第４０卷第４期 昆明理工大学学报（自然科学版） Ｖｏ１．４０ Ｎｏ．４ ２０１５年８月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｋｕｎｍｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ａｕｇ．２０１５ ｄｏｉ：１０．１６１１２／ｊ．ｃｎｋｉ．５３—１２２３／ｎ．２０１５．０４．００９ 基于压缩感知的滚动轴承振动信号压缩方法 刘 畅 ，伍 星 ，毛剑琳 ，柳小勤 （１．昆明理工大学机电工程学院，云南昆明６５０５００；２．昆明理工大学信息工程与自动化学院，云南昆明６５０５００） 摘要：压缩感知是一种基于信号稀疏性的信号采集与处理框架，能够在信号采集的同时对信号 进行压缩．本文提出一种基于压缩感知的滚动轴承振动信号压缩方法，在信号的变换域内，使用 幅值百分比作为阈值对变换系数进行稀疏处理，采用高斯随机矩阵对信号进行降维观测，实现数 据的压缩．通过研究稀疏处理对信号压缩比和逼近误差的影响，分析阈值选择与信号稀疏比和逼 近误差的关系，分析不同变换基对稀疏处理的影响．实验数据分析表明，相对于未经过稀疏处理 的信号来说，该方法能有效地提高信号的压缩效果，且保持较好的逼近误差． 关键词：压缩感知；滚动轴承；稀疏表示；信号压缩 中图分类号：ＴＨ１３３．３３ 文献标志码：Ａ 文章编号：１００７—８５５Ｘ（２０１５）０４—００４６—０５ Ｒｏｌｌｉｎｇ Ｂｅａｒｉｎｇ Ｓｉｇｎａｌ Ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎ Ｕｓｉｎｇ Ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｖｅ Ｓｅｎｓｉｎｇ ＬＩ Ｕ Ｃｈａｎｇ ，ＷＵ Ｘｉｎｇ ，ＭＡＯ Ｊｉａｎ—ｌｉｎ ，ＬＩ Ｕ Ｘｉａｏ—ｑｉｎ （１．Ｆａｃｕｌｔｙ ｏｆ Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ ａｎｄ Ｅｌｅｃｔｉｒｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｋｕｎｍｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｋｕｎｍｉｎｇ ６５００９３，Ｃｈｉｎａ； ２．Ｆａｃｕｌｔｙ ｏｆ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ，Ｋｕｎｍｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｙｇ，Ｋｕｎｍｉｎｇ ６５００９３，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ ｓｅｎｓｉｎｇ ｉｓ ａ ｓｉｇｎａｌ ａｃｑｕｉｓｉｔｉｏｎ ａｎｄ ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｓｉｇｎａｌ ｓｐａｒｓｉｔｙ．Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｐｒｅｓｅｎｔｓ ａ ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｓｉｇｎａｌ ｏｆ ｔｈｅ ｒｏｌｌｉｎｇ ｂｅａｒｉｎｇ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ ｓｅｎｓｉｎｇ．Ｉｎ ｔｒａｎｓ— ｆｏｒｍ ｄｏｍａｉｎ，ｔｈｅ ａｍｐｌｉｔｕｄｅ ａｓ ａ ｐｅｒｃｅｎｔａｇｅ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｆｏｒ ｓｐａｒｓｅ ｔｒｅａｔｍｅｎｔ ｉｓ ｕｓｅｄ ｔｏ ｐｒｏｃｅｓｓ ｔｈｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ｅｏｅｆｉｆ— ｃｉｅｎｔｓ．