第2练 复数与平面向量

复数与平面向量

[明晰考情] 1.命题角度：复数的四则运算和几何意义；以平面图形为背景，考查平面向量的线性运算、平面向量的数量积.2.题目难度：复数题目为低档难度，平面向量题目为中低档难度.

考点一 复数的概念与四则运算

要点重组 (1)复数：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部，i为虚数单位.若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数.

(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).

(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).

→的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即(4)复数的模：向量OZ|z|＝|a＋bi|＝r＝a2＋b2(r≥0，r∈R).

(5)复数的四则运算类似于多项式的四则运算，复数除法的关键是分子分母同乘分母的共轭复数.

1.(2018·全国Ⅰ)设z＝1－i

1＋i

＋2i，则|z|等于( )

A.0 B.1

2

C.1 D.

2

答案 C

＝1－i(1－i)2解析 ∵z－2i

1＋i＋2i＝(1＋i)(1－i)＋2i＝2

＋2i＝i，

∴|z|＝1.故选C.

2.已知a，b∈R，i是虚数单位.若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2等于( A.5－4i B.5＋4i C.3－4i D.3＋4i

答案 D

解析 由已知得a＝2，b＝1，即a＋bi＝2＋i，

∴(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.故选D.

3.已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

)

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

答案 A

解析 当a＝b＝1时，(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i，

反过来(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i，

则a2－b2＝0，2ab＝2，

解得a＝1，b＝1或a＝－1，b＝－1.

故“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的充分不必要条件，故选A.

4.复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i是虚数，则实数m的取值范围是__________.

答案 {m|m≠6且m≠－1}

解析 根据题意知，m2－5m－6≠0，即(m－6)(m＋1)≠0，所以m≠6且m≠－1.

考点二 复数的几何意义

要点重组 (1)复数z＝a＋bi

一一对应

复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)

一一对应

→. 平面向量OZ

5.设a∈R，若(1＋3i)(1＋ai)∈R(i是虚数单位)，则a等于( )

11

A.3 B.－3 C. D.－ 33

答案 B

解析 (1＋3i)(1＋ai)＝1＋ai＋3i－3a，

∵(1＋3i)(1＋ai)∈R，

∴虚部为0，则a＋3＝0，∴a＝－3.

6.已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( )

A.(－3，1) B.(－1，3) C.(1，＋∞) D.(－∞，－3)

答案 A

解析

m＋3>0，

由复数z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，得

m－1<0，

解得－3→，OB→，则|z＋z|＝_______. 7.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是OA12

答案 2

解析 由题意知，z1＝－2－i，z2＝i，

∴z1＋z2＝－2，∴|z1＋z2|＝2.

i＋i2＋i3＋…＋i2 019

8.已知复数z＝，则复数z在复平面内对应的点位于第______象限.

1＋i

答案 二

解析 因为i4n＋k＝ik(n∈Z)，且i＋i2＋i3＋i4＝0，

所以i＋i2＋i3＋…＋i2 019＝i＋i2＋i3＝i－1－i＝－1，

11111所以z＝＝＝－(1－i)＝－＋i，对应的点为－，，在第二象限.

1＋i(1＋i)(1－i)22222

－1－(1－i)

考点三 平面向量的线性运算

方法技巧 (1)向量加法的平行四边形法则：共起点；三角形法则：首尾相连；向量减法的三角形法则：共起点连终点，指向被减.

→(2)已知O为平面上任意一点，则A，B，C三点共线的充要条件是存在s，t，使得OC＝sOA→＋tOB→，且s＋t＝1，s，t∈R. (3)证明三点共线问题，可转化为向量共线解决.

9.(2018·全国Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB→等于( A.3AB→－1

AC→ B.1444AB→－3

4

AC→ C.3AB→1

→ D.14＋4AC4AB→＋3

4

AC→ 答案 A

解析 作出示意图如图所示.

EB→＝ED→＋DB→＝12AD→＋12CB→＝112×2(AB→＋AC→)＋131

2(AB→－AC→)＝4AB→－4

AC→. )

故选A.

