2015年中考数学二次函数压轴题(含答案)

2014年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题

面积类

1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式．

（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．

（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．

解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则：

a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；

∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x+2x+3． （2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：

，

解得

；

2

故直线BC的解析式：y=﹣x+3．

已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m+2m+3）； ∴故MN=﹣m+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m+3m（0＜m＜3）． （3）如图；

∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB， ∴S△BNC=（﹣m+3m）•3=﹣（m﹣）+

2

2

2

2

2

（0＜m＜3）；

．

∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为

2．如图，抛物线

点，已知B点坐标为（4，0）． （1）求抛物线的解析式；

（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；

（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．

的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C

解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得： 0=16a﹣×4﹣2，即：a=；

∴抛物线的解析式为：y=x﹣x﹣2．

（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）； ∴OA=1，OC=2，OB=4， 即：OC=OA•OB，又：OC⊥AB， ∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC； ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°， ∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径； 所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）．

（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2；

设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：

2

2

x+b=x2﹣x﹣2，即： x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0；

∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4； ∴直线l：y=x﹣4．

所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：

，解得：即 M（2，﹣3）．

过M点作MN⊥x轴于N，

S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．

3．如图，已知抛物线y=ax+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）． （1）求抛物线的解析式；

（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．

2

解：（1）∵抛物线y=ax+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3）， ∴

，解得

，所以，抛物线的解析式为y=x﹣4x+3；

2

2

（2）∵点A、B关于对称轴对称，

∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小， 设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0）， 则

，解得

，

所以，直线AC的解析式为y=x﹣1， ∵y=x2

﹣4x+3=（x﹣2）2

﹣1， ∴抛物线的对称轴为直线x=2， 当x=2时，y=2﹣1=1，

∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小； （3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m， 联立

，消掉y得，x2

﹣5x+3﹣m=0，

△=（﹣5）2

﹣4×1×（3﹣m）=0， 即m=﹣

时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，

此时x=，y=﹣

=﹣，

∴点E的坐标为（，﹣），

设过点E的直线与x轴交点为F，则F（，0），

∴AF=

﹣1=，

∵直线AC的解析式为y=x﹣1， ∴∠CAB=45°， ∴点F到AC的距离为×=， 又∵AC=

=3， ∴△ACE的最大面积=×3

×

=

，此时E点坐标为（，﹣）

．

4.（2013•菏泽）如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y=x+3的图象与y轴的交点，点B在二次函数

的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能 构成平行四边形．

（1）试求b，c的值，并写出该二次函数表达式；

（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问： ①当P运动到何处时，有PQ⊥AC？ ②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形

PDCQ的面积是多少？

解：（1）由y=﹣x+3，

令x=0，得y=3，所以点A（0，3）； 令y=0，得x=4，所以点C（4，0）， ∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形， ∴B点坐标为（﹣4，0），

又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴D点坐标为（8，3），

将点B（﹣4，0）、点D（8，3）代入二次函数y=x+bx+c，可得

2

，

解得：，

2

故该二次函数解析式为：y=x﹣x﹣3．

（2）①设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t， ∵PQ⊥AC，

∴△APQ∽△CAO， ∴

=

，即=．

个单位长度处，有PQ⊥AC． ，

解得：t=

即当点P运动到距离A点

②∵S四边形PDCQ+S△APQ=S△ACD，且S△ACD=×8×3=12， ∴当△APQ的面积最大时，四边形PDCQ的面积最小， 当动点P运动t秒时，AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，

设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，由△AQH∽CAO可得：=解得：h=（5﹣t）， ∴S△APQ=t×（5﹣t）=

（﹣t+5t）=﹣

2

，

（t﹣）+

=

2

， ，

．

∴当t=时，S△APQ达到最大值，此时S四边形PDCQ=12﹣

故当点P运动到距离点A个单位处时，四边形PDCQ面积最小，最小值为

等腰三角形类

10. （2012江苏扬州12分）已知抛物线y＝ax＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．

2

(1)求抛物线的函数关系式；

(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；

(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）∵A(－1，0)、B(3，0)经过抛物线y＝ax＋bx＋c，

∴可设抛物线为y＝a（x＋1）（x－3）。

又∵C(0，3) 经过抛物线，∴代入，得3＝a（0＋1）（0－3），即a=－1。 ∴抛物线的解析式为y＝－（x＋1）（x－3），即y＝－x＋2x＋3。

（2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P。 则此时的点P，使△PAC的周长最小。

设直线BC的解析式为y＝kx＋b， 将B(3，0)，C(0，3)代入，得：

2

2

3k+b=0k=1，解得：。 b=3b=3∴直线BC的函数关系式y＝－x＋3。 当x－1时，y＝2，即P的坐标(1，2)。

（3）存在。点M的坐标为(1，6)，(1，－6)，(1，1)，(1，0)。

（3）由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA＝AC、②MA＝MC、②AC＝MC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解：

