一、选择题：本大题共10小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
2
1．设集合M={x|x﹣x﹣6＜0}，N={x|x﹣1＞0}，则M∩N=（ ） A．（1，2） B．（1，3） C．（﹣1，2） D．（﹣1，3） 2．若命题p：∃x0∈R，x0﹣2＞lgx0，则￢p是（ ） A．∃x0∈R，x0﹣2≤lgx0 B．∃x0∈R，x0﹣2＜lgx0 C．∀x∈R，x﹣2＜lgx D．∀x∈R，x﹣2≤lgx 3．已知cos2θ=，则sin4θ﹣cos4θ的值为（ ） A．
2
B．
2
C．﹣ D．﹣
﹣y=1的渐近线的距离为（ ）
2
4．圆x+y﹣4x=0的圆心到双曲线
A．1 B．2 C． D．2
5．执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，则输出t的最大值为（ ）
A．1 B．3 C．2 D．0
6．从一个棱长为1的正方体中切去一部分，得到一个几何体，某三视图如图，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．某学校一天共排7节课（其中上午4节、下午3节），某教师某天高三年级1班和2班各有一节课，但他要求不能连排2节课（其中上午第4节和下午第1节不算连排），那么该教师这一天的课的所有可能的排法种数共有（ ） A．16 B．15 C．32 D．30
1
8．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（ ） A．3
B．
C．
D．
9．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值t构成的集合是（ ）
A．{t|
D．{t|2
} B．{t|}
≤t≤2} C．{t|2}
10．已知函数f（x）=，g（x）=﹣4+a•2+a+a﹣1（a∈R），若f（g（x））
xx+12
＞e对x∈R恒成立（e是自然对数的底数），则a的取值范围是（ ） A．[﹣1，0] B．（﹣1，0）
C．[﹣2，0] D．[﹣，0]
二、填空题：本题共5小题，每题5分，共25分。 11．复数z=
（i为虚数单位）的虚部是_______．
12．在二次项式（x﹣）6的展开式中，常数项的值是_______．（用具体数字作答） 13．下表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系 时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00 水深（m） 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 若该港口的水深y（m）和时刻t（0≤t≤24）的关系可用函数y=Asin（ωt）+h（其中A＞0，ω＞0，h＞0）来近似描述，则该港口在11：00的水深为_______m． 14．若直线ax+y﹣a+1=0（a∈R）与圆x2+y2=4交于A、B两点（其中O为坐标原点），则的最小值为_______．
15．函数f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是kA，kB，|AB|为A、B两点间距离，定义φ（A，B）=
为曲线f（x）在点A与点B之间的“曲
率”，给出以下问题：
①存在这样的函数，该函数图象上任意两点之间的“曲率”为常数；
②函数f（x）=x3﹣x2+1图象上两点A与B的横坐标分别为1，2，则点A与点B之间的“曲率”φ（A，B）＞；
2
③函数f（x）=ax2+b（a＞0，b∈R）图象上任意两点A、B之间的“曲率”φ（A，B）≤2a； ④设A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线f（x）=ex上不同两点，且x1﹣x2=1，若t•φ（A，B）＜1恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，1）．
其中正确命题的序号为_______（填上所有正确命题的序号）．
三、简答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=，S3=． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=log2