Ｔｈｅ Ｇａｕｓｓ ｒａｎｄｏｍ ｍａｔｒｉｘ ｉｓ ｕｓｅｄ ｔｏ ｍｅａｓｕｒｅ ｓｉｇｎａｌ ａｎｄ ｃｏｍｐｒｅｓｓ ｄａｔａ．Ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ｂｅｔｗｅｅｎ ｓｐａｒｓｅ ｓｉｇｎａｌ ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎ ｒａｔｉｏ ａｎｄ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｅｒｒｏｒ ｉｓ ｓｔｕｄｉｅｄ．Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄｓ ａｒｅ ｔｈｅｎ ｓｅｌｅｃｔｅｄ ｔｏ ｅｘａｍｉｎｅ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ｂｅｔｗｅｅｎ ｓｐａｒｓｅ ｓｉｇｎａｌ ｒａｔｉｏ ａｎｄ ｔｈｅ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｅｒｒｏｒ．Ｔｈｅ ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ ｏｆ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｂａｓｅｓ ｏｎ ｓｐａｒｓｉｔｙ ｉｓ ａｌｓｏ ａｎａｌｙｚｅｄ．Ｔｈｅ ｒｅｓｕｈｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ ｃａｎ ｉｍｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎ ｅｆｆｅｃｔ，ａｎｄ ｒｅｄｕｃｅ ｔｈｅ ａｐｐｒｏｘｉ— ｍａｔｉｏｎ ｅｒｒｏｒ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｖｅ ｓｅｎｓｉｎｇ；ｒｏｌｌｉｎｇ ｂｅａｒｉｎｇ；ｓｐａｒｓｅ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ；ｓｉｇｎａｌ ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎ Ｏ引言 在滚动轴承的状态监测与故障诊断中，振动信号采集都是采用基于Ｎｙｑｕｉｓｔ—ｓｈａｎｎｏｎ采样定理方法， 即通过预先估计信号中最高频率成分，或使用抗混滤波器来限定信号的最高频率成分，根据Ｎｙｑｕｉｓｔ—ｓｈａｎ— ｎｏｎ采样定理确定合适的采样频率后进行数据采集．这种采集方式会带来两个方面的问题：一是由于轴承 的特征频率出现在中高频段，为满足采样定理所需要的采样频率就会很高，这就对数据采集设备提出较高 的要求；另一个问题在保证同样的分辨率的情况下，采样频率越高，采样得到的数据量就会越大，这样就对 采样数据的传输、存储带来巨大的压力．能否找到一种方法，既能够保证采集到足够的信息用于信号分析， 收稿日期：２０１４—０３—１０．基金项目：国家自然科学基金项目（５１２６５０１８）． 作者简介：刘畅（１９７９一），男，博士研究生，工程师．主要研究方向：机械设备状态监测与故障诊断技术、智能诊断、压缩 感知．Ｅ－ｍａｉｌ：ｌｘＤ３８５＠１６３．ｃｏｍ 通信作者：伍星（１９７３一），男，博士，教授，博士生导师．主要研究方向：机械信号处理与故障诊断、振动分析等．Ｅ－ｍａｉｌ： ｘｉｎｇｗｕ＠ａｌｉｙｕｎ．