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摘要

手机资费问题一直是人们关心的热点问题，现在手机“套餐”的花样琳琅满目，如何选择手机“套餐”和手机“套餐”到底有何优惠成为了一个热点的问题。

本题参照中国移动公司现行的资费标准和北京的全球通“畅听99套餐”、上海的“全球通68套餐”方案，我们通过与现行的资费标准比较，为各种消费者提供了选择相应资费方式的建议方案。 对问题（1）：

我们建立了一个月手机资费计算方法的函数模型，并得到了各种“套餐”方案适应的用户对象。对于北京全球通“畅听99套餐”来说：

若用户一个月本地通话分钟数为123到394分钟之间则选择第一种方案。若用户一个月本地通话分钟数为395到800分钟之间则选择第二种方案。若用户一个月本地通话分钟数为801到1500分钟之间则选择第三种方案。若用户一个月本地通话分钟数大于1500则选择第四种方案。

对于上海的“全球通68套餐”来说：

若用户一个月本地通话分钟数为23到693则选择第一种方案。若用户一个月本地通话分钟数在694到1175分钟之间则选择每二种方案。若用户一个月本地通话分钟数大于1175分钟则选择第三种方案。 对问题（2）：

我们给出了判别资费方案优劣的评价准则并建立了相应最优化数学模型。由于对于个体用户不能判断方案的优劣，所以我们用统计数据为依据来进行判断。在求解过程中我们利用函数拟合与统计等数学知识，结合判别准则，得出上海“全球通68套餐”优于北京的“畅听99套餐”的结果。 对问题（3）：

我们沿用问题二的评价准则，对推出的全球通“被叫全免费计划”方案进行评判，并与北京全球通“畅听99套餐”、上海“全球通68套餐”进行比较，得出北京全球通“畅听99套餐”的结论。 对问题（4）：

我们参照北京“畅听99方案”建立了让营运商收入降低不超过10%的条件下，评价准则最好的优化模型。从而根据计算机对数据模拟得出该方案的月基本费为99元/月，包含本地主叫分钟数400分钟，超出套餐部分本地主叫资费为0.25元/分钟，本地被叫资费0.05元/分钟，17951国内IP长途资费0.1元/分钟。改进得到的“新畅听99方案” 符合了题目提出的设计要求又满足不同群体的需求，具有很强了现实意义。

关键字：手机套餐，套餐的评价，选择套餐，优化模型

1

一、 问题的重述

手机以成为人们日常生活、工作、社交等社会活动的必备工具之一，近年来通信业务量飞速增长。手机的资费问题成为了人们关心的热点问题，然，多少年来资费方案始终没有实质变化，但在2007年初许多地方的移动和联通两大运营商都推出了“手机单向收费方案”。现要求参照中国移动公司现行的资费标准和北京的全球通“畅听99套餐”、上海的“全球通68套餐”方案（见附件2），建立数学模型分析研究下列问题：

（1）、给出北京、上海各“套餐”方案的资费计算方法。并针对不同（通话量）需求的用户，分析说明各种“套餐”方案适应于什么样的用户。

（2）、提出你们对各种资费方案的评价准则与方法，据此对北京、上海推出的“套餐”方案与现行的资费标准作分析、比较，并给出评价。

（3）北京移动公司2007年5月23日又推出了所谓的全球通“被叫全免费计划”方案，即月租50元，本地被叫免费，其它项目资费均同现行资费相同，还要求用户至少在网一年。你们又如何评价这个方案？并说明理由。

（4）如果移动公司聘请你们帮助设计一个全球手机的资费方案，你们会考虑哪些因素？根据你们的研究结果和北京、上海的实际情况，在较现有“套餐”方案运营商的收入降低不超过10%的条件下，用数学建模方法设计一个你们认为合理的“套餐”方案。

