高考数学复习常考知识点专项练习9 全称量词命题和存在量词命题的否定

一、选择题

1．命题“存在实数x，使x>1”的否定是( A ) A．对任意实数x，都有x≤1 B．不存在实数x，使x≤1 C．对任意实数x，都有x>1 D．存在实数x，使x≤1

解析：存在量词命题的否定是全称量词命题，即“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．

2．命题“对任意的x∈R，都有x2－2x＋1≥0”的否定是( C ) A．不存在x∈R，使得x2－2x＋1≥0 B．存在x∈R，使得x2－2x＋1≤0 C．存在x∈R，使得x2－2x＋1<0 D．对任意的x∈R，都有x2－2x＋1<0

解析：命题“对任意的x∈R，都有x2－2x＋1≥0”的否定是“存在x

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∈R，使得x2－2x＋1<0”．故选C.

3．存在量词命题“∃x∉M，p(x)”的否定是( C ) A．∀x∈M，¬p(x)B．∀x∉M，p(x) C．∀x∉M，¬p(x)D．∀x∈M，p(x)

解析：由存在量词命题的否定的定义可得C正确． 1

4．命题“∀x∈R，x>2x－1”的否定是( A )

2

11

A．∃x∈R，x2≤2x－1B．∀x∈R，x2<2x－1 11

C．∀x∈R，x2≤2x－1D．∃x∈R，x2<2x－1

解析：将“∀”改写为“∃”，再否定结论可得，命题的否定为“∃x1

∈R，x2≤2x－1”．

5．已知命题p：∃x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是( D )

A．{a|a<1}B．{a|a≤1} C．{a|a>1}D．{a|a≥1}

解析：因为p为假命题，所以綈p为真命题，所以∀x>0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，所以1－a≤0，即a≥1，故选D.

6．命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－3x＋2≤0”的否定为( C ) A．∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－3x＋2>0

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B．∀x∉{x|1≤x≤2}，x2－3x＋2>0 C．∃x∈{x|1≤x≤2}，x2－3x＋2>0 D．∃x∉{x|1≤x≤2}，x2－3x＋2>0

解析：由全称量词命题的否定为存在量词命题知，命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－3x＋2≤0”的否定为“∃x∈{x|1≤x≤2}，x2－3x＋2>0”，故选C.

7．命题“负数的平方是正数”的否定是( D ) A．负数的平方不是正数 B．有些负数的平方是正数 C．所有负数的平方是正数 D．有些负数的平方不是正数

解析：先将命题中省略的量词补回，则“任意一个负数的平方是正数”，再进行否定，“有些负数的平方不是正数”．故选D.

8．(多选题)给出下列命题，其中真命题有( AB ) A．存在x<0，使|x|>x B．对于一切x<0，都有|x|>x

C．已知a＝2n，b＝3n，则存在n∈N*，使得a＝b

D．已知A＝{a|a＝2n，n∈N*}，B＝{b|b＝3n，n∈N*}，则A∩B＝∅ 解析：易知A、B为真命题，C中，“存在n∈N*，使得a＝b”的否定

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是“对于任意的n∈N*，都有a≠b”，由于a－b＝2n－3n＝－n，所以对于任意的n∈N*，都有a二、填空题

9．已知命题q：“三角形有且只有一个外接圆”，则綈q为存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆．

10．已知命题p：∃x≥7,2x－1三、解答题

11．写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)p：末位数字为9的整数能被3整除； (2)p：有的素数是偶数；

(3)p：至少有一个实数x，使x2＋1＝0； (4)p：∀x，y∈R，x2＋y2＋2x－4y＋5＝0.

解：(1)綈p：存在一个末位数字为9的整数不能被3整除．綈p为真命题．

(2)綈p：所有的素数都不是偶数．由于2是素数也是偶数，故綈p为假

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命题．

(3)綈p：对任意的实数x，都有x2＋1≠0.綈p为真命题． (4)綈p：∃x，y∈R，x2＋y2＋2x－4y＋5≠0.綈p为真命题．

12．命题p是“对任意实数x，都有x－a>0或x－b≤0”，其中a，b是常数．

(1)写出命题p的否定．

(2)当a，b满足什么条件时，命题p的否定为真？ 解：(1)命题p的否定：存在实数x， 使x－a≤0且x－b>0. (2)要使命题p的否定为真，

x－a≤0

则需要使的解集不为空集．

x－b>0

a，b应满足的条件是b13．(多选题)已知a>0，函数y＝ax2＋bx＋c，若m满足关于x的方程2ax＋b＝0，当x＝m时的函数值记为M，则下列选项中的命题为真命题的是( ABD )

A．∃x∈R，ax2＋bx＋c≤M B．∃x∈R，ax2＋bx＋c≥M

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C．∀x∈R，ax2＋bx＋c≤M D．∀x∈R，ax2＋bx＋c≥M

b

解析：方程2ax＋b＝0的解为m＝－2a.

由当x＝m时的函数值记为M知A、B为真命题；

b

∵a>0，∴函数y＝ax＋bx＋c在x＝－2a＝m处取得最小值．∴M是函

2

数y＝ax2＋bx＋c的最小值，

因此D为真命题，C为假命题，故选ABD.

14．已知命题p：∀x∈R，x2A．p，qB．綈p，q C．p，綈qD．綈p，綈q 解析：对于命题p，采用特值法， 取x＝－1，可知p为假命题；

2

命题q：当x0＝1时，x0－5x0＋4＝0成立，

故q为真命题，故选B.

15．已知命题p：“∀x∈{x|1≤x≤4}，x－a≥0”，为真命题，则a的取值范围是a≤1；若命题q：“∃x∈{x|1≤x≤4}，x－a≥0”，为真命题，则a的取值范围是a≤4.

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解析：将命题p转化为当x∈{x|1≤x≤4}时，x≥a恒成立，因此x的最小值大于或等于a，即a≤1.

命题q：存在x∈{x|1≤x≤4}，x－a≥0，就是x≥a在x∈{x|1≤x≤4}有解，因此x的最大值大于或等于a，即a≤4.

16．设集合A＝{1,2,4,6,8,10,12}，试写出下列命题的否定，并判断其真假：

(1)p：∀n∈A，n<12.

(2)q：∃x∈{x|x是奇数}，x∈A. 解：(1)綈p：∃n∈A，n≥12.

因为当n＝12时，綈p成立，所以綈p是真命题． (2)綈q：∀x∈{x|x是奇数}，x∉A.綈q是假命题．

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