初中几何辅助线三角形方法小结

初中数学辅助线的添加方法总结（1）

一、基本图形的辅助线的画法

1.三角形问题添加辅助线方法

方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。

方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。

方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。

方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。

2.平行四边形中常用辅助线的添法

平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：

（1）连对角线或平移对角线：

（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形

（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线

（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。 （5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.

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3.梯形中常用辅助线的添法

梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：

（1）在梯形内部平移一腰。 （2）梯形外平移一腰 （3）梯形内平移两腰 （4）延长两腰

（5）过梯形上底的两端点向下底作高 （6）平移对角线

（7）连接梯形一顶点及一腰的中点。 （8）过一腰的中点作另一腰的平行线。 （9）作中位线

当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。

4.圆中常用辅助线的添法

在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁，从而使问题化难为易，顺其自然地得到解决，因此，灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。

（1）见弦作弦心距

有关弦的问题，常作其弦心距（有时还须作出相应的半径），通过垂径平分定理，来沟通题设与结论间的联系。

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（2）见直径作圆周角

在题目中若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用\"直径所对的圆周角是直角\"这一特征来证明问题。

（3）见切线作半径

命题的条件中含有圆的切线，往往是连结过切点的半径，利用\"切线与半径垂直\"这一性质来证明问题。

（4）两圆相切作公切线

对两圆相切的问题，一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线，通过公切线可以找到与圆有关的角的关系。

（5）两圆相交作公共弦

对两圆相交的问题，通常是作出公共弦，通过公共弦既可把两圆的弦联系起来，又可以把两圆中的圆

第一讲：三角形中作辅助线的常用方法举例

一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，若直接证不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：

例1：已知如图1-1：D、E为△ABC内两点,求证:AB＋AC＞BD＋DE＋CE. 证明：（法一）将DE两边延长分别交AB、AC 于M、N，

在△AMN中，AM＋AN ＞ MD＋DE＋NE;（1） 在△BDM中，MB＋MD＞BD； （2） 在△CEN中，CN＋NE＞CE； （3） 由（1）＋（2）＋（3）得：

AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE ∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC

AMBDEGNCAFEC3

DB

图11图12徐福计祝你学业进步！ 开心学习，快乐成长，轻松晋级！

（法二：）如图1-2， 延长BD交 AC于F，延长CE交BF于G，

在△ABF和△GFC和△GDE中有：

AB＋AF＞ BD＋DG＋GF （三角形两边之和大于第三边）（1） GF＋FC＞GE＋CE（同上）………………………………（2） DG＋GE＞DE（同上）……………………………………（3） 由（1）＋（2）＋（3）得：

AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE

∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC。

二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：

例如：如图2-1：已知D为△ABC内的任一点，求证：∠BDC＞∠BAC。 分析：因为∠BDC与∠BAC不在同一个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使∠BDC处于在外角的位置，∠BAC处于在内角的位置；

证法一：延长BD交AC于点E，这时∠BDC是△EDC的外角，

∴∠BDC＞∠DEC，同理∠DEC＞∠BAC，∴∠BDC＞∠BAC 证法二：连接AD，并延长交BC于F

∵∠BDF是△ABD的外角

∴∠BDF＞∠BAD，同理，∠CDF＞∠CAD ∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD 即：∠BDC＞∠BAC。

注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。

AGEDF图21CB三、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：

例如：如图3-1：已知AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE＋CF＞EF。 分析：要证BE＋CF＞EF ，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，可在角的两边截取相

ANE2314BD图31FC4

徐福计祝你学业进步！ 开心学习，快乐成长，轻松晋级！ 等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN，FN，EF移到同一个三角形中。

证明：在DA上截取DN＝DB，连接NE，NF，则DN＝DC， 在△DBE和△DNE中：

DNDB(辅助线的作法)∵ 12(已知)EDED(公共边)∴△DBE≌△DNE （SAS）

∴BE＝NE（全等三角形对应边相等） 同理可得：CF＝NF

在△EFN中EN＋FN＞EF（三角形两边之和大于第三边） ∴BE＋CF＞EF。

注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的性质得到对应元素相等。

四、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。

例如：如图4-1：AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE＋CF＞EF 证明：延长ED至M，使DM=DE，连接

CM，MF。在△BDE和△CDM中，

ABDCD(中点的定义)∵1CDM(对顶角相等) EDMD(辅助线的作法) ∴△BDE≌△CDM （SAS）

又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4 （已知） ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°（平角的定义） ∴∠3＋∠2=90°，即：∠EDF＝90° ∴∠FDM＝∠EDF ＝90° 在△EDF和△MDF中

E2341DFCB图41MEDMD(辅助线的作法) ∵EDFFDM(已证)

