上海中学数学·２００９年第３期 用代数方法和向ｔｌ＂方法证明斯坦纳定理 ２０００６５ 梁开华 斯坦纳定理：如图１，ＤＢ平分 ＡＢＣ，ＥＣ 平分 ＡＣＢ，ＢＤ—ＥＣ，则ＡＢ：ＡＣ．即△ＡＢＣ ［南一 ］－ｏ， 是等腰三角形． １．代数方法证明 先给出两个简单的引理： Ａ Ａ 引理１ 在△ＡＢＣ中，有余弦定理，比如 。 Ａ一 ； 引理２ 在△ＡＢＣ中，如图２，有（内）角平 分线截得比例线段定理： 一 ＢＤ斯坦纳定理证明：对图１，设ＡＢ—ａ，ＡＣ一 ６，ＢＣ— ；设ＢＤ—ＥＣ— ，由丽ＣＡ一ＡＥ丽得 丽 ｛一一Ａ一 ’一ｂ—Ｅ—，ＡＥ一—鱼—＋— ，’ＥＢ—ｄ～ 一。一 ｍｂ＋ｍ ｂ＋ ‘ 同理， ＢＡＡ Ｄ得ＡＤ： ａｂＤＣ＝ ａ十ｍ 由ｃｏｓ ＡＥｃ＋ｃｏｓ ＢＥｃ一０，得 盎 二竺＋亚ａ２ｒｎ２ 二 ：．。， ａｏ ｎ ａ７１２ ｂ＋ｍ ｚ…ｂ￣ｍ ＋ｒｅｘ ｚ一砌 ＋ ＋妇ｚ一 ｚ Ｏ，解得 ＝砌［１一南］；同理，由 ＣＯＳ．／ＡＤＢ＋ＣＯＳ ＣＤＢ一０，解得ｚ ： 广． ６２ １ ｌ 一 丽Ｊ． 所以ｎ一 车 一６一 ，ａ－ｂ＋ ｛ ＋ 互± 笔 芝 三吕 ）一Ｑ 只能 一ｂ．即△ＡＢＣ是等腰三角形． ２．向量方法证明 如图３（ａ），△ＡＢＣ中，ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ Ｃ，ＡＤ：ＤＢ—ｍ： ．先用向量方法证明，ＣＤ ｍａ＋ｎｂｆ ‘ Ａ Ｄ Ｈ Ｂ Ａ （ａ） （ｂ） 图３ 不妨令 ＝ｍ ，荫一 ．由ｍ 一 分别解出ｔ，消去ｔ，即得ＣＤ一 ｍａ＋ｎｂＣ ’ 如图３（６），ＡＤ、ＢＥ是△ＡＢＣ的内角平分 线，ＢＣ—ａ，ＣＡ一６，ＡＢ＝Ｃ．由代数证明之引理 ２，即可把ＣＥ、ＥＡ、ＣＤ、ＤＢ用三角形的边长ａ、 ｂ、ｃ的关系式表示出来： ＣＥ＝ｍ一车，ＥＡ— 一车；ＣＤ—Ｐ ＤＢ—ｑ一 ． 由图３（ｎ）的结论： ＡＤ一—ｍｑ＋ｎｐ雎 ＋＿一ｐ—ｎ＿一ｑｍ；ＡＤ— Ｐ十ｇ 十＂ ＢＥ＝＞Ｐ＋ｑ—ｍ＋ ． 即ＣＡ—ＣＢ，所以△ＡＢＣ是等腰三角形． 笔者这里给出的两种证明方法，显然又简 单又清晰，应该是相对最出色的证明方法．其中 已知三角形周边上的数据，求本题这样形式的 线段值的问题既基本又重要；而把三角形周边 的各相关数据先顺出来或解出来，是解决烦难 的问题先作充分准备的做事理念的体现．