∵抛物线的对称轴为： x=1，∴设M(1，m)。

∵A(－1，0)、C(0，3)，∴MA＝m＋4，MC＝m－6m＋10，AC＝10。

2

2

2

2

2

①若MA＝MC，则MA＝MC，得：m＋4＝m－6m＋10，得：m＝1。 ②若MA＝AC，则MA＝AC，得：m＋4＝10，得：m＝±6。 ③若MC＝AC，则MC＝AC，得：m－6m＋10＝10，得：m＝0，m＝6， 当m＝6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去。

综上可知，符合条件的M点，且坐标为(1，6)，(1，－6)，(1，1)，(1，0)。 5．如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置． （1）求点B的坐标；

（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

2

2

2

2

2

2

2222

解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°， ∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，

又∵OA=OB=4，∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×∴点B的坐标为（﹣2，﹣2

）；

2

=2，

（2）∵抛物线过原点O和点A、B，∴可设抛物线解析式为y=ax+bx， 将A（4，0），B（﹣2．﹣2

）代入，得

，解得，∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x

（3）存在，

如图，抛物线的对称轴是直线x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y）， ①若OB=OP，

则2+|y|=4，解得y=±2当y=2

222

，

=

，

时，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD=

∴∠POD=60°，

∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°， 即P、O、B三点在同一直线上， ∴y=2

不符合题意，舍去，

） |=4，

2

2

∴点P的坐标为（2，﹣2②若OB=PB，则4+|y+2解得y=﹣2

，

2

故点P的坐标为（2，﹣2

2

2

2

），

|，

2

③若OP=BP，则2+|y|=4+|y+2解得y=﹣2

，

），

故点P的坐标为（2，﹣2

综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣2），

6．如图，已知抛物线y=﹣x+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．

（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；

（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式； （3）试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；

（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的

2

Q点坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵抛物线y=﹣x+bx+4的图象经过点A（﹣2，0）， ∴﹣×（﹣2）+b×（﹣2）+4=0， 解得：b=，∴抛物线解析式为 y=﹣x+x+4， 又∵y=﹣x+x+4=﹣（x﹣3）+

2

2

2

2

2

2

，∴对称轴方程为：x=3．

（2）在y=﹣x+x+4中，令x=0，得y=4，∴C（0，4）；

令y=0，即﹣x+x+4=0，整理得x﹣6x﹣16=0，解得：x=8或x=﹣2， ∴A（﹣2，0），B（8，0）． 设直线BC的解析式为y=kx+b，

把B（8，0），C（0，4）的坐标分别代入解析式，得：

，解得k=

，b=4，

2

2

∴直线BC的解析式为：y=x+4．

（3）可判定△AOC∽△COB成立． 理由如下：在△AOC与△COB中， ∵OA=2，OC=4，OB=8， ∴

，

又∵∠AOC=∠BOC=90°， ∴△AOC∽△COB．

（4）∵抛物线的对称轴方程为：x=3， 可设点Q（3，t），则可求得：

AC===，

AQ=CQ=

=， =

．

i）当AQ=CQ时，

有

2

2

=，

25+t=t﹣8t+16+9， 解得t=0， ∴Q1（3，0）；

ii）当AC=AQ时，

有

=

，

t2=﹣5，此方程无实数根，

∴此时△ACQ不能构成等腰三角形；

iii）当AC=CQ时，

有

2

=，

整理得：t﹣8t+5=0， 解得：t=4±

，

），Q3（3，4﹣

）．

），

∴点Q坐标为：Q2（3，4+

综上所述，存在点Q，使△ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为：Q1（3，0），Q2（3，4+

Q3（3，4﹣）．

7．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（1，0），如图所示，抛物线y=ax﹣ax﹣2经过点B． （1）求点B的坐标；

2

（2）求抛物线的解析式；

（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解答：

解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D， ∵∠BCD+∠ACO=90°，∠AC0+∠OAC=90°， ∴∠BCD=∠CAO，

又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC， ∴△BDC≌△COA， ∴BD=OC=1，CD=OA=2， ∴点B的坐标为（3，1）；

（2）∵抛物线y=ax﹣ax﹣2过点B（3，1）， ∴1=9a﹣3a﹣2， 解得：a=，

∴抛物线的解析式为y=x﹣x﹣2；

（3）假设存在点P，使得△ACP是等腰直角三角形， ①若以AC为直角边，点C为直角顶点，

则延长BC至点P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，如图（1）， ∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°， ∴△MP1C≌△DBC， ∴CM=CD=2，P1M=BD=1，

∴P1（﹣1，﹣1），经检验点P1在抛物线y=x﹣x﹣2上；

②若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC， 得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，如图（2）， 同理可证△AP2N≌△CAO，

