人教版选修2-1综合测试卷及答案

考试时间:120分钟 满分:150分 一、选择题

1、已知a、b为实数,则22是log2alog2b的 ( )

A.必要非充分条件 B.充分非必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2、给出命题:若函数yf(x)是幂函数,则函数yf(x)的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是 ( ) A.0

B.1

C.2

D.3

ab3、已知函数f(x)sinx2xf(),则f() ( )

33A.311 B. 0 C. D.

2224、如果命题“pq”是假命题，“p” 是真命题,那么 ( )

A.命题p一定是真命题 B.命题q一定是真命题 C.命题q可以是真命题也可以是假命题 D.命题q一定是假命题

225、已知命题p:\"x1,2,xa0\",命题q:\"xR,x2ax2a0\",若命题“pq” 是真命题,

则实数a的取值范围是 ( ) A.(,2]{1} B.(,2][1,2] C.[1,) D.[2,1]

6、如图ABCDA1B1C1D1是正方体，B1E1D1F115A． 17C．

8 17

1B．

2D．

3 2

A1B1，则BE1与DF1所成角的余弦值为( ) 47、如图所示，在四面体PABC中，PC平面ABC，ABBCCAPC， 那么二面角BAPC的余弦值为( )

A．

2 27 7

B．

3 3

C．

5D．

7

1

x2y2y2x28、如右上图所示，我们把由半椭圆221(x0)与半椭圆221(x0)合成的曲线称作“果圆”(其

abbc中abc,abc0).如图,设点F0,F1,F2是相应椭圆的焦点,A1,A2和B1,B2是“果圆”与x,y轴的交点,若F0,F1,F2是边长为1的等边三角,则a,b的值分别为( )

222A.

7,1 B.3,1 C.5,3 D.5,4 2x2y29、设F1和F2为双曲线221(a0,b0)的两个焦点,

ab 若F1，F2,P(0,2b)是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为( )

A.

35 B.2 C. D.3 22210、设斜率为2的直线l过抛物线yax(a0)的焦点F，且和y轴交于点A，若OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )

A.y4x B.y8x C.y4x D.y8x

2222AA12，E是侧棱BB1的中点，11、已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，则直线AE与平面A1ED1

所成角的大小为( )

A．60° B．90° C．45° D．以上都不正确

12、平面的一个法向量n(1，－1,0)，则y轴与平面所成的角的大小为( )

A．

3 B． C． D．

43二、填空题

13、已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设aAB,bAC，若向量kab与ka2b互相

垂直，则k的值为________。

14、已知向量a(cos,sin,1),b(3,1,2)，则2ab的最大值为________．

x2y2x2y215、已知椭圆221(ab0)与双曲线221(m0,n0)有相同的焦点(c,0)和(c,0)，若c

abmn是a、m的等比中项,n是2m与c的等差中项,则椭圆的离心率是 .

2

22216、现有下列命题: 其中正确命题的序号有________.(把所有真命题的序号都填上)

①命题“xR,xx10”的否定是“xR,xx10”; ②若Ax|x0,Bx|x1,则A22(RB)=A;

③函数f(x)sin(x)(0)是偶函数的充要条件是k④若非零向量a,b满足a=b,b=a(R)，则=1.

(kZ); 2三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.) 17、(12分)设命题p:不等式2x1xa的解集是{x1x3}；命题q: 不等式4x4ax21的解集是3。若“pq”为真命题，试求实数a的值取值范围。

18、(12分)已知向量b与向量a(2,1,2)共线，且满足ab18，且(kab)(kab)，求向量b及k 的值。

19、(12分)如图所示，已知圆O1与圆O2外切，它们的半径分别为3、1,圆C与圆O1、圆O2外切。 (1)建立适当的坐标系，求圆C的圆心的轨迹方程；

(2)在(1)的坐标系中，若圆C的半径为1，求圆C的方程。

20、(12分)某工厂有一段旧墙长14m，现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形,面积为126m2的厂房,工程条件是：

①建1m新墙的费用为a元;②修1m旧墙的费用为用为

·

O2

O1

a元；③拆去1m的旧墙,用可得的建材建1m的新墙的费4a元，经讨论有两种方案： 2(1)利用旧墙一段xm(0x4)为矩形一边； (2)矩形厂房利用旧墙的一面边长x14； 问如何利用旧墙建墙费用最省?试比较(1)(2)两种方案哪个更好。

3

y2x2221、(12分)已知F1、F2分别为椭圆C1:221(ab0)的上、下焦点,其中F1也是抛物线C2:x4yab5的焦点,点M是C1与C2在第二象限的交点,且|MF1|.

3(1)求椭圆C1的方程;

(2)已知点P(1,3)和圆O:xyb,过点P的动 直线l与圆O相交于不同的两点A,B,在线段AB上取一点

222y M F1 · x O F·2 Q,满足:APPB,AQQB,(0且1).

求证：点Q总在某定直线上.

22、(14分)（本小题满分12分）如图，四边形ABCD为正方形，QAABPD平面ABCD，PD∥QA，（1）证明：平面PQC平面DCQ。 （2）求二面角QBPC的余弦值。

1 PD。

2

4

选修2-1综合测试题参

1.A 2a2bab,当a0或b0时,不能得到log2alog2b,反之成立. 2.B 原命题为真,其逆命题为假,∴否命题为假,逆否命题为真. 3.C 得f(x)cosx2f(),∴f()33112f()f(). 23324.C “非p” 是真命题,命题p 是假命题∴命题q 可以是真命题也可以是假命题. 5.A “

pq” 为真,得、为真,∴a(x2)1;△4a24(2a)0.

pqmin得a2或a1.

