【课堂新坐标】2017届高三理科数学(通用版)二轮复习限时集训：6.5不等式与线性规划.doc

专题限时集训(二十) 不等式与线性规划

[A组 高考题、模拟题重组练]

一、基本不等式

1112

1．(2016·安庆二模)已知a＞0，b＞0，a＋b＝＋，则＋的最小值为( )

ababA．4 B．22 C．8

D．16

11

B [由a＋b＝＋，有ab＝1，

ab12则＋≥2ab

12×＝22.] ab

12

2．(2016·长沙一模)若实数a，b满足＋＝ab，则ab的最小值为( )

abA.2 C．22

B．2 D．4

22212＝，当且仅当＝，即b＝2a时，“＝”ababab

12

C [依题意知a＞0，b＞0，则＋≥2

ab

1222

成立，因为＋＝ab，所以ab≥，即ab≥22，所以ab的最小值为22，故选C.]

abab3．(2016·武汉一模)若2x＋4y＝4，则x＋2y的最大值是________.

【导学号：85952077】

2 [因为4＝2x＋4y＝2x＋22y≥22x×22y＝22x＋2y，所以2x

＋2y

≤4＝22，即x＋2y≤2，当且

仅当2x＝22y＝2，即x＝2y＝1时，x＋2y取得最大值2.]

4．(2016·江苏高考)在锐角三角形ABC中，若sin A＝2sin Bsin C，则tan Atan Btan C的最小值是________．

8 [在锐角三角形ABC中，∵sin A＝2sin Bsin C， ∴sin(B＋C)＝2sin Bsin C，

∴sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bsin C，等号两边同除以cos Bcos C，得tan B＋tan C＝2tan Btan C.

∴tan A＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)＝∵A，B，C均为锐角，

∴tan Btan C－1>0，∴tan Btan C>1.

tan B＋tan C2tan Btan C

＝.①

tan Btan C－1tan Btan C－1

tan A

由①得tan Btan C＝.

tan A－2

tan A

又由tan Btan C>1得>1，∴tan A>2.

tan A－2∴tan Atan Btan C＝

tan A－22＋4tan A－2＋4tan2A＝

tan A－2tan A－2＝(tan A－2)＋取得等号．

故tan Atan Btan C的最小值为8.] 二、线性规划问题

x＋y≤2，5．(2016·山东高考)若变量x，y满足2x－3y≤9，

x≥0，x2＋y2的最大值是( )

A．4 C．10

B．9 D．12

44

＋4≥24＋4＝8，当且仅当tan A－2＝，即tan A＝4时

tan A－2tan A－2

则

C [作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x2＋y2表示平面区域内的点

x＋y＝2，

到原点距离的平方，由得A(3，－1)，由图易得(x2＋y2)max＝|OA|2＝32＋(－1)2

2x－3y＝9

＝10.故选C.]

x＋y－3≥0，

6．(2016·浙江高考)若平面区域2x－y－3≤0，

x－2y＋3≥0则这两条平行直线间的距离的最小值是( )

35A.

532C. 2

B．2 D.5

夹在两条斜率为1的平行直线之间，

B [根据约束条件作出可行域如图阴影部分，当斜率为1的直线分别过A点和B点时

x＋y－3＝0，2x－y－3＝0，满足条件，联立方程组求得A(1,2)，联立方程组求得B(2,1)，x－2y＋3＝0x＋y－3＝0

可求得分别过A，B点且斜率为1的两条直线方程为x－y＋1＝0和x－y－1＝0，由两平行|1＋1|

线间的距离公式得距离为＝2，故选B.]

2

7．(2016·北京高考)已知A(2,5)，B(4,1)．若点P(x，y)在线段AB上，则2x－y的最大值为( )

A．－1 C．7

B．3 D．8

C [作出线段AB，如图所示．作直线2x－y＝0并将其向下平移至直线过点B(4,1)时，2x－y取最大值为2×4－1＝7.]

2x－y＋1≥0，8．(2016·全国丙卷)设x，y满足约束条件x－2y－1≤0，

x≤1，________．

－10 [画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y＝－25z

x＋＋过点A(－1，－1)时，z取得最小值，即zmin＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.] 333

则z＝2x＋3y－5的最小值为

9．(2016·全国乙卷)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．

216 000 [设生产A产品x件，B产品y件，则

x＋0.3y≤90，

x＋3y≤600，5

x≥0，x∈N，y≥0，y∈N.

**

1.5x＋0.5y≤150，

目标函数z＝2 100x＋900y.

作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)．

当直线z＝2 100x＋900y经过点(60,100)时，z取得最大值，zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．]

x－1≥0，10．(2015·全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件x－y≤0，

x＋y－4≤0，

y

则的最大值为________． x

y

3 [画出可行域如图阴影所示，∵表示过点(x，y)与原点(0,0)的直线的斜率，

x

y

∴点(x，y)在点A处时最大．

x

x＝1，x＝1，由得 x＋y－4＝0，y＝3.

