第二稿

高中立体几何问题的解法比较探究

摘要

立体几何是高中数学的重点内容，又是从中学到大学继续深造学习的必备基础知识. 立体几何在高考试卷中主要体现在点与线、点与面、线与线、线与面、面与面之间位置、距离、夹角问题的考查，并且一般都采用一题两法的模式，既可用综合法解答，也可用向量法解答.向量法相比综合法可以减少一些复杂的思维和推理过程，提高解题效率，并易为学生接受，但一些问题虽然可以用向量法来解决，却增大了建系设标和计算过程的难度，同时削弱了对空间想象能力、作图能力与逻辑推理能力的要求. 所以，高考立体几何试题的传统证法依然是对中学数学教学评价必不可少的考查内容之一. 因此,在立体几何解题中对“综合法”和“向量法”的选择和所起的效果上众说纷纭,莫衷一是,存在着较大的争议.本文将试图通过实例分析比较立体几何问题解决中综合法和向量法的优缺点及区别联系，探讨如何全面的看待综合法与向量法，以期使二者的积极功能得以体现.

关键词：立体几何；向量法；综合法；比较

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目 录

1 引言 ............................................................ 3 2 文献综述 ........................................................ 3 2.1国外研究现状 ................................................... 3 2.2国内研究现状 ................................................... 4 2.3国内外研究现状评价 ............................................. 4 2.4提出问题 ....................................................... 4 3 向量法求解立体几何问题的方法 .................................... 4 3.1向量法证明平行问题的方法 ....................................... 4 3.2向量法证明垂直问题的方法 ....................................... 5 3.3向量法求解空间距离的方法 ....................................... 5 3.4 向量法求解空间角问题的方法 ..................................... 7 4 综合法解决立体几何问题的方法 ................................... 8 4.1综合法解决线线、线面、面面平行与垂直的判定和性质 ............... 8 4.2综合法解决空间距离的方法 ....................................... 9 4.3综合法解决空间角的方法 ......................................... 9 5 向量法与综合法选择上的例题分析 .................................. 9 5.1综合法与向量法解决问题的思路 ................................... 9 5.2综合法与向量法的应用 .......................................... 10 6 两种方法的比较分析 ............................................ 17 6.1综合法和向量法的区别与联系 .................................... 17 6.2向量法与综合法的优缺点 ........................................ 18 6.3向量法与综合在选择上的思考 .................................... 19 7 结论 .......................................................... 20 7.1主要发现 ...................................................... 20 7.2启示 .......................................................... 20 7.3努力方向 ...................................................... 20 参考文献 .......................................................... 21

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1引言

数学问题（简称数学题）是指数学上要求回答或解释的疑问，广义的数学问题是指数量关系和空间形式中出现的困难和矛盾，例如几何问题、复数问题、四色问题等等.狭义的数学问题则是已经明显表示出来的题目，用命题的形式加以表达，包括证明类问、求解类问题等[1].对于我们数学学习者而言，大多有这样的经历：一道题，自己怎么想也想不出解法，但是有些人却给出了一个巧妙的解法.如果这个解法不是很难，我们会问“自己完全可以提出，但为什么我没有想到呢？”美籍匈牙利数学家G.polya[2]对揭示数学问题解决规律进行了深入的研究，其中《怎样解题》一书成了世界范围内的数学教育名著.这本书的核心是他分析解题的思维过程得到的一张“怎样解题”表，在“怎样解题”表中polya将解题过程分为：理解题目、拟定方案、执行方案和回顾四个阶段，为数学解题方法的研究提供了很好的思路.

本文就高考数学中的立体几何问题中的解法（向量法与综合法）进行了比较探讨.由于立体几何在培养学生空间想象能力、逻辑推理能力等方面有着独到的作用，因而它成为历届高考重点考查的内容之一，在历年的高考中约占12%.高考数学试卷中单纯的三角函数问题的难度系数一般不会在超过0.5，所以应在基础知识，基本技能落实的基础上注意类比、转化思想，数行结合思想的应用，借助向量知识、点-线-面之间的性质等工具，选取合理、快捷的解题方法.