二、 模型的假设

1、假设“套餐”未注明资费均同现行资费相同。

2、假设各档套餐包含的本地通话费时间当月有效，不累计到下月。 3、假设所有的数据都真实可靠。

4、假设在计算总资费时不考虑用户所打的某些特别的号码。 5、假设比较方案好坏时是同一个月的花费进行比较。 6、假设用户一个月的资费是比较稳定的。

7、假设增加一个新方案不影响营运成本。

三、 变量的说明

y1i表示北京的全球通“畅听99y2i表示上海“全球通68y4i表示“新畅听99

套餐”方案中第i个档次一个月的总资费。

套餐”方案中第i个档次一个月的总资费。

y3i表示上海“被叫全免计划”方案中第i个档次一个月的总资费 方案”中第i种档次中运营商一个月的收入。

a1i表示北京套餐方案中第i种档次的月基本费。

a2i表示上海套餐方案中第i种档次的月基本费。 a3i表示“被叫全免计划”中第i种档次的月基本费 a4i表示我们制订的方案中第i种档次的月基本费 b1i表示北京的全球通“畅听99

套餐”方案中第i个档次一个月所包含本地主叫分钟

数。

b2i表示上海“全球通

68套餐”方案中第i个档次一个月所包含本地通话分钟数。

2

b4i表示我们所制定的第i个档次一个月所包含本地通话分钟数 c1i表示北京第i种套餐超出套餐部分的本地主叫资费。 c2i表示上海第i种套餐超出套餐部分的本地主叫资费。 c3i表示“被叫全免计划”中第i种档次的本地主叫资费

c4i表示我们所制定的方案中第i种档次的本地主叫资费 e1i表示用户使用北京的套餐打IPe2i表示用户使用上海的套餐打IP

长途时所用的IP长途资费。

长途时所用的IP长途资费。

e3i表示用户使用“被叫全免计划” 打IP长途时所用的IP长途资费。

长途时所用的IP长途资费。 （或月租），IP资费和超出套餐部分的本地g 表示用户一个月资费中扣除月基本费

通话费之外的总费用。

t1表示用户一个月所用的本地的主叫分钟数。 t2表示用户一个月所打IP长途的时间。 t3表示用户一个月的被叫分钟数。

f1：数据模拟得到现行的标准与北京的“畅听99套餐”资费之差的函数关系。 f2：数据模拟得到现行的标准与上海“全球通68套餐”资费之差的函数关系。

Nje4i表示用户使用我们所制定的方案打IP

表示当j1时，北京的“畅听99套餐”方案中档次的个数，当j2时上海的

“全球通68套餐”方案中档次的个数当j3时，“被叫全免计划”方案中的档次的个数，当j4时，我们所制的方案中档次的个数（j1,2，3，4）。 y表示用户使用现行标准一个月的总资费。 a表示“全球通”现行标准资费中的月租费。

c表示“全球通”现行标准资费中主叫与被叫的资费标准。

e表示“全球通”现行标准资费中打IP长途时所用的IP长途资费。

表示北京的“畅听99套餐”方案与上海的“全球通68套餐”方案的差值的maxZ1

平均数大的那个。

maxZ2表示北京的“畅听99套餐”方案与“被叫全免计划”的差值的平均数大的那个。

maxZ3表示“新畅听99套餐”与北京的“畅听99套餐”的差值的平均数大的那个。 zo表示套餐方案间的临界值（o=1，2，3）。

y4i表示新“套餐”方案运营商一个月的收入。

四、模型的建立与求解

问题一：

1、建模的思路

建立资费方法即求计算一个月套餐中各种方案的总通话费用的方法，根据题给的附件2就可以列出。我们根据用户一个月通话量的不同把用户分为按通话时间的长短分类，然后不同类别的用户可根据自己的需要来配应不同的套餐档次。

3

2、模型的建立

根据以上分析，我们可以建立以下模型： 设b1i为北京的全球通“畅听99套餐”方案中第i个档次一个月所包含本地主叫分钟数，t1为用户一个月所用的本地的主叫分钟数，t2为用户一个月所打IP长途的时间。则使用北京“畅听99套餐”的用户一个月的资费与通话时间的函数关系模型为：