，Tn为数列{bn}的前n项和，求使Tn=+105成立的n的值．
17．我国政府对PM2.5采用如下标准：
3
PM2.5日均值m（μg/m） 空气质量等级 m＜35 一级 35≤m≤75 二级 m＞75 超标
某市环保局从180天的市区PM2.5监测数据中，随机抽取10天的数据作为样本，检测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）． （1）求这10天数据的中位数；
（2）从这10天的数据中任取3天的数据，记ξ表示空气质量达到一级的天数，求ξ的分布列；
（3）以这10天的PM2.5日均值来估计这180天的空气质量情况，其中大约有多少天的空气质量达到一级？
18．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（1）求C的值；
（2）若D是AB上的点，已知cos∠BCD=
a=ccosB+bsinC．
，a=2，b=3，求sin∠BDC的值．
19．如图，在空间多面体ABCDE中，四边形ABCD为直角梯形，AB∥DC，AD⊥CD，△ADE是正三角形，CD=DE=2AB，CE=CD． （I）求证：平面CDE⊥平面ADE； （Ⅱ）求二面角C﹣BE﹣A的余弦值．
3
20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点P（1，），其离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C的右顶点为A，直线l交C于两点M、N（异于点A），若D在MN上，且AD
2
⊥MN，|AD|=|MD||ND|，证明直线l过定点． 21．已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1）（其中a＞0，e是自然对数的底数）． （Ⅰ）若关于x的方程f（x）=x﹣x+a有唯一实根，求（1+lna）a的值；
2
2
（Ⅱ）若过原点作曲线y=f（x）的切线l与直线y=﹣ex+1垂直，证明：
x
＜a＜；
（Ⅲ）设g（x）=f（x+1）+e，当x≥0时，g（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围．
4
2016年四川省泸州市高考数学三诊试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1．设集合M={x|x2﹣x﹣6＜0}，N={x|x﹣1＞0}，则M∩N=（ ） A．（1，2） B．（1，3） C．（﹣1，2） D．（﹣1，3） 【考点】交集及其运算．
【分析】分别求出M与N中不等式的解集确定出M与N，找出两集合的交集即可． 【解答】解：由M中不等式变形得：（x﹣3）（x+2）＜0， 解得：﹣2＜x＜3，即M=（﹣2，3），
由N中不等式解得：x＞1，即N=（1，+∞）， 则M∩N=（1，3）， 故选：B．
2．若命题p：∃x0∈R，x0﹣2＞lgx0，则￢p是（ ） A．∃x0∈R，x0﹣2≤lgx0 B．∃x0∈R，x0﹣2＜lgx0 C．∀x∈R，x﹣2＜lgx D．∀x∈R，x﹣2≤lgx 【考点】命题的否定．
【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：∃x0∈R，x0﹣2＞lgx0，则￢p是∃x0∈R，x0﹣2≤lgx0． 故选：A．
3．已知cos2θ=，则sin4θ﹣cos4θ的值为（ ） A．
B．
C．﹣ D．﹣
【考点】同角三角函数基本关系的运用；二倍角的余弦． 【分析】已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，原式利用平方差公式及同角三角函数间的基本关系化简，将得出关系式代入计算即可求出值． 【解答】解：∵cos2θ=cos2θ﹣sin2θ=，
∴sin4θ﹣cos4θ=（sin2θ﹣cos2θ）（sin2θ+cos2θ）=sin2θ﹣cos2θ=﹣（cos2θ﹣sin2θ）=﹣， 故选：C．
4．圆x2+y2﹣4x=0的圆心到双曲线A．1 B．2 C． D．2【考点】双曲线的简单性质．
﹣y2=1的渐近线的距离为（ ）
5
【分析】求得圆的圆心和半径，双曲线的渐近线方程，运用点到直线的距离公式，计算即可得到所求值．
【解答】解：圆x2+y2﹣4x=0的圆心为（2，0），半径为2， 双曲线
﹣y2=1的渐近线方程为y=±
2
x，