2文献综述

2.1国外研究现状

美国在70年代就已引入了“向量”内容，美国NCTM公布的《中小学数学课程和评价标准》中强调“在理解基本的几何关系时，用各种各样的表示方法（图像的、代数的、坐标的）、各种各样的工具，以及技术手段解决有意义的几何问题；尤其强调要理解“坐标体系”为表示几何图形提供了方便的、有效地途径并能相应的加以使用.”由此可见美国比较重视现代几何知识. 俄罗斯在60年代中期（前苏联）展开了所谓的“现代数学运动”. 依据1968年的《大纲》编写的教材，就是用向量的数量积运算研究空间的垂直关系，用空间的坐标方法研究多面体等. 但它既重视传统几何，又兼顾现代几何. 比如在主张广泛引入坐标方法、向量方法的同时，仍重视用几何的传统方法培养学生的空间意识.

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2.2国内研究现状

在这个方面进行研究的多是来自一线的教师，浙江正始中学胡乾彪在文献[3]空间向量的研究中设计了调查问卷，从解答立体几何问题时学生用两种方法的习惯、解题速度、精确度、掌握的难易程度方面展开，最后得出结论学生解题更倾向于采用向量法．“用向量法解决立体几何问题，使许多立体几何中‘形’的思维转化为‘数’的构想，从而使现代思想中数形结合的思想更充实了形数结合的内容，把许多空间抽象概念转化为具体的代数运算，降低了许多立体几何难题的艰辛度”. 北京师范大学厦门海沧附属实验中学吴厚荣在文献[4]通过学生解答问题的对比实验，发现学生更倾向于选择向量法，而且有部分同学认为向量法是万能的，在遇到用综合法比较好做而用向量法比较难做时往往无从下手.陈雪梅在文献[5]对用向量法处理立体几何问题(位置关系与角的度量)的教学效果进行了调查研究,认为向量的引入没有加重学生的思维负担. 黄立明在文献[6]中提醒教师在立体几何教学中应谨防向量工具的负效应，过分的应用导致学生对空间位置关系的判断能力降低.

2.3国内外研究现状评价

国内对立体几何的这两种解法的研究可以看到，向量已从最初进入中学课程时，教育工作者对用向量解决立体几何问题的态度由开始的不习惯发展到后来的认同到现在的反思.也说明我们有必要去客观的分析二者在解决立体几何问题时的不同功能，以期能够有助于学生学好立体几何内容.

2.4提出问题

本文结合专家、学者、一线教师发表的论文和专著，提出自己的思考，然后对几何学的教育价值以及向量的进入中学的过程及教材内容的比较作研究综述，试图通过实例分析比较立体几何问题解决中综合法和向量法的不同功能，探讨如何全面的看待综合法与向量法，以期使二者的积极功能得以体现.

3向量法求解立体几何问题的方法

3.1向量法证明平行问题的方法

3.1.1 线线平行

共线向量定理：设a,b分别是

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a,b的方向向量,则a∥b a

=b (∈R,且≠0) ． 3.1.2 线面平行

方法一：设直线L在平面外,a是L的一个方向向量,n是的一个法向量, 则

L//a⊥n a·n＝0．

方法二：对于向量p，存在实数x,y，有pxayb（a与b不共线），则p与a，b共面，即p与a、b所确定的平面平行或在其内. 3.1.3 面面平行

设m,n分别是两个不重合的平面,的法向量,则//m//nm =n (∈R 且≠0) . 3.2向量法证明垂直问题的方法

3.2.1线线垂直

设a,b分别为直线a,b的一个方向向量,则a⊥ba⊥ba·b = 0. 3.2.2线面平行

设a为直线L的一个方向向量,n是平面的一个法向量,则L⊥a//na =n(∈R且≠0)． 3.2.3面面垂直

设m, n分别为平面,的一个方向向量,则⊥m⊥n m·n = 0.

