集合与二元关系

集合与关系部分习题参

习题三

3.1 （1）假（2）真（3）真（4）真（5）假（6）假（7）假（8）真（9）假（10）真 3.2 (1)A∪B

={1,2,3,5,7,9,11}

(2)A∩C={3}

(3)(A∪B)∩C={1,5,7,9,11} (4)A－B={1,9}

(5)C－D

={3,6,12}

(6)BÅD ={3,4,5,7,8,11} 3.3 (1)A∪B

={1,2,3,5,7,9,11} (2)A∩C={3} (3)((4)A－B ={1,9}

(5)C－D ={3,6,12}

3.4

(1)如下图

B C A

（2）

（3）

授课：XXX

A∪B)∩C={1,5,7,9,11}

(6)BÅD ={3,4,5,7,8,11}

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（4）

3.5

（1） P(A)={Æ,{Æ}}

（2） P(A)={Æ,{{1}},{1},{{1},1}}

（3） P(A)={Æ,{Æ},{{1}},{{2}},{{1,2}},{Æ,{1}},{Æ,{2}},{Æ,{1,2}},

{{1},{2}},{{1},{1,2}},{{2},{1,2}},{Æ,{1},{2}},{Æ,{1},{1,2}},{Æ,{2},{1,2}},{{1},{2},{1,2}},A}

（4）

P(A)={Æ,{{1,1}},{{2,1}},{1,2,1},{{1,1},{2,1}},{{1,1},{1,2,1}},{{2,1},{1,2,

1}},A}

3.6 原式=((A∪(B－C))∩A)∪(B－(B－A))

=A∪（A∩B）=A

3.7

（1）假。 例如，A={1,2},B={1,3},C={2,3}不成立 （2）假。例如，A=Æ, B={1},C={2}不成立 3．8

证明(A∪C)-(B∪C)=A-B-C。 （原题有误，右式少了C）

授课：XXX

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证明：(A∪C)-(B∪C)= (A∪C) ∩BC

=(A∪C) ∩BC

=((AC)C)B =ACB =ABC

3.9

（1）(A∩B)-C=A∩(B-C)，

左式ABCA(BC)A(BC)右式

（2）A∪(B-A)=A∪B，

左式A(BA)(AB)(AA)(AB)E)AB右式 （3）A-(A-B)=A∩B，

左式A(AB)(A(AB)(AA)(AB)AB右式 （4）A-(B-C)=(A-B)∪(A∩C)，

左式A(BC)(A(BC)(AB)(AC)右式 （5）(A∪B)-C=(A-C)∪(B-C)，

左式(AB)C)(AC)(BC)(AC)(BC)右式 （6）A∪B=A∪(B∪(A∩B))。

右式B（A(AB))BA右式

(吸收律）3.10 设|A|3,|P(B)|,|P(AB)|256。求 |B|,|AB|,|AB|,|AB|。 解：|B|6,|AB|1,|AB|2,|AB|7。

3.11

解：假设会英、日、德和法语的人分别为A，B，C，D，则 |A|=13，|B|=5，|C|=10，|D|=9，|A∩B| =2，|A∩C|=|A∩D|=|C∩D|=4, |B∩C|=|B∩D|=0, 因B只与A相交，所以集合关系图如下，可知：只会日语的为|B| - |A∩B|=5-2=3，根据图可计算： |A∪C∪D |=24 -3=21， 根据容斥原理：|A∪C∪D |=|A|+|D|+|C|-|A∩C|-|A∩D|-|C∩D|+| A∩C∩D| 可知会三种语言的有： | A∩C∩D|=21-32+4+4+4=1 人

只会英语的：|A|-| A∩B |- |A∩C|- |A∩D|+| A∩C∩D|=13-2-4-4+1= 4 人 只会德语的：|C|-| D∩C |- |A∩C|+| A∩C∩D|=10-4-4+1 = 3 人

授课：XXX

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只会法语的：|D|-| D∩C |- |A∩D|+| A∩C∩D|=9-4-4+1= 2 人 只会日语的: |B| - |A∩B|=5-2=3人。