2

2

2

∴NP2=OA=2，AN=OC=1，

∴P2（﹣2，1），经检验P2（﹣2，1）也在抛物线y=x﹣x﹣2上；

③若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC， 得到等腰直角三角形ACP3，过点P3作P3H⊥y轴，如图（3）， 同理可证△AP3H≌△CAO， ∴HP3=OA=2，AH=OC=1，

∴P3（2，3），经检验P3（2，3）不在抛物线y=x﹣x﹣2上； 故符合条件的点有P1（﹣1，﹣1），P2（﹣2，1）两点．

2

2

8．（2013安顺）如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）点M是抛物线上一点，以B，C，D，M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线与y轴交于点C（0，3），

2

∴设抛物线解析式为y=ax+bx+3（a≠0）， 根据题意，得解得

，

2

，

∴抛物线的解析式为y=﹣x+2x+3． （2）存在．

由y=﹣x+2x+3得，D点坐标为（1，4），对称轴为x=1． ①若以CD为底边，则PD=PC， 设P点坐标为（x，y），根据两点间距离公式，

2222

得x+（3﹣y）=（x﹣1）+（4﹣y）， 即y=4﹣x．

又P点（x，y）在抛物线上，

2

∴4﹣x=﹣x+2x+3，

2

即x﹣3x+1=0， 解得x1=∴x=∴y=4﹣x=即点P坐标为

，

，

．

，x2=

＜1，应舍去，

2

②若以CD为一腰，

∵点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x=1对称， 此时点P坐标为（2，3）． ∴符合条件的点P坐标为

或（2，3）．

（3）由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根据勾股定理， 得CB=，CD=，BD=，

222

∴CB+CD=BD=20， ∴∠BCD=90°，

设对称轴交x轴于点E，过C作CM⊥DE，交抛物线于点M，垂足为F，在Rt△DCF中， ∵CF=DF=1， ∴∠CDF=45°，

由抛物线对称性可知，∠CDM=2×45°=90°，点坐标M为（2，3）， ∴DM∥BC，

∴四边形BCDM为直角梯形， 由∠BCD=90°及题意可知，

以BC为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况；

以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在． 综上所述，符合条件的点M的坐标为（2，3）．

直角三角形类

9.如图，抛物线y=ax+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1.0），C（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式；

（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点p

（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

2

（3）分三种情况进行讨论：①以A为直角顶点；②以D为直角顶点；③以M为直角顶点；设点M的坐标为（0，t），根据勾股定理列出方程，求出t的值即可． 解

（2）过点P作x轴的垂线，交AC于点N． 设直线AC的解析式为y=kx+m，由题意，得

，解得

，

∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣3．

2

设P点坐标为（x，x+2x﹣3），则点N的坐标为（x，﹣x﹣3），

22

∴PN=PE﹣NE=﹣（x+2x﹣3）+（﹣x﹣3）=﹣x﹣3x． ∵S△PAC=S△PAN+S△PCN， ∴S=PN•OA =×3（﹣x﹣3x） =﹣（x+）+

22

，

，此时点P的坐标为（﹣，﹣

）；

∴当x=﹣时，S有最大值

（3）在y轴上是否存在点M，能够使得△ADE是直角三角形．理由如下：

∵y=x+2x﹣3=y=（x+1）﹣4， ∴顶点D的坐标为（﹣1，﹣4）， ∵A（﹣3，0），

222

∴AD=（﹣1+3）+（﹣4﹣0）=20． 设点M的坐标为（0，t），分三种情况进行讨论： ①当A为直角顶点时，如图3①，

2222222

由勾股定理，得AM+AD=DM，即（0+3）+（t﹣0）+20=（0+1）+（t+4）， 解得t=，

所以点M的坐标为（0，）；

②当D为直角顶点时，如图3②，

2222222

由勾股定理，得DM+AD=AM，即（0+1）+（t+4）+20=（0+3）+（t﹣0）， 解得t=﹣，

所以点M的坐标为（0，﹣）；

③当M为直角顶点时，如图3③，

2222222

由勾股定理，得AM+DM=AD，即（0+3）+（t﹣0）+（0+1）+（t+4）=20， 解得t=﹣1或﹣3，

所以点M的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣3）；

综上可知，在y轴上存在点M，能够使得△ADE是直角三角形，此时点M的坐标为（0，）或（0，﹣）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．

22

11．（2012内蒙古赤峰12分）如图，抛物线yxbx5与x轴交于A．B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点C与点F关于抛物线的对称轴对称，直线AF交y轴于点E，|OC|：|OA|=5：1． （1）求抛物线的解析式； （2）求直线AF的解析式；

