（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；
（4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．
2．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）． 已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）． （1）求d（点O，△ABC）；
（2）记函数y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）=1，直接写出k的取值范围；
（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）=1，直接写出t的取值范围．
3．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=﹣x2+4x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1）． （1）求线段AB的长；
（2）点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求PH+HF+FO的最小值；
（3）在（2）中，PH+HF+FO取得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到△CF′H′，过点F'作CF′的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D，Q，R，S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由．
4．如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A的直线交直线BC于点M．
①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，以直线x=对称轴的抛物线y=ax2+bx+c与直线l：y=kx+m（k＞0）交于A（1，1），B两点，与y轴交于C（0，5），直线l与y轴交于点D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设直线l与抛物线的对称轴的交点为F，G是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若
=，且△BCG与△BCD面积相等，求点G的坐标；
（3）若在x轴上有且仅有一点P，使∠APB=90°，求k的值．
6．如图，抛物线y=ax2+bx（a＜0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t=2时，AD=4． （1）求抛物线的函数表达式．
（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？
（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
7．抛物线L：y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），与它的对称轴直线x=1交于点B． （1）直接写出抛物线L的解析式；
（2）如图1，过定点的直线y=kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求k的值；
（3）如图2，将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物
线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D．F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．
8．在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（1，0）．已知抛物线y=x2+mx﹣2m（m是常数），顶点为P．
（Ⅰ）当抛物线经过点A时，求顶点P的坐标；
（Ⅱ）若点P在x轴下方，当∠AOP=45°时，求抛物线的解析式；
（Ⅲ）无论m取何值，该抛物线都经过定点H．当∠AHP=45°时，求抛物线的解析式．
9．如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A出发，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒．
（1）当t=2时，线段PQ的中点坐标为 ； （2）当△CBQ与△PAQ相似时，求t的值；
（3）当t=1时，抛物线y=x2+bx+c经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使∠MQD=∠MKQ？若存在，求出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由．
10．如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P（x，y）的动圆经过点A（1，2）且与x轴相切于点B．
（1）当x=2时，求⊙P的半径；
（2）求y关于x的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象；
（3）请类比圆的定义（圆可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到 的距离等于到 的距离的所有点的集合．
（4）当⊙P的半径为1时，若⊙P与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点D（m，n）在点C的右侧，请利用图②，求cos∠APD的大小．
11．已知顶点为A抛物线（1）求抛物线的解析式；
经过点，点．
（2）如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若∠OPM=∠MAF，求△POE的面积；
（3）如图2，点Q是折线A﹣B﹣C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△QEN1，若点N1落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．
12．在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处． （1）求这条抛物线的表达式； （2）求线段CD的长；
（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．
13．如图1，图形ABCD是由两个二次函数y1=kx2+m（k＜0）与y2=ax2+b（a＞0）的部分图象围成的封闭图形．已知A（1，0）、B（0，1）、D（0，﹣3）．
（1）直接写出这两个二次函数的表达式；
（2）判断图形ABCD是否存在内接正方形（正方形的四个顶点在图形ABCD上），并说明理由；
（3）如图2，连接BC，CD，AD，在坐标平面内，求使得△BDC与△ADE相似（其中点C与点E是对应顶点）的点E的坐标
14．小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程： 求解体验：
（1）已知抛物线y=﹣x2+bx﹣3经过点（﹣1，0），则b= ，顶点坐标为 ，该抛物线关于点（0，1）成中心对称的抛物线表达式是 ． 抽象感悟：
我们定义：对于抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），以y轴上的点M（0，m）为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线y′，则我们又称抛物线y′为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．
（2）已知抛物线y=﹣x2﹣2x+5关于点（0，m）的衍生抛物线为y′，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围． 问题解决：
（3）已知抛物线y=ax2+2ax﹣b（a≠0）
①若抛物线y的衍生抛物线为y′=bx2﹣2bx+a2（b≠0），两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a、b的值及衍生中心的坐标；
②若抛物线y关于点（0，k+12）的衍生抛物线为y1，其顶点为A1；关于点（0，k+22）的衍生抛物线为y2，其顶点为A2；…；关于点（0，k+n2）的衍生抛物线为
yn，其顶点为An…（n为正整数）．求AnAn+1的长（用含n的式子表示）．
15．如图，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）过点A（点A作直线AC∥x轴，交y轴于点C． （1）求抛物线的解析式；
，﹣3）和点B（3，0）．过
（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D．连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；
（3）抛物线上是否存在点Q，使得S△AOC=S△AOQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图，已知抛物线y=x2﹣4与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C为顶点，直线y=x+m经过点A，与y轴交于点D． （1）求线段AD的长；
（2）平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为C′．若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．
17．如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ．
（1）若点P的横坐标为﹣，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标； （Ⅱ）直尺在平移过程中，△DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．
18．已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2）． （1）若点（﹣
，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；
（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为心，OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．
①求抛物线的解析式；
②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．
19．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点． （1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=DE． ①求点P的坐标；
②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．
20．我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．
（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有 ； ②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形 “十字形”．（填“是”或“不是”）
（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围；
（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac），记“十字形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，
△AOD，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式； ①
=
；②
=
；③“十字形”ABCD的周长为12
．
21．如图1，抛物线y1=ax2﹣x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，），抛物线y1的顶点为G，GM⊥x轴于点M．将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y2．
（1）求抛物线y2的解析式；
（2）如图2，在直线l上是否存在点T，使△TAC是等腰三角形？若存在，请求出所有点T的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点P为抛物线y1上一动点，过点P作y轴的平行线交抛物线y2于点Q，点Q关于直线l的对称点为R，若以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，求直线PR的解析式．
22．如图，已知直线y=﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．
（1）若抛物线的解析式为y=﹣2x2+2x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N． ①求点M、N的坐标；
②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；
（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
23．如图，抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中点A（1，（3，﹣
），O为坐标原点．
），点B
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t的取值范围； （3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求∠BOC的大小及点C的坐标．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1），抛物线C2：y=2x2+x+1，动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M． （1）求抛物线C1的表达式；
（2）直接用含t的代数式表示线段MN的长；
（3）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；
（4）在（3）的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y轴于点K，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时，请直接写出点Q的坐标．
25．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1． （1）求抛物线的解析式；
（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．
26．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE． （1）求二次函数的表达式；
（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在请说明理由．
27．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，4），线段BC的中垂线与对称轴l交于点D，与x轴交于点F，与BC交于点E，对称轴l与x轴交于点H． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求点D的坐标；
（3）点P为x轴上一点，⊙P与直线BC相切于点Q，与直线DE相切于点R．求点P的坐标；
（4）点M为x轴上方抛物线上的点，在对称轴l上是否存在一点N，使得以点D，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，则直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．
28．如图，抛物线y=ax2+bx（a≠0）交x轴正半轴于点A，直线y=2x经过抛物线的顶点M．已知该抛物线的对称轴为直线x=2，交x轴于点B． （1）求a，b的值．
（2）P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接OP，BP．设点P的横坐标为m，△OBP的面积为S，记K=．求K关于m的函数表达式及K的
范围．
29．抛物线y=﹣x2﹣
x+与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与
y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点． （1）如图1，连接CD，求线段CD的长；
