2019年高考数学一轮复习学)：第3章 三角函数、解三角形 第8节 解三角形实际应用举例学案 理 北师大版

第八节 解三角形实际应用举例

[考纲传真] (教师用书独具)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．

(对应学生用书第页)

[基础知识填充]

1．仰角和俯角

在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图3­8­1(1))．

(1) (2)

图3­8­1

2．方位角和方向角

(1)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图3­8­1(2))．

(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°等．

3．坡度

坡面与水平面所成二面角的正切值．

[基本能力自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( )

π(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0，.( )

2

(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．( )

π(4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是0，.( )

2

[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√

2．(教材改编)海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10 n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC等于( )

A．103 n mile C．52 n mile D [如图，在△ABC中，

106B． n mile

3D．56 n mile

AB＝10，∠A＝60°，

∠B＝75°，∠C＝45°， ∴

10＝，

sin 60°sin 45°

BC∴BC＝56.]

3．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的( )

A．北偏东15° C．北偏东10°

B [如图所示，∠ACB＝90°，

B．北偏西15° D．北偏西10°

又AC＝BC，

∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°， ∴点A在点B的北偏西15°.]

4．如图3­8­2，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点

C，测得AC＝50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为( )

图3­8­2

A．503 m B．253 m C．252 m

D．502 m

D [因为∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，所以∠B＝30°.由正弦定理可知＝，

sin Bsin C50AB即＝，解得AB＝502 m．] sin 30°sin 45°

5．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h,15 n mile/h，则下午2时两船之间的距离是________ n mile. 70 [设两船之间的距离为d，

则d＝50＋30－2×50×30×cos 120°＝4 900， 所以d＝70，即两船相距70 n mile.]

(对应学生用书第页)

2

2

2

ACAB 测量距离问题 如图3­8­3，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，3≈1.73)

【导学号：79140136】

图3­8­3

60 [如图所示，过A作AD⊥CB且交CB的延长线于D．

在Rt△ADC中，由AD＝46 m，∠ACB＝30°得AC＝92 m. 在△ABC中，∠BAC＝67°－30°＝37°， ∠ABC＝180°－67°＝113°，AC＝92 m， 由正弦定理＝，得

sin ∠ABCsin ∠BACACBC

92BC92BC＝，即＝，

sin 113°sin 37°sin 67°sin 37°92sin 37°解得BC＝≈60(m)．]

sin 67° [规律方法] 求解距离问题的一般步骤 画出示意图，将实际问题转化成三角形问题； 明确所求的距离在哪个三角形中，有几个已知元素； 使用正弦定理、余弦定理解三角形对于解答题，应作答 [跟踪训练] 如图3­8­4所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离，即AB＝a＋b－2abcos α.若测得CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60°，试计算AB的长．

2

2

图3­8­4

[解] 在△ABC中，由余弦定理得

AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，

∴AB＝400＋600－2×400×600cos 60°＝280 000， ∴AB＝2007(m)，即A，B两点间的距离为2007 m.

2

2

2

测量高度问题 如图3­8­5，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝______m.

图3­8­5

1006 [由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.

600BC又AB＝600 m，故由正弦定理得＝，

sin 45°sin 30°解得BC＝3002 m.

在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝3002×＝1006(m)．]

[规律方法] 解决高度问题的注意事项 在测量高度时，要准确理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角. 在实际问题中，可能会遇到空间与平面地面同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错. 注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题. [跟踪训练] 如图3­8­6，从某电视塔CO的正东方向的A处，测得塔顶的仰角为60°，在电视塔的南偏西60°的B处测得塔顶的仰角为45°，AB间的距离为35米，则这个电视塔的高度为________米．

3 3

图3­8­6

521 [如图，

可知∠CAO＝60°，∠AOB＝150°， ∠OBC＝45°，AB＝35米． 设OC＝x米，则OA＝

3

x米，OB＝x米． 3

在△ABO中，由余弦定理，

得AB＝OA＋OB－2OA·OB·cos ∠AOB， 2322

即35＝＋x－x·cos 150°，

33

22

2

2

x2

整理得x＝521，

所以此电视塔的高度是521米．]

测量角度问题 某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离A为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10海里/时的速度向小岛B靠拢，我海军舰艇立即以103海里/时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．

[解] 如图所示，设所需时间为t小时， 则AB＝103t，CB＝10t，

在△ABC中，根据余弦定理，则有AB＝AC＋BC－2AC·BC·cos 120°， 可得(103t)＝10＋(10t)－2×10×10tcos 120°. 整理得2t－t－1＝0， 1

解得t＝1或t＝－(舍去)，

2∴舰艇需1小时靠近渔船， 此时AB＝103，BC＝10.

在△ABC中，由正弦定理得＝，

sin∠CABsin 120°

2

2

2

2

2

2

2

BCAB∴sin∠CAB＝BC·sin 120°1

＝＝. AB2103

10×3

2

∴∠CAB＝30°.

所以舰艇航向为北偏东75°.

[规律方法] 解决测量角度问题的注意事项 应明确方位角或方向角的含义. 分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步. 将实际问题转化为解三角形的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用. [跟踪训练] 如图3­8­7，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20

海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cos θ的值.

【导学号：79140137】

图3­8­7

[解] 在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得，BC＝AB＋AC－2AB·AC·cos 120°＝2 800⇒BC＝207.

2

2

2

ABBCAB21由正弦定理，得＝⇒sin∠ACB＝·sin∠BAC＝. sin∠ACBsin∠BACBC7

27

由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝. 7

由θ＝∠ACB＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACB cos 30°－sin∠ACB sin 30°＝

21. 14