（3）在直线AF上是否存在点P，使△CFP是直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

2

解：（1）在y=x﹣bx﹣5中令x=0，得y=5，∴|OC|=5。 ∵|OC|：|OA|=5：1，∴|OA|=1。∴A（﹣1，0）。

把A（﹣1，0）代入y=x﹣bx﹣5得（﹣1）+b﹣5=0，解得b=4。 ∴抛物线的解析式为y=x﹣4x﹣5。

（2）∵y=x﹣4x﹣5=（x﹣2）﹣9，∴抛物线的的对称轴为x=2。 ∵点C与点F关于对称轴对称，C（0，﹣5）∴F（4，﹣5）。 设直线AF的解析式为y=kx+b，

把F（4，﹣5），A（﹣1，0），代入y=kx+b，得

2

2

22

2

2

4k+b=5k=1，解得。∴直线FA的解析式为y=﹣x﹣1。 b=1k+b=0（3）存在。理由如下：

①当∠FCP=90°时，点P与点E重合，

∵点E是直线y=﹣x﹣1与y轴的交点，∴E（0，﹣1）。∴P（0，﹣1）。 ②当CF是斜边时，过点C作CP⊥AF于点P。

设P（x1，﹣x1﹣1），∵∠ECF=90°，E（0，﹣1），C（0，﹣5），F（4，﹣5），

∴CE=CF。∴EP=PF。∴CP=PF。 ∴点P在抛物线的对称轴上。∴x1=2。

把x1=2代入y=﹣x﹣1，得y=﹣3。∴P（2，﹣3）。 综上所述，直线AF上存在点P（0，﹣1）或（0，﹣1）使△CFP是直角三角形。

12.（2013•抚顺）如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=﹣2

x+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的坐标；

（3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的t值．

解答：解： （1）∵y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，

∴当y=0时，x=﹣3，即A点坐标为（﹣3，0）， 当x=0时，y=3，即B点坐标为（0，3），

2

将A（﹣3，0），B（0，3）代入y=﹣x+bx+c，

得

，解得

2

，

∴抛物线的解析式为y=﹣x﹣2x+3；

22

（2）如图1，设第三象限内的点F的坐标为（m，﹣m﹣2m+3），则m＜0，﹣m﹣2m+3＜0．

22

∵y=﹣x﹣2x+3=﹣（x+1）+4，

∴对称轴为直线x=﹣1，顶点D的坐标为（﹣1，4），

设抛物线的对称轴与x轴交于点G，连接FG，则G（﹣1，0），AG=2． ∵直线AB的解析式为y=x+3，∴当x=﹣1时，y=﹣1+3=2， ∴E点坐标为（﹣1，2）． ∵S△AEF=S△AEG+S△AFG﹣S△EFG=×2×2+×2×（m+2m﹣3）﹣×2×（﹣1﹣m）=m+3m， ∴以A、E、F为顶点的三角形面积为3时，m+3m=3， 解得m1=当m=

，m2=

2

22

2

（舍去），

2

时，﹣m﹣2m+3=﹣m﹣3m+m+3=﹣3+m+3=m=，

∴点F的坐标为（，）；

（3）设P点坐标为（﹣1，n）．

222

∵B（0，3），C（1，0），∴BC=1+3=10． 分三种情况：

222

①如图2，如果∠PBC=90°，那么PB+BC=PC，

2222

即（0+1）+（n﹣3）+10=（1+1）+（n﹣0），

化简整理得6n=16，解得n=，∴P点坐标为（﹣1，）， ∵顶点D的坐标为（﹣1，4），∴PD=4﹣=， ∵点P的速度为每秒1个单位长度，∴t1=；

②如图3，如果∠BPC=90°，那么PB+PC=BC，

2222

即（0+1）+（n﹣3）+（1+1）+（n﹣0）=10，

2

化简整理得n﹣3n+2=0，解得n=2或1，∴P点坐标为（﹣1，2）或（﹣1，1）， ∵顶点D的坐标为（﹣1，4），∴PD=4﹣2=2或PD=4﹣1=3， ∵点P的速度为每秒1个单位长度，∴t2=2，t3=3；

222

③如图4，如果∠BCP=90°，那么BC+PC=PB，

2222

即10+（1+1）+（n﹣0）=（0+1）+（n﹣3），

化简整理得6n=﹣4，解得n=﹣，∴P点坐标为（﹣1，﹣）， ∵顶点D的坐标为（﹣1，4），∴PD=4+=∵点P的速度为每秒1个单位长度，∴t4=综上可知，当t为秒或2秒或3秒或角形．

， ；

2

2

2

秒时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三

平行四边形类

2012山东日照10分）如图，二次函数y=x＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为

（－3，0），经过B点的直线交抛物线于点D（－2，－3）. （1）求抛物线的解析式和直线BD解析式；

（2）过x轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EF∥BD，交抛物线于点F，是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由.