B A D C 习题四

4.1 设A={a,b}，求

P(A)×A={<,a>,<,b>,<{a},a>,<{a},b>,<{b},a>,<{b},b>,<{a,b},a>,<{a,b

},b>}

4.2 设A,B为集合，|A|=n,|B|=m。

（1）问A到B的二元关系共多少个？ 2

（2）问A上二元关系共多少个？

nm

2n

4.3 列出下列二元关系R的所有元素：

（1）A={0,1,2}，B={0,2,4}，R={|x,y∈A∩B}； R={<0,0>,<0,2>,<2,0>,<2,2>}

（2）A={1,2,3,4,5}，B={1,2}，R={|2≤x+y≤4且x∈A且y∈B}； R={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>}

（3）A={1,2,3}，B={-3,-2,-1,0,1}，R={| x∈A, y∈B且|x|=|y|}； R={<1,1>,<1,-1>,<2,2>,<2,-2>,<3,3>,<3,-3>} 4.4 列出所有从X={a,b,c}到Y={d}的关系。

2X ×Y ={ ,,}，X ×Y 的所有子集为X到Y的关系，有8个，分别是：

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R1=, R2={}, R3={}, R4={}, R5={,}, R6={,}, R7={,}, R8={,,}。

4.5 设A＝{0,1,2,3,4,5}，B={1,2,3}，用列举法描述下列关系，并作出它们的关系图及关系矩阵：

（1）R1={|x∈A∩B且y∈A∩B}

R1={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<2,3>,<3,1>,<3,2>,<3,3>} （2）R2={|x∈A，y∈B且x=y}

2

R2={<1,1>,<4,2>}

（3）R3={|x∈A，y∈A且x+y=5}

R3={<0,5>,<1,4>,<2,3>,<3,2>,<4,1>,<5,0>} （4）R4={|x∈A，y∈A且x=ky,k∈N,k＜2}

R4={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>,<0,4>,<0,5>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>} 4.6 设P={<1,2>，<2,4>，<3,3>}和Q={<1,3>，<2,4>，<4,2>}，计算P∪Q，P∩Q，dom P，dom Q，ran P，ran Q，dom（P∩Q），ran（P∩Q）。

解：

P∪Q ={<1,2>，<2,4>，<3,3>，<1,3>，<4,2>}， P∩Q={<2，4>}，dom P={1,2,3}，dom Q={1,2,4}，

ran P={2,3,4}，ran Q={2,3,4}，dom（P∩Q）={2}，ran（P∩Q）={4}。

4.7 设P={1,2,3}，图4-10给出了P上的5个关系R1、R2、R3、R4、R5，判断它们具有哪些性质？

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图4-10

R1：自反性； R2：反对称； R3：反自反，对称； R4：反对称，传递；R5：自反，对称，反对称，传递。

4.8 设A为一集合，|A|=n,试计算

（1）A上有多少种不同的自反的（反自反的）二元关系？

自反和反自反都是22nn2种

（2）A上有多少种不同的对称的二元关系？ 2

（3）A上有多少种不同的反对称的二元关系？ 23

4.9 设A＝{a,b,c,d}，A上二元关系R1，R2分别为

R={,,} S={,,,} 计算RS，SR，R，S。 解：

2

2

2nnnRS={}，SR={，}，R2={,,}，S2

={,,}

4.10 设R1和R2是A上任意关系，判断以下命题的真假并说明理由。

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（1）若R1和R2是自反的，则R1R2也是自反的；

真；

（2）若R1和R2是反自反的，则R1R2也是反自反的；

假；例如： R1={<1,2>}，R2={<2,1>}，则R1R2={<2,2>}，不是反自反。 （3）若R1和R2是对称的，则R1R2也是对称的；

假；例如：R1={<1,2>，<2,1>}，R2={<1,3>,<3,1>}，则R1R2={<3,2>},不是对称。 （4）若R1和R2是传递的，则R1R2也是传递的。

假；设集合A={a, b, c}，当R1={(a, b), (b, c), (a, c)}，R2={(b, c), (c, a), (b, a)}，R1和R2都是传递的. 但是，由R2R1= {(a, a), (a, c), (b, a)} 得 (b,

a)R2R1，(a, c) R2R1，且(b, c)R2R1，故R2R1不是传递的。

4.11 设A=｛1,2,3,4,5｝，A上关系R=｛<1,2>,<3,4>,<2,2>｝, S=｛<4,2>,<2,5>,<3,1>，<1,3>｝。试求R S的关系矩阵。

M R S=MS×MR

00 10001000000010000010000000001000001000001000000000000001000001000

100000004.12 设R是集合A={a,b,c,d}上的二元关系，已知R={,,,}， （1）求R，R 。

R= {,,,}

2

2

-1

R -1={,,,}

（2）求r(R)，s(R)，t(R)。

r(R)={,,,,,,,} s(R)={ ,,,,,,,}，

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t(R)=A×A (因为R的关系图为回路a→b→c→d→a,所以每个点都可以到达任意