可得圆心到双曲线﹣y=1的渐近线的距离为：
d==1．
故选：A．
5．执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，则输出t的最大值为（ ）
A．1 B．3 C．2 【考点】程序框图．
D．0
【分析】分析框图可知，本题是求可行域求得取得最大值的点的坐标，得出最大值即可． 【解答】解：由程序框图知：本题是求可行域画出可行域如图：
内，目标函数t=最大值，画出可行域，
内，t=的最大值，
6
由于t=为经过可行域的一点与原点的直线的斜率，可得当直线经过OA时斜率最大， 由
，解得，A（1，3），此时，t===3．
故选：B．
6．从一个棱长为1的正方体中切去一部分，得到一个几何体，某三视图如图，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】由题意所给的几何体的三视图可得该几何体的形状如下图所示：该几何体是一棱长为1的正方体切去如图所示的一角．
【解答】解：由题意所给的几何体的三视图可得该几何体的形状如下图所示： 该几何体是一棱长为1的正方体切去如图所示的一角，
∴剩余几何体的体积等于正方体的体积减去截取的直三棱锥的体积， ∴V=1﹣×故选：B．
=．
7
7．某学校一天共排7节课（其中上午4节、下午3节），某教师某天高三年级1班和2班各有一节课，但他要求不能连排2节课（其中上午第4节和下午第1节不算连排），那么该教师这一天的课的所有可能的排法种数共有（ ） A．16 B．15 C．32 D．30 【考点】计数原理的应用．
【分析】直接分类讨论得以解决．
【解答】解：该教师一个班上第1节课，则另一个班有5种情况，考虑顺序，有10种方法； 一个班上第2节课，则另一个班有4种情况，考虑顺序，有8种方法； 一个班上第3节课，则另一个班有3种情况，考虑顺序，有6种方法； 一个班上第4节课，则另一个班有3种情况，考虑顺序，有6种方法； 一个班上第5节课，则另一个班有7种情况，考虑顺序，有2种方法； 共有10+8+6+6+2=32种方法． 故选：C．
8．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（ ） A．3
B．
C．
D．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】如图所示，由抛物线C：y2=8x，可得焦点为F，准线l方程，准线l与x轴相交于点M，|FM|=4．经过点Q作QN⊥l，垂足为N则|QN|=|QF|．由QN∥MF，可得即可得出．
【解答】解：如图所示，
由抛物线C：y2=8x，可得焦点为F（2，0），准线l方程为：x=﹣2， 准线l与x轴相交于点M，|FM|=4．
经过点Q作QN⊥l，垂足为N则|QN|=|QF|． ∵QN∥MF， ∴
=
=，
=
，
∴|QN|=3=|QF|． 故选：A．
8
9．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值t构成的集合是（ ）
A．{t|} B．{t|≤t≤2} C．{t|2}
D．{t|2}
【考点】直线与平面所成的角．
【分析】设平面AD1E与直线BC交于点G，连接AG、EG，则G为BC的中点．分别取B1B、B1C1的中点M、N，连接AM、MN、AN，可证出平面A1MN∥平面D1AE，从而得到A1F是平面A1MN内的直线．由此将点F在线段MN上运动并加以观察，即可得到A1F与平面BCC1B1所成角取最大值、最小值的位置，由此不难得到A1F与平面BCC1B1所成角的正切取值范围． 【解答】解：设平面AD1E与直线BC交于点G，连接AG、EG，则G为BC的中点 分别取B1B、B1C1的中点M、N，连接AM、MN、AN，则 ∵A1M∥D1E，A1M⊄平面D1AE，D1E⊂平面D1AE， ∴A1M∥平面D1AE．同理可得MN∥平面D1AE， ∵A1M、MN是平面A1MN内的相交直线 ∴平面A1MN∥平面D1AE，
由此结合A1F∥平面D1AE，可得直线A1F⊂平面A1MN，即点F是线段MN上上的动点． 设直线A1F与平面BCC1B1所成角为θ 运动点F并加以观察，可得
当F与M（或N）重合时，A1F与平面BCC1B1所成角等于∠A1MB1，此时所成角θ达到最小值，满足tanθ=
=2；
9
当F与MN中点重合时，A1F与平面BCC1B1所成角达到最大值，满足tanθ==2
∴A1F与平面BCC1B1所成角的正切取值范围为[2，2故选：D
]