2

【答案】解：（1）将A（－3，0），D(－2，－3)的坐标代入y=x＋bx＋c得，

2

93b+c=0b=2，解得：。 c=342b+c=3∴抛物线的解析式为y=x＋2x－3 。

由x＋2x－3=0，得：x1=－3，x2=1，∴B的坐标是（1，0）。 设直线BD的解析式为y=kx＋b，则

2

2

k+b=0k=1，解得：。 b=12k+b=3∴直线BD的解析式为y=x－1。

（2）∵直线BD的解析式是y=x－1，且EF∥BD,

∴直线EF的解析式为：y=x－a。

若四边形BDFE是平行四边形，则DF∥x轴。 ∴D、F两点的纵坐标相等，即点F的纵坐标为－3。

y=x2+2x322

由得y＋（2a＋1）y＋a＋2a－3=0，解得：y=xay=

2a+1134a2令

。

2a+1134a2=－3，解得：a1=1，a2=3。

当a=1时，E点的坐标（1，0），这与B点重合，舍去； ∴当a=3时，E点的坐标（3，0），符合题意。 ∴存在实数a=3，使四边形BDFE是平行四边形。

13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x+mx+n经过点A（3，0）、B（0，﹣3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t． （1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．

（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．

（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

2

解：（1）把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=x+mx+n，得

解得

，所以抛物线的解析式是y=x﹣2x﹣3．

2

2

设直线AB的解析式是y=kx+b，

把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=kx+b，得所以直线AB的解析式是y=x﹣3；

（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t﹣2t﹣3）， 因为p在第四象限，

所以PM=（t﹣3）﹣（t﹣2t﹣3）=﹣t+3t， 当t=﹣

则S△ABM=S△BPM+S△APM=（3）存在，理由如下： ∵PM∥OB，

∴当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形， ①当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能有PM=3． ②当P在第一象限：PM=OB=3，（t﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3，解得t1=去），所以P点的横坐标是

22

2

2

2

，解得，

=时，二次函数的最大值，即PM最长值为

=

．

=，

，t2=（舍

；

（舍去），t2=

，所以P点

③当P在第三象限：PM=OB=3，t﹣3t=3，解得t1=的横坐标是

．

或

．

所以P点的横坐标是

14．如图，抛物线y=x﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上． （1）求抛物线顶点A的坐标；

（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；

（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2

解：（1）∵顶点A的横坐标为x=﹣∴当x=1时，y=1﹣5=﹣4， ∴A（1，﹣4）．

（2）△ABD是直角三角形．

将A（1，﹣4）代入y=x﹣2x+c，可得，1﹣2+c=﹣4，∴c=﹣3， ∴y=x﹣2x﹣3，∴B（0，﹣3） 当y=0时，x﹣2x﹣3=0，x1=﹣1，x2=3 ∴C（﹣1，0），D（3，0），

2

2

2

=1，且顶点A在y=x﹣5上，

BD2=OB2+OD2=18，AB2=（4﹣3）2+12=2，AD2=（3﹣1）2+42=20， BD2+AB2=AD2，

∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形． （3）存在．

由题意知：直线y=x﹣5交y轴于点E（0，﹣5），交x轴于点F（5，0） ∴OE=OF=5， 又∵OB=OD=3

∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形 ∴BD∥l，即PA∥BD

则构成平行四边形只能是PADB或PABD，如图，

过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线交过P且平行于x轴的直线于点G． 设P（x1，x1﹣5），则G（1，x1﹣5） 则PG=|1﹣x1|，AG=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1|

PA=BD=3

由勾股定理得：

（1﹣x1）+（1﹣x1）=18，x1﹣2x1﹣8=0，x1=﹣2或4 ∴P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1），

存在点P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1）使以点A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形．

2

2

2

16.（2013•昆明）如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点

C在y轴的正半轴上，OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）求点D的坐标；

（3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四

边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）设抛物线顶点为E，根据题意OA=4，OC=3，得：E（2，3），

2

设抛物线解析式为y=a（x﹣2）+3，

将A（4，0）坐标代入得：0=4a+3，即a=﹣，

则抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）+3=﹣x+3x；

（2）设直线AC解析式为y=kx+b（k≠0），

将A（4，0）与C（0，3）代入得：

，

22

解得：，

故直线AC解析式为y=﹣x+3，

与抛物线解析式联立得：，

解得：或，

则点D坐标为（1，）；

（3）存在，分两种情况考虑：

①当点M在x轴上方时，如答图1所示：

四边形ADMN为平行四边形，DM∥AN，DM=AN， 由对称性得到M（3，），即DM=2，故AN=2， ∴N1（2，0），N2（6，0）；

②当点M在x轴下方时，如答图2所示：

过点D作DQ⊥x轴于点Q，过点M作MP⊥x轴于点P，可得△ADQ≌△NMP， ∴MP=DQ=，NP=AQ=3，

将yM=﹣代入抛物线解析式得：﹣=﹣x+3x，

解得：xM=2﹣或xM=2+， ∴xN=xM﹣3=﹣﹣1或﹣1， ∴N3（﹣﹣1，0），N4（﹣1，0）．

菱形类

如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2bxc的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为3，0，与y轴交于C0，3，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．