DFDF(公共边) ∴△EDF≌△MDF （SAS）

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∴EF＝MF （全等三角形对应边相等）

∵在△CMF中，CF＋CM＞MF（三角形两边之和大于第三边） ∴BE＋CF＞EF

注：上题也可加倍FD，证法同上。

注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。

A五、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。

例如：如图5-1：AD为 △ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD。 分析：要证AB＋AC＞2AD，由图想到： AB＋BD＞AD,AC＋CD＞AD，所以有AB＋AC＋ BD＋CD＞AD＋AD＝2AD，左边比要证结论多BD＋CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。

证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，则AE＝2AD ∵AD为△ABC的中线 （已知） ∴BD＝CD （中线定义） 在△ACD和△EBD中

BDCEBDCD(已证) ADCEDB(对顶角相等) ADED(辅助线的作法) ∴△ACD≌△EBD （SAS）

∴BE＝CA（全等三角形对应边相等）

∵在△ABE中有：AB＋BE＞AE（三角形两边之和大于第三边） ∴AB＋AC＞2AD。

（常延长中线加倍，构造全等三角形） 图51EAFBCD图52练习：已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图5-2， 求证EF＝2AD。

A21N六、截长补短法作辅助线。

例如：已知如图6-1：在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任一点。求证：AB－AC＞PB－PC。 分析：要证：AB－AC＞PB－PC，想到利用三角形三边关系定理证

PD图61CBM之，因为欲证的是线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB－AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB－AC＝BN， 再连接PN，则PC＝PN，又在△PNB中，PB－PN＜BN，即：AB

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徐福计祝你学业进步！ 开心学习，快乐成长，轻松晋级！ －AC＞PB－PC。 证明：（截长法）

在AB上截取AN＝AC连接PN , 在△APN和△APC中

AN∵AC(辅助线的作法)12(已知) APAP(公共边) ∴△APN≌△APC （SAS）

∴PC＝PN （全等三角形对应边相等）

∵在△BPN中，有 PB－PN＜BN （三角形两边之差小于第三边） ∴BP－PC＜AB－AC

证明：（补短法） 延长AC至M，使AM＝AB，连接PM，

在△ABP和△AMP中

ABAM(辅助线的作法) ∵ 12(已知)

APAP(公共边) ∴△ABP≌△AMP （SAS）

∴PB＝PM （全等三角形对应边相等）

又∵在△PCM中有：CM＞PM－PC(三角形两边之差小于第三边) ∴AB－AC＞PB－PC。

七、延长已知边构造三角形：

例如：如图7-1：已知AC＝BD，AD⊥AC于A ，BC⊥BD于B， 求证：AD＝BC 分析：欲证 AD＝BC，先证分别含有AD，BC的三角形全等，有几种E方案：△ADC与△BCD，△AOD与△BOC，△ABD与△BAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。

证明：分别延长DA，CB，它们的延长交于E点， AB ∵AD⊥AC BC⊥BD （已知） O ∴∠CAE＝∠DBE ＝90° （垂直的定义） D图71C 在△DBE与△CAE中

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EE(公共角) ∵DBECAE(已证)

BDAC(已知) ∴△DBE≌△CAE （AAS）

∴ED＝EC EB＝EA （全等三角形对应边相等） ∴ED－EA＝EC－EB 即：AD＝BC。

（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。）

八 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。

例如：如图8-1：AB∥CD，AD∥BC 求证：AB=CD。 分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决。

证明：连接AC（或BD）

∵AB∥CD AD∥BC （已知）

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4 （两直线平行，内错角相等） 在△ABC与△CDA中

AD1312(已证) ∵ ACCA(公共边) 4234(已证)B图81C ∴△ABC≌△CDA （ASA）

∴AB＝CD（全等三角形对应边相等）

F九、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。

AE例如：如图9-1：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，DCE⊥BD的延长于E 。求证：BD＝2CE 1分析：要证BD＝2CE，想到要构造线段2CE，同时CE与∠ABC的B2C平分线垂直，想到要将其延长。

图91证明：分别延长BA，CE交于点F。 ∵BE⊥CF （已知）

∴∠BEF＝∠BEC＝90° （垂直的定义）

在△BEF与△BEC中，

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12(已知) ∵  BEBE(公共边)BEFBEC(已证)∴△BEF≌△BEC（ASA）∴CE=FE=

1CF （全等三角形对应边相等） 2 ∵∠BAC=90° BE⊥CF （已知）

∴∠BAC＝∠CAF＝90° ∠1＋∠BDA＝90°∠1＋∠BFC＝90° ∴∠BDA＝∠BFC

在△ABD与△ACF中

BACCAF(已证) BDABFC(已证)

