2022年江苏省宿迁市中考数学试卷

2022年江苏省宿迁市中考数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．（3分）2的绝对值是( ) A．2

1B．

2C．

1 2D．2

2．（3分）下列运算正确的是( ) A．2mm1

B．m2m3a6

C．(mn)2m2n2

D．(m3)2m5

3．（3分）如图，AB//ED，若170，则2的度数是( )

A．70

B．80

C．100

D．110

4．（3分）下列展开图中，是正方体展开图的是( )

A． B．

C． D．

5．（3分）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是( ) A．8cm

B．13cm

C．8cm或13cm

D．11cm或13cm

6．（3分）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客

y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是( )

7x7yA．

9(x1)y7x7yB．

9(x1)y

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7x7yC．

9x1y7x7yD．

9x1y7．（3分）如果xy，那么下列不等式正确的是( ) A．2x2y

B．2x2y

C．x1y1

D．x1y1

28．（3分）如图，点A在反比例函数y(x0)的图象上，以OA为一边作等腰直角三角形

xOAB，其中OAB90，AOAB，则线段OB长的最小值是( )

A．1

B．2 C．22 D．4

二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

9．（3分）分解因式：3x212 ．

10．（3分）2022年5月，国家林业和草原局湿地管理司在第二季度侧行发布会上表示，到“十四五”末，我国力争将湿地保护率提高到55%，其中修复红树林146200亩，请将146200用科学记数法表示是 ．

11．（3分）已知一组数据：4，5，5，6，5，4，7，8，则这组数据的众数是 ． 12．（3分）满足11k的最大整数k是 ．

13．（3分）若关于x的一元二次方程x22xk0有实数根，则实数k的取值范围是 ． 14．（3分）用半径为6cm，圆心角为120的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是 cm．

15．（3分）按规律排列的单项式：x，x3，x5，x7，x9，，则第20个单项式是 ． 16．（3分）甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“函数值y随自变量x增大而减小”；乙：“函数图象经过点(0,2)”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数，其表达式是 ．

17．（3分）如图，在正六边形ABCDEF中，AB6，点M在边AF上，且AM2．若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是 ．

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18．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB6，BC8，点M、N分别是边AD、BC的中点，某一时刻，动点E从点M出发，沿MA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动；同时，动点F从点N出发，沿NC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接EF，过点B作EF的垂线，垂足为

H．在这一运动过程中，点H所经过的路径长是 ．

三、简答题（本大题共10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 119．（8分）计算：()1124sin60．

220．（8分）解方程：

2x1． 1x2x221．（8分）如图，在ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证：AFCE．

22．（8分）为了解某校九年级学生开展“综合与实践”活动的情况，抽样调查了该校m名九年级学生上学期参加“综合与实践”活动的天数，并根据调查所得的数据绘制了如下尚不完整的两幅统计图．根据图表信息，解答下列问题：

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（1）m ，n ； （2）补全条形统计图；

（3）根据抽样调查的结果，请你估计该校九年级2000名学生中上学期参加“综合与实践”活动4天及以上的人数．

23．（10分）从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次乒乓球单打比赛，求下列事件发生的概率．

（1）甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是 ； （2）任意选取2名学生参加比赛，求一定有乙的概率．（用树状图或列表的方法求解）． 24．（10分）如图，某学习小组在教学楼AB的顶部观测信号塔CD底部的俯角为30，信号塔顶部的仰角为45．已知教学楼AB的高度为20m，求信号塔的高度（计算结果保留根号）．

25．（10分）如图，在ABC中，ABC45，ABAC，以AB为直径的O与边BC交于点D．

（1）判断直线AC与O的位置关系，并说明理由； （2）若AB4，求图中阴影部分的面积．

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26．（10分）某单位准备购买文化用品，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该文化用品两家超市的标价均为10元/件，甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；乙超市全部按标价的8折售卖．