（2）如图2，点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E；将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当PE+EC的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标； （3）如图3，点H是线段AB的中点，连接CH，将△OBC沿直线CH翻折至△O2B2C的位置，再将△O2B2C绕点B2旋转一周，在旋转过程中，点O2，C的对应点分别是点O3，C1，直线O3C1分别与直线AC，x轴交于点M，N．那么，在△O2B2C的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使△AMN是以MN为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段O2M的长；若不存在，请说明理由．
30．综合与探究 如图，抛物线y=
x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y
轴交于点C，连接AC，BC．点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PE∥AC交x轴于点E，交BC于点F．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值．
31．如图，二次函数y=﹣+bx+2的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，
点A的坐标为（﹣4，0），P是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）． （1）b= ，点B的坐标是 ；
（2）设直线PB与直线AC相交于点M，是否存在这样的点P，使得PM：MB=1：2？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC、BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由．
32．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x﹣a）（x﹣3）（0＜a＜3）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连接AD、BC． （1）求点A、B、D的坐标；
（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；
（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．
33．如图，已知二次函数y=ax2﹣（2a﹣）x+3的图象经过点A（4，0），与y轴交于点B．在x轴上有一动点C（m，0）（0＜m＜4），过点C作x轴的垂线交直线AB于点E，交该二次函数图象于点D． （1）求a的值和直线AB的解析式；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，设△ACE，△DEF的面积分别为S1，S2，若S1=4S2，求m的值；
（3）点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段AB上的动点，当四边形DEGH是平行四边形，且▱DEGH周长取最大值时，求点G的坐标．
34．已知，点M为二次函数y=﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，直线y=mx+5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B．
（1）判断顶点M是否在直线y=4x+1上，并说明理由．
（2）如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1，根据图象，写出x的取值范围．
（3）如图2，点A坐标为（5，0），点M在△AOB内，若点C（，y1），D（，y2）都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．
35．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣5交y轴于点A，交x轴于点B（﹣5，0）和点C（1，0），过点A作AD∥x轴交抛物线于点D． （1）求此抛物线的表达式；
（2）点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积；
（3）若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积．
36．已知抛物线F：y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（﹣，0）．
（1）求抛物线F的解析式； （2）如图1，直线l：y=
x+m（m＞0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点
B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；
（3）在（2）中，若m=，设点A′是点A关于原点O的对称点，如图2． ①判断△AA′B的形状，并说明理由；
②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
37．直线y=﹣x+3交x轴于点A，交y轴于点B，顶点为D的抛物线y=﹣x2+2mx﹣3m经过点A，交x轴于另一点C，连接BD，AD，CD，如图所示． （1）直接写出抛物线的解析式和点A，C，D的坐标；
（2）动点P在BD上以每秒2个单位长的速度由点B向点D运动，同时动点Q在CA上以每秒3个单位长的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒．PQ交线段AD于点E． ①当∠DPE=∠CAD时，求t的值；
②过点E作EM⊥BD，垂足为点M，过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N，当PN=EM时，求t的值．
38．如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x﹣1与抛物线y=﹣x2+bx+c交于A、B两点，其中A（m，0）、B（4，n），该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D．
（1）求m、n的值及该抛物线的解析式；
（2）如图2，若点P为线段AD上的一动点（不与A、D重合），分别以AP、DP为斜边，在直线AD的同侧作等腰直角△APM和等腰直角△DPN，连接MN，试确定△MPN面积最大时P点的坐标；
（3）如图3，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说
明理由．
39．如图，点A，B，C都在抛物线y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（其中﹣＜a＜0）上，AB∥x轴，∠ABC=135°，且AB=4．
（1）填空：抛物线的顶点坐标为 （用含m的代数式表示）； （2）求△ABC的面积（用含a的代数式表示）；
（3）若△ABC的面积为2，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值．
40．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A和点B的坐标分别为A（﹣2，0），B（0，﹣6），将Rt△AOB绕点O按顺时针方向分别旋转90°，180°得到Rt△A1OC，Rt△EOF．抛物线C1经过点C，A，B；抛物线C2经过点C，E，F．
（1）点C的坐标为 ，点E的坐标为 ；抛物线C1的解析式为 ．抛物线C2的解析式为 ；
（2）如果点P（x，y）是直线BC上方抛物线C1上的一个动点． ①若∠PCA=∠ABO时，求P点的坐标；
②如图2，过点P作x轴的垂线交直线BC于点M，交抛物线C2于点N，记h=PM+NM+围．
41．如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点． （1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标； （2）F（x，y）是抛物线上的动点：
①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值； ②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．
BM，求h与x的函数关系式，当﹣5≤x≤﹣2时，求h的取值范
42．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，AD⊥y轴于点E（点A在点D的左侧），经过E、D两点的函数y=﹣x2+mx+1（x≥0）的图象记为G1，函数y=﹣x2﹣mx﹣1（x＜0）的图象记为G2，其中m是常数，图象G1、G2合起来得到的图象记为G．设矩形ABCD的周长为L． （1）当点A的横坐标为﹣1时，求m的值； （2）求L与m之间的函数关系式；
（3）当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点时，求L的值；
（4）设G在﹣4≤x≤2上最高点的纵坐标为y0，当≤y0≤9时，直接写出L的取值范围．
43．已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2），且抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且B在C的左侧，△ABC有一个内角为60°． （1）求抛物线的解析式； （2）若MN与直线y=﹣2
x平行，且M，N位于直线BC的两侧，y1＞y2，解
决以下问题：
①求证：BC平分∠MBN；
②求△MBC外心的纵坐标的取值范围．
44．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（4，0），与y轴交于点C（0，4）． （1）求抛物线的解析式；
（2）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值； （3）点D为抛物线对称轴上一点．
①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，直接写出点D的坐标； ②若△BCD是锐角三角形，直接写出点D的纵坐标n的取值范围．
45．如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，过点B的直线y=kx+分别与y轴及抛物线交于点C，D． （1）求直线和抛物线的表达式；
（2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；
（3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．
46．如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D． （1）求抛物线的解析式；
（2）若直线y=m（﹣3＜m＜0）与线段AD、BD分别交于G、H两点，过G点作EG⊥x轴于点E，过点H作HF⊥x轴于点F，求矩形GEFH的最大面积； （3）若直线y=kx+1将四边形ABCD分成左、右两个部分，面积分别为S1，S2，且S1：S2=4：5，求k的值．
47．如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B． （1）求抛物线的解析式．
（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标． （3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．
48．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（1，0），C（0，3）． （1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
49．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y=﹣x+2与二次函数图象在第一象限内的交点． （1）求二次函数的解析式及点E的坐标．
（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标． （3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．
50．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC． （1）求线段OC的长度；
（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
一．解答题（共50小题）
1．如图1，已知二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC． （1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式； （2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；
（4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）根据抛物线的解析式求得B的坐标，然后根据勾股定理分别求得AB2=20，AC2=80，BC10，然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC是直角三角形． （3）分别以A、C两点为圆心，AC长为半径画弧，与x轴交于三个点，由AC的垂直平分线与x轴交于一个点，即可求得点N的坐标；
（4）设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，根据三角形相似对应边成比例求得MD=（n+2），然后根据S△AMN=S△ABN﹣S△BMN 得出关于n的二次函数，根据函数解析式求得即可．
【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0）， ∴
，
解得．
∴抛物线表达式：y=﹣x2+x+4； （2）△ABC是直角三角形． 令y=0，则﹣x2+x+4=0， 解得x1=8，x2=﹣2，
∴点B的坐标为（﹣2，0）， 由已知可得，
在Rt△ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20， 在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80， 又∵BC=OB+OC=2+8=10，
∴在△ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2 ∴△ABC是直角三角形． （3）∵A（0，4），C（8，0）， ∴AC=
=4
，
①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（﹣8，0）， ②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（8﹣40）或（8+4
，0）
，
③作AC的垂直平分线，交x轴于N，此时N的坐标为（3，0），
综上，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为（﹣8，0）、（8﹣4
，0）、（3，0）、（8+4
，0）．
（4）如图AB=
=2
，BC=8﹣（﹣2）=10，AC=
，
=4
，
∴AB2+AC2=BC2， ∴∠BAC=90°． ∴AC⊥AB． ∵AC∥MN， ∴MN⊥AB．
设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2， ∵MN∥AC， △BMN∽△BAC ∴∴BM=MN=
==
， ， ==
﹣
， ，
=
AM=AB﹣BM=2
∵S△AMN=AM•MN =×
×
=﹣（n﹣3）2+5，
当n=3时，△AMN面积最大是5， ∴N点坐标为（3，0）．
∴当△AMN面积最大时，N点坐标为（3，0）．
【点评】本题是二次函数的综合题，解（1）的关键是待定系数法求解析式，解（2）的关键是勾股定理和逆定理，解（3）的关键是等腰三角形的性质，解（4）的关键是三角形相似的判定和性质以及函数的最值等．
2．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）． 已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．
（1）求d（点O，△ABC）；
（2）记函数y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）=1，直接写出k的取值范围；
（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）=1，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）根据点A、B、C三点的坐标作出△ABC，利用“闭距离”的定义即可得；
（2）由题意知y=kx在﹣1≤x≤1范围内函数图象为过原点的线段，再分别求得经过（1，﹣1）和（﹣1，﹣1）时k的值即可得；
（3）分⊙T在△ABC的左侧、内部和右侧三种情况，利用“闭距离”的定义逐一判断即可得．
【解答】解：（1）如图所示，点O到△ABC的距离的最小值为2，
∴d（点O，△ABC）=2；
（2）y=kx（k≠0）经过原点，在﹣1≤x≤1范围内，函数图象为线段，
当y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）经过（1，﹣1）时，k=﹣1，此时d（G，△ABC）=1； 当y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）经过（﹣1，﹣1）时，k=1，此时d（G，△ABC）=1； ∴﹣1≤k≤1， ∵k≠0，
∴﹣1≤k≤1且k≠0；
（3）⊙T与△ABC的位置关系分三种情况：