∴A(1,3)． y

∴的最大值为3.] x

[B组 “12＋4”模拟题提速练]

一、选择题

1．(2016·邯郸二模)已知a＜b＜0，则下列不等式成立的是( )

【导学号：85952078】

A．a2＜b2 C．a＜1－b

a

B．＜1

b11D.＜ ab

C [因为a＜b＜0，所以a2＞b2， a11

＞1，＞，a＋b＜1. bab

因此A，B，D不正确，C正确．]

1

x＜－1或x＞，则f(ex)2．(2016·长春一模)已知一元二次不等式f(x)＜0的解集为x3

＞0的解集为( )

A．{x|x＜－1或x＞－ln 3} B．{x|－1＜x＜－ln 3} C．{x|x＞－ln 3} D．{x|x＜－ln 3}

1

－1＜x＜， D [f(x)＞0的解集为x3





1

则由f(ex)＞0得－1＜ex＜，

3

解得x＜－ln 3，即f(ex)＞0的解集为{x|x＜－ln 3}．]

3．(2016·武汉联考)已知g(x)是R上的奇函数，当x＜0时，g(x)＝－ln(1－x)，函数f(x)

x3，x≤0，＝若f(2－x2)＞f(x)，则实数x的取值范围是( ) gx，x＞0，

A．(－∞，1)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C．(1,2) D．(－2,1)

D [设x＞0，则－x＜0，所以g(－x)＝－ln(1＋x)，因为g(x)是R上的奇函数，所以g(x)

3

x，x≤0，

＝－g(－x)＝ln(1＋x)，所以f(x)＝易知f(x)是R上的单调递增函数，

ln1＋x，x＞0，

所以原不等式等价于2－x2＞x，解得－2＜x＜1.故选D.]

4．(2016·重庆一模)若log4(3a＋4b)＝log2ab，则a＋b的最小值是( )

A．6＋23 C．6＋43

B．7＋23 D．7＋43

4b

D [由log4(3a＋4b)＝log2ab，得3a＋4b＝ab，且a＞0，b＞0，∴a＝，由a＞0，

b－3得b＞3.

4b－3＋124b12

∴a＋b＝b＋＝b＋＝(b－3)＋＋7≥212＋7＝43＋7，即a＋b

b－3b－3b－3的最小值为7＋43.]

y－x≤0，

5．(2016·德阳模拟)已知P(x，y)为区域内的任意一点，当该区域的面积为

0≤x≤a

2

2

4时，z＝2x－y的最大值是( )

A．6 C．2

2

2

B．0 D．22

y－x≤0，

A [由作出可行域如图，

0≤x≤a

易求得A(a，－a)，B(a，a)， 1

由题意知S△OAB＝·2a·a＝4，得a＝2.

2∴A(2，－2)，

当y＝2x－z过A点时，z最大，zmax＝2×2－(－2)＝6.故选A.] y≤0，6．(2016·大庆模拟)若x，y满足约束条件x－2y－1≥0，

x－4y－3≤0，( )

A．[3，＋∞) C．(－∞，9]

B．[－8,3] D．[－8,9]

则z＝3x＋5y的取值范围是

311

D [作出可行域，如图所示的阴影部分，由z＝3x＋5y，得y＝－x＋z，z表示直线y

55531

＝－x＋z在y轴上的截距，截距越大，z越大，

55

由图可知，当z＝3x＋5y经过点A时z最小；当z＝3x＋5y经过点B时z最大，由

x－4y＝3，x－4y＝3，可得B(3,0)，此时zmax＝9，由可得A(－1，－1)，此时zmin＝－8， y＝0x－2y＝1

所以z＝3x＋5y的取值范围是[－8,9]．]

x－y＋1≤0，

7．(2016·贵阳模拟)若变量x，y满足约束条件y≤1，

x＞－1，( )

32A.

29C. 2

B．5 D．5

则(x－2)2＋y2的最小值为

D [作出不等式组对应的平面区域如图，

设z＝(x－2)2＋y2，则z的几何意义为区域内的点到定点D(2,0)的距离的平方，由图知C，D间的距离最小，此时z最小．

y＝1，x＝0，由得即C(0,1)， x－y＋1＝0，y＝1，

此时zmin＝(x－2)2＋y2＝4＋1＝5，故选D.]

x≥1，

y≥－1，

8．(2016·石家庄模拟)已知x，y满足约束条件4x＋y≤9，

x＋y≤3，＞0)的最大值为1，则m的值是( )

【导学号：85952079】

若目标函数z＝y－mx(m

20A．－

9C．2

B．1 D．5

B [作出可行域，如图所示的阴影部分．

x＝1，x＝1，∵m＞0，∴当z＝y－mx经过点A时，z取最大值，由解得即A(1,2)，x＋y＝3，y＝2，

∴2－m＝1，解得m＝1.故选B.]

x≤0，

9．(2016·江西师大附中模拟)若关于x，y的不等式组x＋y≥0，

kx－y＋1≥0等腰直角三角形，则其表示的区域面积为( )