（1）若该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为 元；乙超市的购物金额为 元；

（2）假如你是该单位的采购员，你认为选择哪家超市支付的费用较少？

27．（12分）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、M均为格点． 【操作探究】

在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段

AB、CD，相交于点P并给出部分说理过程，请你补充完整：

解：在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是ABC和CDE． 在RtABC中，tanBAC在RtCDE中， ， 所以tanBACtanDCE． 所以BACDCE．

因为ACPDCEACB90， 所以ACPBAC90， 所以APC90， 即ABCD．

【拓展应用】

（1）如图②是以格点O为圆心，AB为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在BM上找出一点P，使PMAM，写出作法，并给出证明；

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1， 2

（2）如图③是以格点O为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦AB上找出一点P．使

AM2APAB，写出作法，不用证明．

28．（12分）如图，二次函数y12xbxc与x轴交于O(0,0)，A(4,0)两点，顶点为C，2连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将ABC沿BC折叠后，点A落在点A的位置，线段AC与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合． （1）求二次函数的表达式； （2）①求证：OCD∽△ABD； ②求

DB的最小值； BAABD（3）当SOCD8S时，求直线AB与二次函数的交点横坐标．

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2022年江苏省宿迁市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．（3分）2的绝对值是( ) A．2

1B．

2C．

1 2D．2

【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号． 【解答】解：20， |2|(2)2．

故选：D．

2．（3分）下列运算正确的是( ) A．2mm1

B．m2m3a6

C．(mn)2m2n2

D．(m3)2m5

【分析】根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项的法则进行计算，逐一判断即可解答．

【解答】解：A、2mmm，故A不符合题意；

B、m2m3m5，故B不符合题意；

C、(mn)2m2n2，故C符合题意；

D、(m3)2m6，故D不符合题意；

故选：C．

3．（3分）如图，AB//ED，若170，则2的度数是( )

A．70

B．80

C．100

D．110

【分析】根据两直线平行，同旁内角互补和对顶角相等解答．

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【解答】解：170，

370， AB//ED，

2180318070110，

故选：D．

4．（3分）下列展开图中，是正方体展开图的是( )

A． B．

C． D．

【分析】根据正方形的展开图得出结论即可．

【解答】解：由展开图的知识可知，四个小正方形绝对不可能展开成田字形，故A选项和D选项都不符合题意；

四个连成一排的小正方形可以围成前后左右四面，剩下的两面必须分在上下两面才能围成正方体，

故B选项不符合题意，C选项符合题意， 故选：C．

5．（3分）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是( ) A．8cm

B．13cm

C．8cm或13cm

D．11cm或13cm

【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和5cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【解答】解：当3cm是腰长时，3，3，5能组成三角形， 当5cm是腰长时，5，5，3能够组成三角形． 则三角形的周长为11cm或13cm．

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故选：D．

6．（3分）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客

y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是( )

7x7yA．

9(x1)y7x7yC．

9x1y7x7yB．

9(x1)y7x7yD．

9x1y

【分析】设该店有客房x间，房客y人；根据“一房七客多七客，一房九客一房空”得出方程组即可．

【解答】解：设该店有客房x间，房客y人； 7x7y根据题意得：，

9(x?1)y故选：B．

7．（3分）如果xy，那么下列不等式正确的是( ) A．2x2y

B．2x2y

C．x1y1

D．x1y1

【分析】根据不等式的性质逐个判断即可． 【解答】解：A、

xy，

2x2y，故本选项符合题意；

B、xy，

2x2y，故本选项不符合题意； C、

xy，

x1y1，故本选项不符合题意；

D、xy，

x1y1，故本选项不符合题意；

故选：A．

28．（3分）如图，点A在反比例函数y(x0)的图象上，以OA为一边作等腰直角三角形

xOAB，其中OAB90，AOAB，则线段OB长的最小值是( )

