内蒙古固阳县一中2019届高三上学期期中考试数学(文)试卷(精校Word版含答案)

固阳一中2018-2019学年度第一学期期中考试

高三数学（文科）

命题人： 王志强 审题人：李宇杰

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知集合A={1，2，3}，B={x|（x+1） （x-2）＜0，x∈Z}，则A∪B等于（ ）

A. C.

1，2，

B. D.

0，1，2，

2. 设复数z满足z+i=3-i，则=（ ）

A.

B.

C.

D.

3. 命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0-1”的否定是（ ）

A. C.

，，

B. D.

，，

4. 函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为（ ）

A. B. C.

D.

5. 已知向量=（1，m），=（3，-2），且（+）⊥，则m=（ ）

A. B.

C. 6

D. 8

6. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

（ ） A. B. C. D.

7. 甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到

面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用．若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ） A. 丙被录用了 B. 乙被录用了

C. 甲被录用了 D. 无法确定谁被录用了 8. 已知双曲线-=1（a＞0）的离心率为2，则实数a=（ ）

A. 2

B.

C.

D. 1

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9. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并

生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n等于 A. 2 B. 3

C. 4 D. 5

10. 已知函数f（x）=

，则y=f（x）的图象大致为（ ）

A. B.

C. D.

11. 直线

值是（ ） A. 9

B. 4

被圆截得的弦长为，则的最小

C. D.

，

12. 设f'（x）是函数f（x）定义在（0，+∞）上的导函数，满足

则下列不等式一定成立的是（ ）

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A.

B. C. D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 过点（1，1）且与直线2x-y+1=0平行的直线方程为______ ．

14. 若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10， 则M到y轴的距离是______ ．15. 设x，y满足约束条件

，则z=3x-2y的最小值为______．

16. 等边三角形ABC的三个顶点在一个O为球心的球面上，G为三角形ABC的

中心，且OG=

．且△ABC的外接圆的面积为，则球的体积为______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且满足（b-c）2=a2-bc．

（1）求角A的大小；

（2）若a=3，sinC=2sinB，求△ABC的面积．

18. 已知等差数列{an}满足a3=2，前3项和S3=．

（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）设等比数列{bn}满足b1=a1，b4=a15，求{bn}前n项和Tn．

19. 已知函数

(1)求函数(2)若把大值．

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，

的单调区间；

向右平移个单位得到函数

．

，求在区间上的最小值和最

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20. 在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面

ABCD，F为BE的中点． （Ⅰ）求证：DE∥平面ACF； （Ⅱ）求证：BD⊥AE； （Ⅲ）若AB=

CE=2，求三棱锥F-ABC的体积．

21．已知椭圆

圆M有两个不同的交点A，B. （Ⅰ）求椭圆M的方程； （Ⅱ）若（Ⅲ）设

，求

的离心率为，焦距为.斜率为k的直线l与椭

的最大值；

，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个

共线，求k.

交点为D.若C,D和点

22.已知函数f（x）=（x+1）lnx-a（x-1）．

（I）当a=4时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程； （II）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．

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期中和解析

1.【答案】C

解：∵集合A={1，2，3}，

B={x|（x+1）（x-2）＜0，x∈Z}={0，1}， ∴A∪B={0，1，2，3}． 2.【答案】A

解：∵复数z满足z+i=3-i， ∴z=3-2i， ∴=3+2i， 3.【答案】B

解：命题的否定是：∀x∈（0，+∞），lnx≠x-1， 4.【答案】B 【解析】

解：函数f（x）=sin（2x+故选：C．

5.【答案】D

解：∵向量=（1，m），∴+=（4，m-2）， 又∵（+）⊥， ∴12-2（m-2）=0， 解得：m=8， 6.【答案】D

=（3，-2）， ）的最小正周期为：

=π．

解：由题意可知，几何体是半圆柱，底面半圆的半径为1，圆柱的高为2， 所以该几何体的体积为：V=7.【答案】C

解：假设甲说的是真话，即丙被录用，则乙说的是假话，丙说的是假话，不成立； 假设甲说的是假话，即丙没有被录用，则丙说的是真话， 若乙说的是真话，即甲被录用，成立，故甲被录用； 若乙被录用，则甲和乙的说法都错误，不成立． 8.【答案】D

=π．

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解：由题意， e==解得，a=1． 9.【答案】C 解：当n=1时，a=当n=2时，a=当n=3时，a=当n=4时，a=

，b=4，满足进行循环的条件， =2，

，b=8满足进行循环的条件， ，b=16满足进行循环的条件， ，b=32不满足进行循环的条件，

故输出的n值为4，

10.【答案】A 解：令g（x）=x-lnx-1，则

，

由g'（x）＞0，得x＞1，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增， 由g'（x）＜0得0＜x＜1，即函数g（x）在（0，1）上单调递减， 所以当x=1时，函数g（x）有最小值，g（x）min=g（0）=0， 于是对任意的x∈（0，1）∪（1，+∞），有g（x）≥0，故排除B、D，