⑴求这个二次函数的表达式．

⑵连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POPC， 那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

⑶当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．

y2

AOPBx 、

C解：⑴将B、C两点的坐标代入得

93bc0b2 解得： c3c3所以二次函数的表达式为：yx22x3

⑵存在点P，使四边形POPC为菱形．设P点坐标为x，x22x3，

PP交CO于E

若四边形POPC是菱形，则有PCPO．

连结PP，则PECO于E，

3∴OEEC

23∴y

23∴x22x3

2210210解得x1=，x2=（不合题意，舍去）

222103∴P点的坐标为（，）

22⑶过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设Px，x22x3， 易得，直线BC的解析式为yx3 则Q点的坐标为x，x3． S四边形ABPCS△ABCS△BPQS△CPQ

111ABOCQPOFQPFB222 1143(x23x)3 2223375=x 2283当x时，四边形ABPC的面积最大

2315此时P点的坐标为,，四边形ABPC的面积

24的最大值为

75． 8（2012山东烟台12分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线y=ax+bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E． （1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？

（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．

2

解：（1）A（1，4）。

由题意，设抛物线解析式为y=a（x﹣1）+4

∵抛物线过点C（3，0），∴0=a（3﹣1）+4，解得，a=﹣1。 ∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）+4，即y=﹣x+2x+3。 （2）设直线AC的解析式为y=kx+b， ∵A（1，4），C（3，0），

2

2

22

4kbk2∴，解得。

b603kb∴直线AC的解析式为y=﹣2x+6。 ∵点P（1，4﹣t），

∴将y=4﹣t代入y=﹣2x+6中，解得点E的横坐标为x1t。 2t2t∴点G的横坐标为1，代入抛物线的解析式中，可求点G的纵坐标为4。

42t2t2∴GE=（4）﹣（4﹣t）=t。

44tt又点A到GE的距离为，C到GE的距离为2，

221t1tt212∴SACGSAEGSCEGEGEG（2）=EG=t=t2+1。

222244∴当t=2时，S△ACG的最大值为1。 3）t=20或t=2085。 13（3）因为菱形是邻边相等的平行四边形，所以点H在直线EF上。分CE是边和对角线两种情况讨论即可。

由题设和（2）知，C（3，0），Q（3，t），E（1,4t），设H（1,m）。 当CE是对角线时，如图1，有CQ=HE=CH，即

t2t24tm=tm=42t2222442t3t8t+16=013t72t+80=0 t2224m3t8t+16=02+m=t2解得，t=20或t=4（舍去，此时C，E重合）。 13当CE是边时，如图2，有CQ=CE=EH，即

m4t=tm=422t40t+80=0， t22t40t+80=02+4t=t2解得，t=2085或t=20+85（舍去，此时已超过矩形ABCD的范围）。 综上所述，当t=20或t=2085时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，13 矩形类 正方形

H为顶点的四边形为菱形。

（2012贵州贵阳12分）如图，二次函数y=顶点M关于x轴的对称点是M′．

12

x﹣x+c的图象与x轴分别交于A、B两点，2（1）若A（﹣4，0），求二次函数的关系式； （2）在（1）的条件下，求四边形AMBM′的面积； （3）是否存在抛物线y=

12

x﹣x+c，使得四边形AMBM′为正方形？若存在，请求出此抛物2线的函数关系式；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵A（﹣4，0）在二次函数y=

∴

12

x﹣x+c的图象上， 212

×（﹣4）﹣（﹣4）+c=0，解得c=﹣12。 21∴二次函数的关系式为yx2x12。

211251252（2）∵yx2x12x22x+1（x1），

2222225∴顶点M的坐标为（1，）。

2∵A（﹣4，0），对称轴为x=1，∴点B的坐标为（6，0）。∴AB=6﹣（﹣4）=6+4=10。 ∴S△ABM=101225125。 =22125=125。 2∵顶点M关于x轴的对称点是M′，∴S四边形AMBM′=2S△ABM=2×3）存在抛物线y123xx，使得四边形AMBM′为正方形。理由如下： 221212

在y=x﹣x+c中，令y=0，则x﹣x+c=0，

22设点AB的坐标分别为A（x1，0）B（x2，0）， 则x1+x2=1c=2，x1•x2==2c。

1122∴ABx1+x2x2x1x2x12x1+x224x1x2=48c。

14c12c12=点M的纵坐标为：。 1242∵顶点M关于x轴的对称点是M′，四边形AMBM′为正方形，- ∴48c=2132c12

，整理得，4c+4c﹣3=0，解得c1=，c2=﹣。

222113c＞0，解得c＜。∴c的值为﹣。 222又抛物线与x轴有两个交点， ∴△=b﹣4ac=（﹣1）﹣4×

2

2

123xx，使得四边形AMBM′为正方形。 22动点相似

1（2012湖南常德10分）如图，已知二次函数y(x2)(axb)的图像过点A(－4，3），

48∴存在抛物线yB(4，4).