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A．1

B．2 C．22 D．4

【分析】根据三角形OAB是等腰直角三角形，当OB最小时，OA最小，再根据两点间的距离公式解答即可．

【解答】解：三角形OAB是等腰直角三角形，

当OB最小时，OA最小，

设A点坐标为(a,OAa22)， a

4， a22(a)20，

a即：a2a2440， 2a44， a22(a)20，

a两边同时开平方得：a当a

20， a2

时，OA有最小值， a

解得a12，a22（舍去），

A点坐标为(2，2)，

OA2，

三角形OAB是等腰直角三角形，OB为斜边， OB2OA22．

故选：C．

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二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

9．（3分）分解因式：3x212 3(x2)(x2) ． 【分析】原式提取3，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式3(x24) 3(x2)(x2)．

故答案为：3(x2)(x2)．

10．（3分）2022年5月，国家林业和草原局湿地管理司在第二季度侧行发布会上表示，到“十四五”末，我国力争将湿地保护率提高到55%，其中修复红树林146200亩，请将146200用科学记数法表示是 1.462105 ． 【分析】根据科学记数法的形式改写即可．

【解答】解：146200用科学记数法表示是1.462105， 故答案为：1.462105．

11．（3分）已知一组数据：4，5，5，6，5，4，7，8，则这组数据的众数是 5 ． 【分析】根据众数的定义求解即可．

【解答】解：这组数据中5出现3次，次数最多， 所以这组数据的众数是5， 故答案为：5．

12．（3分）满足11k的最大整数k是 3 ． 【分析】根据无理数的估算分析解题． 【解答】解：3114，且k最大整数k是3．

11，

故答案为：3．

第11页（共27页）

13．（3分）若关于x的一元二次方程x22xk0有实数根，则实数k的取值范围是

k1 ．

【分析】先计算根的判别式，根据一元二次方程解的情况得不等式，求解即可． 【解答】解：△(2)241k 44k．

又关于x的一元二次方程x22xk0有实数根，

44k0． k1．

故答案为：k1．

14．（3分）用半径为6cm，圆心角为120的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是 2 cm．

【分析】设这个圆锥的底面圆的半径为rcm，利用扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，列出方程，解方程即可得出答案．

【解答】解：设这个圆锥的底面圆的半径为rcm， 由题意得：2r解得：r2，

这个圆锥的底面圆的半径为2cm，

1206，

180故答案为：2．

15．（3分）按规律排列的单项式：x，x3，x5，x7，x9，则第20个单项式是 x39 ． ，【分析】观察指数规律与符号规律，进行解答便可．

【解答】解：根据前几项可以得出规律，奇数项为正，偶数项为负，第n项的数为(1)n1x2n1， 则第20个单项式是(1)21x39x39， 故答案为：x39．

16．（3分）甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“函数值y随自变量x增大而减小”；乙：“函数图象经过点(0,2)”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数，其表达式是 yx2（答案不唯一） ．

【分析】根据甲、乙两位同学给出的函数特征可判断出该函数为一次函数，再利用一次函数的性质，可得出k0，b2，取k1即可得出结论．

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【解答】解：函数值y随自变量x增大而减小，且该函数图象经过点(0,2)，

该函数为一次函数．

设一次函数的表达式为ykxb(k0)，则k0，b2． 取k1，此时一次函数的表达式为yx2． 故答案为：yx2（答案不唯一）．

17．（3分）如图，在正六边形ABCDEF中，AB6，点M在边AF上，且AM2．若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是 47 ．

【分析】设正六边形ABCDEF的中心为O，过点M、O作直线l交CD于点N，则直线l将正六边形的面积平分，直线l被正六边形所截的线段长是MN，连接OF，过点M作MHOF于点H，连接OA，由正六边形的性质得出AFAB6，11(62)180AFOAFE60，MOON，进而得出OAF是等边三角形，得

226出OAOFAF6，由AM2，得出MF4，由MHOF，得出FMH30，进而求出FH2，MH23，再求出OH4，利用勾股定理求出OM27，即可求出MN的长度，即可得出答案．

【解答】解：如图，设正六边形ABCDEF的中心为O，过点M、O作直线l交CD于点N，则直线l将正六边形的面积平分，直线l被正六边形所截的线段长是MN，连接OF，过点M作MHOF于点H，连接OA，