①当⊙T在△ABC的左侧时，由d（⊙T，△ABC）=1知此时t=﹣4； ②当⊙T在△ABC内部时，
当点T与原点重合时，d（⊙T，△ABC）=1，知此时t=0； 当点T位于T3位置时，由d（⊙T，△ABC）=1知T3M=2， ∵AB=BC=8、∠ABC=90°， ∴∠C=∠T3DM=45°， 则T3D=
=
=2
，
∴t=4﹣2，
；
故此时0≤t≤4﹣2
③当⊙T在△ABC右边时，由d（⊙T，△ABC）=1知T4N=2， ∵∠T4DC=∠C=45°， ∴T4D=∴t=4+2
；
或t=4+2
．
=
=2
，
综上，t=﹣4或0≤t≤4﹣2
【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是理解并掌握“闭距离”的定义与直线与圆的位置关系和分类讨论思想的运用．
3．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=﹣x2+4x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1）． （1）求线段AB的长；
（2）点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求PH+HF+FO的最小值； （3）在（2）中，PH+HF+FO取得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到△CF′H′，过点F'作CF′的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D，Q，R，S为顶点的四边
形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）求出A、B两点坐标，即可解决问题；
（2）如图1中，设P（m，﹣m2+4m），作PN∥y轴交BE于N．构建二次函数利用二次函数的性质求出满足条件的点P坐标，作直线OG交AB于G，使得∠COG=30°，作HK⊥OG于K交OC于F，因为FK=
OF，推出
PH+HF+FO=PH+FH+Fk=PH+HK，此时PH+HF+OF的值最小，解直角三角形即可解决问题；
（3）分两种情形分别求解即可；
【解答】解：（1）由题意A（1，3），B（3，3）， ∴AB=2．
（2）如图1中，设P（m，﹣m2+4m），作PN∥y轴J交BE于N． ∵直线BE的解析式为y=x， ∴N（m，m），
∴S△PEB=×2×（﹣m2+3m）=﹣m2+3m， ∴当m=时，△PEB的面积最大，此时P（，∴PH=
﹣3=，
），H（，3），
作直线OG交AB于G，使得∠COG=30°，作HK⊥OG于K交OC于F， ∵FK=OF，
∴PH+HF+FO=PH+FH+FK=PH+HK，此时PH+HF+OF的值最小，
∵•HG•OC=•OG•HK，
∴HK==+，
．
∴PH+HF+OF的最小值为+
（3）如图2中，由题意CH=，CF=，QF=，CQ=1，
∴Q（﹣1，3），D（2，4），DQ=，
），S2（﹣1，3+
），
①当DQ为菱形的边时，S1（﹣1，3﹣
②当DQ为对角线时，可得S3（﹣1，8）， ③当DR为对角线时，可得S4（5，3） 综上所述，满足条件的点S坐标为（﹣1，3﹣8）或（5，3）．
）或（﹣1，3+
）或（﹣1，
【点评】本题考查二次函数综合题、最短问题、菱形的判定和性质、解直角三角
形、勾股定理等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会添加常用辅助线，根据垂线段最短解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
4．如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A的直线交直线BC于点M．
①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．
【分析】（1）利用一次函数解析式确定C（0，﹣5），B（5，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）①先解方程﹣x2+6x﹣5=0得A（1，0），再判断△OCB为等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°，则△AMB为等腰直角三角形，所以AM=2行四边形的性质得到PQ=AM=21，利用∠PDQ=45°得到PD=
，接着根据平
，PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，如图
PQ=4，设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5），
讨论：当P点在直线BC上方时，PD=﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）=4；当P点在直线
BC下方时，PD=m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5），然后分别解方程即可得到P点的横坐标；
②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM1B=2∠ACB，再确定N（3，﹣2），
AC的解析式为y=5x﹣5，E点坐标为（，﹣），利用两直线垂直的问题可设直线EM1的解析式为y=﹣x+b，把E（，﹣）代入求出b得到直线EM1的解析式为y=﹣x﹣
，则解方程组
得M1点的坐标；作直线BC上作点
M1关于N点的对称点M2，如图2，利用对称性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x﹣5），根据中点坐标公式得到3=坐标，从而得到满足条件的点M的坐标．
【解答】解：（1）当x=0时，y=x﹣5=﹣5，则C（0，﹣5）， 当y=0时，x﹣5=0，解得x=5，则B（5，0）， 把B（5，0），C（0，﹣5）代入y=ax2+6x+c得∴抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；
（2）①解方程﹣x2+6x﹣5=0得x1=1，x2=5，则A（1，0）， ∵B（5，0），C（0，﹣5）， ∴△OCB为等腰直角三角形， ∴∠OBC=∠OCB=45°， ∵AM⊥BC，
∴△AMB为等腰直角三角形， ∴AM=
AB=
×4=2
，
，解得
，
，然后求出x即可得到M2的
∵以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，AM∥PQ， ∴PQ=AM=2
，PQ⊥BC，
作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，则∠PDQ=45°， ∴PD=
PQ=
×2
=4，
设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5）， 当P点在直线BC上方时，
PD=﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）=﹣m2+5m=4，解得m1=1，m2=4， 当P点在直线BC下方时，
PD=m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）=m2﹣5m=4，解得m1=综上所述，P点的横坐标为4或
或
；
，m2=
，
②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2， ∵M1A=M1C， ∴∠ACM1=∠CAM1， ∴∠AM1B=2∠ACB，
∵△ANB为等腰直角三角形， ∴AH=BH=NH=2， ∴N（3，﹣2），
易得AC的解析式为y=5x﹣5，E点坐标为（，﹣）， 设直线EM1的解析式为y=﹣x+b， 把E（，﹣）代入得﹣
+b=﹣，解得b=﹣
，
，
∴直线EM1的解析式为y=﹣x﹣
解方程组得
，则M1（，﹣）；
作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，
设M2（x，x﹣5）， ∵3=∴x=
，
，
∴M2（，﹣），
，﹣
）或（
，﹣）．
综上所述，点M的坐标为（
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，以直线x=对称轴的抛物线y=ax2+bx+c与直线l：y=kx+m（k＞0）交于A（1，1），B两点，与y轴交于C（0，5），直线l与y轴交于点D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设直线l与抛物线的对称轴的交点为F，G是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若
=，且△BCG与△BCD面积相等，求点G的坐标；
（3）若在x轴上有且仅有一点P，使∠APB=90°，求k的值．
【分析】（1）根据已知列出方程组求解即可；
（2）作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M，N，求出直线l的解析式，再分两种情况分别分析出G点坐标即可；
（3）根据题意分析得出以AB为直径的圆与x轴只有一个交点，且P为切点，P为MN的中点，运用三角形相似建立等量关系列出方程求解即可．
【解答】解：（1）由题意可得，
解得a=1，b=﹣5，c=5；
∴二次函数的解析式为：y=x2﹣5x+5，
（2）作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M，N，
则
∵MQ=，
，
∴NQ=2，B（，∴
，
）；
解得，
∴同理可求，
，D（0，），
，
∵S△BCD=S△BCG，
∴①DG∥BC（G在BC下方），∴解得，∵x＞， ∴x=3，
∴G（3，﹣1）．
②G在BC上方时，直线G2G3与DG1关于BC对称， ∴∴解得∵x＞， ∴x=∴G（
， ，
），
，
）．
=
，
=x2﹣5x+5，
，
，
=x2﹣5x+5， ，x2=3，
，
综上所述点G的坐标为G（3，﹣1），G（（3）由题意可知：k+m=1， ∴m=1﹣k， ∴yl=kx+1﹣k， ∴kx+1﹣k=x2﹣5x+5， 解得，x1=1，x2=k+4，
∴B（k+4，k2+3k+1）， 设AB中点为O′， ∵P点有且只有一个，
∴以AB为直径的圆与x轴只有一个交点，且P为切点， ∴O′P⊥x轴， ∴P为MN的中点， ∴P（
，0），
∵△AMP∽△PNB， ∴
，
∴AM•BN=PN•PM， ∴1×（k2+3k+1）=（k+4﹣∵k＞0， ∴k=
=﹣1+
．
）（
），
【点评】此题主要考查二次函数的综合问题，会灵活根据题意求抛物线解析式，会分析题中的基本关系列方程解决问题，会分类讨论各种情况是解题的关键．
6．如图，抛物线y=ax2+bx（a＜0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t=2时，AD=4． （1）求抛物线的函数表达式．
（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？
（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
【分析】（1）由点E的坐标设抛物线的交点式，再把点D的坐标（2，4）代入
计算可得；
（2）由抛物线的对称性得BE=OA=t，据此知AB=10﹣2t，再由x=t时AD=﹣t2+t，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可得；
（3）由t=2得出点A、B、C、D及对角线交点P的坐标，由直线GH平分矩形的面积知直线GH必过点P，根据AB∥CD知线段OD平移后得到的线段是GH，由线段OD的中点Q平移后的对应点是P知PQ是△OBD中位线，据此可得． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=ax（x﹣10）， ∵当t=2时，AD=4， ∴点D的坐标为（2，4），
∴将点D坐标代入解析式得﹣16a=4， 解得：a=﹣，
抛物线的函数表达式为y=﹣x2+x；
（2）由抛物线的对称性得BE=OA=t， ∴AB=10﹣2t，
当x=t时，AD=﹣t2+t， ∴矩形ABCD的周长=2（AB+AD） =2[（10﹣2t）+（﹣t2+t）] =﹣t2+t+20 =﹣（t﹣1）2+∵﹣＜0，
∴当t=1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为
，
；
（3）如图，
当t=2时，点A、B、C、D的坐标分别为（2，0）、（8，0）、（8，4）、（2，4）， ∴矩形ABCD对角线的交点P的坐标为（5，2），
当平移后的抛物线过点A时，点H的坐标为（4，4），此时GH不能将矩形面积平分；
当平移后的抛物线过点C时，点G的坐标为（6，0），此时GH也不能将矩形面积平分；
∴当G、H中有一点落在线段AD或BC上时，直线GH不可能将矩形的面积平分， 当点G、H分别落在线段AB、DC上时，直线GH过点P，必平分矩形ABCD的面积， ∵AB∥CD，
∴线段OD平移后得到的线段GH， ∴线段OD的中点Q平移后的对应点是P， 在△OBD中，PQ是中位线， ∴PQ=OB=4，
所以抛物线向右平移的距离是4个单位．
【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及平移变换的性质等知识点．
7．抛物线L：y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），与它的对称轴直线x=1交于点B． （1）直接写出抛物线L的解析式；
（2）如图1，过定点的直线y=kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求k的值；
（3）如图2，将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D．F为抛物线
L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．
【分析】（1）根据对称轴为直线x=1且抛物线过点A（0，1）求解可得； （2）根据直线y=kx﹣k+4=k（x﹣1）+4知直线所过定点G坐标为（1，4），从而得出BG=2，由S△BMN=S△BNG﹣S△BMG=BG•xN﹣BG•xM=1得出xN﹣xM=1，联立直线和抛物线解析式求得x=之可得；
（3）设抛物线L1的解析式为y=﹣x2+2x+1+m，知C（0，1+m）、D（2，1+m）、F（1，0），再设P（0，t），分△PCD∽△POF和△PCD∽△POF两种情况，由对应边成比例得出关于t与m的方程，利用符合条件的点P恰有2个，结合方程的解的情况求解可得． 【解答】解：（1）由题意知解得：b=2、c=1，
∴抛物线L的解析式为y=﹣x2+2x+1；
，根据xN﹣xM=1列出关于k的方程，解
，
（2）如图1，
∵y=kx﹣k+4=k（x﹣1）+4，
∴当x=1时，y=4，即该直线所过定点G坐标为（1，4）， ∵y=﹣x2+2x+1=﹣（x﹣1）2+2， ∴点B（1，2）， 则BG=2，
∵S△BMN=1，即S△BNG﹣S△BMG=BG•xN﹣BG•xM=1， ∴xN﹣xM=1， 由
得x2+（k﹣2）x﹣k+3=0，
解得：x==，
则xN=由xN﹣xM=1得∴k=±3， ∵k＜0， ∴k=﹣3；
、xM==1，
，
（3）如图2，
设抛物线L1的解析式为y=﹣x2+2x+1+m， ∴C（0，1+m）、D（2，1+m）、F（1，0）， 设P（0，t），
①当△PCD∽△FOP时，∴
=，
=
，
∴t2﹣（1+m）t+2=0； ②当△PCD∽△POF时，∴
=，
=
，
∴t=（m+1）；
（Ⅰ）当方程①有两个相等实数根时， △=（1+m）2﹣8=0， 解得：m=2
﹣1（负值舍去），
，
此时方程①有两个相等实数根t1=t2=方程②有一个实数根t=∴m=2
﹣1，
）和（0，，
此时点P的坐标为（0，）；
（Ⅱ）当方程①有两个不相等的实数根时， 把②代入①，得：（m+1）2﹣（m+1）+2=0， 解得：m=2（负值舍去），
此时，方程①有两个不相等的实数根t1=1、t2=2， 方程②有一个实数根t=1，
∴m=2，此时点P的坐标为（0，1）和（0，2）； 综上，当m=2
﹣1时，点P的坐标为（0，
）和（0，
）；
当m=2时，点P的坐标为（0，1）和（0，2）．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、利用割补法求三角形的面积建立关于k的方程及相似三角形的判定与性质等知识点．
8．在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（1，0）．已知抛物线y=x2+mx﹣2m（m是常数），顶点为P．
（Ⅰ）当抛物线经过点A时，求顶点P的坐标；
（Ⅱ）若点P在x轴下方，当∠AOP=45°时，求抛物线的解析式；
（Ⅲ）无论m取何值，该抛物线都经过定点H．当∠AHP=45°时，求抛物线的解析式．
【分析】（Ⅰ）将点A坐标代入解析式求得m的值即可得； （Ⅱ）先求出顶点P的坐标（﹣，﹣
），根据∠AOP=45°知点P在第四象
限且PQ=OQ，列出关于m的方程，解之可得；
（Ⅲ）由y=x2+mx﹣2m=x2+m（x﹣2）知H（2，4），过点A作AD⊥AH，交射线HP于点D，分别过点D、H作x轴的垂线，垂足分别为E、G，证△ADE≌△HAG得DE=AG=1、AE=HG=4，据此知点D的坐标为（﹣3，1）或（5，﹣1），再求出直线DH的解析式，将点P的坐标代入求得m的值即可得出答案． 【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y=x2+mx﹣2m经过点A（1，0）， ∴0=1+m﹣2m， 解得：m=1，
∴抛物线解析式为y=x2+x﹣2，
∵y=x2+x﹣2=（x+）2﹣， ∴顶点P的坐标为（﹣，﹣）；
（Ⅱ）抛物线y=x2+mx﹣2m的顶点P的坐标为（﹣，﹣），