a1ie1it2gy1ia1ic1it1t2b1ie1it2gt1t2b1i；

t1t2b1i设b2i表示上海“全球通68套餐”方案中第i个档次一个月所包含本地通话分钟数。

t1表示用户一个月所用的本地的主叫分钟数，t2表示用户一个月所打IP长途的时间，t3表示用户一个月的被叫分钟数。则使用上海“全球通68套餐”的用户一个月的资费：

a2ie2it2gy2ia2ic2it1t2t3b2ie2it2gt1t2t3b2i。

tttb1231i3、模型的求解：

第一步：根据已知b1i与b2i,a1i与a2i，c1i与c2i，e1i与e2i的值为：

280560b1i1000200099139a1i1992990.350.25c1i0.20.15e1i0.1，i1i2i3i4i1i2i3i4i1i2i3, b2i3608001200i1i2, i3, a2i681281880.180.160.13i1i2, i3i1i2, i3, c2ii4i1,2,3,4,

e（i1,2,3,4）0.3同现行的长话收费标准。 2i第二步：由于北京“畅听99套餐”的第i1种档次所包含的本地主叫分钟数与第i种档次所包含的本地主叫分钟数存在差值，若用户需求通话主叫分钟数在这两种档次之间，则必存在一个临界值zo。若用户需求通话主叫分钟数小于zo则选第i种方案；若大于zo则选第i1种档次。当且仅当选第i种方案的用户资费值等于选第i1种档次用户资费值时，得到的分钟数才为临界值zo,即a1ib1izoa1i1（不计IP长话和其它费用的情况下）。求解如下：

我们先根据题给的列表拟合（见附录程序）了北京“畅听99套餐”的拟合曲线图（不计IP长话和其它费用的情况下）

4

北京的“畅听99套餐”的拟合曲线图

注：曲线i表示北京的“畅听99套餐”的第i个档次的图像。（i＝1，2，3，4） 然后根据以上分析得到它的各档次临界值： 第一种方案与第二种方案间的临界值z1394 第二种方案与第三种方案间的临界值z2800 第三种方案与第四种方案间的临界值z31500

综上所述我们可以做出如下结论：

若用户一个月本地通话分钟数在123分钟到394分钟之间则选择第一种方案。若用户一个月本地通话分钟数在395分钟到800分钟之间则选择第二种方案。若用户一个月本地通话分钟数在801分钟到1500分钟之间则选择第三种方案。若用户一个月本地通话分钟数大于1500则选择第四种方案。

第三步：根据题给的列表拟合（见附录程序）可得上海“全球通68套餐”的拟合曲线图（不计IP长话和其它费用的情况下）。 。

上海“全球通68套餐”的拟合曲线图

注：曲线i表示上海“全球通68套餐”的第i个档次的图像。（i＝1，2，3）

5

由步骤一同理可得上海“全球通68套餐”第一种档次与第二种档次之间的临界值为693，第二种档次与第三种档次之间的临界值为1175。若用户一个月本地通话分钟数在23到693分钟之间则选择第一种档次。

综上所述我们可以做出如下结论：

若用户一个月本地通话分钟数在694分钟到1175分钟之间则选择每二种档次。若用户一个月本地通话分钟数大于1175分钟则选择第三种档次。

4、模型的检验与分析：

通过我们对这两种套餐中的各种档次的计算，可以知道什么类型的用户用哪种档次更经济。鉴于此，我们认为已达到了建模的目的。该模型结构简单，参量较少所以该模型具有较强的稳定性和可靠性。此模型可以用于其它套餐资费的计算，其适用范围较广。

问题二：

1、建模的思路

通过分析题目，我们可以这样设定对各种套餐方案进行评价的准则，即我们把用户使用现行标准一个月的总资费与一种套餐方案中的不同档次一个月所花的总资费作差，得到差值再求和，然后用求得的差值总和再除以档次的个数，得到差值的平均数。此差值的平均数即代表此种套餐方案多少，所以可用差值的平均数作为评价准则。具体方法是对各种套餐方案的差值的平均数作比较。若某种方案差值的平均数大，则此种方案为优，反之亦然。