六边形ABCDEF是正六边形，AB6，中心为O，

第13页（共27页）

11(62)180AFAB6，AFOAFE60，MOON，

226OAOF

OAF是等边三角形， OAOFAF6，

AM2，

MFAFAM624， MHOF，

FMH906030，

112222FHMF42，MHMFFH4223，

22OHOFFH624，

OMMH2OH2(23)24227， NOOM27，

MNNOOM272747，

故答案为：47．

18．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB6，BC8，点M、N分别是边AD、BC的中点，某一时刻，动点E从点M出发，沿MA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动；同时，动点F从点N出发，沿NC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接EF，过点B作EF的垂线，垂足为

H．在这一运动过程中，点H所经过的路径长是

5 ． 2

【分析】如图1中，连接MN交EF于点P，连接BP．首先证明PN2，利用勾股定理求出BP．由BPH90，推出点H在BP为直径的O上运动，当点E与A重合时，如图2中，连接OH，ON．点H的运动轨迹是NH．求出HON，再利用弧长公式求解． 【解答】解：如图1中，连接MN交EF于点P，连接BP．

第14页（共27页）

四边形ABCD是矩形，AMMD，BNCN，

四边形ABNM是矩形，

MNAB6， EM//NF， EPM∽FPN，



PMEM2t2， PNNFtPN2，PM4， BN4，

BPPN2BN2224225，

BHEF，

BPH90，

点H在BP为直径的O上运动，

当点E与A重合时，如图2中，连接OH，ON．点H的运动轨迹是NH．

此时AM4，NF2， BFAB6，

ABF90，BHAF，

BH平分ABF，

HBN45，

第15页（共27页）

HON2HBN90，

点H的运动轨迹的长9055． 1802故答案为：5． 2三、简答题（本大题共10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 119．（8分）计算：()1124sin60．

21【分析】先计算()1、12，再代入sin60算乘法，最后加减．

2【解答】解：原式223422323

3 22．

20．（8分）解方程：

2x1． 1x2x2【分析】根据解分式方程的步骤，先去分母化为整式方程，再求出方程的解，最后进行检验即可． 【解答】解：

2x1， 1x2x22xx21， x1，

经检验x1是原方程的解， 则原方程的解是x1．

21．（8分）如图，在ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证：AFCE．

【分析】由平行四边形的性质可得AB//CD，ABCD，由中点的性质可得AECF，可证四边形AECF是平行四边形，即可求解． 【解答】证明：四边形ABCD是平行四边形， AB//CD，ABCD，

点E、F分别是边AB、CD的中点，

第16页（共27页）

AEBECFDF，

四边形AECF是平行四边形，

AFCE．

22．（8分）为了解某校九年级学生开展“综合与实践”活动的情况，抽样调查了该校m名九年级学生上学期参加“综合与实践”活动的天数，并根据调查所得的数据绘制了如下尚不完整的两幅统计图．根据图表信息，解答下列问题：

（1）m 200 ，n ； （2）补全条形统计图；

（3）根据抽样调查的结果，请你估计该校九年级2000名学生中上学期参加“综合与实践”活动4天及以上的人数．

【分析】（1）根据各部分所占百分比之和为1可求得n的值，由参加“综合与实践”活动为2天的人数及其所占百分比可得m的值；

（2）用总人数乘以活动天数为3天的学生人数所占百分比可得对应人数，从而补全图形； （3）用总人数乘以样本中参加“综合与实践”活动4天及以上的人数所占百分比即可得． 【解答】解：（1）n%1(15%5%25%25%)30%， n30，

m105%200；

故答案为：200，30；

（2）参加“综合与实践”活动天数为3天的学生人数为20015%30（名)， 补全条形图如下：

第17页（共27页）

（3）估计该校九年级2000名学生中上学期参加“综合与实践”活动4天及以上的人数为2000(15%15%)1600（名)．

23．（10分）从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次乒乓球单打比赛，求下列事件发生的概率．