由点A（1，0）在x轴的正半轴上，点P在x轴的下方，∠AOP=45°知点P在第四象限，
如图1，过点P作PQ⊥x轴于点Q，
则∠POQ=∠OPQ=45°， 可知PQ=OQ，即
=﹣，
解得：m1=0，m2=﹣10，
当m=0时，点P不在第四象限，舍去； ∴m=﹣10，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣10x+20；
（Ⅲ）由y=x2+mx﹣2m=x2+m（x﹣2）可知当x=2时，无论m取何值时y都等于4，
∴点H的坐标为（2，4），
过点A作AD⊥AH，交射线HP于点D，分别过点D、H作x轴的垂线，垂足分别为E、G，
则∠DEA=∠AGH=90°， ∵∠DAH=90°，∠AHD=45°， ∴∠ADH=45°， ∴AH=AD，
∵∠DAE+∠HAG=∠AHG+∠HAG=90°， ∴∠DAE=∠AHG， ∴△ADE≌△HAG， ∴DE=AG=1、AE=HG=4，
则点D的坐标为（﹣3，1）或（5，﹣1）；
①当点D的坐标为（﹣3，1）时，可得直线DH的解析式为y=x+∵点P（﹣，﹣∴﹣
）在直线y=x+
，
上，
，
=×（﹣）+
，
解得：m1=﹣4、m2=﹣
当m=﹣4时，点P与点H重合，不符合题意， ∴m=﹣
；
，
②当点D的坐标为（5，﹣1）时，可得直线DH的解析式为y=﹣x+∵点P（﹣，﹣∴﹣
）在直线y=﹣x+
， ，
上，
=﹣×（﹣）+
解得：m1=﹣4（舍），m2=﹣
综上，m=﹣或m=﹣，
x+
或y=x2﹣
x+
．
则抛物线的解析式为y=x2﹣
【点评】本题主要考查二次函数综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、全等三角形的判定和性质等知识点．
9．如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A出发，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒．
（1）当t=2时，线段PQ的中点坐标为 （，2） ； （2）当△CBQ与△PAQ相似时，求t的值；
（3）当t=1时，抛物线y=x2+bx+c经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使∠MQD=∠MKQ？若存在，求出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）先根据时间t=2，和速度可得动点P和Q的路程OP和AQ的长，再根据中点坐标公式可得结论；
（2）根据矩形的性质得：∠B=∠PAQ=90°，所以当△CBQ与△PAQ相似时，存在两种情况：
①当△PAQ∽△QBC时，可得t的值；
（3）根据t=1求抛物线的解析式，根据Q（3，2），M（0，2），可得MQ∥x轴，∴KM=KQ，KE⊥MQ，画出符合条件的点D，证明△KEQ∽△QMH，列比例式可
，②当△PAQ∽△CBQ时，
，分别列方程
得点D的坐标，同理根据对称可得另一个点D． 【解答】解：（1）如图1，∵点A的坐标为（3，0）， ∴OA=3，
当t=2时，OP=t=2，AQ=2t=4， ∴P（2，0），Q（3，4）， ∴线段PQ的中点坐标为：（故答案为：（，2）；
（2）如图1，∵当点P与点A重合时运动停止，且△PAQ可以构成三角形， ∴0＜t＜3，
∵四边形OABC是矩形， ∴∠B=∠PAQ=90°
∴当△CBQ与△PAQ相似时，存在两种情况： ①当△PAQ∽△QBC时，∴
，
， ，
），即（，2）；
4t2﹣15t+9=0， （t﹣3）（t﹣）=0， t1=3（舍），t2=， ②当△PAQ∽△CBQ时，∴
t2﹣9t+9=0， t=∵∴x=
， ＞7，
不符合题意，舍去，
；
，
，
综上所述，当△CBQ与△PAQ相似时，t的值是或（3）当t=1时，P（1，0），Q（3，2），
把P（1，0），Q（3，2）代入抛物线y=x2+bx+c中得：
，解得：
，
∴抛物线：y=x2﹣3x+2=（x﹣）2﹣， ∴顶点k（，﹣）， ∵Q（3，2），M（0，2）， ∴MQ∥x轴，
作抛物线对称轴，交MQ于E， ∴KM=KQ，KE⊥MQ， ∴∠MKE=∠QKE=∠MKQ， 如图2，∠MQD=∠MKQ=∠QKE， 设DQ交y轴于H， ∵∠HMQ=∠QEK=90°， ∴△KEQ∽△QMH， ∴
，
∴，
∴MH=2， ∴H（0，4），
易得HQ的解析式为：y=﹣x+4，
则，
x2﹣3x+2=﹣x+4，
解得：x1=3（舍），x2=﹣， ∴D（﹣，
）；
同理，在M的下方，y轴上存在点H，如图3，使∠HQM=∠MKQ=∠QKE， 由对称性得：H（0，0）， 易得OQ的解析式：y=x，
则，
x2﹣3x+2=x，
解得：x1=3（舍），x2=， ∴D（，）；
综上所述，点D的坐标为：D（﹣，
）或（，）．
【点评】本题是二次函数与三角形相似的综合问题，主要考查相似三角形的判定和性质的综合应用，三角形和四边形的面积，二次函数的最值问题的应用，函数的交点等知识，本题比较复杂，注意用t表示出线段长度，再利用相似即可找到线段之间的关系，代入可解决问题．
10．如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P（x，y）的动圆经过点A（1，2）且与x轴相切于点B．
（1）当x=2时，求⊙P的半径；
（2）求y关于x的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象；
（3）请类比圆的定义（圆可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到 点A 的距离等于到 x轴 的距离的所有点的集合．
（4）当⊙P的半径为1时，若⊙P与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点D（m，n）在点C的右侧，请利用图②，求cos∠APD的大小．
【分析】（1）由题意得到AP=PB，求出y的值，即为圆P的半径；
（2）利用两点间的距离公式，根据AP=PB，确定出y关于x的函数解析式，画出函数图象即可；
（3）类比圆的定义描述此函数定义即可；
（4）画出相应图形，求出m的值，进而确定出所求角的余弦值即可． 【解答】解：（1）由x=2，得到P（2，y）， 连接AP，PB， ∵圆P与x轴相切， ∴PB⊥x轴，即PB=y， 由AP=PB，得到解得：y=， 则圆P的半径为；
（2）同（1），由AP=PB，得到（x﹣1）2+（y﹣2）2=y2，
=y，
整理得：y=（x﹣1）2+1，即图象为开口向上的抛物线， 画出函数图象，如图②所示；
（3）给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到点A的距离等于到x轴的距离的所有点的集合； 故答案为：点A；x轴；
（4）连接CD，连接AP并延长，交x轴于点B，CD与AF交于点E， 由对称性及切线的性质可得：CD⊥AB， 设PE=a，则有EB=a+1，ED=∴D坐标为（1+
，a+1），
，
代入抛物线解析式得：a+1=（1﹣a2）+1， 解得：a=﹣2+
或a=﹣2﹣
（舍去），即PE=﹣2+
，
在Rt△PED中，PE=则cos∠APD=
=
﹣2，PD=1， ﹣2．
【点评】此题属于圆的综合题，涉及的知识有：两点间的距离公式，二次函数的图象与性质，圆的性质，勾股定理，弄清题意是解本题的关键．
11．已知顶点为A抛物线（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若∠OPM=∠MAF，求△POE的面积；
（3）如图2，点Q是折线A﹣B﹣C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△
经过点
，点
．
QEN1，若点N1落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．
【分析】（1）将点B坐标代入解析式求得a的值即可得； （2）由∠OPM=∠MAF知OP∥AF，据此证△OPE∽△FAE得
，即
OP=FA，设点P（t，﹣2t﹣1），列出关于t的方程解之可得；
（3）分点Q在AB上运动、点Q在BC上运动且Q在y轴左侧、点Q在BC上运动且点Q在y轴右侧这三种情况分类讨论即可得． 【解答】解：（1）把点解得：a=1，
∴抛物线的解析式为：
代入，
；
（2）由知A（，﹣2），
设直线AB解析式为：y=kx+b，代入点A，B的坐标，
得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y=﹣2x﹣1， 易求E（0，1），若∠OPM=∠MAF，
，
，
∴OP∥AF， ∴△OPE∽△FAE， ∴
，
∴
设点P（t，﹣2t﹣1），则：解得
，
，
，
由对称性知；当∴
，
时，也满足∠OPM=∠MAF， 都满足条件，
∵△POE的面积=•OE•|t|， ∴△POE的面积为
或．
（3）若点Q在AB上运动，如图1，
设Q（a，﹣2a﹣1），则NE=﹣a、QN=﹣2a， 由翻折知QN′=QN=﹣2a、N′E=NE=﹣a， 由∠QN′E=∠N=90°易知△QRN′∽△N′SE， ∴
=
=
，即，
=2， =
=
=2，
∴QR=2、ES=
由NE+ES=NS=QR可得﹣a+
解得：a=﹣， ∴Q（﹣，）；
若点Q在BC上运动，且Q在y轴左侧，如图2，
设NE=a，则N′E=a，
易知RN′=2、SN′=1、QN′=QN=3， ∴QR=
、SE=
﹣a，
﹣a）2+12=a2，
在Rt△SEN′中，（解得：a=∴Q（﹣
，
，2）；
若点Q在BC上运动，且点Q在y轴右侧，如图3，
设NE=a，则N′E=a，
易知RN′=2、SN′=1、QN′=QN=3， ∴QR=
、SE=
﹣a，
﹣a）2+12=a2，
在Rt△SEN′中，（解得：a=
，
∴Q（，2）．
，2）或（
，2）．
综上，点Q的坐标为（﹣，）或（﹣
【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质、翻折变换的性质及勾股定理等知识点．
12．在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处． （1）求这条抛物线的表达式； （2）求线段CD的长；
（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）利用配方法得到y=﹣（x﹣2）2+，则根据二次函数的性质得到C点坐标和抛物线的对称轴为直线x=2，如图，设CD=t，则D（2，﹣t），根据旋转性质得∠PDC=90°，DP=DC=t，则P（2+t，﹣t），然后把P（2+t，﹣t）代入y=﹣x2+2x+得到关于t的方程，从而解方程可得到CD的长；
（3）P点坐标为（4，），D点坐标为（2，），利用抛物线的平移规律确定E点坐标为（2，﹣2），设M（0，m），当m＞0时，利用梯形面积公式得到•（m++2）•2=8当m＜0时，利用梯形面积公式得到•（﹣m++2）•2=8，然后分别解方程求出m即可得到对应的M点坐标．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0）和点B（0，）代入y=﹣x2+bx+c得，
解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+； （2）∵y=﹣（x﹣2）2+，
∴C（2，），抛物线的对称轴为直线x=2， 如图，设CD=t，则D（2，﹣t），
∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处， ∴∠PDC=90°，DP=DC=t， ∴P（2+t，﹣t），
把P（2+t，﹣t）代入y=﹣x2+2x+得﹣（2+t）2+2（2+t）+=﹣t， 整理得t2﹣2t=0，解得t1=0（舍去），t2=2， ∴线段CD的长为2；
（3）P点坐标为（4，），D点坐标为（2，）， ∵抛物线平移，使其顶点C（2，）移到原点O的位置， ∴抛物线向左平移2个单位，向下平移个单位，
而P点（4，）向左平移2个单位，向下平移个单位得到点E， ∴E点坐标为（2，﹣2）， 设M（0，m），
当m＞0时，•（m++2）•2=8，解得m=，此时M点坐标为（0，）； 当m＜0时，•（﹣m++2）•2=8，解得m=﹣，此时M点坐标为（0，﹣）； 综上所述，M点的坐标为（0，）或（0，﹣）．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和旋转的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
13．如图1，图形ABCD是由两个二次函数y1=kx2+m（k＜0）与y2=ax2+b（a＞0）的部分图象围成的封闭图形．已知A（1，0）、B（0，1）、D（0，﹣3）．
（1）直接写出这两个二次函数的表达式；
（2）判断图形ABCD是否存在内接正方形（正方形的四个顶点在图形ABCD上），并说明理由；
（3）如图2，连接BC，CD，AD，在坐标平面内，求使得△BDC与△ADE相似（其中点C与点E是对应顶点）的点E的坐标 【分析】（1）利用待定系数法即可得出结论；
（2）先确定出MM'=（1﹣m2）﹣（3m2﹣3）=4﹣4m2，进而建立方程2m=4﹣4m2，即可得出结论；
（3）先利用勾股定理求出AD=
，同理：CD=
，BC=
，再分两种情况：
①如图1，当△DBC∽△DAE时，得出，进而求出DE=，即可得出E（0，
﹣），
再判断出△DEF∽△DAO，得出积法求出E'M=，即可得出结论； ②如图2，当△DBC∽△ADE时，得出
，求出AE=， ，求出DF=
，EF=
，再用面
当E在直线AD左侧时，先利用勾股定理求出PA=，PO=，进而得出PE=，再判断出
即可得出点E坐标，当E'在直线DA右侧时，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点A（1，0），B（0，1）在二次函数y1=kx2+m（k＜0）的图象上， ∴∴
， ，
∴二次函数解析式为y1=﹣x2+1，
∵点A（1，0），D（0，﹣3）在二次函数y2=ax2+b（a＞0）的图象上， ∴∴
， ，
∴二次函数y2=3x2﹣3；
（2）设M（m，﹣m2+1）为第一象限内的图形ABCD上一点，M'（m，3m2﹣3）为第四象限的图形上一点，
∴MM'=（1﹣m2）﹣（3m2﹣3）=4﹣4m2， 由抛物线的对称性知，若有内接正方形， ∴2m=4﹣4m2， ∴m=∵0＜∴MM'=
或m=＜1，
（舍），
∴存在内接正方形，此时其边长为；
（3）在Rt△AOD中，OA=1，OD=3， ∴AD=同理：CD=
=，
，
在Rt△BOC中，OB=OC=1， ∴BC=
=
，
①如图1，当△DBC∽△DAE时， ∵∠CDB=∠ADO， ∴在y轴上存在E，由∴∴DE=， ∵D（0，﹣3）， ∴E（0，﹣），
由对称性知，在直线DA右侧还存在一点E'使得△DBC∽△DAE'， 连接EE'交DA于F点，作E'M⊥OD于M，连接E'D， ∵E，E'关于DA对称， ∴DF垂直平分线EE'， ∴△DEF∽△DAO， ∴∴∴DF=
， ， ，EF=
，
，
，
，
∵S△DEE'=DE•E'M=EF×DF=∴E'M=， ∵DE'=DE=， 在Rt△DE'M中，DM=
=2，
∴OM=1， ∴E'（，﹣1）， ②如图2，
当△DBC∽△ADE时，有∠BDC=∠DAE，∴∴AE=，
，
，
当E在直线AD左侧时，设AE交y轴于P，作EQ⊥AC于Q， ∵∠BDC=∠DAE=∠ODA， ∴PD=PA， 设PD=n，
∴PO=3﹣n，PA=n，
在Rt△AOP中，PA2=OA2+OP2， ∴n2=（3﹣n）2+1， ∴n=，
∴PA=，PO=， ∵AE=， ∴PE=，
在AEQ中，OP∥EQ，
∴，
∴OQ=， ∵∴QE=2，
∴E（﹣，﹣2）， 当E'在直线DA右侧时， 根据勾股定理得，AE=∴AE'=
∵∠DAE'=∠BDC，∠BDC=∠BDA， ∴∠BDA=∠DAE'， ∴AE'∥OD， ∴E'（1，﹣），
综上，使得△BDC与△ADE相似（其中点C与E是对应顶点）的点E的坐标有4个，
即：（0，﹣）或（，﹣1）或（1，﹣）或（﹣，﹣2）．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，相似三角形的判定和性质，对称性，正确作出辅助线和用分类讨论的思想是解本题的关键．
14．小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程： 求解体验：
（1）已知抛物线y=﹣x2+bx﹣3经过点（﹣1，0），则b= ﹣4 ，顶点坐标为 （﹣2，1） ，该抛物线关于点（0，1）成中心对称的抛物线表达式是 y=x2﹣4x+5 ． 抽象感悟：
我们定义：对于抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），以y轴上的点M（0，m）为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线y′，则我们又称抛物线y′为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．
（2）已知抛物线y=﹣x2﹣2x+5关于点（0，m）的衍生抛物线为y′，若这两条抛
=，
，
物线有交点，求m的取值范围． 问题解决：
（3）已知抛物线y=ax2+2ax﹣b（a≠0）
①若抛物线y的衍生抛物线为y′=bx2﹣2bx+a2（b≠0），两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a、b的值及衍生中心的坐标；
②若抛物线y关于点（0，k+12）的衍生抛物线为y1，其顶点为A1；关于点（0，k+22）的衍生抛物线为y2，其顶点为A2；…；关于点（0，k+n2）的衍生抛物线为yn，其顶点为An…（n为正整数）．求AnAn+1的长（用含n的式子表示）．
【分析】求解体验：（1）利用待定系数法求出b的值，进而求出顶点坐标，在抛物线上取一点（0，﹣3），求出点（﹣2，1）和（0，﹣3）关于（0，1）的对称点坐标，利用待定系数法即可得出结论；
抽象感悟：（2）求出抛物线的顶点坐标（﹣1，6），再在抛物线上取一点（0，5），求出此两点关于（0，m）的对称点（1，2m﹣6）和（0，2m﹣5），利用待定系数法求出衍生函数解析式，联立即可得出结论；
