2013中考数学专题——二次函数压轴题

一、复合题

（﹣2，﹣4），O（0，0）1. (2012 山东省滨州市) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx+c经过A，

2

B（2，0）三点．

（1）求抛物线y=ax+bx+c的解析式；

（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值．

2

2. (2012 山东省威海市) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bxc(a0)的顶点为B21，，且

过点A．抛物线的对称轴交直线yx于点2．直线yx与抛物线交于点D，E（点E在对称轴的右侧）0，C，交x轴于点G．EFx轴，垂足为点F．点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PMx轴，垂足

为点M，△PCM为等边三角形．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）求点P的坐标；

（3）试判断CE与EF是否相等，并说明理由；

MN（4）连接PE，在x轴上点M的右侧是否存在一点N，使△C与△CPE全等？若存在，试求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

１

3. (2012 山东省莱芜市) 如图，抛物线yax2bxc(a0)的顶点坐标为(2，1)，并且与y轴交于点

C(0，3)，与x轴交于两点A，B．

（1）求抛物线的表达式；

（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连结AC、AD，求△ACD的面积；

（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F，问是否存在点E，使得以

D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似．若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

4. (2012 山东省济南市) 如图，已知双曲线y

k

经过点D61，点C是双曲线第三象限分支上的动点，过C，x

作CAx轴，过D作DBy轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC. （1）求k的值；

（2）若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式； （3）判断AB与CD的位置关系，并说明理由.

5. (2012 山东省日照市) 如图，二次函数yx2bxc的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（-3,0），

经过B点的直线交抛物线于点D（-2，-3）. （1）求抛物线的解析式和直线BD解析式；

（2）过x轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EF∥BD,交抛物线于点F,是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由.

２

二、猜想、探究题

7. (2012 山东省威海市) 探索发现

已知在梯形ABCD中，CD∥AB，AD，BC的延长线相交于点E．AC，BD相交于点O，连接EO并延长交AB于点M，交CD于点N．

（1）如图①，如果ADBC，求证：直线EM是线段AB的垂直平分线；

（2）如图②，如果ADBC，那么线段AM与BM是否相等？请说明理由．

学以致用

仅用直尺（没有刻度），试作出图③中的矩形ABCD的一条对称轴．（写出作图步骤，保留作图痕迹）

8. (2012 山东省泰安市) 如图，半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C的

坐标为（1，0）.若抛物线

y32xbxc过A、B两点． 3（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在点P，使得PBOPOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）若点M是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB的面积为S，求S的最大（小）值.

３

ODAC于点D，9. (2012 山东省济宁市) 如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，过点A作⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC、BC.

（1）猜想：线段OD与BC有何数量和位置关系，并证明你的结论． （2）求证：PC是⊙O的切线．

10. (2012 山东省枣庄市) 如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC斜靠在两坐标轴上放在第

二象限，点C的坐标为

，．B点在抛物线y10121xx2的图象上，过点B作BDx轴，垂足为D，22且B点横坐标为3．

（1）求证：△BDC≌△COA； （2）求BC所在直线的函数关系式；

（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

11. (2012 山东省聊城市) 本题满分10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，ABAC10，BC12．P上的一个动点，过点P作BC的平行线交AB的延长线于点D． 是BC（1）当点P在什么位置时，DP是⊙O的切线？请说明理由； （2）当DP为⊙O的切线时，求线段DP的长．

４

三、说理题

12. (2012 山东省临沂市) 如图，点A在x轴上，OA4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．

（1）求点B的坐标；

（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由．

５