点,所以其传递关系为全域关系)

4.13 设R是集合X上的二元关系，对任意xi，xj，xk∈X，每当∈R,∈R时，必有∈R，则称R是循环的。试证：R是等价关系，当且仅当R是自反和循环的。

证：

必要性：设R为等价关系，故R是自反，对称，传递的。若xRy，yRz，由R传递有xRz，由R对称有zRx，所以R是循环的。故R为等价关系时R是自反的和循环的；

充分性：设R是自反的和循环的，若xRy，由R自反有yRy，从而由R循环有yRx，故R是对称的。若xRy，yRz，由R循环有zRx，从而由R对称有xRz，因此R是传递的。故R是自反的和循环的时 R为等价关系。命题得证.

4.14 设集合A = {1，2，3，4，5，6}，A有划分 π1 = {{1，2，3}，{4，5，6}} π2 = {{1，2}，{3，4}，{5，6}}

求π1，π2所对应的等价关系。 解：π1对应的等价关系

R={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>,<1,3>,<3,1>,<4,5>,<5,4>,<4,6>,<6,4>,<5,6>,<6,5>}∪IA，

π2对应的等价关系R={<1,2>,<2,1>,<3,4>,<4,3>,<5,6>,<6,5>}∪IA 4.15 图4-11为一偏序集的哈斯图。 （l）下列命题哪些为真？

aRb，dRa， cRd， cRb， bRe， aRa， eRa； 假，真，假，假，假，真，真

（2）根据哈斯图画出R的关系图；

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a b c e d

（3）指出A的极大元，极小元，最大元，最小元； 极大元：a，极小元：d，e，最大元：a，最小元：无；

（4）求出子集B1 ={c,d,e}，B2 ={b,c,d }，B3 ={b,c,d,e}的上界，下界，上确界，下确界。

B1上界a,c，上确界为c，无下界和下确界， B2上界a，上确界为a，下界和下确界均为d， B3上界a，上确界为a，无下界和下确界。

图4-11

4.16 画出集合S={1,2,3,4,5,6}在偏序关系“整除”下的哈斯图，并： （1）写出{1,2,3,4,5,6}的极大元，极小元，最大元，最小元。 （2）分别写出{2,3,6}及{2,3,5}的上界，下界，上确界，下确界。 解：

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（1） 极大元4，5，6，极小元1，无最大元，最小元1。

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{2,3,6}的上界为6，下界为1，上确界为6，下确界为1， {2,3,5}无上界和上确界，下界和下确界均为1。

6 2 3 5

4 1

习题五

5.1 若R为二元关系，且xRy定义为x+y=1，其中x，y为实数。x，y在下面哪个取值范围内R为函数？

(1) 0≤x≤1，0≤y≤1。 (2)﹣1≤x≤1，﹣1≤y≤1。 (3)﹣1≤x≤1，0≤y≤1。 (4) x任意，0≤y≤1。

(1) 是 （2）否 （3）是 （4） 否

5.2 对下列函数：（本题不涉及集合S，删除，原本是用来求S的原象的）

(1) f：R R，f(x)=x，S={8}；

(2) f：R R（正实数集），f(x)=2，S={1}； (3) f：N N×N，f(n)=，S={<2,2>}； (4) f：N N，f(n)=2n+1，S={2,3}； (5) f：Z N，f(x)=|x|，S={0,1}； (6) f：R R，f(x)=3，S=N； (7) f：[0,∞] R，f(x)=

+

2

2

x11，S={0,}；

21x授课：XXX

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(8) f：(0,1)  (0, ∞)，f(x)= 1x，S={0,1}。 请作表回答如下问题：

(1)判断各函数分别是单射、满射或双射？ 单射：（1）（2）（3）（4）（7）（8） 满射：（1）（2）（5） 双射：（1）（2） (2)求各函数的象(值域)； （1）f(R)={8} (2) f(S)={2}