问题解决：（3）①求出抛物线的顶点坐标和衍生抛物线的顶点坐标，分别代入抛物线解析式中，即可求出a，b的值，即可得出结论；
②求出抛物线顶点关于（0，k+n2）和（0，k+（n+1）2）的对称点坐标，即可得出结论．
【解答】解：求解体验：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx﹣3经过点（﹣1，0）， ∴﹣1﹣b﹣3=0， ∴b=﹣4，
∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣4x﹣3=﹣（x+2）2+1， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣2，1），
∴抛物线的顶点坐标（﹣2，1）关于（0，1）的对称点为（2，1）， 即：新抛物线的顶点坐标为（2，1）， 令原抛物线的x=0， ∴y=﹣3，
∴（0，﹣3）关于点（0，1）的对称点坐标为（0，5）， 设新抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+1， ∵点（0，5）在新抛物线上， ∴5=a（0﹣2）2+1， ∴a=1，
∴新抛物线解析式为y=（x﹣2）2+1=x2﹣4x+5， 故答案为﹣4，（﹣2，1），y=x2﹣4x+5；
抽象感悟：（2）∵抛物线y=﹣x2﹣2x+5=﹣（x+1）2+6①， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，6）， 抛物线上取点（0，5），
∴点（﹣1，6）和（0，5）关于点（0，m）的对称点为（1，2m﹣6）和（0，2m﹣5），
设衍生抛物线为y′=a（x﹣1）2+2m﹣6，∴2m﹣5=a+2m﹣6， ∴a=1，
∴衍生抛物线为y′=（x﹣1）2+2m﹣6=x2﹣2x+2m﹣5②， 联立①②得，x2﹣2x+2m﹣5=﹣x2﹣2x+5， 整理得，2x2=10﹣2m， ∵这两条抛物线有交点， ∴10﹣2m≥0， ∴m≤5；
问题解决：
（3）①抛物线y=ax2+2ax﹣b=a（x+1）2﹣a﹣b， ∴此抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣a﹣b），
∵抛物线y的衍生抛物线为y′=bx2﹣2bx+a2=b（x﹣1）2+a2﹣b， ∴此函数的顶点坐标为（1，a2﹣b），
∵两个抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点， ∴
，
∴a=0（舍）或a=3， ∴b=﹣3，
∴抛物线y的顶点坐标为（﹣1，0），抛物线y的衍生抛物线的顶点坐标为（1，12），
∴衍生中心的坐标为（0，6）；
②抛物线y=ax2+2ax﹣b的顶点坐标为（﹣1，﹣a﹣b），
∵点（﹣1，﹣a﹣b）关于点（0，k+n2）的对称点为（1，a+b+2k+2n2）， ∴抛物线yn的顶点坐标An为（1，a+b+2k+2n2）， 同理：An+1（1，a+b+2k+2（n+1）2）
∴AnAn+1=a+b+2k+2（n+1）2﹣（a+b+2k+2n2）=4n+2．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线顶点坐标的求法，新定义的理解和掌握，点的对称点坐标的求法，理解新定义是解本题的关键．
15．如图，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）过点A（点A作直线AC∥x轴，交y轴于点C． （1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D．连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；
（3）抛物线上是否存在点Q，使得S△AOC=S△AOQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
，﹣3）和点B（3
，0）．过
【分析】（1）把A与B坐标代入抛物线解析式求出a与b的值，即可确定出解析式；
（2）设P坐标为（x，x2﹣
x），表示出AD与PD，由相似分两种情况得比
例求出x的值，即可确定出P坐标；
（3）存在，求出已知三角形AOC边OA上的高h，过O作OM⊥OA，截取OM=h，与y轴交于点N，分别确定出M与N坐标，利用待定系数法求出直线MN解析式，与抛物线解析式联立求出Q坐标即可． 【解答】解：（1）把A（解得：a=，b=﹣
，﹣3）和点B（3，
x；
，0）代入抛物线得：
，
则抛物线解析式为y=x2﹣（2）当P在直线AD上方时， 设P坐标为（x，x2﹣当△OCA∽△ADP时，整理得：3x2﹣9解得：x=此时P（
=
x），则有AD=x﹣，即
=
，PD=x2﹣
，
x+3，
x+18=2x﹣6，即3x2﹣11
或x=
x+24=0，
，即x=
，﹣）；
=
（舍去），
当△OCA∽△PDA时，，即=，
整理得：x2﹣9x+6=6x﹣6，即x2﹣5x+12=0，
解得：x=此时P（4
，6）；
，即x=4或（舍去），
当P在直线AD下方时，同理可得：P的坐标为（综上，P的坐标为（
，﹣）或（4
，
，6）或（
，﹣）或（0，0），
）或（0，0）；
，﹣
（3）在Rt△AOC中，OC=3，AC=根据勾股定理得：OA=2∵OC•AC=OA•h， ∴h=， ∵S△AOC=S△AOQ=
，
，
∴△AOQ边OA上的高为，
过O作OM⊥OA，截取OM=，过M作MN∥OA，交y轴于点N，如图所示：
在Rt△OMN中，ON=2OM=9，即N（0，9）， 过M作MH⊥x轴，
在Rt△OMH中，MH=OM=，OH=设直线MN解析式为y=kx+9， 把M坐标代入得：=联立得：
k+9，即k=﹣，
，即y=﹣
x+9，
OM=
，即M（
，），
解得：或，即Q（3，0）或（﹣2，15），
，0）或（﹣
则抛物线上存在点Q，使得S△AOC=S△AOQ，此时点Q的坐标为（32
，15）．
【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，点到直线的距离公式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
16．如图，已知抛物线y=x2﹣4与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C为顶点，直线y=x+m经过点A，与y轴交于点D． （1）求线段AD的长；
（2）平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为C′．若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．
【分析】（1）解方程求出点A的坐标，根据勾股定理计算即可；
（2）设新抛物线对应的函数表达式为：y=x2+bx+2，根据二次函数的性质求出点C′的坐标，根据题意求出直线CC′的解析式，代入计算即可． 【解答】解：（1）由x2﹣4=0得，x1=﹣2，x2=2， ∵点A位于点B的左侧， ∴A（﹣2，0），
∵直线y=x+m经过点A， ∴﹣2+m=0， 解得，m=2，
∴点D的坐标为（0，2），
∴AD==2；
（2）设新抛物线对应的函数表达式为：y=x2+bx+2， y=x2+bx+2=（x+）2+2﹣
，
），
则点C′的坐标为（﹣，2﹣
∵CC′平行于直线AD，且经过C（0，﹣4）， ∴直线CC′的解析式为：y=x﹣4， ∴2﹣
=﹣﹣4，
解得，b1=﹣4，b2=6，
∴新抛物线对应的函数表达式为：y=x2﹣4x+2或y=x2+6x+2．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点、待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的性质、抛物线与x轴的交点的求法是解题的关键．
17．如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ．
（1）若点P的横坐标为﹣，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标； （Ⅱ）直尺在平移过程中，△DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．
【分析】（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式； （2）（I）由点P的横坐标可得出点P、Q的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ的表达式，过点D作DE∥y轴交直线PQ于点E，设点D的坐标为（x，﹣x2+2x+3），则点E的坐标为（x，﹣x+），进而即可得出DE的长度，利用三角形的面积公式可得出S△DPQ=﹣2x2+6x+，再利用二次函数的性质即可解决最值问题； （II）假设存在，设点P的横坐标为t，则点Q的横坐标为4+t，进而可得出点P、Q的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ的表达式，设点D的坐标为（x，﹣x2+2x+3），则点E的坐标为（x，﹣2（t+1）x+t2+4t+3），进而即可得出DE的长度，利用三角形的面积公式可得出S△DPQ=﹣2x2+4（t+2）x﹣2t2﹣8t，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=ax2+bx+3，得：
，解得：
，
∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3．
（2）（I）当点P的横坐标为﹣时，点Q的横坐标为， ∴此时点P的坐标为（﹣，），点Q的坐标为（，﹣）． 设直线PQ的表达式为y=mx+n，
将P（﹣，）、Q（，﹣）代入y=mx+n，得：
，解得：，
∴直线PQ的表达式为y=﹣x+．
如图②，过点D作DE∥y轴交直线PQ于点E，
设点D的坐标为（x，﹣x2+2x+3），则点E的坐标为（x，﹣x+）， ∴DE=﹣x2+2x+3﹣（﹣x+）=﹣x2+3x+，
∴S△DPQ=DE•（xQ﹣xP）=﹣2x2+6x+=﹣2（x﹣）2+8． ∵﹣2＜0，
∴当x=时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8，此时点D的坐标为（，（II）假设存在，设点P的横坐标为t，则点Q的横坐标为4+t，
）．
∴点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），点Q的坐标为（4+t，﹣（4+t）2+2（4+t）+3）， 利用待定系数法易知，直线PQ的表达式为y=﹣2（t+1）x+t2+4t+3．
设点D的坐标为（x，﹣x2+2x+3），则点E的坐标为（x，﹣2（t+1）x+t2+4t+3）， ∴DE=﹣x2+2x+3﹣[﹣2（t+1）x+t2+4t+3]=﹣x2+2（t+2）x﹣t2﹣4t， ∴S△DPQ=DE•（xQ﹣xP）=﹣2x2+4（t+2）x﹣2t2﹣8t=﹣2[x﹣（t+2）]2+8． ∵﹣2＜0，
∴当x=t+2时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8．
∴假设成立，即直尺在平移过程中，△DPQ面积有最大值，面积的最大值为8．
【点评】本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）（I）利用三角形的面积公式找出S△DPQ=﹣2x2+6x+；（II）利用三角形的面积公式找出S△DPQ=﹣2x2+4（t+2）x﹣2t2﹣8t．
18．已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2）． （1）若点（﹣
，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；
（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为心，OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．
①求抛物线的解析式；
②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN． 【分析】（1）由抛物线经过点A可求出c=2，再代入（﹣b+2=0（a≠0）；
（2）①根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为y轴、开口向下，进而可得出b=0，由抛物线的对称性可得出△ABC为等腰三角形，结合其有一个60°的内角可得出△ABC为等边三角形，设线段BC与y轴交于点D，根据等边三角形的性质可得出点C的坐标，再利用待定系数法可求出a值，此题得解； ②由①的结论可得出点M的坐标为（x1，﹣由O、M、N三点共线可得出x2=﹣
+2）、点N的坐标为（x2，﹣
+2），
，0）即可找出2a﹣
，进而可得出点N及点N′的坐标，由点A、
M的坐标利用待定系数法可求出直线AM的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点N′在直线PM上，进而即可证出PA平分∠MPN． 【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2）， ∴c=2． 又∵点（﹣∴a（﹣∴2a﹣
，0）也在该抛物线上，
）+c=0，
）2+b（﹣
b+2=0（a≠0）．
（2）①∵当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0， ∴x1﹣x2＜0，y1﹣y2＜0，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大； 同理：当x＞0时，y随x的增大而减小， ∴抛物线的对称轴为y轴，开口向下， ∴b=0．
∵OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B、C， ∴△ABC为等腰三角形， 又∵△ABC有一个内角为60°， ∴△ABC为等边三角形．
设线段BC与y轴交于点D，则BD=CD，且∠OCD=30°， 又∵OB=OC=OA=2，
∴CD=OC•cos30°=，OD=OC•sin30°=1．
，﹣1）．
不妨设点C在y轴右侧，则点C的坐标为（∵点C在抛物线上，且c=2，b=0， ∴3a+2=﹣1， ∴a=﹣1，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2．
②证明：由①可知，点M的坐标为（x1，﹣直线OM的解析式为y=k1x（k1≠0）． ∵O、M、N三点共线， ∴x1≠0，x2≠0，且∴﹣x1+
=﹣x2+
， ， ， ，﹣
+2）． =
，
+2），点N的坐标为（x2，﹣+2）．
∴x1﹣x2=﹣
∴x1x2=﹣2，即x2=﹣∴点N的坐标为（﹣
设点N关于y轴的对称点为点N′，则点N′的坐标为（∵点P是点O关于点A的对称点， ∴OP=2OA=4，
∴点P的坐标为（0，4）． 设直线PM的解析式为y=k2x+4， ∵点M的坐标为（x1，﹣∴﹣∴k2=﹣
+2=k2x1+4，
，
+2），
，﹣+2）．
∴直线PM的解析式为y=﹣x+4．
∵﹣•+4==﹣+2，
∴点N′在直线PM上， ∴PA平分∠MPN．
【点评】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次函数的性质、等边三角形的性质以及一次（二次）函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征求出a、b满足的关系式；（2）①利用等边三角形的性质找出点C的坐标；②利用一次函数图象上点的坐标特征找出点N′在直线PM上．
19．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点． （1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线
段AB于点E，使PE=DE． ①求点P的坐标；
②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先根据已知求点A的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式； （2）①先得AB的解析式为：y=﹣2x+2，根据PD⊥x轴，设P（x，﹣x2﹣3x+4），则E（x，﹣2x+2），根据PE=DE，列方程可得P的坐标；
②先设点M的坐标，根据两点距离公式可得AB，AM，BM的长，分三种情况：△ABM为直角三角形时，分别以A、B、M为直角顶点时，利用勾股定理列方程可得点M的坐标．
【解答】解：（1）∵B（1，0）， ∴OB=1， ∵OC=2OB=2， ∴C（﹣2，0），
Rt△ABC中，tan∠ABC=2， ∴∴
， ，
∴AC=6， ∴A（﹣2，6），
把A（﹣2，6）和B（1，0）代入y=﹣x2+bx+c得：解得：
，
，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣3x+4；
（2）①∵A（﹣2，6），B（1，0）， 易得AB的解析式为：y=﹣2x+2，
设P（x，﹣x2﹣3x+4），则E（x，﹣2x+2）， ∵PE=DE，
∴﹣x2﹣3x+4﹣（﹣2x+2）=（﹣2x+2）， x=1（舍）或﹣1， ∴P（﹣1，6）；
②∵M在直线PD上，且P（﹣1，6）， 设M（﹣1，y），
∴AM2=（﹣1+2）2+（y﹣6）2=1+（y﹣6）2， BM2=（1+1）2+y2=4+y2， AB2=（1+2）2+62=45， 分三种情况：
i）当∠AMB=90°时，有AM2+BM2=AB2， ∴1+（y﹣6）2+4+y2=45， 解得：y=3∴M（﹣1，3+
，
）或（﹣1，3﹣
）；
ii）当∠ABM=90°时，有AB2+BM2=AM2， ∴45+4+y2=1+（y﹣6）2， y=﹣1，