2、模型的建立

依以上思路则可建如下模型： 目标函数：

maxZ1yi1Njyji/Njj1,2

约束条件：

a1ie1it2gy1ia1ic1it1t2b1ie1it2gt1t2b1i；

ttb121it1t2t3b2i。

t1t2t3b1ia2ie2it2gy2ia2ic2it1t2t3b2ie2it2gyact1t2t3et3g

3、模型的求解

首先用数据模拟（见附录程序）得到现行的标准与北京的“畅听99套餐”资费之差的函数关系为：

f11.0761t10.2172t21.0761t3 在用数据模拟（程序）得到现行的标准与上海“全球通68套餐”资费之差的函数关系为：

f20.7732t11.0934t21.4394t3

注：其中t1为本地主叫通话时间，t2为IP长途通话时间，t3为本地被叫通话时间。

显然t1,t2,t3不确定，因此f1与f2的大小无法确定，也就无法比较。所以我们对各种

6

类型用户进行抽样统计，并求其和的平均值，即yyji/Nj。我们用MATLAB编程

i1Nj（见附录程序）得出结果是：

标准资费与99套餐的4个档次之差统计值之和的平均值=9.5212e+006 标准资费与68套餐的3个档次之差统计值之和的平均值=1.1827e+007 由此可知，上海“全球通68套餐”优于北京的“畅听99套餐”。

6、模型的分析与检验

通过我们的计算，得出上海“全球通68套餐”优于北京的“畅听99套餐”。也就是说此模型也可以用来判断其他套餐的优良，所以我们已达到建模的目的。该模型同样可以用来判断其他套餐优良，适应范围比较广泛。

问题三： 1、建模思路

与问题二的思路相似，我们把现行资费与“被叫全免计划”一个月的资费作差之后的差值，再与标准资费和99套餐的4个档次之差统计值之和的平均值作比较，以此做模型。 2、模型的建立 目标函数：

maxZ2yi1Njyji/Njj1,3

当j3时，要求用户在网一年。 约束条件：

a1ie1it2gy1ia1ic1it1t2b1ie1it2gt1t2b1i

t1t2b1iy3iact1t3et3g yact1t2t3et3g

3、模型的求解与结果

由问题二可知，我们对各种类型用户进行抽样统计，并求其和的平均值，即

yi1Njyji/Nj。我们用MATLAB编程（见附录程序）得出结果是：

标准资费与“被叫全免费”之差统计值之和的平均值=6.24e+006.

由此可知，“被叫全免费”劣于北京的“畅听99套餐”。

在此模型的基础上，我们又通过查阅资料对“被叫全免计划”做了分析与评价：

其优点有：

1、北京全球通被叫计划实现了真的被叫免费，接听时间没有了，进一步呼应了社会的期盼和需求。

2、此计划计算时仅呼出计费，不要在来选套餐，资费简单清晰，一目了然，非常方便用户的理解。

其缺点有：

1、我们认为这个所谓的全球通“被叫全免费计划”方案仅适合于每个月直接不打

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和收发短信的用户，因为与北京全球通“畅听99套餐”相比当同等花的主叫分钟数超过122分钟时，北京全球通“畅听99套餐”比其花费的话费更少。即用户打的电话多于122分钟就肯定不会适合这个计划。涉及到的对象有较强的局限性，且资费水平没降低，消费者不能从中享受到降低资费的实惠。

2、这个计划的门槛太高了，要求月租50元，用户入网一年，且仅享受本地接听免费的优惠，其实它并不是真正意义上的单向收费，当用户到外地出差时，接听还是要收费的，也还要加漫游费，所以适合用这种套餐的人非常少，适用范围窄，无广泛的市场。 3、我们从有关的资料可以知道办理这个业务有三点要求：1必须去营业厅办理。2申请办时有效期为一年。3在有效期内一年不得转户或销号，这样的太多，用户不能及时的更改自己喜欢的 套餐，也不能尝试这个计划是否合适自己的需求，即此套餐的灵活性不高。

问题四：

1、建模的思路：

根据前面几问的分析和结论，现有的两个套餐都存在一个很大的不足，即它们仅适合某一类客户群体，因此失去了很大一部分用户，市场潜力不是很大。为此，我们不同用户的需求情况，对套餐资费方案的设计作了新的思考。我们考虑到如下方面：

1． 价格定位；

2． 客户需求及消费心理； 3． 套餐方案的清晰与简洁； 4． 套餐的适用范围。

结合北京手机用户对套餐业务的需求，我们制定了一套超大容量的“新畅听99套餐”方案，其基本套餐部分不变，但增加了丰富的可选套餐。我们假设方案的变化不影响营运商的成本投入，因此，下面我们仍利用资费函数建立营运商收入模型。在较现有“套餐”方案运营商的收入不超过10%的条件下，我们建立了使我们的评价函数最优化的模型。