1→→，P是BN上的一点，若AP→＝10.如图，在△ABC中，N是AC边上一点，且AN＝NC22→→，则实数m的值为( ) mAB＋AC9

11

A. B. C.1 D.3 93

答案 B

11

→→→→， 解析 ∵AN＝NC，∴AN＝AC23

22

→→→→→. ∴AP＝mAB＋AC＝mAB＋AN93

21

又B，N，P三点共线，∴m＋＝1，∴m＝. 33

→＝λAM→＋μBN→，11.如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若AC则λ＋μ等于( )

868

A.2 B. C. D.

355

答案 D

→解析 方法一 如图以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，AM11→→

＝1，，BN＝－，1，AC＝(1，1).

22

11μλ→＝λAM→＋μBN→＝λ1，＋μ－，1＝λ－，＋μ， ∵AC2222

λ－μ＝1，2∴λ＋μ＝1，2

λ＝6，

5解得2

μ＝，5

8

故λ＋μ＝. 5

→，AD→作为基底， 方法二 以AB∵M，N分别为BC，CD的中点，

11

→→→→→→→→→→， ∴AM＝AB＋BM＝AB＋AD，BN＝BC＋CN＝AD－AB22

λμ→＝λAM→＋μBN→＝λ－AB→＋＋μAD→， ∴AC22

→＝AB→＋AD→， 又ACλ－μ＝1，2因此λ＋μ＝1，2

λ＝6，5解得2

μ＝.5

8

所以λ＋μ＝. 5

12.已知a，b为单位向量，且a⊥(a＋2b)，则|a－2b|＝________.

答案 7

解析 由a⊥(a＋2b)得a·(a＋2b)＝0，∴|a|2＋2a·b＝0，得2a·b＝－1，∴|a－2b|2＝(a－2b)2＝a2－4a·b＋4b2＝|a|2－4a·b＋4|b|2＝1＋2＋4＝7，∴|a－2b|＝7.

考点四 平面向量的数量积

方法技巧 (1)向量数量积的求法：定义法，几何法(利用数量积的几何意义)，坐标法.

(2)向量运算的两种基本方法：基向量法，坐标法.

13.已知向量a＝(1，2)，b＝(1，0)，c＝(3，4)，若λ为实数，(b＋λa)⊥c，则λ的值为( )

1113

A.－ B.－ C. D. 11325

3

答案 A

解析 b＋λa＝(1，0)＋λ(1，2)＝(1＋λ，2λ)，又c＝(3，4)，且(b＋λa)⊥c，所以(b＋λa)·c＝0，即3(1＋λ)＋2λ×4＝3＋3λ＋8λ＝0，解得λ＝－

. 113

→·(PB→14.(2017·全国Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA→)的最小值是( ) ＋PC34

A.－2 B.－ C.－ D.－1

23

答案 B

解析 方法一 (解析法)

建立坐标系如图①所示，则A，B，C三点的坐标分别为A(0，3)，B(－1，0)，C(1，0).设P点的坐标为(x，y)，

图①

→＝(－x，3－y)， 则PA→＝(－1－x，－y)， PB→＝(1－x，－y)， PC→·(PB→＋PC→)＝(－x，3－y)·(－2x，－2y) ∴PA＝2(x2＋y2－

2

3y)＝2x＋y－

3332－≥2×－4＝－. 224

3

33

→→→当且仅当x＝0，y＝时，PA·(PB＋PC)取得最小值，最小值为－.故选B.

22

方法二 (几何法)

→＋PC→＝2PD→(D为BC的中点)，则PA→·(PB→＋PC→)＝2PA→·PD→. 如图②所示，PB

图②

→·PD→最小，则PA→与PD→方向相反，即点P在线段AD上，则(2PA→·PD→)＝－2|PA→要使PAmin→|， ||PD→||PD→|的最大值. 问题转化为求|PA→|＋|PD→|＝|AD→|＝2×又当点P在线段AD上时，|PA3

＝2

3，

→|＋|PD→||PA→||PD→|≤∴|PA2＝2

32





2＝

3， 4

33

→→→→→∴[PA·(PB＋PC)]min＝(2PA·PD)min＝－2×＝－. 42

故选B.