(3) 因S不包含于N（定义域），所以S在f下没有象。 （4）f(S)={5，7} （5）f(S)={0，1} （6）f(S)={3}

（7）f(S)={1，2/3}

（8）因S不包含于定义域，所以S在f下没有象，

(3)若f是双射，写出f -1

的表达式。

（1）f -1的表达式：f -1：R R， f -1（x）=x , (2) f -1的表达式：f -1：R+ R，f -1（x）=log 2x, 5.3 已知f，g，h是R到R的函数：

f(x)=x3-4x；g(x)=

11x2；h(x)=x4

。

求：(1)ghf ，(2)f gh ，(3)f f ，(4)gg，

(6)hg。

(1)ghf (x)= 11(x34x)8

(2) f gh (x) = (131x8)41x8 (3) f f(x)= (x3

-4x)3

-4x (4) gg(x)=

11(11x2)2授课：XXX

gh， (5)希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！

(5) gh (x) =11x8 (6)hg (x) =

1(1x2)4 5.4 f和g是N到N的函数，IN为N上的恒等函数，

n2 （n是偶数） f(n)=2n；g(n)=

n12 （n是奇数） 证明：gf =IN，但f g ¹IN。 （略）

5.5 设f，g，h是N到N的函数，

0（n是偶数）

f(n)=n+1；g(n)=2n；h(n)=

1（n是奇数）

试确定 (1)ff，

(2)fg，

(3)gf，

(4)gh，

h。

(1) f f（n）= n+2 ， (2)f g（n）=2n+1， (3)gf（n）=2n+2， (4)gh（n）=0(当n是偶数时）（当n是奇数时）

2(5)hg（n）=0 (6)(fg) h =1(当n是偶数时）3（当n是奇数时）

5.6 设函数f：R×R®R×R，f定义为：

f()=

(1) 证明f是单射； (2) 证明f是满射；

(3) 求逆函数f -1

；

授课：XXX

hg，fg)

(5)

(6)(希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！

(4) 求复合函数f f和f f。

-1

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（1）（2）略 （3）f -1

()=<

xyxy2 ,

2> (4) f -1f ()= f f ()= <2x, 2y>

5.7 设R是集合A上的等价关系，在什么条件下从A到A/R存在双射？

R是集合A上的恒等关系

5.8 令X={x1,x2,…,xm}，Y={y1,y2,…,yn}。问

(1).有多少个不同的由X到Y的关系？ (2).有多少个不同的由X到Y的函数？

(3).当n，m满足什么条件时，存在单射，且有多少个不同的单射？ (4).当n，m满足什么条件时，存在满射，且有多少个不同的满射？ (5).当n，m满足什么条件时，存在双射，且有多少个不同的双射？

解：

（1）2mn (2) nm (3) m<=n时，存在单射，有n! / (n-m)! (4) m>=n时，存在满射，有nmm!(mn)!种不同

(5)m=n时存在双射，有m!种不同 5.9 考虑下列实数集上的函数：

f(x)=2x2

+1，g(x)=-x+7，h(x)=2x，k(x)=sinx，求复合函数 g o f，f o g，f o f，g o g，f o h，f o k，k o h。

g o f （x）=-2x2+6， f o g（x）=2(-x+7)2+1， f o f（x）=2(2x2+1)2+1， g o g（x）=x， f o h（x）=8x2+1， f o k（x）=2(sinx)2+2， k o h（x）=sin2x。

5.10 设f：X→Y，A，B为Y的子集，证明：

（1）f-1

(A∪B)=f-1

(A)∪f-1

(B)， （2）f-1

(A∩B)=f-1

(A)∩f -1

(B) ， （3）f-1

(A-B)=f-1

(A)﹣f-1

(B)。 证明：（2）式，（1）（3）与（2）类似

授课：XXX

种不同，

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(2) x∈f-1(A∩B)，则y∈A∩B，使得y=f(x)，即x∈f-1(A)且x∈

f-1(B)，故x∈f-1(A)∩f-1(B).从而有f-1(A∩B)f-1(A)∩f-1(B).另一方面，设x∈f-1(A)∩f-1(B)，由于x∈f-1(A)，故f(x)∈A；由于x∈f-1(B)，故f(x)∈B.从而f(x)∈A∩B，即x∈f-1(A∩B).这表明f-1(A)∩f-1(B)f-1(A∩B).从而结论(2)得证.

5.11 下列函数是否存在逆函数？若有，则求出其逆函数。

（1）g：N→N，g(x)=2x+1， （2）h：Z→N，h(x)=|x|。

解：（1）不是满射，因此也不是双射，不存在逆函数。 （2）不是单射，因此也不是双射，不存在逆函数。

（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）

授课：XXX