3.3向量法求解空间距离的方法

3.3.1两点间的距离

设空间两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)的距离：

d=P1P2(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2 . 3.3.2点线间的距离 方法一：点P直线L,设a 是直线L的一个法向量,在L上取点A ,PA在a上的

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投影为|OA|=PAa|a|,则点P到直线L的距离d=|OA| =PAa|a|[6]

. 方法二：空间点M1(x1,y1,z1)到直线L的距离公式:

xx0yy0zz0设直线L的方程为. mnp点M0(x0,y0,z0)是直线L上的点，则空间点M1(x1,y1,z1)到直线L的距离为

d=

y1y0z1z0z1z0x1x0x1x0nppmmm2n2p2y1y0n[7]

.

3.3.3点到面的距离

方法一：设点M0(x0,y0,z0)平面π，平面π：AxByCzD0. 空间中点M0到平面π的距离公式: d=

Ax0By0Cz0ABC222 .

方法二； 设平面的斜线AO∩= 0,n是的一个法向量,则点A 到平面的距

AOnn离d = .

3.3.4线线间的距离

方法一：设a,b分别是异面直线a,b的方向向量,n是a,b的法向量,在a，b上各

取一点A,B,AB在n上的投影ABABnn[6]

. 方法二：空间中两异面直线L1和L2之间的距离公式

设直线Li的方程为

xximiyyinizzi （i--1,2） pi 6

d=

x2x1m1m2n1n2y2y1z2z1p1n1p2n2p1p1m1m1n1p2p2m2m2n2 [7].

3.4 向量法求解空间角问题的方法

3.4.1 线线角

设异面直线a、b的夹角为( 0°＜≤90°) ，a 、b分别为a,b的一个方向向

abab量,则cos =| cos | =.

3.4.2 线面角

若直线a与平面斜交于B点，P在直线a上，PA⊥于A，n为平面的法向量，

a与所成角为 (0≤≤90)，则sin=sin(3.4.3二面角

PBn-PB,n)=cosPB,n= . 2PBn二面角－L－为 (0≤≤180)，n为平面的法向量，m为平面的法向量，则cos=cos〈n ，m〉＝mnmn，那么向量n，m的夹角〈n，m〉就是二面角－AB－（或其补角）的大小.

到底是哪种关系要通过观察图形来确定．若二面角是锐角，则选正的余弦值；若二面角是钝角，就选取负的余弦值，这种方法简单但容易判定失误．鉴于这种情况，国内主要专业期刊有不少的文章进行了讨论并给出了解决方案，如文献[8,9，10,11]等．下面是文献[8]给出的一种方法：

首先明确一个概念：在二面角两个面内分别取一点，以这两个点为端点的线段的内点称为二面角的内点，二面角的内点的集合称为二面角的内部.这样，我们就可以有二面角两个面的法向量对于二面角的内部“戳出”或“戳进”的概念，那么，二面角-L- 7

的大小 (0≤≤)，与两个法向量夹角< n1 , n2>=的大小必是互补(两个法向量都是“戳进”或都是“戳出”时，图1(a),(b))或者相等(两个法向量一个“戳进”一个“戳出”时,图1（c）).

图1

4 综合法解决立体几何问题的方法

4.1综合法解决线线、线面、面面平行与垂直的判定和性质

平行

垂直

(1)同平行于直线c的两直线平行行 (1) a⊥b,b//ca⊥c (2)= b,a//, aa//b

(2) a⊥a,baa⊥b

(3)三垂线定理及其逆定理

直线a和(3)b,a//,a//a//b 直线b

(4) a⊥,b⊥a//b

(5)两平行平面都和第三个平面相交 分别交于a与b，则交线平行

(4) a//,b⊥ a⊥b

(1) m,n,mnB,a⊥

m, a⊥n a⊥ (2) a//b,b⊥a⊥ (3) a//, ⊥a⊥

直线a (1) a,b,a//ba// (b)与平(2) //,aa// 面

(3)a,a⊥,⊥a// (4) ⊥,b,

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(,)