2、模型的建立：

按上述思路，我们建立了如下模型： 目标函数：

maxZ3yi1Njyji/Njj4

约束条件：

yy4iy10%

y4i(t1t2)b4ia4ie4it2ga4ic4i(t1t2b4i)e4it2g(t1t2)b4j 3、模型的求解和结果 我们99套餐”方案保持月基本费不变，在此基础之上，使得运营商减少的收入不超过10％的基础上，即手机用户节约的费用不超过10％，运用MATLAB进行多元线回归得到，方法求出a4i=99,b4i=400，c4i0.25， e4i= 0.1。 依此我们可以设定如下套餐方案： 月基本费 包含的本地超出套餐部本地被叫资17951国内IP长途资费 元/月 通话费（元/分本地主叫费（元/分钟） （元/分钟）

8

99 0.05 0.1 4、模型的检验与分析：

此方案较现有的套餐资费方案更全面的解决了不同用户需求的选择问题且对运营商的收入影响不大，即符合了题目的要求，所以此方案能达到建模的目地。此模型适用于设计其它套餐，适用范围较大，且具有较好的稳定性。

分钟） 400 资费（元/分） 0.25 四、 模型评价与推广

该模型比较简单，易于明白，具有良好的稳定性和可靠性，有较强的适应性等优点。我们在计算的时候采用的是统计数据，对于个别用户也许并不适用。该模型能够用于评价同类商品“套餐”的好坏，对实际具有很强的指导意义。

六、参考文献

[1]刘浦泉、邹兰 ，手机资费“被叫全免计划”用户受惠几何？，http://wzdaily.66wz.com, 2007/9/22

[2]同济大学应用数学系，高等数学，北京，高等教育出版社，2002年出版。 [3]admin，上海&全球通68套餐，http://www.noorm.cn/2007-06/40.html，2007/09/22 [4]杜远足,中国青年报,话费套餐是“阳光欺诈”吗

http://www.xhby.net/xhby/content/2006-10/29/content_1445070.htm，2007/09/22

七、附录

程序1 对北京的“畅听88”套餐作图并求临界点的值 t1=1:5:280; y1 = 99; plot(t1,y1) hold on

t1=280:30:4000;

y1=99 + 0.35 * (t1 - 280);

t2=1:5:560; y2 = 139; plot(t2,y2)

t2=560:30:4000;

y2=139 + 0.25 * (t2 - 560); plot(t2,y2)

t3=1:5:1000; y3 = 199; plot(t3,y3)

9

t3=1000:30:4000;

y3=199 + 0.2 * (t3 - 1000); plot(t3,y3)

t4=1:5:2000; y4 = 299; plot(t4,y4)

t4=2000:30:4000;

y4=299 + 0.15 * (t4 - 2000); plot(t4,y4)

solve('139=99 + 0.35 * (t1 - 280)','t1') solve('199=139 + 0.25 * (t2 - 560)','t2') solve('299=199 + 0.2 * (t3 - 1000)','t3')

程序2 对上海的“68”套餐作图并求临界点的值 t1=1:5:360; y1 = 68; plot(t1,y1) hold on

t1=360*t:30:4000;

y1=68 + 0.18 * (t1 - 360); plot(t1,y1)

t2=1:5:800; y2 = 128;

plot(t2,y2,'r') t2=800:30:4000;

y2=128 + 0.16 * (t2 - 800); plot(t2,y2,'r')

t3=1:5:1200; y3 = 188;

plot(t3,y3,'y') t3=1200:30:4000;

y3=188 + 0.13 * (t3 - 1200); plot(t3,y3,'y')

solve('68 + 0.18 * (t - 360) = 128','t') solve('128 + 0.16 * (t - 800) = 188','t')