（1）甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是

1 ； 3（2）任意选取2名学生参加比赛，求一定有乙的概率．（用树状图或列表的方法求解）． 【分析】（1）根据题意可知甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，有3种可能性，其中选中丙的有1种可能性，从而可以求得恰好选中丙的概率； （2）根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得一定有乙的概率． 【解答】解：（1）由题意可得，

甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，有3种可能性，其中选中丙的有1种可能性，

1故恰好选中丙的概率是，

31故答案为：；

3（2）树状图如下：

由上可得，一共有12种可能性，其中一定有乙的可能性有6种， 故一定有乙的概率是

61． 122第18页（共27页）

24．（10分）如图，某学习小组在教学楼AB的顶部观测信号塔CD底部的俯角为30，信号

塔顶部的仰角为45．已知教学楼AB的高度为20m，求信号塔的高度（计算结果保留根号）．

【分析】过点A作AECD，垂足为E，根据题意可得ABDE20m，先在RtADE中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，然后在RtAEC中，利用锐角三角函数的定义求出CE的长，进行计算即可解答．

【解答】解：过点A作AECD，垂足为E，

由题意得： ABDE20m，

在RtADE中，EAD30， AEDE20203(m)，

tan3033在RtAEC中，CAE45，

CEAEtan452031203(m)， CDCEDE(20203)m，

信号塔的高度为(20203)m．

25．（10分）如图，在ABC中，ABC45，ABAC，以AB为直径的O与边BC交于点D．

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（1）判断直线AC与O的位置关系，并说明理由； （2）若AB4，求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得BAC90，可得结论； （2）根据图中阴影部分的面积SABCSBODS扇形OAD可得结论． 【解答】解：（1）直线AC与O相切，理由如下： ABC45，ABAC， ABCC45， BAC18024590， BAAC，

AB是O的直径，

直线AC与

O相切；

（2）连接OD，AD，

AB是O的直径，

ADB90， ABD45，

ABD是等腰直角三角形，AOD90，

AOOB，AB4， SABD11ABOD424， 22图中阴影部分的面积SABCSBODS扇形OAD

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119022 4442236082

6．

26．（10分）某单位准备购买文化用品，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该文化用品两家超市的标价均为10元/件，甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；乙超市全部按标价的8折售卖．

（1）若该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为 300 元；乙超市的购物金额为 元；

（2）假如你是该单位的采购员，你认为选择哪家超市支付的费用较少？

【分析】（1）利用总价单价数量，可求出购买30件这种文化用品所需原价，再结合两超市给出的优惠方案，即可求出在两家超市的购物金额；

（2）设购买x件这种文化用品，当0x40时，在甲超市的购物金额为10x元，在乙超市的购物金额为8x元，显然在乙超市支付的费用较少；当x40时，在甲超市的购物金额为(6x160)元，在乙超市的购物金额为8x元，分6x1608x，6x1608x及6x1608x三种情况，可求出x的取值范围或x的值，综上，即可得出结论． 【解答】解：（1）1030300（元)，300400，

在甲超市的购物金额为300元，在乙超市的购物金额为3000.8240（元)．

故答案为：300；240．

（2）设购买x件这种文化用品．

当0x40时，在甲超市的购物金额为10x元，在乙超市的购物金额为0.810x8x（元)， 10x8x，

选择乙超市支付的费用较少；

当x40时，在甲超市的购物金额为4000.6(10x400)(6x160)（元)，在乙超市的购物金额为0.810x8x（元)， 若6x1608x，则x80； 若6x1608x，则x80； 若6x1608x，则x80．

综上，当购买数量不足80件时，选择乙超市支付的费用较少；当购买数量为80件时，选择两超市支付的费用相同；当购买数量超过80件时，选择甲超市支付的费用较少．

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27．（12分）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、M均为格点． 【操作探究】

在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段

AB、CD，相交于点P并给出部分说理过程，请你补充完整：

解：在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是ABC和CDE． 在RtABC中，tanBAC1， 21 ， 2在RtCDE中， tanDCE所以tanBACtanDCE． 所以BACDCE．