∴M（﹣1，﹣1），
iii）当∠BAM=90°时，有AM2+AB2=BM2， ∴1+（y﹣6）2+45=4+y2， y=
，
）；
）或（﹣1，3﹣
）或（﹣1，
∴M（﹣1，
综上所述，点M的坐标为：∴M（﹣1，3+﹣1）或（﹣1，
）．
【点评】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，铅
直高度和勾股定理的运用，直角三角形的判定等知识．此题难度适中，解题的关键是注意方程思想与分类讨论思想的应用．
20．我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．
（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有 菱形，正方形 ；
②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形 不是 “十字形”．（填“是”或“不是”）
（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围；
（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac），记“十字形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式； ①
=
；②
=
；③“十字形”ABCD的周长为12
．
【分析】（1）利用“十字形”的定义判断即可；
（2）先判断出∠ADB+∠CAD=∠ABD+∠CAB，进而判断出∠AED=∠AEB=90°，即：AC⊥BD，再判断出四边形OMEN是矩形，进而得出OE2=2﹣（AC2+BD2），即可得出结论；
（3）由题意得，A（
，0），B（0，c），C（
，0），D（0，﹣ac），
求出S=AC•BD=﹣（ac+c）×﹣建立方程
，S3=OA×OD=﹣
+
，S1=OA•OB=﹣
，S4=OB×OC=﹣=
+
，S2=OC•OD=
，进而，求出a=1，，进而求出c=﹣9，
再求出b=0，进而判断出四边形ABCD是菱形，求出AD=3即可得出结论．
【解答】解：（1）①∵菱形，正方形的对角线互相垂直， ∴菱形，正方形是：“十字形”，
∵平行四边形，矩形的对角线不一定垂直， ∴平行四边形，矩形不是“十字形”， 故答案为：菱形，正方形； ②如图，
当CB=CD时，在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠BAC=∠DAC， ∵AB=AD， ∴AC⊥BD，
∴当CB≠CD时，四边形ABCD不是“十字形”， 故答案为：不是；
，
（2）∵∠ADB+∠CBD=∠ABD+∠CDB，∠CBD=∠CDB=∠CAB， ∴∠ADB+∠CAD=∠ABD+∠CAB， ∴180°﹣∠AED=180°﹣∠AEB， ∴∠AED=∠AEB=90°， ∴AC⊥BD，
过点O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA，OD，
∴OA=OD=1，OM2=OA2﹣AM2，ON2=OD2﹣DN2，AM=AC，DN=BD，四边形OMEN是矩形，
∴ON=ME，OE2=OM2+ME2，
∴OE2=OM2+ON2=2﹣（AC2+BD2）， ∵6≤AC2+BD2≤7， ∴2﹣≤OE2≤2﹣， ∴≤OE2≤， ∴
（OE＞0）；
（3）由题意得，A（∵a＞0，c＜0， ∴OA=
，OB=﹣c，OC=
，0），B（0，c），C（，0），D（0，﹣ac），
，OD=﹣ac，AC=，S1=OA•OB=﹣
，BD=﹣ac﹣c，
，S2=OC•OD=﹣
∴S=AC•BD=﹣（ac+c）×
，
S3=OA×OD=﹣∵∴∴
=2， =
+
，+
=
，S4=OB×OC=﹣+
=，
+
，
，
∴a=1， ∴S=﹣c∵
∴S=S1+S2+2∴﹣c∴﹣∴
=﹣=﹣c•=
， ，S1=﹣
， ， +2，
， ，S4=﹣
，
∴b=0， ∴A（﹣
，0），B（0，c），C（
，0），d（0，﹣c），
∴四边形ABCD是菱形， ∴4AD=12∴AD=3
， ，
即：AD2=90， ∵AD2=c2﹣c， ∴c2﹣c=90，
∴c=﹣9或c=10（舍）， 即：y=x2﹣9．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了新定义，平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，求出a=1是解本题的关键．
21．如图1，抛物线y1=ax2﹣x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，），抛物线y1的顶点为G，GM⊥x轴于点M．将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y2．
（1）求抛物线y2的解析式；
（2）如图2，在直线l上是否存在点T，使△TAC是等腰三角形？若存在，请求
出所有点T的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点P为抛物线y1上一动点，过点P作y轴的平行线交抛物线y2于点Q，点Q关于直线l的对称点为R，若以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，求直线PR的解析式．
【分析】（1）应用待定系数法求解析式；
（2）设出点T坐标，表示△TAC三边，进行分类讨论；
（3）设出点P坐标，表示Q、R坐标及PQ、QR，根据以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，分类讨论对应边相等的可能性即可． 【解答】解：（1）由已知，c=， 将B（1，0）代入，得：a﹣+=0， 解得a=﹣， 抛物线解析式为y1=﹣
，
∵抛物线y1平移后得到y2，且顶点为B（1，0）， ∴y2=﹣（x﹣1）2， 即y2=﹣
．
（2）存在， 如图1：
抛物线y2的对称轴l为x=1，设T（1，t）， 已知A（﹣3，0），C（0，），
过点T作TE⊥y轴于E，则 TC2=TE2+CE2=12+（
）2=t2﹣
，
TA2=TB2+AB2=（1+3）2+t2=t2+16， AC2=
，
当TC=AC时，t2﹣=
解得：t1=
，t2=
；
当TA=AC时，t2+16=，无解； 当TA=TC时，t2﹣=t2+16，
解得t3=﹣
；
当点T坐标分别为（1，），（1，），（1，﹣腰三角形．
（3）如图2：
设P（m，﹣
），则Q（m，﹣）∵Q、R关于x=1对称 ∴R（2﹣m，﹣
），
①当点P在直线l左侧时， PQ=1﹣m，QR=2﹣2m， ∵△PQR与△AMG全等，
）时，△TAC为等
∴当PQ=GM且QR=AM时，m=0， ∴P（0，），即点P、C重合． ∴R（2，﹣），
由此求直线PR解析式为y=﹣当PQ=AM且QR=GM时，无解； ②当点P在直线l右侧时， 同理：PQ=m﹣1，QR=2m﹣2， 则P（2，﹣），R（0，﹣）， PQ解析式为：y=﹣∴PR解析式为：y=﹣
； 或y=﹣
，
【点评】本题是代数几何综合题，考查了二次函数性质、三角形全等和等腰三角形判定，应用了数形结合和分类讨论的数学思想．
22．如图，已知直线y=﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．
（1）若抛物线的解析式为y=﹣2x2+2x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N． ①求点M、N的坐标；
②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；
（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）①如图1，把抛物线解析式配成顶点式可得到顶点为M的坐标为
（，），然后计算自变量为对应的一次函数值可得到N点坐标；
②易得MN=，设P点坐标为（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），则PD=﹣2m2+4m，由于PD∥MN，根据平行四边形的判定方法，当PD=MN时，四边形MNPD为平行四边形，即﹣2m2+4m=，求出m得到此时P点坐标为（，1），接着计算出PN，然后比较PN与MN的大小关系可判断平行四边形MNPD是否为菱形；
（2）如图2，利用勾股定理计算出AB=2PB=
，再表示出P（1，2），则可计算出
，接着表示出抛物线解析式为y=ax2﹣2（a+1）x+4，则可用a表示出点D
坐标为（1，2﹣a），所以PD=﹣a，由于∠DPB=∠OBA，根据相似三角形的判定方法，当即式．
【解答】解：（1）①如图1， ∵y=﹣2x2+2x+4=﹣2（x﹣）2+， ∴顶点为M的坐标为（，），
当x=时，y=﹣2×+4=3，则点N坐标为（，3）； ②不存在． 理由如下： MN=﹣3=，
设P点坐标为（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4）， ∴PD=﹣2m2+2m+4﹣（﹣2m+4）=﹣2m2+4m， ∵PD∥MN，
当PD=MN时，四边形MNPD为平行四边形，即﹣2m2+4m=，解得m1=（舍去），m2=，此时P点坐标为（，1）， ∵PN=
=
，
=
=
时，△PDB∽△BOA，即
=
；当
=
时，△PDB∽△BAO，
，然后利用比例性质分别求出a的值，从而得到对应的抛物线的解析
∴PN≠MN，
∴平行四边形MNPD不为菱形，
∴不存在点P，使四边形MNPD为菱形； （2）存在．
如图2，OB=4，OA=2，则AB=
=2
，
当x=1时，y=﹣2x+4=2，则P（1，2）， ∴PB=
=
，
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+4，
把A（2，0）代入得4a+2b+4=0，解得b=﹣2a﹣2， ∴抛物线的解析式为y=ax2﹣2（a+1）x+4，
当x=1时，y=ax2﹣2（a+1）x+4=a﹣2a﹣2+4=2﹣a，则D（1，2﹣a）， ∴PD=2﹣a﹣2=﹣a， ∵DC∥OB， ∴∠DPB=∠OBA， ∴当
=
时，△PDB∽△BOA，即
=
，解得a=﹣2，此时抛物线解析式
为y=﹣2x2+2x+4； 当
=
时，△PDB∽△BAO，即
=
，解得a=﹣，此时抛物线解析式为
y=﹣x2+3x+4；
综上所述，满足条件的抛物线的解析式为y=﹣2x2+2x+4或y=﹣x2+3x+4．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和菱形的判定；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；灵活运用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
23．如图，抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中点A（1，（3，﹣
），O为坐标原点．
），点B
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t的取值范围； （3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求∠BOC的大小及点C的坐标．
【分析】（1）将已知点坐标代入即可； （2）利用抛物线增减性可解问题；
（3）观察图形，点A，点B到直线OC的距离之和小于等于AB；同时用点A（1，），点B（3，﹣
）求出相关角度．
），点B（3，﹣
）分别代入y=ax2+bx得
【解答】解：（1）把点A（1，
解得
∴y=﹣
（2）由（1）得 m=﹣n=m﹣n=﹣4
﹣（
）=
当n＜m时，由图象可知，t＞4或t＜﹣ （3）如图，设抛物线交x轴于点F
分别过点A、B作AD⊥OC于点D，BE⊥OC于点E
∵AC≥AD，BC≥BE ∴AD+BE≤AC+BC=AB
∴当OC⊥AB时，点A，点B到直线OC的距离之和最大． ∵A（1，
），点B（3，﹣
）
∴∠AOF=60°，∠BOF=30° ∴∠AOB=90° ∴∠ABO=30°
当OC⊥AB时，∠BOC=60° 点C坐标为（，
）．
【点评】本题考查综合考查用待定系数法求二次函数解析式，抛物线的增减性．解答问题时注意线段最值问题的转化方法．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1），抛物线C2：y=2x2+x+1，动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M． （1）求抛物线C1的表达式；
（2）直接用含t的代数式表示线段MN的长；
（3）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；
（4）在（3）的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y轴于点K，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时，请直接写出点Q的坐标．
【分析】（1）应用待定系数法； （2）把x=t带入函数关系式相减；
（3）根据图形分别讨论∠ANM=90°、∠AMN=90°时的情况．
（4）根据题意画出满足条件图形，可以找到AN为△KNP对称轴，由对称性找到第一个满足条件Q，再通过延长和圆的对称性找到剩余三个点．利用勾股定理进行计算．
【解答】解：（1）∵抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1） ∴解得：
∴抛物线C1：解析式为y=x2+x﹣1
（2）∵动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M ∴点N的纵坐标为t2+t﹣1，点M的纵坐标为2t2+t+1
∴MN=（2t2+t+1）﹣（t2+t﹣1）=t2+2 （3）共分两种情况
①当∠ANM=90°，AN=MN时，由已知N（t，t2+t﹣1），A（﹣2，1） ∴AN=t﹣（﹣2）=t+2 ∵MN=t2+2 ∴t2+2=t+2
∴t1=0（舍去），t2=1 ∴t=1
②当∠AMN=90°，AN=MN时，由已知M（t，2t2+t+1），A（﹣2，1） ∴AM=t﹣（﹣2）=t+2， ∵MN=t2+2 ∴t2+2=t+2
∴t1=0，t2=1（舍去） ∴t=0
故t的值为1或0
（4）由（3）可知t=1时M位于y轴右侧，根据题意画出示意图如图：
易得K（0，3），B、O、N三点共线 ∵A（﹣2，1）N（1，1）P（0，﹣1） ∴点K、P关于直线AN对称
设⊙K与y轴下方交点为Q2，则其坐标为（0，2） ∴Q2与点P关于直线AN对称
∴Q2是满足条件∠KNQ=∠BNP．
则NQ2延长线与⊙K交点Q1，Q1、Q2关于KN的对称点Q3、Q4也满足∠KNQ=∠BNP．
由图形易得Q1（﹣1，3）
设点Q3坐标为（a，b），由对称性可知Q3N=NQ1=BN=2由∵⊙K半径为1 ∴
解得，
同理，设点Q4坐标为（a，b），由对称性可知Q4N=NQ2=NO=∴解得
，
∴满足条件的Q点坐标为：（0，2）、（﹣1，3）、（，）、（，）
【点评】本题为代数几何综合题，考查了二次函数基本性质．解答过程中应用了分类讨论、数形结合以及构造数学模型等数学思想．
25．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1． （1）求抛物线的解析式；
（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．
【分析】（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；
（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出（1﹣﹣y0）m2+（2﹣2x0+2y0）m+x02+y02﹣2y0﹣3=0，由m的任意性可得出关于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0）， 设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2． ∵该抛物线经过点（4，1）， ∴1=4a，解得：a=，
∴抛物线的解析式为y=（x﹣2）2=x2﹣x+1． （2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得：
，解得：，，
∴点A的坐标为（1，），点B的坐标为（4，1）．
作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值（如图1所示）．
∵点B（4，1），直线l为y=﹣1， ∴点B′的坐标为（4，﹣3）．
设直线AB′的解析式为y=kx+b（k≠0）， 将A（1，）、B′（4，﹣3）代入y=kx+b，得：
，解得：，
∴直线AB′的解析式为y=﹣当y=﹣1时，有﹣解得：x=
，
x+，
x+=﹣1，
∴点P的坐标为（，﹣1）．
（3）∵点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等， ∴（m﹣x0）2+（n﹣y0）2=（n+1）2， ∴m2﹣2x0m+x02﹣2y0n+y02=2n+1． ∵M（m，n）为抛物线上一动点， ∴n=m2﹣m+1，
∴m2﹣2x0m+x02﹣2y0（m2﹣m+1）+y02=2（m2﹣m+1）+1， 整理得：（1﹣﹣y0）m2+（2﹣2x0+2y0）m+x02+y02﹣2y0﹣3=0． ∵m为任意值，
∴，
∴，
∴定点F的坐标为（2，1）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P的位置；（3）根据点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x0、y0的方程组．
26．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE． （1）求二次函数的表达式；