（1）求二次函数的解析式： （2）求证：△ACB是直角三角形；

（3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

解：（1）将A(－4，3），B(4，4)代人y1(x2)(axb)中， 4813(42)(4ab)4ab72a1348  ， 整理得： 解得

4ab32b2041(42)(4ab)48132151 ∴二次函数的解析式为：y(x2)(13x20)，即：yxx。

4888131520 （2）由 x2x0整理得 13x26x400，解得x1=2，x2=。

48861320 0。 ∴C （－2，0），D ，13 ∴AC=4+9 ，BC=36+16，AC+ BC=13+52=65，AB=+1=65， ∴ AC+ BC=AB 。∴△ACB是直角三角形。 （3）设P(x， BC=213，

2

2

2

2

2

2

2

2

13151321520（x<0），则PH=x2x， HD=又∵AC=13， x。xx)4886134886

1321520xxxPHHD488613 ①当△PHD∽△ACB时有：，即：， ACCB132131325125502035（舍去），此时，y1。xx0，解得x1， x2132443913135035∴P1(，。 ）13132013215xxxDHPH86， ②当△DHP∽△ACB时有：， 即：1348ACBC13213整理得

1321730512220284（舍去），此时，y1。 xx0，解得x1， x248878131313122284 ∴P2(。 ， ）13135035122284综上所述，满足条件的点有两个即P1(，，P2(。 ）， ）13131313 综合类

整理

10．如图，已知抛物线y=x+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）． （1）求直线BC与抛物线的解析式；

（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求

2

MN的最大值；

（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．

考点：二次函数综合题．. 专题：压轴题．

分析：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线BC的解析式；同理，将B（5，0），C（0，5）两点∑的坐标代入

y=x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）MN的长是直线BC的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于MN的长和M点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出MN的最大值；

（3）先求出△ABN的面积S2=5，则S1=6S2=30．再设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，根据平行四边形的面积公式得出BD=3

，过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交

x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形．证明△EBD为等腰直角

三角形，则BE=

BD=6，求出E的坐标为（﹣1，0），运用待定系数法求出直线PQ的解析

，即可求出点P的坐标．

式为y=﹣x﹣1，然后解方程组解答：

解：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n， 将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入， 得

，解得

，所以直线BC的解析式为y=﹣x+5；

2

将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入y=x+bx+c， 得

，解得

2

，所以抛物线的解析式为y=x﹣6x+5；

2

（2）设M（x，x﹣6x+5）（1＜x＜5），则N（x，﹣x+5）， ∵MN=（﹣x+5）﹣（x﹣6x+5）=﹣x+5x=﹣（x﹣）+∴当x=时，MN有最大值

；

2

2

2

，

（3）∵MN取得最大值时，x=2.5， ∴﹣x+5=﹣2.5+5=2.5，即N（2.5，2.5）． 解方程x﹣6x+5=0，得x=1或5， ∴A（1，0），B（5，0）， ∴AB=5﹣1=4，

∴△ABN的面积S2=×4×2.5=5，

2

∴平行四边形CBPQ的面积S1=6S2=30．

设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，则BC⊥BD． ∵BC=5

，

∴BC•BD=30， ∴BD=3

．

过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形． ∵BC⊥BD，∠OBC=45°， ∴∠EBD=45°，

∴△EBD为等腰直角三角形，BE=∵B（5，0）， ∴E（﹣1，0），

设直线PQ的解析式为y=﹣x+t，

将E（﹣1，0）代入，得1+t=0，解得t=﹣1 ∴直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1． 解方程组

，得

，

，

BD=6，

∴点P的坐标为P1（2，﹣3）（与点D重合）或P2（3，﹣4）．

11．如图，抛物线y=ax+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC．

2

（1）求直线CD的解析式； （2）求抛物线的解析式；

（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；

（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题．. 专题：压轴题． 分析：

（1）利用待定系数法求出直线解析式； （2）利用待定系数法求出抛物线的解析式；

（3）关键是证明△CEQ与△CDO均为等腰直角三角形；

（4）如答图②所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度．

利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时△PCF的周长最小． 如答图③所示，利用勾股定理求出线段C′C″的长度，即△PCF周长的最小值． 解答：