因为ACPDCEACB90， 所以ACPBAC90， 所以APC90， 即ABCD．

【拓展应用】

（1）如图②是以格点O为圆心，AB为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在BM上找出一点P，使PMAM，写出作法，并给出证明；

（2）如图③是以格点O为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦AB上找出一点P．使

AM2APAB，写出作法，不用证明．

【分析】【操作探究】利用网格特征，解决问题即可；

【拓展应用】（1）取格点Q，连接OQ交AM于点P，点P即为所求．利用垂径定理证明

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即可；

（2）利用数形结合的思想解决问题，通过计算发现AP即可．

【解答】解：【操作探究】在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是ABC和CDE． 在RtABC中，tanBAC在RtCDE中，tanDCE1， 21， 22，再利用网格特征，画出点P2所以tanBACtanDCE． 所以BACDCE．

因为ACPDCEACB90， 所以ACPBAC90， 所以APC90， 即ABCD． 故答案为：tanDCE

【拓展应用】（1）如图②中，点P即为所求．

1； 2

作法：取格点T，连接AT交O于点P，点P即为所求； 证明：由作图可知，OMAP，OM是半径，

PMAM；

（2）如图③中，点P即为所求．

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作法：取格点J，K，连接JK交AB于点P，点P即为所求． 28．（12分）如图，二次函数y12xbxc与x轴交于O(0,0)，A(4,0)两点，顶点为C，2连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将ABC沿BC折叠后，点A落在点A的位置，线段AC与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合． （1）求二次函数的表达式； （2）①求证：OCD∽△ABD； ②求

DB的最小值； BAABD（3）当SOCD8S时，求直线AB与二次函数的交点横坐标．

【分析】（1）利用交点式可得二次函数的解析式； （2）①根据两角相等可证明两三角形相似； ②根据OCD∽△ABD，得

OCCDBDCDBDCD，则，即的最小值就是的最小值，ABBDABOCABOCOC为定值，所以当CD最小为2时，

2DB有最小值是；

2BA（3）根据面积的关系可得：OCD∽△ABD时，相似比为22:1，可得ABAB1，作辅助线，构建直角三角形，根据等角的正切可得AG和BG的长，最后再证明△可得OQ的长，利用待定系数法可得AB的解析式，最后联立方程可得结论． AGB∽QOB，

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【解答】（1）解：二次函数y二次函数的解析式为：y12xbxc与x轴交于O(0,0)，A(4,0)两点， 211(x0)(x4)x22x； 22（2）①证明：如图1，

由翻折得：OACA， 由对称得：OCAC， AOCOAC， COAA， ADBODC， OCD∽△ABD；

②解：OCD∽△ABD，



OCCD， ABBDABAB，



BDCD， ABOCBDCD的最小值就是的最小值， ABOC121x2x(x2)22， 22yC(2,2)， OC22，

当CDOA时，CD最小，

BD的值最小， AB当CD2时，

22BD的最小值为； 2AB22ABD（3）解：SOCD8S，

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SOCD:SABD8，

OCD∽△ABD，



SOCDOC2()8， SABDABOC22， ABOC22，

ABAB1， BF211，

如图2，连接AA，过点A作AGOA于G，延长CB交AA于H，设抛物线的对称轴与x轴交于点F，

由翻折得：AACH，

AHBBFC90，ABHCBD， BCFBAH， tanBCFtanGAA，



BFAG1， CFAG2设AGa，则AG2a，BG2a1，

在Rt△AGB中，由勾股定理得：BG2AG2AB2，

a2(2a1)212，

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a10（舍)，a24， 5BG2a1831， 55AG//OQ，

△AGB∽QOB，

43AGBG，即55， OQ3OQOBOQ4， Q(0,4)，

设直线AB的解析式为：ykxm， m4，

3km04k解得：3，

m4直线AB的解析式为：yx4，

4341x4x22x，

323x24x240，

解得：x2219， 32219． 3直线AB与二次函数的交点横坐标是第27页（共27页）