ｃｏｍ 第４期 刘畅，伍星，毛剑琳，等：基于压缩感知的滚动轴承振动信号压缩方法 ４７ 又能够减少采集的数据量，利于采样数据的存储和传输．压缩感知理论为本问题提供了一个新的思路． 压缩感知理论由Ｃａｎｄ￣ｓ，Ｄｏｎｏｈｏ等人于２００６年提出 ，该理论是建立在矩阵分析、泛函分析、稀疏 表示、最优重构等理论基础上的一种全新的理论框架．文献［１］给出了压缩感知的描述：当信号在某个变 换域是稀疏或可压缩的，可以利用与变换矩阵非相干的测量矩阵将信号投影到一个低维空间．由于这种投 影保持了重建信号所需要的信息，那么通过求解稀疏最优化问题就能够从低维的观测数据中高概率地重 构出原始信号．压缩感知理论在提出后不久，就在雷达探测 Ｊ、医疗成像 ｊ、无线通信 ｊ、数据采集 、语 音信号处理 等领域开展研究． 本文提出一种基于压缩感知的滚动轴承振动信号压缩方法，在信号的变换域内，使用幅值百分比作为 阈值对变换系数进行处理，采用高斯随机矩阵对信号进行降维观测，实现数据的压缩．相对于未经过处理 的信号来说，该方法能有效地提高信号的压缩效果，且同时获得较低的稀疏比和较好的逼近误差． １压缩感知基本理论 压缩感知基本理论是：设长度为ｎ的信号 在某个正交基或紧框架 上的变换系数 是稀疏的，如果 用一个与变换基 不相关的ｍ×ｎ维观测基 （ｍ＜ｎ）对信号 进行线性变换，得到ｍ×１维观测集合Ｙ， 利用最优化求解方法从观测集合中精确或近似精确的重构出原始信号＿９ Ｊ． 设｛ 是Ｒ 空间的正交基向量，由其作为列向量组成正交基矩阵 ＝【 ， ，…， 】．在Ｒ 空间中 任意向量 都可以表示为： ＝∑ ｉ 或 ＝伽 （１） 式中： ＝ ’ 是由投影系数 ＝ｘ， ）构成的ｎ×１维列向量．如果 ∈Ｒ 中仅仅有ｋ个非零项，且 ｋ＜＜ｎ，则表明信号是稀疏的或可压缩的，那么就可以用ｋ个大系数较好的逼近信号 ，称 是ｋ一稀疏， 或 在基 上是ｋ项稀疏 ． 对信号进行观测得到降维的观测集合Ｙ∈Ｒ ，观测过程可以表述为： Ｙ＝ ＝ 蝴 （２） 由于ｍ＜ｎ，该问题是一个欠定问题．文献［１０］指出在满足信号 是稀疏或可压缩的前提下，且观测 矩阵 满足ＲＩＰ条件，可以通过求解一个最优化的ｚ。范数问题来重构原始信号 ． 信号的重构是指由ｍ×１维观测向量Ｙ中重构出ｎ×１维信号的过程，重构问题可以由下式描述： ｍｉｎ ｌ Ｉ１ ｓ．ｔ．Ｙ＝ 蜘 （３） 通过求解ｚ，范数最小问题来重构信号¨ ．由于式（３）是凸优化问题，可以很方便地转化成线性规划 问题进行求解． ２基于压缩感知的滚动轴承振动信号压缩 ２．１信号压缩与解压缩的基本流程 基于压缩感知的信号压缩本质是利用信号在变换域上的稀疏性，基于信号中的信息进行采样，以 远低于Ｎｙｑｕｉｓｔ—ｓｈａｎｎｏｎ采样频率的速率实现采样的同时进行压缩，得到降维的观测数据（压缩数据）． 然后通过求解最优化问题，从少量的观测数据中精确地重构出原始信号（数据解压）．该方法的基本流 程如图１所示． 变换域 稀疏系数 观 阵 重构算法 图１基于压缩感知的信号压缩与解压缩流程 Ｆｉｇ．１ Ｓｉｇｎａｌ ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎ ａｎｄ ｄｅｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎ ｐｒｏｃｅｓｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ ｓｅｎｓｉｎｇ ４８ 昆明理工大学学报（自然科学版） 第４０卷 对滚动轴承振动信号应用压缩感知方法进行压缩的前提是振动信号必须是稀疏或可压缩的，且信号 越稀疏，压缩效果越好．文献［１２］指出光滑信号的Ｆｏｕｒｉｅｒ系数、小波系数等都具有足够的稀疏性．此外离 散余弦变换ＤＣＴ具有实信号的变换系数仍是实信号，且具有非自适应性质，也是一种较好的稀疏表示方 法．但由于振动信号是非严格稀疏信号，因此在变换域内存在大量的非零、小值出现，导致信号重构得到的 恢复信号与原始信号存在一定的重构误差． 