10．已知函数f（x）=，g（x）=﹣4+a•2+a+a﹣1（a∈R），若f（g（x））
xx+12
＞e对x∈R恒成立（e是自然对数的底数），则a的取值范围是（ ） A．[﹣1，0] B．（﹣1，0）
C．[﹣2，0] D．[﹣，0]
【考点】分段函数的应用．
【分析】求得f（x）的值域，讨论当x≤0时，当x＞0时，求出导数，判断单调性可得范围，令t=g（x），则f（t）＞e，即有t≤0，则
＞e，解得t＜﹣1，即﹣4x+a•2x+1+a2+a
﹣1＜﹣1，由指数函数的值域和二次函数的最值的求法，解不等式即可得到所求范围． 【解答】解：当x≤0时，f（x）=
≥0，
f（x）的导数为f′（x）=＜0，
即f（x）递减，则f（x）≥0； 当x＞0时，f（x）=
的导数为
，
当x＞e时，f（x）递减；当0＜x＜e时，f（x）递增． 则x=e处取得极大值，且为最大值， 即有f（x）≤．
令t=g（x），则f（t）＞e， 即有t≤0，则
＞e，
10
即et+1+t＜0，由y=et+1+t在t≤0递增， 且t=﹣1时，y=0，可得t＜﹣1． 可得g（x）＜﹣1恒成立，
xx+12xx+12
即有﹣4+a•2+a+a﹣1＜﹣1，即有﹣4+a•2+a+a＜0，
x22
当a＞0时，y=﹣（2﹣a）+2a+a＜0， 由2x＞0，可得2x=a时，取得最大值2a2+a， 可得2a2+a＜0不成立；
当a≤0时，y=﹣（2x﹣a）2+2a2+a＜0，
x2
由2＞0，﹣a≥0，y＜a+a，
2
可得a+a≤0，解得﹣1≤a≤0． 综上可得a的范围是[﹣1，0]． 故选：A
二、填空题：本题共5小题，每题5分，共25分。 11．复数z=
（i为虚数单位）的虚部是 1 ．
【考点】复数的基本概念．
【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，得到复数的标准形式，得到虚部． 【解答】解：∵复数z=∴复数z的虚部是1， 故答案为：1．
12．在二次项式（x﹣）的展开式中，常数项的值是 ﹣160 ．（用具体数字作答） 【考点】二项式系数的性质．
【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r值，则常数项可求． 【解答】解：由令6﹣2r=0，得r=3，
11
6
=
=，
∴二项项式（x﹣）的展开式中的常数项的值为
6
．
故答案为：﹣160．
13．下表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系 时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00 水深（m） 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 若该港口的水深y（m）和时刻t（0≤t≤24）的关系可用函数y=Asin（ωt）+h（其中A＞0，ω＞0，h＞0）来近似描述，则该港口在11：00的水深为 4 m． 【考点】在实际问题中建立三角函数模型．
【分析】利用已知数据，确定合适的周期、振幅等，即可得出函数解析式，从而能求出该港口在11：00的水深．
【解答】解：由题意得函数y=Asin（ωt）+h（其中A＞0，ω＞0，h＞0）的周期为T=12，
，解得A=2，h=5，
∴ω=∴y=2sin
=
， +5，
+5=4（m）．
∴该港口在11：00的水深为y=2sin
故答案为：4． 14．若直线ax+y﹣a+1=0（a∈R）与圆x2+y2=4交于A、B两点（其中O为坐标原点），则的最小值为 4 ．
【考点】直线与圆相交的性质．
22
【分析】易得直线恒过定点C（1，﹣1），圆x+y=4圆心为（0，0）半径为2， =4﹣2×2×cos＜，＞，可得当AB⊥OC时，式子取最小值，数形结合联立方程组解点的坐标可得．
【解答】解：直线ax+y﹣a+1=0可化为y+1=﹣a（x﹣1），
22
恒过定点C（1，﹣1），圆x+y=4圆心为（0，0）半径为2， ∴
=
•
=
•（
﹣
）=
﹣
•
=4﹣2×2×cos＜，＞，
当AB⊥OC时，＜，＞最小，cos＜，＞取最大值， 此时=4﹣4cos＜，＞取最小值，
此时OC的斜率为﹣1，由垂直关系可得﹣a=1，解得a=﹣1， 故此时直线方程为y+1=x﹣1，即y=x﹣2， 联立
可解得
或
，
∴＜此时
，＞取最小值=4﹣4cos＜
，cos＜，
，＞取最大值0，
＞取最小值4，
12
故答案为：4