6.A 7.C 8.A OF2b2c231,OF0c3OF2,∴b1,

22∴a2b2c217737,即a,b1. ,得a22449.B由tan6c3c2222有3c4b4(ca),则e2,故选B. 2b3a210.B 抛物线yax(a0)的焦点F坐标为(,0),则直线l的方程为y2(x),

a4a2它与y轴的交点为A(0,),所以△OAF的面积为解得a8.所以抛物线方程为y8x. 10.D SPTQ2a21aa||||4, 2421111yQT,∴QT,Q(x,0),根据导数的几何意义,

yy22kPQy01x(x)yy,∴y2y.

11.B 12.B

5

13. 【答案】－或2

214. 【答案】4 15.

1 本题考查椭圆、双曲线的定义和标准方程,双曲线的离心率.由题意得 25

c2a2b2m2n2 ①,c2am ②,2n22m2c2 ③,将①代入③得 2n23m2n2,∴n3m,代入③得c2m,再代入②得a4m,得ec1. a216.②③ 将b=a代入a=b得(21)a=0,∴21,有1,④错.

1a1a117.解:由2x1xa得xa1,由题意得33a2.

3a13∴命题p:a2.

由4x4ax21的解集是,得4ax24x10无解, 即对xR,4ax24x10恒成立,∴a0(4)44a102,得a1.

∴命题q:a1.

由“p或q”为真命题,得p、q中至少有一个真命题.

a2当p、q均为假命题,则{aa1},而R{aa1}{aa1}.

a1∴实数a的值取值范围是(1,).

18.解: ∵a,b共线，∴存在实数λ,使b=λa,

22

∴a·b=λa=λ︱a︱,解得λ=2. ∴b=2a=(4,-2,4). ∵(ka+b)⊥(ka-b),

∴(ka+b)·(ka-b)=(ka+2a)·(ka-2a)=0,

22

即(k-4)︱a︱=0， 解得k=±2.

19.解:(1)如图,以O1O2所在的直线为x轴,以O1O2的中垂线 所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系.设圆C的圆心 为C(x,y),半径为r,由CO1CO2(r3)(r1)2,

得圆C的圆心的轨迹是以O1(2,0)，O2(2,0)为焦点,

· y C O O2 x O1 x2y2定长为2的双曲线,设它的方程为221.由2a2,得a1,

ab222又c2,∴bca3.又点(1,0)不合题意,且CO1CO220,知x1.

y21(x1). ∴圆C的圆心的轨迹方程是x32 (2)令C(x,y),由圆C与圆O1、O2相切得|CO1|4,|CO2|2,

6

(x2)2y21631532152C(,)(x)(y)1. 故,解得,∴圆C的方程为222222(x2)y4

20.解:(1)方案:修旧墙费用为x·其余新墙费用:(2xaa元,拆旧墙造新墙费用为(4－x)·, 42212614)a xx36∴总费用y7a(1) (0＜x＜14)

4x∴y7a(x62)35a≥35a,当x＝12时,ymin＝35a. 2xa7a252＝(元),建新墙费用为(2x16)a(元) 22x12621总费用为:y2a(x)a (x≥14)

x2(2)方案,利用旧墙费用为14·

126x2126126设f(x)x, (x14),则f'(x)122xxx当x14时,f'(x)0,f(x)为增函数,∴f(x)maxf(14)35.5a. 由35a35.5a知,采用(1)方案更好些. 答:采用(1)方案更好些.

221.解:(1)由C2:x4y知F1(0,1),设M(x0,y0)(x00),因M在抛物线C2上,

2故x04y0…①又|MF1|26552,则y01……②, 由①②解得x0,y0.而点M椭圆上,故有

33332262()2()4822331即…③, 又,则ba1…④ c112222ab9a3by2x21. 由③④可解得a4,b3,∴椭圆C1的方程为4322 (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x,y),

x1x21(1x,3y)(x1,y3)APPB由可得:,即 1122yy3(1)12由AQQB可得:(xx1,yy1)(x2x,y2y),即x1x2(1)x

y1y2(1)y22222222⑤⑦得:x1x2(1)x ⑥⑧得:y1y23y(1)

7

222222两式相加得(x1y1)(x2y2)(1)(x3y)

2222又点A,B在圆xy3上,且1,所以x1y13,x2y23

22即x3y3,∴点Q总在定直线x3y3上.

22.解: 如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系

Dxyz.

(Ⅰ)依题意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，

则DQ(1,1,0)，DC(0,0,1)，PQ(1,1,0)，所以PQDQ0， PQDC0， 即 PQ⊥DQ，PQ⊥DC.且DQDCD故PQ⊥平面DCQ.又PQ平面PQC，所以平面PQC⊥平

面DCQ. ……6分

（II）依题意有B(1,0,1)，CB=(1,0,0)，BP=(1,2,1).设n(x,y,z)是平面PBC的法向量，则

x0,nCB0, 即 x2yz0.nBP0,因此可取 n(0,1,2).

mBP0,设m是平面PBQ的法向量，则

mPQ0.可取m(1,1,1),所以cosm,n15.且由图形可知二面角QBPC为钝角 515. 5故二面角QBPC的余弦值为 8