a, a⊥ba⊥ (5) ⊥,⊥,a

a⊥

(1)若内的两条相交直线a,b都(1) m⊥,m⊥

(2) //,⊥⊥

平面与平行于，则// 平面

(2)⊥a,⊥a// (3)平行于同一平面的两平面平行

4.2综合法解决空间距离的方法

4.2.1异面直线距离

通常找公垂线段，在根据已知条件求出公垂线段长．或参考文献[12]求异面直线距离的8种求法. 4.2.2点到平面的距离

先作出表示距离的线段，再证明它就是所要求的距离，然后再计算；或利用等体积法．

4.3综合法解决空间角的方法

4.3.1异面直线所成角

将异面直线平移，转化为同一平面内的两条直线，再借助三角形的正、余弦定理求解． 4.3.2线面角

先求点到面的距离，然后解直角三角形． 4.3.3二面角

方法一：设二面角-L-的大小为 (0≤≤180) ,a ,b 分别是平面,内且垂直于L的向量,则 = < a ,b > 或 = - < a，b >

方法二：先求出二面角一个面内一点到另一个面的距离及到棱的距离，然后通过解直角三角形求角．

5 向量法与综合法选择上的例题分析

5.1综合法与向量法解决问题的思路

综合法的解题思路：证明平行和垂直主要是依据判定定理和性质定理，计算问题主要是作、证、求的过程，先要做出或寻找到所求的距离或角，然后证明，最后计算.计

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算一般使用勾股定理，余弦定理等解三角形的知识，解决问题的技巧性较大.

向量法解题思路：利用直线的方向向量和平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系，并且给出用空间向量解决立体几何问题的三步骤：

①建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；

②通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系以及距离和夹角问题； ③把向量的运算结果翻译成相应的几何意义. 流程图如下

问题的条件 综合法 问题的结论

翻 翻

译 译

向量的关系式 向量运算 另一种向量关系

5.2综合法与向量法的应用

例1在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PDDC，点E是PC的中点，作EF ⊥PB交于点F[13]

.

图2 ①求证：PA∥平面EDB.

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②求证：PB⊥平面EFD. ③求二面角CPBD的大小．

综合法思考过程

①由“求证”想“判定”，要证线面平行，可以通过线线平行或面面平行来证明，这就要求学生对于定理的掌握灵活熟练，而且还应有一定的解题经验．

②要证线面垂直，必将通过线线垂直和面面垂直来转化．由已知PB⊥EF，只需去寻找PB与另外一条线垂直即可．由于问题中垂直关系比较充分，通过线线垂直—线面垂直BC⊥平面PDC—面面垂直平面PDC⊥平面PBC—线面垂直DE ⊥面PBC---线线垂直DE⊥PB---线面垂直PB⊥面EFD的转化，使问题得到解决．

③由二面角的平面角的定义我们可以得到：平面角所在的面必定与棱垂直．所以由第②问的结论，二面角的大小易求．故只需在Rt△EFD中求出即可．综合法中对于空间角的求法是“一作，二证，三计算”，要求学生不主观臆断，注意说理的层次型，这对训练学生的数学思维是很有必要的．

向量法思考过程（用法向量解决） 建立空间直角坐标系后

①只需证明PA和平面EDB的法向量n垂直即可． ②可用数量积来证明垂直．

③只需求平面PBC和DPB的法向量的夹角即可．

图3

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这个方法并不依赖较多的知识：大量定理、定义、以及严格的演绎逻辑推理过程．只须直线的方向向量和平面的法向量，代入公式，解题过程模式化强．在这个方法体系中，平行、垂直、角的求出对学生来说是可以被明确把握的了．学生易错点是不能正确表示点或向量的坐标．

解：如图建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1. ①证明 连接AC, AC交BD于点G，连接EG.