15．函数f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是kA，kB，|AB|为A、B两点间距离，定义φ（A，B）=
为曲线f（x）在点A与点B之间的“曲
率”，给出以下问题：
①存在这样的函数，该函数图象上任意两点之间的“曲率”为常数；
32
②函数f（x）=x﹣x+1图象上两点A与B的横坐标分别为1，2，则点A与点B之间的“曲率”φ（A，B）＞；
③函数f（x）=ax2+b（a＞0，b∈R）图象上任意两点A、B之间的“曲率”φ（A，B）≤2a； ④设A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线f（x）=ex上不同两点，且x1﹣x2=1，若t•φ（A，B）＜1恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，1）．
其中正确命题的序号为 ①③ （填上所有正确命题的序号）．
【考点】命题的真假判断与应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】考虑一次函数，求出导数，可得φ（A，B）=0，即可判断①；求出A，B的坐标，求得φ（A，B），即可判断②；求出f（x）的导数，运用不等式的性质，可得φ（A，B）≤2a，即可判断③；求出函数的导数，运用新定义求得φ（A，B），由恒成立思想，即可得到t的范围，即可判断④．
【解答】解：对于①，当函数f（x）=kx+b（k≠0）时，f′（x）=k， φ（A，B）=
=
=0，故①正确；
对于②，由题意可得A（1，1），B（2，5），f（x）的导数为f′（x）=3x2﹣2x， 可得φ（A，B）=
=
=
＜
，故②不正确；
对于③，函数f（x）=ax2+b的导数为f′（x）=2ax， 即有φ（A，B）=
=
=
≤
2a，
故③正确；
对于④，由y=ex得y′（x）=ex， 由A（x1，y1），B（x2，y2）为曲线y=ex上两点，且x1﹣x2=1， 可得φ（A，B）=
=
，
由t•φ（A，B）＜1恒成立，可得t＜，
由＞1，可得t≤1，故④不正确．
13
故答案为：①③．
三、简答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=，S3=． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=log2
，Tn为数列{bn}的前n项和，求使Tn=+105成立的n的值．
【考点】数列的求和． 【分析】（Ⅰ）讨论q=1和q≠1的情况，分别应用等比数列的通项公式和求和公式，解方程即可得到公比和首项，进而得到通项公式．（2）分类讨论q的取值，利用对数的性质求bn，出再进行化简，求得Tn，最后求得n的值． 【解答】解：（Ⅰ）当q=1时，
，
成立；
当q≠1时，，，由，．
解得a1=6，，则
综上可知：（Ⅱ）当2n=+105 则n=70 当
或
时，bn=2则Tn=2n；
．
===2n，
∴∴
，
整理得：n+n﹣210=0；
2
解得n=10
综上可知n=10或n=70．
17．我国政府对PM2.5采用如下标准： PM2.5日均值m（μg/m3） m＜35
35≤m≤75 m＞75
空气质量等级 一级 二级 超标
14
某市环保局从180天的市区PM2.5监测数据中，随机抽取10天的数据作为样本，检测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）． （1）求这10天数据的中位数；
（2）从这10天的数据中任取3天的数据，记ξ表示空气质量达到一级的天数，求ξ的分布列；
（3）以这10天的PM2.5日均值来估计这180天的空气质量情况，其中大约有多少天的空气质量达到一级？
【考点】茎叶图；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（ 1）利用茎叶图和中位数的定义求解．
（ 2）由 N=10，M=4，n=3，ξ的可能值为0，1，2，3，利用P（ξ=K）=1，2，3），能求出分布列．
（ 3）一年中每天空气质量达到一级的概率为，由η～B，能求出一年中空气质量达到一级的天数为72天． 【解答】解：（ 1）由茎叶图知：
10天的中位数为（38+44）2=41（微克/立方米） （ 2）由 N=10，M=4，n=3，ξ的可能值为0，1，2，3 利用P（ξ=K）=ξ P
0
1
（k=0，1，2，3）即得分布列：