1

A．1或

41

C．1或

2

11B．或

2811D.或 24

表示的平面区域是

D [可行域由三条直线x＝0，x＋y＝0，kx－y＋1＝0所围成，因为x＝0与x＋y＝0的πππ夹角为，所以x＝0与kx－y＋1＝0的夹角为或x＋y＝0与kx－y＋1＝0的夹角为.当x＝0

444π21

与kx－y＋1＝0的夹角为时，可知k＝1，此时等腰三角形的直角边长为，面积为；当x

424π1

＋y＝0与kx－y＋1＝0的夹角为时，k＝0，此时等腰三角形的直角边长为1，面积为，所

42以选D.]

z

10．(2016·泰安模拟)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最小值时，xyx＋2y－z的最大值是( )

A．0 C．2

9B． D. 4

22

zx－3xy＋4yx4yC [＝＝－3＋≥2xyxyyx

x4yx4y

·－3＝1，当且仅当＝，即x＝2y时等号成yxyx

立．

此时z＝x2－3xy＋4y2＝(2y)2－3·2y·y＋4y2＝2y2. ∴x＋2y－z＝2y＋2y－2y2＝－2(y－1)2＋2，

∴当y＝1，x＝2，z＝2时，x＋2y－z取最大值，最大值为2，故选C.] y≥x，

11．(2016·武汉二模)设m＞1，x，y满足约束条件y≤mx，

x＋y≤1，最大值为2，则m的取值为( )

A．2 C．3

B．1＋2 D．2＋2

且目标函数z＝x＋my的

y≥x，

B [因为m＞1，由约束条件y≤mx，

x＋y≤1

作出可行域如图，

1m

直线y＝mx与直线x＋y＝1交于Bm＋1，m＋1，目标函数z＝x＋my对应的直线与直



1m

线y＝mx垂直，且在Bm＋1，m＋1处取得最大值，



1＋m2

由题意可知＝2，

m＋1又因为m＞1，解得m＝1＋2.]

x≥2，

12．(2016·宿州一模)已知x，y满足y≥2，

x＋y≤8＋b的最小值为( )

A．4＋23 C．9

B．4－23 D．8

xy

时，z＝＋(a≥b＞0)的最大值为2，则a

ab

x≥2，

A [由约束条件y≥2，作出可行域如图，

x＋y≤8

x＝2，

联立解得A(2,6)，

x＋y＝8，

xyb

化目标函数z＝＋为y＝－x＋bz，

abab

由图可知，当直线y＝－x＋bz过点A时，

a26

直线在y轴上的截距最大，z有最大值为＋＝2，

ab13即＋＝1. ab

13b3a

＋＝4＋＋≥4＋2所以a＋b＝(a＋b)abab

b3a

·＝4＋23. ab

13a＋b＝1，

当且仅当即a＝3＋1，b＝3＋3时取等号．]

b＝3a，二、填空题

x－y＋1≥0，

13．(2016·全国甲卷)若x，y满足约束条件x＋y－3≥0，

x－3≤0，________．

x－y＋1≥0，

－5 [不等式组x＋y－3≥0，

x－3≤0

则z＝x－2y的最小值为

表示的可行域如图阴影部分所示．

11

由z＝x－2y得y＝x－z.

22

1

平移直线y＝x，易知经过点A(3,4)时，z有最小值，最小值为z＝3－2×4＝－5.]

2x2－y2

14．(2016·青岛模拟)定义运算“⊗”：x⊗y＝(x，y∈R，xy≠0)，当x＞0，y＞0时，x

xy⊗y＋(2y)⊗x的最小值为________.

【导学号：85952080】

x2－y24y2－x2x2＋2y222xy

2 [当x＞0，y＞0时，x⊗y＋(2y)⊗x＝＋＝≥＝2.所以所求

xy2yx2xy2xy的最小值为2.]

x－y≤0，

15．(2016·张掖一模)设不等式组x＋y≤4，表示的平面区域为M，若直线l：y＝k(x

x≥1＋2)上存在区域M内的点，则k的取值范围是________．

1，1 [作出不等式组对应的平面区域，如图所示．

3

直线y＝k(x＋2)过定点D(－2,0)，

由图象可知当直线l经过点A时，直线斜率最大， 当经过点B时，直线斜率最小，

x＝1，x＝1，由解得 x＋y＝4，y＝3，

33即A(1,3)，此时k＝＝＝1，

1＋23

x＝1，x＝1，由解得 x－y＝0，y＝1，

11即B(1,1)，此时k＝＝，

1＋231

故k的取值范围是3，1.]

bc16．(2016·廊坊一模)已知正数a，b，c满足b＋c≥a，则＋的最小值为________．

ca＋b1

2－ [因为正数a，b，c满足b＋c≥a，

2

b1bcbcc12b＋cc11＋＋所以＋≥＋＝－＝＋－≥2－.

ca＋bc2b＋cc22b＋c22c22b＋c22b＋cc当且仅当＝时取等号．]

2c2b＋c