因函数g（x）在（0，1）上单调递减，则函数f（x）在（0，1）上递增，故排除C， 故选：A． 11.【答案】A

2222

解：圆x+y+2x-4y+1=0，即圆（x+1）+（y-2）=4，

它表示以（-1，2）为圆心、半径等于2的圆； 设弦心距为d，由题意可得22+d2=4，求得d=0， 可得直线经过圆心，故有-2a-2b+2=0， 即a+b=1，再由a＞0，b＞0，可得

，

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当且仅当故选：A．

=时取等号，∴+的最小值是9．

12.【答案】B

解：f'（x）是函数f（x）定义在（0，+∞）上的导函数，满足可得

，

，

22

令g（x）=xf（x），则g′（x）=xf′（x）+2xf（x）=＞0，

∴函数g（x）在R上单调递增．

2

∴g（2）=4f（2）＜g（e）=ef（e）＜g（3）=9f（3），

∴故选B．

．

13.【答案】2x-y-1=0

解：由直线的平行关系可设要求直线方程为2x-y+c=0， 1-1+c=0，解得c=-1， 由直线过点（1，1）可得2×∴所求直线方程为2x-y-1=0， 故答案为：2x-y-1=0． 14.【答案】9

解：抛物线的准线为x=-1， ∵点M到焦点的距离为10， ∴点M到准线x=-1的距离为10， ∴点M到y轴的距离为9． 故答案为：9． 15.【答案】-5

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解：由x，y满足约束条件域如图，

由图可知，目标函数的最优解为A， 联立

，解得A（-1，1）．

作出可行

1-2×1=-5． ∴z=3x-2y的最小值为-3×故答案为：-5．

16. 【答案】

解：设△ABC的外接圆的半径为r，则 ∵△ABC的外接圆的面积为∴r=

，

，

∵O为球心，G为三角形ABC的中心，且OG=∴球的半径为1， ∴球的体积为故答案为

．

．

17.【答案】解：（1）∵（b-c）2=a2-bc，可得：b2+c2-a2=bc， ∴由余弦定理可得：cosA=又∵A∈（0，π）， ∴A=,

（2）由sinC=2sinB及正弦定理可得：c=2b， ∵a=3，A=，

∴由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc=3b2，

∴解得：b=，c=2， ∴S△ABC=bcsinA=

=

. =

=，

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18.【答案】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，则由已知条件得：

，解得

．

； ．

，从而q=2，

．

代入等差数列的通项公式得：（Ⅱ）由（Ⅰ）得，设{bn}的公比为q，则故{bn}的前n项和

19.【答案】解：（1）令2kπ-≤2x+≤2kπ+， 得kπ-≤x≤kπ+， 可得函数

=1+2

sinxcosx-2sin2x=sin2x+cos2x=2sin（2x+），

的单调增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z；

令2kπ+≤2x+≤2kπ+， 得kπ+≤x≤kπ+， 可得函数

的单调减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．

（2）若把函数f（x）的图象向右平移个单位， 得到函数∵x∈[-，0]， ∴2x-∈[-，-]， ∴∴

∈[-1，]，

∈[-2，1]．

上的最小值为-2，最大值为1．

=

的图象，

故g（x）在区间

20.【答案】证明：（Ⅰ）连接OF．由ABCD是正方形可知，点O为BD中点．

又F为BE的中点，∴OF∥DE． 又OF⊂面ACF，DE⊄面ACF，

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∴DE∥平面ACF

（II）由EC⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD， ∴EC⊥BD，

由ABCD是正方形可知，AC⊥BD， 又AC∩EC=C，AC、E⊂平面ACE， ∴BD⊥平面ACE， 又AE⊂平面ACE， ∴BD⊥AE

解：（III）取BC中G，连结FG，

在四棱锥E-ABCD中，EC⊥底面ABCD， ∵FG是△BCE的中位线，∴FG⊥底面ABCD， ∵AB=

，∴FG=

，

=××4×=

．

∴三棱锥F-ABC的体积V=

22.【答案】解：（I）当a=4时，f（x）=（x+1）lnx-4（x-1）． f（1）=0，即点为（1，0），

函数的导数f′（x）=lnx+（x+1）•-4，

则f′（1）=ln1+2-4=2-4=-2，

即函数的切线斜率k=f′（1）=-2，

则曲线y=f（x）在（1，0）处的切线方程为y=-2（x-1）=-2x+2； （II）∵f（x）=（x+1）lnx-a（x-1）， ∴f′（x）=1++lnx-a， ∴f″（x）=

，

∵x＞1，∴f″（x）＞0，

∴f′（x）在（1，+∞）上单调递增， ∴f′（x）＞f′（1）=2-a．

①a≤2，f′（x）＞f′（1）≥0， ∴f（x）在（1，+∞）上单调递增， ∴f（x）＞f（1）=0，满足题意；

②a＞2，存在x0∈（1，+∞），f′（x0）=0，函数f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，

由f（1）=0，可得存在x0∈（1，+∞），f（x0）＜0，不合题意． 综上所述，a≤2．

另解：若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0， 可得（x+1）lnx-a（x-1）＞0， 即为a＜由y=

， 的导数为y′=

，

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由y=x--2lnx的导数为y′=1+-=函数y在x＞1递增，可得则函数y=则=

＞0，

＞0，

在x＞1递增，

=2，

可得

＞2恒成立，

即有a≤2．

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