13→31→15.(2016·全国Ⅲ)已知向量BA＝，，BC＝，，则∠ABC等于( ) 2222

A.30° B.45° C.60° D.120°

答案 A

3

→→解析 |BA|＝1，|BC|＝1，cos∠ABC＝＝. →||BC→|2|BA→·BC→BA又∵0°≤∠ABC≤180°，

∴∠ABC＝30°.

16.(2016·浙江)已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2.若对任意单位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤6，则a·b的最大值是________.

1

答案 2

解析 由已知可得6≥|a·e|＋|b·e|≥|a·e＋b·e|＝|(a＋b)·e|，

由于上式对任意单位向量e都成立.

∴6≥|a＋b|成立.

∴6≥(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝12＋22＋2a·b.

1

即6≥5＋2a·b，∴a·b≤.

2

1

∴a·b的最大值为.

2

1.(2017·全国Ⅰ)设有下面四个命题：

1

p1：若复数z满足∈R，则z∈R；

zp2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；

p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝z2；

p4：若复数z∈R，则z∈R.

其中的真命题为( )

A.p1，p3 B.p1，p4 C.p2，p3 D.p2，p4

答案 B

解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R).

11a－bi

对于p1，若∈R，即＝2∈R，则b＝0，即z＝a＋bi＝a∈R，所以p1为2za＋bia＋b真命题；

对于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，则ab＝0.当a＝0，b≠0时，z＝

a＋bi＝bi∉R，所以p2为假命题；

对于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1＝0.而z1＝z2，即a1＋b1i＝a2－b2i⇔a1＝a2，b1＝－b2.因为a1b2＋a2b1＝0⇏a1＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题；

对于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，则b＝0⇒z＝a－bi＝a∈R，所以p4为真命题.故选B.

2.在△ABC中，有如下命题，其中正确的是________.(填序号)

→－AC→＝BC→； ①AB→＋BC→＋CA→＝0； ②AB→＋AC→)·(AB→－AC→)＝0，则△ABC为等腰三角形； ③若(AB

→·BC→>0，则△ABC为锐角三角形. ④若AB答案 ②③

→－AC→＝CB→，①错误； 解析 在△ABC中，AB→·BC→>0，则B是钝角，△ABC是钝角三角形，④错误. 若AB3.已知向量a＝(1，2)，b＝(1，1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是__________.

5答案 －，0∪0，＋∞ 3

5解析 a＋λb＝(1＋λ，2＋λ)，由a·(a＋λb)>0，可得λ>－.

3

又a与a＋λb不共线，∴λ≠0.

5

故λ>－且λ≠0.

3

解题秘籍 (1)复数的概念是考查的重点，虚数及纯虚数的意义要把握准确.

(2)复数的运算中除法运算是高考的热点，运算时要分母实数化(分子分母同乘以分母的共轭复数)，两个复数相等的条件在复数运算中经常用到.

→和BC→的夹角为π－B；向量a，b的夹(3)注意向量夹角的定义和范围.在△ABC中，AB角为锐角要和a·b>0区别开来(不要忽视向量共线情况，两向量夹角为钝角类似处理).

1.设i是虚数单位，则复数i3－

2

i

等于( ) A.－i B.－3i C.i D.3i

答案 C

解析 i3－22i

i＝－i－i

2＝－i＋2i＝i.故选C.

2.(2017·山东)已知a∈R，i是虚数单位.若z＝a＋3i，z·z＝4，则a等于( A.1或－1 B.7或－7 C.－3 D.3

答案 A

解析 ∵z·z＝4，∴|z|2＝4，即|z|＝2.

∵z＝a＋3i，∴|z|＝a2＋3＝2，∴a＝±1.

)

故选A.

3.设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于( )

1－i

2i

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

答案 B

2i(i＋1)

解析 ＝＝＝－1＋i，由复数的几何意义知，－1＋i在复平面

1－i(1－i)(1＋i)2内的对应点为(－1，1)，该点位于第二象限，故选B.

2i2i(1＋i)

4.(2018·安庆模拟)在△ABC中，点D是边BC上任意一点， M是线段AD的中点，若→＝λAB→＋μAC→，则λ＋μ等于( ) 存在实数λ和μ，使得BM11

A. B.－ C.2 D.－2 22

答案 B

解析 因为点D在边BC上，所以存在t∈R，

→＝tBC→＝t(AC→－AB→). 使得BD

111→→→→→→因为M是线段AD的中点，所以BM＝(BA＋BD)＝(－AB＋tAC－tAB)＝－(t＋

221)AB→＋1

2

tAC→.