AB＝AC(已知) ∴△ABD≌△ACF （AAS）∴BD＝CF （全等三角形对应边相等） ∴BD＝2CE

十、连接已知点，构造全等三角形。

例如：已知：如图10-1；AC、BD相交于O点，且AB＝DC，AC＝BD，求证：∠A＝∠D。 分析：要证∠A＝∠D，可证它们所在的三角形△ABO和△DCO全等，而只有AB＝DC和对顶角两个条件，差一个条件，，难以证其全等，只有另寻其它的三角形全等，由AB＝DC，AC＝BD，若连接BC，则△ABC和△DCB全等，所以，证得∠A＝∠D。

证明：连接BC，在△ABC和△DCB中

AODABDC(已知) ∵ ACDB(已知)

BCCB(公共边) ∴△ABC≌△DCB (SSS)

∴∠A＝∠D (全等三角形对应边相等)

B图101C十一、取线段中点构造全等三有形。

例如：如图11-1：AB＝DC，∠A＝∠D 求证：∠ABC＝∠DCB。 分析：由AB＝DC，∠A＝∠D，想到如取AD的中点N，连接NB，NC，再由SAS公理有△ABN≌△DCN，故BN＝CN，∠ABN＝∠DCN。下面只需证∠NBC＝∠NCB，再取BC的中点M，连接MN，则由SSS公理有△NBM≌△NCM，所以∠NBC＝∠NCB。问题得证。

证明：取AD，BC的中点N、M，连接NB，NM，NC。则AN=DN，BM=CM，在△ABN和△DCN中 ∵

AND

BM图1119

C徐福计祝你学业进步！ 开心学习，快乐成长，轻松晋级！

ANDN(辅助线的作法) AD(已知)ABDC(已知)∴△ABN≌△DCN （SAS）

∴∠ABN＝∠DCN NB＝NC （全等三角形对应边、角相

在△NBM与△NCM中

等）

NB＝NC(已证) ∵BM＝CM(辅助线的作法)

NM＝NM(公共边)∴△NMB≌△NCM，(SSS) ∴∠NBC＝∠NCB （全等三角形对应角相等）∴∠NBC＋∠ABN ＝∠NCB＋∠DCN 即∠ABC＝∠DCB。

巧求三角形中线段的比值

例1. 如图1，在△ABC中，BD：DC＝1：3，AE：ED＝2：3，求AF：FC。 解：过点D作DG//AC，交BF于点G 所以DG：FC＝BD：BC

因为BD：DC＝1：3 所以BD：BC＝1：4 即DG：FC＝1：4，FC＝4DG

因为DG：AF＝DE：AE 又因为AE：ED＝2：3 所以DG：AF＝3：2

即 所以AF：FC＝：4DG＝1：6

例2. 如图2，BC＝CD，AF＝FC，求EF：FD 解：过点C作CG//DE交AB于点G，则有EF：GC＝AF：AC

因为AF＝FC 所以AF：AC＝1：2

即EF：GC＝1：2，

因为CG：DE＝BC：BD 又因为BC＝CD

所以BC：BD＝1：2 CG：DE＝1：2 即DE＝2GC

因为FD＝ED－EF＝ 所以EF：FD＝

小结：以上两例中，辅助线都作在了“已知”条件中出现的两条已知线段的交点处，且所作的辅助线与结论中出现的线段平行。请再看两例，让我们感受其中的奥妙！

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徐福计祝你学业进步！ 开心学习，快乐成长，轻松晋级！ 例3. 如图3，BD：DC＝1：3，AE：EB＝2：3，求AF：FD。 解：过点B作BG//AD，交CE延长线于点G。 所以DF：BG＝CD：CB

因为BD：DC＝1：3 所以CD：CB＝3：4

即DF：BG＝3：4，

因为AF：BG＝AE：EB 又因为AE：EB＝2：3

以AF：BG＝2：3 即

所以AF：DF＝

例4. 如图4，BD：DC＝1：3，AF＝FD，求EF：FC。 解：过点D作DG//CE，交AB于点G 所以EF：DG＝AF：AD

因为AF＝FD 所以AF：AD＝1：2

即EF：DG＝1：2

因为DG：CE＝BD：BC，又因为BD：CD＝1：3， 所以BD：BC＝1：4 即DG：CE＝1：4，CE＝4DG

因为FC＝CE－EF＝

所以EF：FC＝＝1：7

练习：

1. 如图5，BD＝DC，AE：ED＝1：5，求AF：FB。

2. 如图6，AD：DB＝1：3，AE：EC＝3：1，求BF：FC。

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答案：1、1：10； 2. 9：1

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