11依题意得A(1,0,0),P(0,0,1)), E(0,,).因为底面ABCD是正方形，所以点G是

221111此正方形的中心，点G的坐标是(,,0)，且PA=(1,0,1), EG=(,0,).所以

2222PA=2EG. 得到PA//EG,而EG平面EDB,且PA平面EDB，因此 PA//平面

EDB.

②证明:依题意得B(1,1,0),PB=(1,1,1), DE=(0,

1111,),故PB．DE=0+-=0.2222所以PB⊥DE.由已知FE⊥PB,且FEDE=E,所以PB⊥平面EFD.

③解:已知PB⊥FE,有②知PB⊥DF,故∠EFD事二面角C-PB-D的平面角.

1设点F的坐标为(x,y,z),则PF=(x,y,z1). 因为PF=kPB,所以k=,点F的坐标为

311211111（,,）.又点E的坐标为(0,,)所以FE=(-,,-).因为cos∠33322366111112(,,)(,.)FEFD3331所以∠EFD=，EFD=36660即二面角C-PB-D的

266FEFD63大小为60.

可以发现它的思路是综合法与向量法的综合，是个结合体，在证明线面平行和垂直的时候，还是利用公理体系中的判定定理来证明，但是在寻找应用定理所需要的条件时，利用向量知识来证明线线平行和垂直．例如由PA=2EG，得到PA//EG，由PB．DE=0得到PB⊥DE,同样，在求二面角的大小时，也是先找到平面角，然后利用向量的计算优势去求解．

例2 如图1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,

(1)判断BC1与平面A1B1C1D1的位置关系,并证明你的结论;

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(2)求证:B1D⊥平面A1C1B.

图4

这道题运用“综合法”和“向量法”均可以,但运用前者的话,问题转化显得更容易,解答过程也就更顺畅,特别是第(2)小题.但笔者在批改的过程中发现:如果该校提前学习了“空间向量”的内容的话(注:此内容按规定应是下个学期的授课内容).那么用“向量法”解题的学生就超过95%,且若以第(2)小题为例,计算错误等差错的比率远高于用“综合法”解题的学生.

例3如图2,在直三棱柱ABC-A1B1C1D1中,平面A1BC⊥侧面A1ABB1 [14]. (Ⅰ)求证:AB⊥BC;

(Ⅱ)若直线AC与平面A1BC所成的角为,二面角A1BCA的大小为,试判断与

的大小关系,并予以证明.

图5 图6

分析(Ⅰ)由已知AD⊥A1B于D,则易证AD⊥平面A1BC且AB⊥BC.显然不需要用向量法证明.

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下面我们比较一下第(Ⅱ)小题的两种解法.

综合法:如图5连结CD,则由(Ⅰ)知∠ACD是直线AC与平面A1BC所成的角,∠

ABA1是二面角A1BCA的平面角,即∠ACD =,∠ABA1=.于是在Rt△ADC中,sin=

ADAD,在Rt△ADB中,sin= ,由AB＜AC,得sin＜sin,又0＜, ACAB＜

所以＜. 2向量法:以点B为坐标原点,以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,

A(0,c,0) , 建立如图6所示的空间直角坐标系,设AA1=a,AC =b,AB =c,则B(0,0,0)，

C(b2c2,0,0),A1(0,c,a),于是BC =(b2c2,0,0),BA1=(0,c,a),

AC=(b2c2,c,0), AA1BC的一个法向量为n=(x,y,z),则由1=(0,0,a).设平面Acyaz0nBA10AC=ac ﹥0,又因为AC与n,得,可取n= (0,a,c),于是n·22x0bcnBC0的夹角为锐角,则与互为余角.所以sin=cos= nACnAC=

acba2c2,cos=

BA1BABA1BA=

ca2c2,所以sin=

ca2c2,于是由c＜b,得

acba2c2＜

ca2c2,

即sin＜sin,又0＜, ＜

,所以＜. 2从该题可以看出,由于空间直角坐标系的建立毫无障碍,习惯上用“向量法”解题的学生会马上作出这种选择.但事实上与“综合法”相比,用“向量法”解决上面的两个问题不但计算显得繁琐,解题步骤丝毫也不占任何便宜.这样就不仅浪费了宝贵的考试时间,其准确性也难以保证.对于某些建立空间直角坐标系较繁琐的题目来说就更不待言了.