解：（1）∵C（0，1），OD=OC，∴D点坐标为（1，0）． 设直线CD的解析式为y=kx+b（k≠0）， 将C（0，1），D（1，0）代入得：解得：b=1，k=﹣1，

，

∴直线CD的解析式为：y=﹣x+1．

（2）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）+3， 将C（0，1）代入得：1=a×（﹣2）+3，解得a=∴y=

（x﹣2）+3=

2

2

2

．

x2+2x+1．

（3）证明：由题意可知，∠ECD=45°，

∵OC=OD，且OC⊥OD，∴△OCD为等腰直角三角形，∠ODC=45°， ∴∠ECD=∠ODC，∴CE∥x轴，则点C、E关于对称轴（直线x=2）对称， ∴点E的坐标为（4，1）．

如答图①所示，设对称轴（直线x=2）与CE交于点M，则M（2，1），

∴ME=CM=QM=2，∴△QME与△QMC均为等腰直角三角形，∴∠QEC=∠QCE=45°． 又∵△OCD为等腰直角三角形，∴∠ODC=∠OCD=45°， ∴∠QEC=∠QCE=∠ODC=∠OCD=45°， ∴△CEQ∽△CDO． （4）存在．

如答图②所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度．

（证明如下：不妨在线段OD上取异于点F的任一点F′，在线段QE上取异于点P的任一点

P′，连接F′C″，F′P′，P′C′．

由轴对称的性质可知，△P′CF′的周长=F′C″+F′P′+P′C′； 而F′C″+F′P′+P′C′是点C′，C″之间的折线段， 由两点之间线段最短可知：F′C″+F′P′+P′C′＞C′C″， 即△P′CF′的周长大于△PCE的周长．） 如答图③所示，连接C′E，

∵C，C′关于直线QE对称，△QCE为等腰直角三角形， ∴△QC′E为等腰直角三角形， ∴△CEC′为等腰直角三角形， ∴点C′的坐标为（4，5）；

∵C，C″关于x轴对称，∴点C″的坐标为（0，﹣1）．

过点C′作C′N⊥y轴于点N，则NC′=4，NC″=4+1+1=6， 在Rt△C′NC″中，由勾股定理得：C′C″=

=

=

． ．

综上所述，在P点和F点移动过程中，△PCF的周长存在最小值，最小值为

12．如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D．

（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标． （2）试判断△BCD的形状，并说明理由．

（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题．. 专题：压轴题． 分析：

（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；

（2）利用勾股定理求得△BCD的三边的长，然后根据勾股定理的逆定理即可作出判断； （3）分p在x轴和y轴两种情况讨论，舍出P的坐标，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．

解答：

解：（1）设抛物线的解析式为y=ax+bx+c

由抛物线与y轴交于点C（0，3），可知c=3．即抛物线的解析式为y=ax+bx+3． 把点A（1，0）、点B（﹣3，0）代入，得∴抛物线的解析式为y=﹣x﹣2x+3． ∵y=﹣x﹣2x+3=﹣（x+1）+4 ∴顶点D的坐标为（﹣1，4）； （2）△BCD是直角三角形．

理由如下：解法一：过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F． ∵在Rt△BOC中，OB=3，OC=3， ∴BC=OB+OC=18

在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1， ∴CD=DF+CF=2

在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB﹣OE=3﹣1=2， ∴BD=DE+BE=20 ∴BC+CD=BD

∴△BCD为直角三角形．

解法二：过点D作DF⊥y轴于点F． 在Rt△BOC中，∵OB=3，OC=3 ∴OB=OC∴∠OCB=45°

∵在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1 ∴DF=CF ∴∠DCF=45°

∴∠BCD=180°﹣∠DCF﹣∠OCB=90° ∴△BCD为直角三角形． （3）①△BCD的三边，

=

=，又

=，故当P是原点O时，△ACP∽△DBC；

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

解得a=﹣1，b=﹣2

②当AC是直角边时，若AC与CD是对应边，设P的坐标是（0，a），则PC=3﹣a，即

=

=，

，解得：a=﹣9，则P的坐标是（0，﹣9），三角形ACP不是直角三角形，则

△ACP∽△CBD不成立；

③当AC是直角边，若AC与BC是对应边时，设P的坐标是（0，b），则PC=3﹣b，则即

=

，解得：b=﹣，故P是（0，﹣）时，则△ACP∽△CBD一定成立；

=

，

④当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是（d，0）． 则AP=1﹣d，当AC与CD是对应边时，两个三角形不相似；

⑤当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是（e，0）． 则AP=1﹣e，当AC与DC是对应边时，总之，符合条件的点P的坐标为：

=

，即

=

，解得：e=﹣9，符合条件．

．

=

，即

=

，解得：d=1﹣3

，此时，

对应练习