2
3
（k=0，
（ 3）一年中每天空气质量达到一级的概率为， 由η～B，
得到Eη=180×=72（天），
∴一年中空气质量达到一级的天数为72天．
18．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（1）求C的值；
（2）若D是AB上的点，已知cos∠BCD=
a=ccosB+bsinC．
，a=2，b=3，求sin∠BDC的值．
15
【考点】正弦定理；余弦定理． 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，令sinA=sin（B+C），展开化简即可得出tanC； （2）使用余弦定理求出c，得出cosB，sinB，则sin∠BDC=sin（∠BCD+∠B）． 【解答】解：（1）∵a=ccosB+bsinC， ∴sinA=sinCcosB+sinBsinC，
即sin（B+C）=sinCcosB+sinBsinC， ∴sinBcosC=sinBsinC， ∴tanC=． ∴C=
．
（2）在△ABC中由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=4+9﹣12cosC=7， ∴c=． 由余弦定理得cosB=
=
=
．
∴sinB=∵cos∠BCD=
=．
=
．
，∴sin∠BCD=
∴sin∠BDC=sin（∠BCD+∠B）=sin∠BCDcosB+cos∠BCDsinB=
=
．
19．如图，在空间多面体ABCDE中，四边形ABCD为直角梯形，AB∥DC，AD⊥CD，△ADE是正三角形，CD=DE=2AB，CE=CD． （I）求证：平面CDE⊥平面ADE； （Ⅱ）求二面角C﹣BE﹣A的余弦值．
16
【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定． 【分析】（I）根据面面垂直的判定定理即可证明平面CDE⊥平面ADE；
（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可求二面角C﹣BE﹣A的余弦值． 【解答】证明：（I）∵CD=DE=2AB，CE=CD． ∴设CD=DE=2AB=2，则AB=1， 则CE=2，
∵CD2+DE2=4+4=8=（2）2=CE2， ∴△CDE是直角三角形， 则CD⊥DE，
∵AD⊥CD，AD∩DE=D， ∴CD⊥平面ADE； ∵CD⊂平面CDE，
∴平面CDE⊥平面ADE；
（Ⅱ）建立以D为坐标原点，DC，DE分别为x，y轴，过D作垂直平面CDE的直线为y轴的空间直角坐标系如图： 则D（0，0，0），C（2，0，0），E（0，2，0），A（0，1，），B（1，1，）， 则平面CBE的法向量为=（x，y，z）， =（﹣1，1，﹣），=（﹣2，2，0）， 则
，得
，即
，
则平面CBE的法向量为=（1，1，0）， 设平面BEA的法向量为=（x，y，z）， 则=（1，0，0）， 则
得
，
，x=0，即=（0，
=
，1），
=
令z=1，则y=
则cos＜，＞=
即二面角C﹣BE﹣A的余弦值是=．
17
20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点P（1，），其离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C的右顶点为A，直线l交C于两点M、N（异于点A），若D在MN上，且AD⊥MN，|AD|2=|MD||ND|，证明直线l过定点． 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和点P满足椭圆方程，以及a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）运用三角形的相似的判定和性质定理，可得∠MAN=90°，联立方程组
2
2
2
，
设M（x1，y1）N（x2，y2），A（2，0），可得（3+4k）x+8km+4m﹣12=0，由两直线垂直的条
22
件：斜率之积为﹣1，得到，7m+16km+4k=0，7m=﹣2k，m=﹣2k，代入求解即可得出定点． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==， 又a﹣b=c， 且
+
=1，
， +
=1；
2
2
2
解得a=2，c=1，b=可得椭圆的方程为