例4 已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是B1C1和C1D1的中点. 求点A1到平面DBEF的距离 [15]．

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x 图7

分析：求点到平面的距离是先作出表示距离的线段，再证明它就是所要求的距离，然后再计算；或利用体积法．但A1在平面DBEF的射影难以确定，给求解增加难度．因此这题用向量法可简化其过程，关键是求出平面DBEF的法向量．法向量的求解有多种，可直接利用向量积，在平面内找两个不共线的向量，例如DB和DF，那么n＝但高中教材未曾涉及向量积，这里根据线面垂直的判定定理，设n=(x,y,z)，DB·DF．

通过建立方程组求出一组特解．

解：如图7，建立空间直角坐标系，以D点为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，

DD1为z轴．从而有DB=(1,1,0)，DF=(0,0.5,1)，DA1=(1,0,1)．设平面DBEF的法向量为n=(x,y,z)，则有：n·DB=0和n·DF=0即：xy0和0.5yz0．令x=1，y=-1，

nDA1nz=0.5取n=(1,1,0.5)，则A1到平面DBEF的距离h==1．

例 5如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，∠ABC =45°，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点． 求异面直线AB与MD所成角的大小 [15]．

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图8 图9

分析：用综合法求异面直线所成角是将异面直线平移，转化为同一平面内的两条直线，再借助三角形的正、余弦定理求解．这种方法的特点是要做辅助线和计算量非常大、计算过程复杂，导致学生常常出错．而向量法可简化其过程． 综合法：如图8

解∵CD∥AB，

∴∠MDC为异面直线AB与MD所成的角 作AP⊥CD于P，连接MP， ∵OA⊥平面ABCD，∴CD⊥MP， ∵∠MDC＝

2 ． ∴DP=，又MD=MA2AD22． 42DP1, ∠MDC=∠MDP=． MD23∴cos∠MDP=

所以AB与MD所成角的大小为向量法：如图9

． 3解：作AP⊥CD于点P，分别以AB，AP，AO所在直线为x,y,z轴建立坐标系． 则有：A(0,0,0)，B(1,0,0)，P(0,22,,0)． 44222,0)，D(,,0)，O(0,0,2)，M(0,0,1)，222N(设AB与MD所成的角为，∵AB=(1,0,0)，MD=(22,,1)， 22 16

cos=ABMDABMD1，所以AB与MD所成角的大小为．

32应用向量法对学生的知识储备要求比较低，且计算过程比较简单，避免了作图和转换等比较复杂的过程，所以该题中用向量法法的优势很明显．

6两种方法的比较分析

6.1综合法和向量法的区别与联系

6.1.1两种方法的区别

首先，综合法与向量法的观察点不同

从学生探索过程来看，用综合法更利于培养学生的空间想象能力．由于课本中反映概念及定理的图形通常是以标准位置给出，比如“线面垂直”、“面面垂直”定理的图形，“二面角的平面角”的概念图形等．由于标准图形的特殊性，导致学生机械的识记和思维的呆滞．而综合法解决问题的依据正是这些定理和概念，正确认识概念和定理图形所反应的本质是解决问题的基础．故只有通过利用图形位置的变化，保持概念定理的本质特征，才能排除由标准图所带来的错误信息的干扰．学生若经常进行这样的训练，形成学生自己的经验，从而能够提高他们的解释图形信息的能力以及视觉加工能力和抽象能力，对学生的空间想象能力的培养起到促进作用．而用向量法解决问题时，可能连图形都不用画，学生对图形中的点、线、面之间的运动和关系可以说没有体会，大多数的数学内在都被“隐藏”在了代数运算中．只会用向量法解决问题的学生对图形的认识要比用综合法的学生肤浅得多．

