第18讲奇偶分析初步

通常我们所说的“单数”、“双数”，也就是奇数和偶数，即±1，±3，±5，…是奇数，0，±2，±4，±6，…是偶数．

用整除的术语来说就是：能被2整除的整数是偶数，不能被2整除的整数是奇数．通常奇数可以表示为2k+1(或2k-1)的形式，其中k为整数，偶数可以表示为2k的形式，其中k是整数．

奇数和偶数有以下基本性质： 性质1 奇数≠偶数．

性质2 奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数． 性质3 奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数．

性质4 奇数个奇数之和是奇数；偶数个奇数之和是偶数；任意有限个偶数之和为偶数． 性质5 若干个奇数的乘积是奇数，偶数与整数的乘积是偶数．

性质6 如果若干个整数的乘积是奇数，那么其中每一个因子都是奇数；如果若干个整

数的乘积是偶数，那么其中至少有一个因子是偶数．

性质7 如果两个整数的和(或差)是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；如果两个整数

的和(或差)是奇数，那么这两个整数一定是一奇一偶．

性质8 两个整数的和与差的奇偶性相同．

性质9 奇数的平方除以8余1，偶数的平方是4的倍数.

性质1至性质6的证明是很容易的，下面我们给出性质7至性质9的证明．

性质7的证明 设两个整数的和是偶数，如果这两个整数为一奇一偶，那么由性质2知，

它们的和为奇数，因此它们同为奇数或同为偶数．

同理两个整数的和(或差)是奇数时，这两个数一定是一奇一偶．

性质8的证明 设两个整数为X，y．因为 (x+y)+(x-y)=2x 为偶数，

由性质7便知，x+y与x-y同奇偶．

性质9的证明 若x是奇数，设x=2k+1，其中k为整数，于是

x2=(2k+1)2=4k3+4k+1=4k(k+1)+1．

因为k与k+1是两个连续的整数，它们必定一奇一偶，从而它们的乘积

是偶数．于是，x2除以8余1．

若y是偶数，设y=2t，其中t为整数，于是 y2=(2t)2=4t2 所以，y2是4的倍数．

例1. 在1，2，3，…，1998中的每一个数的前面，任意添上一个“+”或“-”，那么最

后运算的结果是奇数还是偶数？

解 由性质8知，这最后运算所得的奇偶性同 1+2+3+…+1998=999×1999 的奇偶性是相同的，即为奇数．

例2. 设1，2，3，…，9的任一排列为a1，a2，…，a9.求证：(a1-1)(a2-2)…(a9-9)是一个偶

数．

证法1 因为

(a1-1)+(a2-2)+(a3-3)+…+(a9-9)＝(a1+a2+…+a9)-(1+2+…+9)=0

是偶数，所以，(a1-1)，(a2-2)，…，(a9-9)这9个数中必定有一个是偶数(否则，

便得奇数个(9个)奇数的和为偶数，与性质4矛盾)，从而由性质5知 (a1-1)(a2-2)…(a9-9) 是偶数．

证法2 由于1，2，…，9中只有4个偶数，所以a1，a3，a5，a7，a9中至少有一

个是奇数，于是，a1-1，a3-3，a5-5，a7-7，a9-9至少有一个是偶数，从而(a1-1)(a2-2)…(a9-9)是偶数．

例3. 有n个数x1，x2，…，xn，它们中的每一个数或者为1，或者为-1．如果

X1x2+x2x3+…+xn-1xn+xnx1=0，

求证：n是4的倍数．

证 我们先证明n=2k为偶数，再证k也是偶数．

由于x1，x2，…，xn。的绝对值都是1，所以，x1x2，x2x3，…，xnx1的绝对

值也都是1，即它们或者为+1，或者为-1．设其中有k个-1，由于总和为0，故+1也有k个，从而n=2k．

下面我们来考虑(x1x2)·(x2x3)…(xnx1)．一方面，有(x1x2)·(x2x3)…(xnx1)＝(-1)k， 另一方面，有 (x1x2)·(x2x3)…(xnx1)=(x1x2…xn)2=1． 所以(-1)k=1，故k是偶数，从而n是4的倍数． 例4. 设a，b是自然数，且满足关系式

(11111+a)(11111-b)=1234567．

求证：a-b是4的倍数．

证 由已知条件可得11111+a与11111-b均为奇数，所以a，b均为偶数．又由已知条件

11111(a-b)=ab+2468，① ab是4的倍数，2468=4×617也是4的倍数，所以11111×(a-b)是4的倍数，故a-b是4的倍数.

例5. 某次数学竞赛，共有40道选择题，规定答对一题得5分，不答得1分，答错倒扣

1分．

证明：不论有多少人参赛，全体学生的得分总和一定是偶数．

证 我们证明每一个学生的得分都是偶数．

设某个学生答对了a道题，答错了b道题，那么还有40-a-b道题没有答．于

是此人的得分是5a+(40-a-b)-b=4a-2b+40，这是一个偶数．

所以，不论有多少人参赛，全体学生的得分总和一定是偶数．

例6. 证明15块4×1的矩形骨牌和1块2×2的正方形骨牌不能盖住8×8的正方形. 证 将8×8正方形的小方格用黑、白色涂色(如图1－62)．每一块4×1骨牌不论怎

么铺设都恰好盖住两个白格，因此15块4×1的骨牌能盖住偶数个白格．一块2×2的骨牌只能盖住一个白格或三个白格，总之能盖住奇数个白格．于是15块4×1骨牌和一块2×2骨牌在图上盖住的白格是奇数个．事实上图上的白格数恰为偶数个，故不能盖住8×8的正方形．

练习：

1．设有101个自然数，记为a1，a2，…，a101．已知a1+2a2+3a3+…+100a100+101a101=s是偶

数，求证：a1+a3+a5+…+a99+a101是偶数．

2．设x1，x2，…，x1998都是+1或者-1．求证：

x1+2x2+3x3+…+1998x1998≠0．

3．设x1，x2，…，xn(n＞4)为1或-1，并且

x1x2x3x4+x2x3x4x5+…+xnx1x2x3=0．

求证：n是4的倍数．

4．(1)任意重排某一自然数的所有数字，求证：所得数与原数之和不等于99…9(共n个9，n

是奇数)；

(2)重排某一数的所有数字，并把所得数与原数相加，求证：如果这个和等于1010，

那么原数能被10整除．

5．(1)有n个整数，其和为零，其积为n．求证：n是4的倍数；

(2)设n是4的倍数，求证：可以找到n个整数，其积为n，其和为零．

6．7个杯子杯口朝下放在桌子上，每次翻转4个杯子(杯口朝下的翻为杯口朝上，杯口朝上

的翻为杯口朝下)，问经过若干次这样的翻动，是否能把全部杯子翻成杯口朝上？ 7．能否把1，1，2，2，3，3，4，4，5，5这10个数排成一行，使得两个1中间夹着1

个数，两个2之间夹着2个数，…，两个5之间夹着5个数？