信号压缩在压缩感知的观测过程中进行．文献［１３］证明当观测矩阵 是随机矩阵时， 能以较大 概率满足ＲＩＰ条件，即观测矩阵能够与大多数的变换基不相关，以保证能够精确地重构出原始信号．文献 ［１４］给出了在压缩感知框架下精确重构信号观测值需要满足的条件． ｍ≥Ｃ・ （ ．ｑｔ）・ｋ・ｌｏｇ凡 （４） 公式（４）同时给出了观测数ｍ与信号稀疏度ｋ之间的关系，即信号稀疏程度越高，观测时所需要的观 测值越少，信号的压缩效果越好． 在基于压缩感知的信号压缩中，信号的重构将从观测信号（压缩信号）中重构出原始信号（信号解 压缩）．常用的重构算法包括ＯＭＰ算法、ＳＴＯＭＰ算法、ＢＰ算法、ＧＰＳＲ算法、ＩＳＴＡ算法等．其中以ＯＭＰ为 代表的贪婪类算法具有计算速度快的特点，以ＢＰ为代表的凸松弛类算法则重构精度高，但相对来说计 算复杂度也较高． ２．２变换域内阈值处理 针对轴承振动信号在变换域内非严格稀疏的特点，通过在变换域内对变换系数进行阈值处理，将 小于阈值的非零小值置零，提高变换系数的稀疏化程度，能够减少信号的观测数，进而提高信号的压缩 率，这种处理方法称为稀疏处理．在稀疏处理过程中，如果阈值选择不当，将导致信号中关键信息损失， 从而导致重构信号的误差增大，使得信号的压缩失去意义．因此阈值的选择对于信号的稀疏度和重构 信号的误差有很大的影响，阈值取值越大，丢失的信息越多，导致重构信号的误差越大；而阈值取值越 小，信号的稀疏度也就越大，但是信号的压缩效果也就越差．此外使用不同的变换基，得到的信号稀疏 度和压缩效果也不同． 本文分析不同阈值对信号稀疏度和重构误差的影响，在变换域内根据变换系数的幅值百分比来自适 应地确定阈值，根据该阈值进行稀疏化处理，以期能够在稀疏度和重构误差之间保持较好的平衡．设有ｎ ×１维信号 ，对 进行变换得到０＝ ’ ， 是ｎ ｘ 维变换基，０是 在 基上的变换系数，确定阈值８： ｓ＝Ａ Ｉ ｍａｘ（ ）一ｍｉｎ（０）ｌ （５） 式中Ａ为幅值百分比．为了验证本方法的可行性，在不同的变换基下，对稀疏处理和未经稀疏处理的信号 压缩率和逼近误差进行对比分析，并得到阈值与信号稀疏比和逼近误差的关系曲线． ３滚动轴承振动数据的分析与验证 本文使用的实验数据来自凯斯西储大学轴承数据中心的滚动轴承振动数据 ，轴承型号为ＳＫＦ ６２０５－２ＲＳ型深沟球轴承，转速为１ ７９７ ｒ／ｍｉｎ，采样频率为１２ ｋＨｚ．观测矩阵选择高斯随机测量矩阵，采用 ＯＭＰ进行信号重构． 为了更好地对压缩过程和压缩效果进行表述，定义稀疏比 ＝ｋ／ｎ，凡为信号元素的个数（信号长度）， ｋ为信号中非零项的个数，显然信号中非零元素的数目越少，信号稀疏程度越高，稀疏比越小；定义压缩比 Ｃ＝ｍ／ｎ，ｍ为信号观测所需要的观测值数目，显然观测数越少，压缩比越小，信号的压缩效果就越好；定义 逼近误差 ＝＿ ｌＸｋ— ｌｌ／ ｌｌ用来衡量重构信号与原始信号的差异，逼近误差越小，说明重构信号与原 始信号的差异越小，重构信号越能逼近或代替原始信号． ３．１稀疏处理与压缩比与逼近误差的关系 为了验证稀疏处理方法能够有效地提高信号的压缩效果，首先对比分析稀疏处理和未经稀疏处 理的信号逼近误差．选择变换基为ＦＦＴ，数据长度１ ０２４，在保证观测数满足ｍ一４ｋ的条件下，分析压 缩比与逼近误差ｅｒｒ的关系．图２是压缩比与逼近误差ｅｒｒ的关系曲线．显然，在相同的压缩比下，稀疏 第４期 刘畅，伍星，毛剑琳，等：基于压缩感知的滚动轴承振动信号压缩方法 ４９ 处理后的逼近误差比未经过稀疏处理的信号小，表明对信号进行稀疏处理能够有效地提高信号的压 缩效果． ３．２幅值百分比Ａ与稀疏比和逼近误差的关系 阈值的选择对稀疏比和逼近误差有直接的 影响．根据公式（５），Ａ与占成线性对应关系，因 此下文使用Ａ代替对 的分析．取数据长度为 ４０９６，采用ＦＦＴ作为变换基，分析Ａ与稀疏比 和逼近误差ｅｒｒ的关系．