（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在请说明理由．
【分析】（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；
（2）根据函数解析式设出点D坐标，过点D作DG⊥x轴，交AE于点F，表示△ADE的面积，运用二次函数分析最值即可；
（3）设出点P坐标，分PA=PE，PA=AE，PE=AE三种情况讨论分析即可． 【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6）， ∴
，
解得，，
所以二次函数的解析式为：y=，
，
（2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直线解析式为y=
过点D作DN⊥x轴，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为H，如图
设D（m，∴DF=
﹣（
），则点F（m，
）=
）， ，
∴S△ADE=S△ADF+S△EDF=×DF×AG+DF×EH =×DF×AG+×DF×EH =×4×DF =2×（=
） ，
∴当m=（3）y=
时，△ADE的面积取得最大值为
的对称轴为x=﹣1，
．
设P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0）， 可求PA=当PA=PE时，
，PE=
=
，AE=，
，
解得，n=1，此时P（﹣1，1）； 当PA=AE时，解得，n=当PE=AE时，解得，n=﹣2综上所述，
P点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，
），（﹣1，﹣2
）．
=
，
）；
，此时点P坐标为（﹣1，
=
，
，此时点P坐标为：（﹣1，﹣2）．
【点评】此题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会运用二次函数分析三角形面积的最大值，会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题时解决此题的关键．
27．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，4），线段BC的中垂线与对称轴l交于点D，与x轴交于点F，与BC交于点E，对称轴l与x轴交于点H． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求点D的坐标；
（3）点P为x轴上一点，⊙P与直线BC相切于点Q，与直线DE相切于点R．求点P的坐标；
（4）点M为x轴上方抛物线上的点，在对称轴l上是否存在一点N，使得以点D，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，则直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法问题可解；
（2）依据垂直平分线性质，利用勾股定理构造方程；
（3）由题意画示意图可以发现有两种可能性，确定方案后利用锐角三角函数定义构造方程，求出半径及点P坐标；
（4）通过分类讨论画出可能图形，注意利用平行四边形的性质，同一对角线上的两个端点到另一对角线距离相等．
【解答】解：（1）∵抛物线过点A（﹣4，0），B（2，0） ∴设抛物线表达式为：y=a（x+4）（x﹣2） 把C（0，4）代入得 4=a（0+4）（0﹣2） ∴a=﹣
∴抛物线表达式为：y=﹣（x+4）（x﹣2）=﹣x2﹣x+4 （2）由（1）抛物线对称轴为直线x=﹣∵线段BC的中垂线与对称轴l交于点D ∴点D在对称轴上 设点D坐标为（﹣1，m） 过点C做CG⊥l于G，连DC，DB ∴DC=DB
=﹣1
在Rt△DCG和Rt△DBH中
∵DC2=12+（4﹣m）2，DB2=m2+（2+1）2 ∴12+（4﹣m）2=m2+（2+1）2 解得：m=1
∴点D坐标为（﹣1，1）
（3）∵点B坐标为（2，0），C点坐标为（0，4） ∴BC=
∵EF为BC中垂线 ∴BE=
在Rt△BEF和Rt△BOC中， cos∠CBF=∴
∴BF=5，EF=，OF=3
设⊙P的半径为r，⊙P与直线BC和EF都相切 如图：
①当圆心P1在直线BC左侧时，连P1Q1，P1R1，则P1Q1=P1R1=r1
∴∠P1Q1E=∠P1R1E=∠R1EQ1=90° ∴四边形P1Q1ER1是正方形 ∴ER1=P1Q1=r1
在Rt△BEF和Rt△FR1P1中 tan∠1=
∴∴r1=∵sin∠1=∴FP1=
，OP1=
∴点P1坐标为（，0）
②同理，当圆心P2在直线BC右侧时， 可求r2=
，OP2=7
∴P2坐标为（7，0）
∴点P坐标为（，0）或（7，0） （4）存在
当点P坐标为（，0）时，
①若DN和MP为平行四边形对边，则有DN=MP 当x=时，y=﹣∴DN=MP=
∴点N坐标为（﹣1，）
②若MN、DP为平行四边形对边时，M、P点到ND距离相等 则点M横坐标为﹣ 则M纵坐标为﹣
由平行四边形中心对称性可知，点M到N的垂直距离等于点P到点D的垂直距离
当点N在D点上方时，点N纵坐标为此时点N坐标为（﹣1，
）
）
当点N在x轴下方时，点N坐标为（﹣1，﹣当点P坐标为（7，0）时，所求N点不存在． 故答案为：（﹣1，
）、（﹣1，
）、（﹣1，﹣
）
【点评】本题综合考查二次函数、圆和平行四边形存在性的判定等相关知识，应用了数形结合思想和分类讨论的数学思想．
28．如图，抛物线y=ax2+bx（a≠0）交x轴正半轴于点A，直线y=2x经过抛物线的顶点M．已知该抛物线的对称轴为直线x=2，交x轴于点B． （1）求a，b的值．
（2）P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接OP，BP．设点P的横坐标为m，△OBP的面积为S，记K=．求K关于m的函数表达式及K的范围．
【分析】（1）根据直线y=2x求得点M（2，4），由抛物线的对称轴及抛物线上的点M的坐标列出关于a、b的方程组，解之可得；
（2）作PH⊥x轴，根据三角形的面积公式求得S=﹣m2+4m，根据公式可得K的解析式，再结合点P的位置得出m的范围，利用一次函数的性质可得答案． 【解答】解：（1）将x=2代入y=2x，得：y=4， ∴点M（2，4），
由题意，得：∴
，
；
（2）如图，过点P作PH⊥x轴于点H，
∵点P的横坐标为m，抛物线的解析式为y=﹣x2+4x， ∴PH=﹣m2+4m， ∵B（2，0）， ∴OB=2， ∴S=OB•PH
=×2×（﹣m2+4m） =﹣m2+4m， ∴K==﹣m+4， 由题意得A（4，0）， ∵M（2，4）， ∴2＜m＜4，
∵K随着m的增大而减小， ∴0＜K＜2．
【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式及一次函数的性质等知识点．
29．抛物线y=﹣
x2﹣
x+
与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与
y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点． （1）如图1，连接CD，求线段CD的长；
（2）如图2，点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E；将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当PE+EC的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标； （3）如图3，点H是线段AB的中点，连接CH，将△OBC沿直线CH翻折至△O2B2C的位置，再将△O2B2C绕点B2旋转一周，在旋转过程中，点O2，C的对应点分别是点O3，C1，直线O3C1分别与直线AC，x轴交于点M，N．那么，在△O2B2C的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使△AMN是以MN为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段O2M的长；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）分别表示C和D的坐标，利用勾股定理可得CD的长； （2）令y=0，可求得A（﹣3AC的解析式为：y=
，0），B（
，0），利用待定系数法可计算直线），P（x，﹣
x2﹣
x+
），
，设E（x，
表示PE的长，利用勾股定理计算AC的长，发现∠CAO=30°，得AE=2EF=﹣2
，计算PE+EC，利用配方法可得当PE+EC的值最大时，x=
，
），确定要使四边形PO1B1C周长的最小，即PO1+B1C个单位长度得点P1（﹣
，﹣
，
），连接P1B1，则
，此时P（﹣2
的值最小，将点P向右平移
PO1=P1B1，再作点P1关于x轴的对称点P2（﹣），可得结论；
（3）先确定对折后O2C落在AC上，△AMN是以MN为腰的等腰三角形存在四种情况：
①如图4，AN=MN，证明△C1EC≌△B2O2M，可计算O2M的长； ②如图5，AM=MN，此时M与C重合，O2M=O2C=
；
③如图6，AM=MN，N和H、C1重合，可得结论；
④如图7，AN=MN，过C1作C1E⊥AC于E证明四边形C1EO2B2是矩形，根据O2M=EO2+EM可得结论．
【解答】解：（1）如图1，过点D作DK⊥y轴于K， 当x=0时，y=∴C（0，y=﹣
x2﹣，，CK=
=x2﹣，x2=
x+， ，0），
），
x+
=﹣
（x+
）2+
，
，
∴D（﹣∴DK=∴CD=
）， ﹣
=
，
=
；（4分）
x2﹣
x+
=0，
（2）在y=﹣解得：x1=﹣3∴A（﹣3∵C（0，
中，令y=0，则﹣
，0），B（），
易得直线AC的解析式为：y=设E（x，∴PF=﹣
x2﹣
），P（x，﹣x+
，EF=
，
， x2﹣
，
x+
），
Rt△ACO中，AO=3∴AC=2
，
，OC=
∴∠CAO=30°， ∴AE=2EF=∴PE+EC=（﹣=﹣=﹣=﹣
﹣﹣（x+2
， x2﹣
x+﹣（x，
，（5分）
）﹣（
x+）]，
）+（AC﹣AE），
x+[2x﹣）2+
∴当PE+EC的值最大时，x=﹣2∴PC=2
，
，
，此时P（﹣2，），（6分）
∵O1B1=OB=
∴要使四边形PO1B1C周长的最小，即PO1+B1C的值最小， 如图2，将点P向右平移
个单位长度得点P（﹣1
，﹣
，），连接P1B1，则PO1=P1B1，
再作点P1关于x轴的对称点P2（﹣∴PO1+B1C=P2B1+B1C，
），则P1B1=P2B1，
∴连接P2C与x轴的交点即为使PO1+B1C的值最小时的点B1， ∴B1（﹣
，0），
个单位长度即得点O1，
=
，
将B1向左平移
此时PO1+B1C=P2C=对应的点O1的坐标为（﹣
，0），（7分）
+3+
；（8分）
．（12分）
∴四边形PO1B1C周长的最小值为（3）O2M的长度为
或
或2
或2
理由是：如图3，∵H是AB的中点， ∴OH=∵OC=
， ，
，
∴CH=BC=2
∴∠HCO=∠BCO=30°， ∵∠ACO=60°，
∴将CO沿CH对折后落在直线AC上，即O2在AC上， ∴∠B2CA=∠CAB=30°， ∴B2C∥AB， ∴B2（﹣2
，
），
①如图4，AN=MN，
∴∠MAN=∠AMN=30°=∠O2B2O3，
由旋转得：∠CB2C1=∠O2B2O3=30°，B2C=B2C1， ∴∠B2CC1=∠B2C1C=75°，
过C1作C1E⊥B2C于E， ∵B2C=B2C1=2∴
，
，
=B2O2，B2E=
∵∠O2MB2=∠B2MO3=75°=∠B2CC1， ∠B2O2M=∠C1EC=90°， ∴△C1EC≌△B2O2M， ∴O2M=CE=B2C﹣B2E=2
﹣
；
，
②如图5，AM=MN，此时M与C重合，O2M=O2C=③如图6，AM=MN， ∵B2C=B2C1=2
=B2H，即N和H、C1重合，
∴∠CAO=∠AHM=∠MHO2=30°， ∴O2M=AO2=
；
④如图7，AN=MN，过C1作C1E⊥AC于E， ∴∠NMA=∠NAM=30°， ∵∠O3C1B2=30°=∠O3MA， ∴C1B2∥AC，
∴∠C1B2O2=∠AO2B2=90°， ∵∠C1EC=90°，
∴四边形C1EO2B2是矩形， ∴EO2=C1B2=2∴EM=
，
+
， 或
或2
+
或2
．
，
，
∴O2M=EO2+EM=2
综上所述，O2M的长是
【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、轴对称变换、勾股定理、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建轴对称解决最值问题，对于第3问等腰三角形的判定要注意利用数形结合的思想，属于中考压轴题．
30．综合与探究 如图，抛物线y=
x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y
轴交于点C，连接AC，BC．点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PE∥AC交x轴于点E，交BC于点F． （1）求A，B，C三点的坐标；
（2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值．
【分析】（1）解方程x﹣4=0得A（﹣3，0），B（4，0），计算自变量为0
时的二次函数值得C点坐标；
（2）利用勾股定理计算出AC=5，利用待定系数法可求得直线BC的解析式为y=x﹣4，则可设Q（m，m﹣4）（0＜m＜4），讨论：当CQ=CA时，则m2+（m﹣4+4）
2=52，
当AQ=AC时，（m+3）2+（m﹣4）2=52；当QA=QC时，（m+3）2+（m﹣4）2=52，然后分别解方程求出m即可得到对应的Q点坐标；
（3）过点F作FG⊥PQ于点G，如图，由△OBC为等腰直角三角形．可判断△FQG为等腰直角三角形，则FG=QG=PG=
FQ，所以PQ=
FQ，再证明△FGP～△AOC得到
=
，则
FQ，于是得到FQ=PQ，设P（m，m2﹣m﹣4）
（﹣m2+m），
（0＜m＜4），则Q（m，m﹣4），利用PQ=﹣m2+m得到FQ=然后利用二次函数的性质解决问题． 【解答】解：（1）当y=0，∴A（﹣3，0），B（4，0）， 当x=0，y=∴C（0，﹣4）； （2）AC=
=5， x﹣4=﹣4，
x﹣4=0，解得x1=﹣3，x2=4，
易得直线BC的解析式为y=x﹣4， 设Q（m，m﹣4）（0＜m＜4），
当CQ=CA时，m2+（m﹣4+4）2=52，解得m1=
，m2=﹣
（舍去），此时Q
点坐标为（，﹣4）；
当AQ=AC时，（m+3）2+（m﹣4）2=52，解得m1=1，m2=0（舍去），此时Q点坐标为（1，﹣3）；
当QA=QC时，（m+3）2+（m﹣4）2=52，解得m=综上所述，满足条件的Q点坐标为（
，
（舍去）， ﹣4）或（1，﹣3）；
（3）解：过点F作FG⊥PQ于点G，如图，
则FG∥x轴．由B（4，0），C（0，﹣4）得△OBC为等腰直角三角形
∴∠OBC=∠QFG=45 ∴△FQG为等腰直角三角形， ∴FG=QG=
FQ，
∵PE∥AC，PG∥CO， ∴∠FPG=∠ACO， ∵∠FGP=∠AOC=90°， ∴△FGP～△AOC． ∴
=
，即
=
，
FQ， FQ=
FQ，
∴PG=FG=•∴PQ=PG+GQ=∴FQ=
PQ，
FQ=FQ+
设P（m，m2﹣m﹣4）（0＜m＜4），则Q（m，m﹣4）， ∴PQ=m﹣4﹣（m2﹣m﹣4）=﹣m2+m， ∴FQ=∵﹣
（﹣m2+m）=﹣＜0，
（m﹣2）2+
∴QF有最大值．
∴当m=2时，QF有最大值．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
31．如图，二次函数y=﹣
+bx+2的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，
点A的坐标为（﹣4，0），P是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）． （1）b= ﹣ ，点B的坐标是 （，0） ；
（2）设直线PB与直线AC相交于点M，是否存在这样的点P，使得PM：MB=1：2？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC、BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）由点A的坐标，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出b的值，代入y=0求出x值，进而可得出点B的坐标；
（2）代入x=0求出y值，进而可得出点C的坐标，由点A、C的坐标利用待定系数法可求出直线AC的解析式，假设存在，设点M的坐标为（m，m+2），分B、P在直线AC的同侧和异侧两种情况考虑，由点B、M的坐标结合PM：MB=1：2即可得出点P的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m的一
元二次方程，解之即可得出结论；
（3）（解法一）作∠CBA的角平分线，交y轴于点E，过点E作EF⊥BC于点F，设OE=n，则CE=2﹣n，EF=n，利用面积法可求出n值，进而可得出
==
，
结合∠AOC=90°=∠BOE可证出△AOC∽△BOE，根据相似三角形的性质可得出∠CAO=∠EBO，再根据角平分线的性质可得出∠CBA=2∠EBO=2∠CAB，此题得解； （解法二）将BC沿y轴对折，交x轴于点B′，根据点A、B、C的坐标可得出点B′的坐标，进而可得出AB′=B′C=BC，根据等腰三角形的性质结合三角形的外角性质，可得出∠CBA=2∠CAB．
【解答】解：（1）∵点A（﹣4，0）在二次函数y=﹣∴﹣
﹣4b+2=0，
+bx+2的图象上，
∴b=﹣．
当y=0时，有﹣x2﹣x+2=0， 解得：x1=﹣4，x2=， ∴点B的坐标为（，0）． 故答案为：﹣；（，0）．
（2）当x=0时，y=﹣x2﹣x+2=2， ∴点C的坐标为（0，2）．