其次，综合法与向量法的思考点不同

立体几何涉及二面角，题中有线线关系，线面关系，面面关系，知识覆盖面大．学生在找作、证、求、解的过程中，或在转化问题的过程中，学生对具体图形的各种位置关系与度量关系都有互不相同的感性探索与认识，经历观察、操作、推理、想象等过程．发现如果应用综合法解决该问题，学生对问题的理解肯定比用向量法思维转化更多更深，尤其是学生在排除干扰和非本质现象，得到正确的结论的过程中，学生的能力必得到了提高，从而使他们在不知不觉中提高逻辑思维能力及空间想象能力．而向量法注重表层形式的操作过程，而轻内部深层的思维操作过程．把空间结构利用向量载体代数化，把空间的研究从定性转为定量，避开了各种辅助线添加的难处，减少了学生思维转换的难

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度和复杂度，体现了高效性，模式化和可操作性．

再次，综合法与向量法的论证点不同

用综合法解题，最终都要有理有据的的有层次有条理的表述出来，要准确，简明的使用数学语言，学生在文字、符号、图像三种表达途径灵活转化的过程中锻炼了自己的思维能力．向量法比较侧重量的表示，将形式逻辑证明转化为数值计算的过程，对解题过程推理论证要求比较低．事实上，有些同学尽管解题思路正确甚至很巧妙，但却经常出现“心中有理却说不出”的现象，不能做到有理有据．而不断用综合法处理问题的训练过程中，就可以训练学生的这种论述能力，丰富数学语言系统，提高数学语言水平，数学语言的精确程度影响到数学思维的准确性，也有利于学生欣赏体会数学的统一美，对称美、简单美 [13]． 6.1.2两种方法的联系

综合法在整个解题过程可以概括为先证后算，说理性强，而向量法为先算后证，最终目的是把问题解决，有些题中经常两种方法都能用，解题过程中，有时坚持演绎推理与向量运算并举，两种方法互相结合，不分你我．

6.2向量法与综合法的优缺点

6.2.1向量法的优缺点

向量法就是在图形上取适当的点作为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标和数量积解决直线、平面问题的位置关系、角度、长度等问题．随着新课程改革的深入, 向量法一经出现马上就受到了极大地重视．

向量法的优点是以算代证,数形结合，由数定性、定量，方法统一、机械，可操作性强;弱化了技巧、降低了难度、丰富了思维结构．进一步而言，相对于传统方法，对立体几何题的探讨用向量法则显得自然、简便.对立体几何的平行、垂直、角、距离等问题，特别是根据题设条件可以较方便地建立空间直角坐标系时，这种优越性便发挥得更为明显,既降低了难度，又易学易懂,有效地避开了立体几何中繁琐的定性分析．

向量法缺点是适用范围比综合法窄(比较规则的几何体)，有时运算量比较大，也需要一定的技巧，学生掌握这些技巧同样会有困难，定量计算一旦算错，全盘皆错.而且相对于传统方法而言，后者对于学生逻辑思维能力、作图能力及空间想象能力的培养与提高稍显不足． 6.2.2综合法的优缺点

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综合法是指不使用其他工具，对几何元素及其关系用定理(或公理)演绎推理出有关结论. 它的优点是解法简捷、优雅；对逻辑思维能力、作图能力和空间想象力的提高较有成效．但它常需添加辅助线、辅助面； 要求学生的基础知识过硬和扎实，需要学生有较高空间想像能力(判定点、线、面)位置关系能力及较强作图能力(包括作辅助线、面)与较严谨的逻辑推理能力和较高技巧、计算能力强等劣势．