图３是Ａ与稀疏比ＯＬ和逼 近误差ｅｒｒ的关系曲线．Ａ与稀疏比 成近似指数 对应关系，提高Ａ值能够大幅提高信号的稀疏 度，但当超过某个值后（如Ａ≥０．１），提高Ａ值对 于信号稀疏度的提高作用就不再明显；§ 而Ａ与逼 近误差ｅｒｒ成近似线性关系，提高Ａ值直接导致 压缩比 逼近误差成线性增加．因此选择合适的Ａ值对权 图２压缩比与逼近误差的关系曲线 衡稀疏比和逼近误差相当重要．太大的Ａ值将导 Ｆｉｇ・２ Ｔｈｅ ｃｕｒｖｅ ｏｆ ｃｏｍｐｒｅｓｓ ｒａｔｉｏ ａｎｄ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｅｒｒｏｒ 致逼近误差的增加，而Ａ值太小时，信号的稀疏 比较大，信号的压缩效果不明显．通过实验方法，当Ａ≥０．１能够保证既能够得到较大的稀疏比，同时也能 保证较好的压缩效果． ３．３不同变换基下 与稀疏比和逼近误差的关系 使用不同的变换基得到的变换系数具有不同的稀疏程度．使用本文提出的方法对比分析使用ＦＦＴ、 ＤＣＴ和ＤＷＴ（采用８阶Ｄａｕｂｅｃｈｉｅｓ离散正交小波） 基时Ａ与稀疏比 和逼近误差ｅｒｒ的关系．图４为不 同变换基下Ａ与稀疏比Ｏｌ和逼近误差ｅｒｒ的关系曲线．在相同的阈值下，使用ＤＣＴ得到的稀疏比最低，但 是逼近误差也最高，而ＦＦＴ和ＤＷＴ在逼近误差上相差不大，但是ＦＦＴ具有更好的稀疏性，因此针对滚动 轴承的振动信号，在相同的阈值下，使用ＦＦＴ作为变换基能够同时保持较好的稀疏度和较低的逼近 误差． ０．８ ０．７ ０．２ ０．１ Ｏ 幅值百分比／２ 幅值百分比／ｆ （ａ）幅值百分比 与稀疏比 的关系 （ａ）幅值百分比 与稀疏比 的关系 ０ ０ ｊ｝｛１１ ０ ０ ０ ０ ０ ０ 幅值百分比／２ 幅值百分比 （ｂ）幅值百分比／２与逼近误差Ｐ 的关系 （ｂ）幅值百分比 与逼近误差Ｐ 的关系 图３ 与稀疏比和逼近误差的关系 图４不同变换基］ 与稀疏比和逼近误差的关系 Ｆｉｇ．３ Ｔｈｅ ｃｕｒｖｅ ｏｆ２，ｓｐａｒｓｉｔｙ ａｎｄ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｅｒｒｏｒ Ｆｉｇ．４ Ｔｈｅ ｃｕｒｖｅ ｏｆ２，ｓｐａｒｓｉｔｙ ａｎｄ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｅｒｒｏｒ ｕｎｄｅｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｂａｓｅｓ 昆明理工大学学报（自然科学版） 第４Ｏ卷 ４结论 ’本文提出一种基于压缩感知的滚动轴承振动信号压缩方法，在信号的变换域内，使用幅值百分比作为 阈值对变换系数进行稀疏处理，采用高斯随机矩阵对信号进行降维观测，实现数据的压缩．研究稀疏处理 对信号压缩比和逼近误差的影响，分析阈值选择与信号稀疏比和逼近误差的关系，分析不同变换基对稀疏 处理的影响．实验数据分析表明，相对于未经过稀疏处理的信号来说，该方法能有效地提高信号的压缩效 果，且保持较好的逼近误差．但是稀疏处理增加信号处理的步骤，且对于非严格稀疏的振动信号来说，要想 同时获取较低的稀疏程度和较好的逼近误差，还需要进一步开展研究． 参考文献： ［１］Ｄａｖｉｄ Ｌ Ｄｏｎｏｈｏ．Ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ ｓｅｎｓｉｎｇ［Ｊ］．Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｙ，ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ，２００６，５２（４）：１２８９—１３０６． ［２］Ｅｍａｍｎｕｅｌ Ｊ Ｃａｎｄｅｓ．Ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｖｅ ｓａｍｐｌｉｎｇ［Ｒ］．Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｎ ｔｈｅ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｎｇｒｅｓｓ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｉａｎｓ：Ｍａｄｒｉｄ，Ａｕ— ｇｕｓｔ ２２—３０，２００６：ｉｎｖｉｔｅｄ ｌｅｃｔｕｒｅｓ． ［３］Ｅｍｍａｎｕｅｌ Ｃａｎｄｅｓ，Ｊｕｓｔｉｎ Ｒｏｍｂｅｒｇ，Ｔｅｒｅｎｃｅ Ｔａｏ．Ｒｏｂｕｓｔ ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅｓ：Ｅｘａｃｔ ｓｉｇｎａｌ ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｆｒｏｍ ｈｉｇｈｌｙ ｉｎ— ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｉｆｎｏｒｍａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｙ，ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ，２００６，５２（２）：４８９—５０９． ［４］Ｂａｒａｎｉｕｋ Ｒ，Ｓｔｅｅｇｈｓ Ｐ．Ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｖｅ ｒａｄａｒ ｉｍａｇｉｎｇ［Ｒ］．ＩＥＥＥ Ｒａｄａｒ Ｃｏｆｎｅｒｅｎｃｅ，Ｗａｌｔｈａｍ，Ｍａｓｓａｃｈｕｓｅｔｔｓ，Ａｐｒｉｌ ２００７． ［５］Ｌｕｓｔｉｇ Ｍ，Ｄｏｎｏｈｏ Ｄ Ｌ，Ｐａｕｌｙ Ｊ Ｍ．Ｓｐａｒｓｅ ＭＲＩ：Ｔｈｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ ｓｅｎｓｉｎｇ ｆｏｒ ｒａｐｉｄ ＭＲ ｉｍａｇｉｎｇ［Ｊ］．Ｍａｇｎｅｔｉｃ Ｒｅｓｏｎａｎｃｅ ｉｎ Ｍｅｄｉｃｉｎｅ，２００７，５８（６）：１１８２—１１９５． ［６］Ｑｕｅｒ Ｇ，Ｍａｓｉｅｒｏ Ｒ，Ｍｕｎａｒｅｔｔｏ Ｄ，ｅｔｃ．Ｏｎ ｔｈｅ Ｉｎｔｅｒｐｌａｙ Ｂｅｔｗｅｅｎ Ｒｏｕｔｉｎｇ ａｎｄ Ｓｉｇｎａｌ Ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｆｏｒ Ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｖｅ Ｓｅｎｓｉｎｇ ｉｎ Ｗｉｒｅｌｅｓｓ Ｓｅｎｓｏｒ Ｎｅｔｗｏｒｋｓ［Ｒ］．Ｉｆｎｏｒｍａｔｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ Ｗｏｒｋｓｈｏｐ（ＩＴＡ ２００９），Ｓａｎ Ｄｉｅｇｏ，ＣＡ． ［７］Ｍｉｓｈａｌｉ Ｍ，Ｅｌｄａｒ Ｙ Ｃ．Ｘａｍｐｌｉｎｇ：Ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ ｓｅｎｓｉｎｇ ｏｆ ｎａａｌｏｇ ｓｉｇｎａｌｓ［Ｍ］．Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ，ＵＫ：Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ， ２０１２． ［８］Ｇｒｉｉｆｎ Ａ，Ｈｉｒｖｏｎｅｎ Ｔ，Ｔｚａｇｋａｒａｋｉｓ Ｃ，ｅｔ １ａ．Ｓｉｎｇｌｅ—ｃｈａｎｎｅｌ ａｎｄ ｍｕｈｉ—ｃｈａｎｎｅｌ ｓｉｎｕｓｏｉｄａｌ ａｕｄｉｏ ｃｏｄｉｎｇ ｕｓｉｎｇ ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ ｓｅｎｓｉｎｇ［Ｊ］．