程序3 求北京的“99”套餐与现行标准资费之差与主叫时间、被叫时间和IP长话时间的统计值的平均值 function d073 % 99

10

for i=1:4 k=1;

for t1 = 1:50:2000 for t2 = 1:20:200

for t3 = 1:50:2000

fff = strcat('f',num2str(i));

u(k)=feval('bz',t1,t2,t3) - feval(fff,t1,t2); k = k+1; end end end

ty1{i} = u; end

sum1 = 0; for i = 1:4

tempa = ty1{i};

sum1 = sum1 + sum(tempa); end

vy = sum1/4

function s1 = bz(t1,t2,t3)

s1 = 50 + 0.4 .* t1 + 0.7.*t2 + 0.4 .* t3;

function s1 = f1(t1,t2) if t1 < 280

s1 = 99 + 0.1*t2; else

s1 = 99 + 0.35 * (t1+t2 - 280)+0.1*t2; end

function s1 = f2(t1,t2,t3) %t1为主叫,t2为IP if t1 < 560

s1 = 139 + 0.1*t2+0*t3; else

s1 = 139 + 0.25 * (t1+t2 - 560)+ 0.1*t2; end

function s1 = f3(t1,t2,t3) %t1为主叫,t2为IP if t1 < 1000

s1 = 199 + 0.1*t2+0*t3; else

s1 = 199 + 0.2 * (t1+t2 - 1000)+ 0.1*t2; end

11

function s1 = f4(t1,t2,t3) %t1为主叫,t2为IP if t1 < 2000

s1 = 299 + 0.1*t2+0*t3; else

s1 = 299 + 0.2 * (t1+t2 - 2000)+ 0.1*t2; end

程序4 求上海的“68”套餐与现行标准资费之差与主叫时间、被叫时间和IP长话时间的统计值的平均值 function d074 for i=1:3 k=1;

for t1 = 1:50:2000 for t2 = 1:20:200

for t3 = 1:50:2000

fff = strcat('g',num2str(i));

u(k)=feval('bz',t1,t2,t3) - feval(fff,t1,t2,t3); k = k+1; end end end

ty2{i} = u; end

sum1 = 0; for i = 1:3

tempa = ty2{i};

sum1 = sum1 + sum(tempa); end

vy = sum1/3

function s1 = bz(t1,t2,t3)

s1 = 50 + 0.4 * t1 + 0.7*t2 + 0.4 * t3;

function s1 = g1(t1,t2,t3) %t1为主叫,t2为IP,t3为被叫 if t1 + t2 + t3 > 360 t3 = 360 - t1 - t2; end

if t1 < 360

s1 = 68 + 0.3*t2;

12

else

s1 = 68 + 0.18 * (t1+t2+t3 - 360)+ 0.3*t2; end

function s1 = g2(t1,t2,t3) %t1为主叫,t2为IP,t3为被叫 if t1 + t2 + t3 > 800 t3 = 800 - t1 - t2; end

if t1 < 800

s1 = 128 + 0.3*t2; else

s1 = 128 + 0.16 * (t1+t2+t3 - 800)+ 0.3*t2; end

function s1 = g3(t1,t2,t3) %t1为主叫,t2为IP,t3为被叫 if t1 + t2 + t3 > 1200 t3 = 1200 - t1 - t2; end

if t1 + t2 + t3 < 1200 s1 = 188 + 0.3*t2; else

s1 = 188 + 0.13 * (t1+t2+t3 - 1200)+ 0.3*t2; end

程序5 “全免费”与现行标准资费之差与主叫时间、被叫时间和IP长话时间的函数关系 k=1;

for t1 = 1:50:2000 for t2 = 1:20:200

for t3 = 1:50:2000

fff = strcat('f',num2str(5));

u(k)=feval('bz',t1,t2,t3) - feval(fff,t1,t2); k = k+1; end end end sum(u)

程序6 问题三的求解 for i=1:3 k=1;

for t1 = 1:50:2000 for t2 = 1:10:200 for t3 = 1:50:2000 if t1 + t3 > 280

fff = strcat('f',num2str(i));

13

ff2(k) = feval(fff,t1,t3) * 0.9; x(k,:) = [t1 t2 t3]; k = k+1; end end end end

[b,bint,r,rint,stats] = regress(ff2',x) end

问题2主要结果 vv =

9.5212e+006 vy =

1.1827e+007

问题3主要结果 vz =

6.24e+006

%标准资费与99套餐的4个档次之差统计值之和的平均值%标准资费与68套餐的3个档次之差统计值之和的平均值%标准资费与“被叫全免费”之差统计值之和的平均值 14