（Ⅱ）证明：由AD⊥MN，|AD|2=|MD||ND|， 可得Rt△ADM∽Rt△DNA，
即有∠DNA=∠MAD，即∠MAN=90°， 由
，M（x1，y1）N（x2，y2），A（2，0），
可得（3+4k2）x2+8km+4m2﹣12=0， x1+x2=﹣
，x1x2=
，△=（8km）﹣4（3+4k）（4m﹣12）＞0，
2
2
2
即4k2＞m2﹣3， 由AM⊥AN，可得
•
=﹣1，
即为（x1﹣2）（x2﹣2）+（kx1+m）（kx2+m）=0，
即（k2+1）x1x2+（mk﹣2）（x1+x2）+m2+4=0， 即有（k2+1）•
+（mk﹣2）（﹣
）+m2+4=0，
化简可得7m2+16km+4k2=0，
18
m=﹣k或m=﹣2k，满足判别式大于0， 当m=﹣k时，y=kx+m=k（x﹣）（k≠0）， 直线l过定点（，0）；
当m=﹣2k时，y=kx﹣2k=k（x﹣2），直线l过定点（2，0）． 由右顶点为A（2，0），则直线l过定点（2，0）不符合题意， 当直线的斜率不存在时，也成立．
根据以上可得：直线l过定点，且为（，0）．
21．已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1）（其中a＞0，e是自然对数的底数）． （Ⅰ）若关于x的方程f（x）=x﹣x+a有唯一实根，求（1+lna）a的值；
2
2
（Ⅱ）若过原点作曲线y=f（x）的切线l与直线y=﹣ex+1垂直，证明：＜a＜；
（Ⅲ）设g（x）=f（x+1）+ex，当x≥0时，g（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围． 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（Ⅰ）设h（x）=lnx﹣x2﹣（a﹣）x，求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最大值=﹣lna+（Ⅱ）求出切线l的方程，得到a═﹣，根据函数的单调性证明即可；
（Ⅲ）先求出g（x）的导数，通过讨论a的范围，结合函数的单调性从而得到答案． 【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x2﹣x+a， ∴lnx﹣x2﹣（a﹣）x=0，
﹣1=0；从而求出代数式的值；
﹣=0，令m（x）=lnx﹣1+
﹣，且lnx1﹣1+
设h（x）=lnx﹣x2﹣（a﹣）x，则h′（x）=﹣，
a＞0时，h（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减， 则h（x）max=h（）=﹣lna+∵h（x）=0有唯一实根， ∴x0=且h（x）max=h（）=﹣lna+
﹣1=0；
﹣1，
19
故1+lna=，∴（1+lna）a2
=；
（Ⅱ）证明：∵过原点所作曲线y=f（x）的切线l与直线y=﹣ex+1垂直， ∴切线l的斜率为k=，方程是y=x， 设l与y=f（x）的切点为（x1，y1），
∴，
∴a=﹣，且lnx1﹣1+﹣=0，
令m（x）=lnx﹣1+﹣，则m′（x）=﹣
+，
∴m（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
若x1∈（0，1），∵m（）=﹣2+e﹣＞0，m（1）=﹣＜0， ∴x1∈（，1）， 而a=
﹣在x1∈（，1）递减，
∴＜a＜，
若x1∈（1，+∞），∵m（x）在（1，+∞）递增，且m（e）=0，则x1=e， ∴a=
﹣=0（舍），
综上：＜a＜；
（Ⅲ）∵g（x）=f（x+1）+ex=ln（x+1）﹣ax+ex， ∴g′（x）=
﹣a+ex，g″（x）=
≥0，
①0＜a≤2时，∵g′（x）在[0，+∞）递增， ∴g′（x）≥g′（0）=2﹣a≥0，
∴g（x）在[0，+∞）递增，g（x）≥g（0）=1恒成立，符合题意， ②a＞2时，∵g′（x）在[0，+∞）递增，g′（0）=2﹣a＜0， 则存在x0（0，+∞），使得g′（x0）=0，
∴g（x）在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增， 又x∈（0，x0）时，g（x）＜g（0）=1， ∴g（x）≥1不恒成立，不合题意，
20
综上，所求实数a的范围是（0，2]．
21
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