Ａｕｄｉｏ，Ｓｐｅｅｃｈ，ａｎｄ Ｌａｎｇｕａｇｅ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ，２０１１，１９（５）：１３８２—１３９５． ［９］石光明，刘丹华，高大化，刘哲，林杰，王良君．压缩感知理论及其研究进展［Ｊ］．电子学报，２００９，３７（５）：１０７０—１０８１． ［１０］Ｅｍａｍｎｕｅｌ Ｊ Ｃａｎｄ￣ｓ．Ｔｈｅ ｒｅｓｔｉｒｃｔｅｄ ｉｓｏｍｅｔｒｙ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ａｎｄ ｉｔｓ ｉｍｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ ｓｅｎｓｉｎｇ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｔｅｓ Ｒｅｎｄｕｓ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｑｕｅ，２００８，３４６（９）：５８９—５９２． ［１ １］Ｓｃｏｔｔ Ｓｈａｏｂｉｎｇ Ｃｈｅｎ，Ｄａｖｉｄ Ｌ Ｄｏｎｏｈｏ，Ｍｉｃｈａｅｌ Ａ Ｓａｕｎｄｅｒｓ．Ａｔｏｍｉｃ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｂｙ ｂａｓｉｓ ｐｕｒｓｕｉｔ［Ｊ］．ＳＩＡＭ ｊｏｕｒｎａｌ ｏｎ ｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ，１９９８，２０（１）：３３—６１． ［１２］Ｅｍａｍｎｕｅｌ Ｊ Ｃａｎｄ￣ｓ，Ｔｅｒｅｎｃｅ Ｔａｏ．Ｎｅａｒ—ｏｐｔｉｍａｌ ｓｉｇｎａｌ ｒｅｃｏｖｅｒｙ ｒｆｏｍ ｒａｎｄｏｍ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｓ：Ｕｎｉｖｅｒｓａｌ ｅｎｃｏｄｉｎｇ ｓｔｒａｔｅｇｉｅｓ？ ［Ｊ］．Ｉｆｎｏｒｍａｔｉｏｎ ｈＴｅｏｒｙ，ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ，２００６，５２（１２）：５４０６—５４２５． ［１３］Ｅｍａｍｎｕｅｌ Ｊ Ｃａｎｄ￣ｓ，Ｊｕｓｔｉｎ Ｒｏｍｂｅｒｇ，Ｔｅｒｅｎｃｅ Ｔａｏ．Ｓｔａｂｌｅ ｓｉｇｎａｌ ｒｅｃｏｖｅｙｒ ｆｒｏｍ ｉｎｃｏｍｐｌｅｔｅ ａｎｄ ｉｎａｃｃｕｒａｔｅ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｓ ［Ｊ］．Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ ｏｎ ｐｕｒｅ ａｎｄ ａｐｐｌｉｅｄ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，２００６，５９（８）：１２０７—１２２３． ［１４］Ｅｍａｍｎｕｅｌ Ｊ Ｃａｎｄ￣ｓ，Ｊｕｓｔｉｎ Ｒｏｍｂｅｒｇ．Ｓｐａｍｉｔｙ ａｎｄ ｉｎｃｏｈｅｒｅｎｃｅ ｉｎ ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｖｅ ｓａｍｐｌｉｎｇ［Ｊ］．Ｉｎｖｅｒｓｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ，２００７．２３ （３）：９６９． ［１５］Ｌｏｐａｒｏ Ｋ．Ｂｅａｒｉｎｇ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｄａｔａ ｓｅｔ［ＥＢ／ＯＬ］．（２００３—１０—２３）．ｈｔｔｐ：／／ｃｓｅｇｒｏｕｐｓ．ｃａｓｅ．ｅｄｕ／ｂｅａｒｉｎｇｄａｔａｃｅｎｔｅｒ／ｈｏｍｅ．