又BM→＝λAB→＋μAC→， 所以λ＝－12(t＋1)，μ＝112t，所以λ＋μ＝－2

.

5.“复数z＝3＋ai

i

在复平面内对应的点在第三象限”是“a≥0”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

答案 D

解析 由题意得z＝a－3i，

若z在复平面内对应的点在第三象限，则a<0，故选D.

2)

→＋AB→＋OC→＝0，→6.(2018·通州期末)△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若OA且|OA→|，则CA→·CB→等于( ) |＝|AB3

A. B.3 C.3 D.22

3

答案 C

→＋AB→＋OC→＝0，∴OB→＝－OC→，故点O是BC的中点，且△ABC为直角三解析 ∵OA角形，

→|＝|AB→|，又△ABC的外接圆的半径为1，|OA∴BC＝2，AB＝1，CA＝3，∠BCA＝30°，

→·CB→＝|CA→||CB→|·cos 30°＝3×2×∴CA3

＝3. 2

a＋i

7.已知a>0，＝2，则a等于( ) i

A.2 B.3 C.2 D.1

答案 B

a＋i－ai＋1



解析 ＝＝i1

(－a)2＋1＝2，即a2＝3.

又∵a>0，∴a＝3.

π

8.(2018·浙江)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为，

3向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是( )

A.3－1 B.3＋1

C.2 D.2－3

答案 A

解析 ∵b2－4e·b＋3＝0，

∴(b－2e)2＝1，

∴|b－2e|＝1.

如图所示，把a，b，e的起点作为公共点O，以O为坐标原点，向量e所在直线为x轴，则b的终点在以点M(2，0)为圆心，1为半径的圆上，|a－b|就是线段AB的长度.

要求|AB|的最小值，就是求圆上动点到定直线的距离的最小值，也就是圆心M到直线

OA的距离减去圆的半径长，因此|a－b|的最小值为3－1.

故选A.

9.设x，y为实数，且

＋＝，则x＋y＝______. 1－i1－2i1－3i

xy5

答案 4

解析 由题意得(1＋i)＋(1＋2i)＝(1＋3i)，

2510

xy5

∴(5x＋2y)＋(5x＋4y)i＝5＋15i，

5x＋2y＝5，

∴

5x＋4y＝15，

x＝－1，∴

y＝5，

∴x＋y＝4.

→＝AB→＋3AC→，则△ABM与△ABC10.若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5AM的面积之比为________.

3

答案 5

→＝AB→＋3AC→， 解析 设AB的中点为D，由5AM

→－3AC→＝2AD→－2AM→， 得3AM→＝2MD→. 即3CM故C，M，D三点共线，

3

→→， 如图所示，MD＝CD5

也就是△ABM与△ABC对于边AB的两高之比为3∶5，

3

则△ABM与△ABC的面积之比为. 5

11.(2018·德阳诊断)已知i为虚数单位，实数x，y满足(x＋2i)i＝y－i，则|x－yi|＝______.

答案 5

解析

x＝－1，

∵(x＋2i)i＝y－i，∴－2＋xi＝y－i，∴

y＝－2，

则|x－yi|＝|－1＋2i|＝5.

→1AB→⊥AC→，|AB→|＝，|AC→|＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且AP→＝12.已知ABt→||AB→4AC→·PC→的最大值为________. ＋，则PB→||AC答案 13

→，AC→所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的平面解析 以点A为坐标原点，AB直角坐标系，

11

→＝，0，AC→＝(0，t)， 则A(0，0)，B，0，C(0，t)，ABtt

→144AC→＝AP＋＝t，0＋(0，t)＝(1，4)，

→||AC→|tt|AB→AB11

→·PC→＝－1，－4·(－1，＋4t∴点P(1，4)，则PBt－4)＝17－tt≤17－2



1

·4t＝13，

t

1

当且仅当＝4t，

t1

即t＝时取“＝”，

2

→·PC→的最大值为13. ∴PB