2Mxj jMK2T1xiTMK1Mxj2Mxj0，当ij时 jxiMK2 重复n次。

质量m、长l、抗弯刚度EI的均匀悬臂梁基频为(EI / ml3)1/2，在梁自由端放置集中质量m1。用邓克利法计算横向振动的基频。

解：

~3.5151EI~，2ml33EI 3m1l11l3mm1 222~~112EI12.3553116.088lEI

3m12.355m1l 不计质量的梁上有三个集中质量，如图所示。用邓克利法计算横向振动的基频。

图

解：

当系统中三个集中质量分别单独存在时：

9l/416l/49l/4f11，f22，f33 12EI12EI12EI33311113ml3 2~2~2~2mf11mf223mf331123192EI11

3.843lEI l 在图所示系统中，已知m和k。用瑞利法计算系统的基频。

图 解：

近似选取假设模态为：

11.52.5T

系统的质量阵和刚度阵分别为：

3kMdiagm2mm，K2k02k3kk0k k由瑞利商公式：

TK2.5kRT12

M11.75m10.461k m 在图所示系统中，已知k和J。用传递矩阵法计算系统的固有频率和模态。

图 解：

两端边界条件为：

01固定端：X0R，自由端：X2R。

T01T20RR111k0k X1RS1X0R22J12JJ11kk212J112kkkRRkX2S2X1 2J2J2J2J2J2J11112k2kk22kk由自由端边界条件得频率方程：

2J2k12J2k12Jk0

10.765kJ，848k21.J 代入各单元状态变量的第一元素，即：

11k22k2J k2得到模态：

(1)11.414T，(2)11.414T

在图所示系统中，已知GIpi ( i = 1 , 2)，li ( i = 1 , 2)和Ji ( i = 1 , 2)。用传递矩阵法计算系统的固有频率和模态。

图 解：

11LR两自由端的边界条件为：X1，X2。

T10T20LR0111X1RS1PX1L202J

J111LX1R.5X1.51S1FX1R02J1111 k1k12J121J1RX2S2X1R.512J12J1211J1k21kk12 4k41J1J2J1J22J2J2J212J22J121k2kk12GIp1l1GIp2l2其中：k1，k2。

由自由端边界条件得频率方程：

4J1J2k14J1J2k22J12J2010，2J1J2Ip1l2Ip2l1GIp1Ip2J1J2

代入各单元状态变量的第一元素，即：

112J12J1 12k1k2得到模态：

T(1)11T，(2)J11J 2 在图所示系统中悬臂梁质量不计，阵法计算系统的固有频率。

图

解：

引入无量纲量：

yyMlFSl2ml32l，MEI，FSEI，EI

定义无量纲的状态变量：

m、l和EI已知。用传递矩

XyMFS

T边界条件：

左端固结：X0R00MFST，右端自由：X1Ry00T

根据传递矩阵法，有：

X1RS1PS1FX0R

其中点传递矩阵和场传递矩阵分别为：

010F，S01001011121161 21110PS10001001000100得：

MFS01M11F0

S26利用此齐次线性代数方程的非零解条件导出本征方程：

1121110 1363

13EI

lml

1 在图所示系统中梁质量不计，m、l和EI已知，支承弹簧刚度系数k = 6EI / l3。用传递矩阵法计算系统的固有频率。

图

解：

引入无量纲量：

yyMlF3Sl2ml2l，MEI，FSEI，EI 定义无量纲的状态变量：

XyMFST

边界条件：

左端铰支：XR0FT00S，右端自由：XR1y根据传递矩阵法，有：

11112616FSXLF0.5SXR11100121FS0011XR0F2S0001FS00T

在支承弹簧处： X0R.511FSFS62110100121112FSFS

TX1RS1X0R.5XR 0.5116FS

FS2161212FSFS0注意到上式中为杆左端的转角，故在支承弹簧处的位移为：

FSl3yl

6EI因此有：

2FSkyl6EI6EI FFSSl3l2FSl2FS6

EIFS3

FS2412l3EI ml

图所示阶梯杆系统中已知m，ρ，S，E和k。求纵向振动的频率方程。

图 解：

模态函数的一般形式为：

xC1sinxaC2cosxa

题设边界条件为：

ul,t2ul,tmkul,t u0,t0，ESxt2边界条件可化作：

00，ESlm2lkl

导出C2 = 0及频率方程：

laES，其中aam2ktanE

长为l、密度为ρ、抗扭刚度为GIp的的等直圆轴一端有转动

惯量为J的圆盘，另一端连接抗扭刚度为k的弹簧，如图所示。求系统扭振的频率方程。

图 解：

模态函数的一般形式为：

xC1sinxaC2cosxa

题设边界条件为：

0,t20,tl,tGIpJ，GIkl,t pxt2x边界条件可化作：

GIp0J20，GIplkl

以上两式联立消去C1和C2得频率方程：

laGIpakJ22tan2G2Ip，其中aakJG

长为l、单位长度质量为ρl的弦左端固定，右端连接在一质量弹簧系统的物块上，如图所示。物块质量为m，弹簧刚度系数为k，静平衡位置在y = 0处。弦线微幅振动，弦内张力F保持不变，求弦横向振动的频率方程。

图 解：

模态函数的一般形式为：

xC1sinxaC2cosxa

题设边界条件为：

yl,t2yl,tmkyl,t y0,t0，Fxt2边界条件可化作：

00，Flm2lkl

导出C2 = 0及频率方程：

tanlaamkF2，其中aFl