6.3向量法与综合在选择上的思考

6.3.1 综合法和向量法在教学中的实施建议

⑴ 在高一阶段学习综合立体几何，打好基础；在高二阶段学习向量法，但内容不必太多，也不必占用太多的课时．向量几何的学习应该安排在高一完整的学习综合几何后．一方面，良好的综合几何的基础对对学习向量内容是有帮助的；另一方面，在高一学生学习了物理课上的“既有大小又有方向的量”之后，比如力，速度，加速度，位移等后，学生对向量的理解就会有比较深的物理情境的体会，这样他们学习起向量理论就会更自然，更容易接受[13]．

⑵基础对于高中立体几何学习而言是至关重要的.所以在立体几何的初始学习阶段,应该使学生先牢固掌握“综合法”的基本解题要点,特别是在平行、垂直,空间角等的证明与计算方面.让学生培养起能为以后进一步学习提供良好支撑的读、识与作图能力、空间想像能力以及逻辑推理等能力.而对空间直角坐标系知识在初始学习时仅作了解或初步运用即可.理科班学生可以在选修阶段给予加强与提高,而文科班学生则不再作进一步的要求了.在引入“向量法”后,对于理科生而言,我们应通过一题多解或两种方法的综合应用,使学生既能领悟“向量法”的以算代证功能,又能强化以上所述的各种能力的提高.久而久之,学生分析和解决立体几何问题的敏锐程度将不断提高,达到根据不同的题目选择用不同的方法灵活解决的程度[16].

⑶在平时立体几何课堂教学中，精心组织设计问题，让学生加强训练，在教师启发解题时着力于拓展思维，尽可能演示发散思维：融合综合法，向量法并举解决问题，切忌用单一向量法解决问题了事，教会学生把握空间想象能力、作图能力、逻辑推理能力、计算能力．并在平时学习中得以贯通，在具体解题中得以灵活应用．多角度训练，可以利用复习课，专门抽出时间，精心组织设计问题集中练习学生知识薄弱环节，使学生在学习立体几何时知识薄弱环节在平时中就得以充分暴露，以便及时补救．并且针对学生普遍轻综合法，重向量法解决立体几何问题的现象，平时教学中可以专门抽出时间规定

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学生只能用综合法来解决立体几何问题，以矫正学生思维定势[17]． 6.3.2综合法和向量法在解题选择上的思考

随着新课程改革的深入, 向量法一经出现马上就受到了极大地重视．但课程改革的理念并不是彻底抛弃综合法，而是注意两者的结合，走中间路线，既保持综合法的一些要求，也发挥了向量法的计算优势．

在处理具体问题时，要采取实事求是的态度：凡是用综合法不直观比较困难而用向量比较容易解决的问题，就以向量为“通法”来解决（如例4、5）；对有些直接使用线面关系性质定理、勾股定理和三角知识比较容易解决，并且用向量法运算量较大、出错率较高的问题，就用综合法去对待（如例2、3）；而部分题是把几何综合推理和向量代数运算推理有机地结合起来运用（如例1）．所有，对于综合法与向量法的选择需要根据具体题目而定，选择花时最少，相对简单的方法，这就需要平时的训练中两种方法都会运用解题，不要因为其中一种方法解题困难而错失整到题．

7结论

7.1主要发现

本文在文献[1-17]的基础上对高考数学中立体几何的两种求解方法进行了比较探究，全面分析了立体几何问题分别用综合法和向量法来解题的方法，并通过实例中对两种方法解题的对比，指出综合法与向量法的优缺点及区别与联系，进而提出在教学和解题上对综合法与向量法的选择的思考，以期使它们的积极功能得以体现．

7.2启示

近年来高考数学对立体几何的考查加深的难度，并且在高考时间限制的条件下，学会对比分析那种解题方法更简单、快捷显得尤为重要．所以我们在夯实基础的前提下,要学会发现问题、分析问题和解决问题的方法．

7.3努力方向

在今后的学习和研究中将会不断地深入探究，对以后高考数学中的立体几何问题的两种解法继续进行对比探究，给出给出更多更全面的分析，以弥补本文的不足．

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