设直线AC的解析式为y=kx+c（k≠0）， 将A（﹣4，0）、C（0，2）代入y=kx+c中， 得：
，解得：
，
∴直线AC的解析式为y=x+2．
假设存在，设点M的坐标为（m，m+2）．
①当点P、B在直线AC的异侧时，点P的坐标为（m﹣，m+3）， ∵点P在抛物线y=﹣x2﹣x+2上，
∴m+3=﹣×（m﹣）2﹣×（m﹣）+2， 整理，得：12m2+20m+9=0． ∵△=202﹣4×12×9=﹣32＜0，
∴方程无解，即不存在符合题意得点P；
②当点P、B在直线AC的同侧时，点P的坐标为（m+，m+1）， ∵点P在抛物线y=﹣x2﹣x+2上，
∴m+1=﹣×（m+）2﹣×（m+）+2， 整理，得：4m2+44m﹣9=0， 解得：m1=﹣
，m2=
或﹣2+
，
．
或﹣2+
．
∴点P的横坐标为﹣2﹣
综上所述：存在点P，使得PM：MB=1：2，点P的横坐标为﹣2﹣（3）（解法一）∠CBA=2∠CAB，理由如下：
作∠CBA的角平分线，交y轴于点E，过点E作EF⊥BC于点F，如图2所示． ∵点B（，0），点C（0，2）， ∴OB=，OC=2，BC=． 设OE=n，则CE=2﹣n，EF=n，
由面积法，可知：OB•CE=BC•EF，即（2﹣n）=n， 解得：n=． ∵
==
，∠AOC=90°=∠BOE，
∴△AOC∽△BOE， ∴∠CAO=∠EBO，
∴∠CBA=2∠EBO=2∠CAB．
（解法二）∠CBA=2∠CAB，理由如下：
将BC沿y轴对折，交x轴于点B′，如图3所示． ∵点B（，0），点C（0，2），点A（﹣4，0），
∴点B′（﹣，0），
∴AB′=﹣﹣（﹣4）=，B′C=∴AB′=B′C=BC，
∴∠CAB=∠ACB′，∠CBA=∠CB′B． ∵∠AB′B=∠CAB+∠ACB′， ∴∠CBA=2∠CAB．
=，
【点评】题考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积、勾股定理、一次函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）由点A的坐标，利用二次函数图象上点的坐标特征求出b的值；（2）分B、P在直线AC的同侧和异侧两种情况找出点P的坐标；（3）（解法一）构造相似三角形找出两角的数量关系；（解法二）根据等腰三角形的性质结合三角形的外角性质找出∠CBA=2∠CAB．
32．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x﹣a）（x﹣3）（0＜a＜3）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连接AD、BC． （1）求点A、B、D的坐标；
（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；
（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．
【分析】（1）根据函数解析式可以直接得到抛物线与x轴的两个交点坐标；令x=0，即可求得点D的纵坐标；
（2）由抛物线顶点坐标公式求得点C的坐标，易得线段PB、PC的长度； ①若△AOD∽△BPC时，则②若△AOD∽△CPB时，则
==
，将相关线段的长度代入求得a的值； ，将相关线段的长度代入求得a的值；
（3）能．理由如下：联结BD，取中点M，则D、O、B在同一个圆上，且圆心M为（，a）．若点C也在圆上，则MC=MB．根据两点间的坐标求得相关线段的长度，借助于方程解答即可．
【解答】解：（1）∵y=（x﹣a）（x﹣3）（0＜a＜3）， ∴A（a，0），B（3，0）． 当x=0时，y=3a， ∴D（0，3a）；
（2）∵A（a，0），B（3，0）， ∴对称轴直线方程为：x=
．
当x=∴C（PB=3﹣
时，y=﹣（，﹣（，PC=（
）2， ）2）， ）2，
=
，即
=
，
①若△AOD∽△BPC时，则
解得a=±3（舍去）； ②若△AOD∽△CPB时，则
=
，即
=
，
解得a=3（舍去）或a=． 所以a的值是．
（3）能．理由如下： 联结BD，取中点M
∵D、O、B在同一个圆上，且圆心M为（，a）． 若点C也在圆上，则MC=MB．即（﹣（a﹣0）2， 整理，得 a4﹣14a2+45=0，
所以（a2﹣5）（a2﹣9）=0， 解得a1=∴a=
．
，a2=﹣
（舍），a3=3（舍），a4=﹣3（舍），
）2+（a+（
）2）2=（﹣3）2+
【点评】考查了二次函数综合题，需要掌握二次函数解析式的三种形式，抛物线对称轴的求法，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，方程思想的应用．解题时，注意“分类讨论”、“方程思想”等数学思想的应用，难度较大．
33．如图，已知二次函数y=ax2﹣（2a﹣）x+3的图象经过点A（4，0），与y轴交于点B．在x轴上有一动点C（m，0）（0＜m＜4），过点C作x轴的垂线交直线AB于点E，交该二次函数图象于点D． （1）求a的值和直线AB的解析式；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，设△ACE，△DEF的面积分别为S1，S2，若S1=4S2，求m的值；
（3）点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段AB上的动点，当四边形DEGH是平行四边形，且▱DEGH周长取最大值时，求点G的坐标．
【分析】（1）把点A坐标代入y=ax2﹣（2a﹣）x+3可求a，应用待定系数法可求直线AB的解析式；
（2）用m表示DE、AC，易证△DEF∽△AEC，S1=4S2，得到DE与AE的数量关系可以构造方程；
（3）用n表示GH，由平行四边形性质DE=GH，可得m，n之间数量关系，利用相似用GM表示EG，表示▱DEGH周长，利用函数性质求出周长最大时的m值，可得n值，进而求G点坐标．
【解答】解：（1）把点A（4，0）代入，得 0=a•42﹣（2a﹣）×4+3 解得
a=﹣
∴函数解析式为：y=设直线AB解析式为y=kx+b 把A（4，0），B（0，3）代入
解得
∴直线AB解析式为：y=﹣（2）由已知， 点D坐标为（m，﹣点E坐标为（m，﹣∴AC=4﹣m DE=（﹣∵BC∥y轴 ∴∴AE=
）
）
）﹣（﹣）=﹣
∵∠DFA=∠DCA=90°，∠FBD=∠CEA ∴△DEF∽△AEC ∵S1=4S2 ∴AE=2DE ∴
解得m1=，m2=4（舍去） 故m值为
（3）如图，过点G做GM⊥DC于点M
由（2）DE=﹣同理HG=﹣
∵四边形DEGH是平行四边形 ∴﹣
=﹣
整理得：（n﹣m）[∵m≠n
∴m+n=4，即n=4﹣m ∴MG=n﹣m=4﹣2m 由已知△EMG∽△BOA ∴∴EG=
]=0
∴▱DEGH周长L=2[﹣∵a=﹣＜0 ∴m=﹣
+]=﹣
时，L最大．
∴n=4﹣=
∴G点坐标为（，），此时点E坐标为（，）
当点G、E位置对调时，依然满足条件 ∴点G坐标为（
，）或（，
）
【点评】本题以二次函数图象为背景，综合考查三角形相似、平行四边形性质、二次函数最值讨论以转化的数学思想．
34．已知，点M为二次函数y=﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，直线y=mx+5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B．
（1）判断顶点M是否在直线y=4x+1上，并说明理由．
（2）如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1，根据图象，写出x的取值范围．
（3）如图2，点A坐标为（5，0），点M在△AOB内，若点C（，y1），D（，y2）都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．
【分析】（1）根据顶点式解析式，可得顶点坐标，根据点的坐标代入函数解析式检验，可得答案；
（2）根据待定系数法，可得二次函数的解析式，根据函数图象与不等式的关系：图象在下方的函数值小，可得答案；
（3）根据解方程组，可得顶点M的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案．
【解答】解：（1）点M为二次函数y=﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点， ∴M的坐标是（b，4b+1）， 把x=b代入y=4x+1，得y=4b+1， ∴点M在直线y=4x+1上； （2）如图1，
直线y=mx+5交y轴于点B，
∴B点坐标为（0，5）又B在抛物线上，
∴5=﹣（0﹣b）2+4b+1=5，解得b=2， 二次函数的解析是为y=﹣（x﹣2）2+9，
当y=0时，﹣（x﹣2）2+9=0，解得x1=5，x2=﹣1， ∴A（5，0）． 由图象，得
当mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1时，x的取值范围是x＜0或x＞5； （3）如图2，
∵直线y=4x+1与直线AB交于点E，与y轴交于F， A（5，0），B（0，5）得 直线AB的解析式为y=﹣x+5， 联立EF，AB得 方程组
，
解得，
∴点E（，），F（0，1）．
点M在△AOB内， 1＜4b+1＜
∴0＜b＜．
当点C，D关于抛物线的对称轴对称时，b﹣=﹣b，∴且二次函数图象开口向下，顶点M在直线y=4x+1上，综上：①当0＜b＜时，y1＞y2， ②当b=时，y1=y2， ③当＜b＜时，y1＜y2．
b=，
【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是把点的坐标代入函数解析式检验；解（2）的关键是利用函数图不等式的关系：图象在上方的函数值大；解（3）的关键是解方程组得出顶点M的纵坐标的范围，又利用了二次函数的性质：a＜0时，点与对称轴的距离越小函数值越大．
35．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣5交y轴于点A，交x轴于点B（﹣5，0）和点C（1，0），过点A作AD∥x轴交抛物线于点D． （1）求此抛物线的表达式；
（2）点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积；
（3）若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积．
【分析】（1）根据题意可以求得a、b的值，从而可以求得抛物线的表达式；
（2）根据题意可以求得AD的长和点E到AD的距离，从而可以求得△EAD的面积；
（3）根据题意可以求得直线AB的函数解析式，再根据题意可以求得△ABP的面积，然后根据二次函数的性质即可解答本题．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣5交y轴于点A，交x轴于点B（﹣5，0）和点C（1，0）， ∴
，得
，
∴此抛物线的表达式是y=x2+4x﹣5； （2）∵抛物线y=x2+4x﹣5交y轴于点A， ∴点A的坐标为（0，﹣5），
∵AD∥x轴，点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上， ∴点E的纵坐标是5，点E到AD的距离是10， 当y=﹣5时，﹣5=x2+4x﹣5，得x=0或x=﹣4， ∴点D的坐标为（﹣4，﹣5）， ∴AD=4，
∴△EAD的面积是：
=20；
（3）设点P的坐标为（p，p2+4p﹣5），如右图所示，
设过点A（0，﹣5），点B（﹣5，0）的直线AB的函数解析式为y=mx+n，
，得
，
即直线AB的函数解析式为y=﹣x﹣5， 当x=p时，y=﹣p﹣5， ∵OB=5，
∴△ABP的面积是：S=
∵点P是直线AB下方的抛物线上一动点， ∴﹣5＜p＜0，
∴当p=﹣时，S取得最大值，此时S=即点p的坐标是（
，﹣
，点p的坐标是（
，﹣
），
．
=
，
）时，△ABP的面积最大，此时△ABP的面积是
【点评】本题考查二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和二次函数的性质解答．
36．已知抛物线F：y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（﹣，0）．
（1）求抛物线F的解析式； （2）如图1，直线l：y=
x+m（m＞0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点
B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）； （3）在（2）中，若m=，设点A′是点A关于原点O的对称点，如图2． ①判断△AA′B的形状，并说明理由；
②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线F的解析式； （2）将直线l的解析式代入抛物线F的解析式中，可求出x1、x2的值，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出y1、y2的值，做差后即可得出y2﹣y1的值； （3）根据m的值可得出点A、B的坐标，利用对称性求出点A′的坐标． ①利用两点间的距离公式（勾股定理）可求出AB、AA′、A′B的值，由三者相等即可得出△AA′B为等边三角形；
②根据等边三角形的性质结合菱形的性质，可得出存在符合题意得点P，设点P的坐标为（x，y），分三种情况考虑：（i）当A′B为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P的坐标；（ii）当AB为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P的坐标；（iii）当AA′为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P的坐标．综上即可得出结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c的图象经过点（0，0）和（﹣∴
，解得：
， x．
x，得：x2=m，
，0），
∴抛物线F的解析式为y=x2+（2）将y=解得：x1=﹣∴y1=﹣∴y2﹣y1=（（3）∵m=， ∴点A的坐标为（﹣
x+m代入y=x2+，x2=+m，y2=
，
+m，
+m）=
（m＞0）．
+m）﹣（﹣
，），点B的坐标为（，2）．
∵点A′是点A关于原点O的对称点， ∴点A′的坐标为（
，﹣）．
①△AA′B为等边三角形，理由如下： ∵A（﹣
，），B（
，2），A′（
，﹣），
∴AA′=，AB=，A′B=， ∴AA′=AB=A′B，
∴△AA′B为等边三角形． ②∵△AA′B为等边三角形，
∴存在符合题意的点P，且以点A、B、A′、P为顶点的菱形分三种情况，设点P的坐标为（x，y）．
（i）当A′B为对角线时，有，
解得：，
，）；
∴点P的坐标为（2
（ii）当AB为对角线时，有，
解得：，
∴点P的坐标为（﹣，）；
（iii）当AA′为对角线时，有，
解得：，
，﹣2）．
∴点P的坐标为（﹣
综上所述：平面内存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形，点P的坐标为（2
，）、（﹣
，
）和（﹣
，﹣2）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据
点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）将一次函数解析式代入二次函数解析式中求出x1、x2的值；（3）①利用勾股定理（两点间的距离公式）求出AB、AA′、A′B的值；②分A′B为对角线、AB为对角线及AA′为对角线三种情况求出点P的坐标．
37．直线y=﹣x+3交x轴于点A，交y轴于点B，顶点为D的抛物线y=﹣x2+2mx﹣3m经过点A，交x轴于另一点C，连接BD，AD，CD，如图所示． （1）直接写出抛物线的解析式和点A，C，D的坐标；
（2）动点P在BD上以每秒2个单位长的速度由点B向点D运动，同时动点Q在CA上以每秒3个单位长的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒．PQ交线段AD于点E． ①当∠DPE=∠CAD时，求t的值；
②过点E作EM⊥BD，垂足为点M，过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N，当PN=EM时，求t的值．
【分析】（1）先由直线解析式求得点A、B坐标，将点A坐标代入抛物线解析式求得m的值，从而得出答案；
（2）①由（1）知BD=AC、BD∥OC，根据AB=AD=
证四边形ABPQ是平行四
边形得AQ=BP，即2t=4﹣3t，解之即可；②分点N在AB上和点N在AD上两种情况分别求解．
【解答】解：（1）在y=﹣x+3中，令x=0得y=3，令y=0得x=2， ∴点A（2，0）、点B（0，3），
将点A（2，0）代入抛物线解析式，得：﹣×4+4m﹣3m=0，
解得：m=3，
所以抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣9， ∵y=﹣x2+6x﹣9=﹣（x﹣4）2+3， ∴点D（4，3），对称轴为x=4， ∴点C坐标为（6，0）；
（2）如图1，
由（1）知BD=AC=4，
根据0≤3t≤4，得：0≤t≤， ①∵B（0，3）、D（4，3）， ∴BD∥OC， ∴∠CAD=∠ADB， ∵∠DPE=∠CAD， ∴∠DPE=∠ADB， ∵AB=∴AB=AD， ∴∠ABD=∠ADB， ∴∠DPE=∠ABD， ∴PQ∥AB，
∴四边形ABPQ是平行四边形， ∴AQ=BP，即2t=4﹣3t， 解得：t=，
即当∠DPE=∠CAD时，t=秒；
=
、AD=
=
，
②（Ⅰ）当点N在AB上时，0≤2t≤2，即0≤t≤1， 连接NE，延长PN交x轴于点F，延长ME交x轴于点H，
∵PN⊥BD、EM⊥BD，BD∥OC，PN=EM，
∴OF=BP=2t，PF=OB=3，NE=FH、NF=EH，NE∥FQ， ∴FQ=OC﹣OF﹣QC=6﹣5t， ∵点N在直线y=﹣x+3上， ∴点N的坐标为（2t，﹣3t+3）， ∴PN=PF﹣NF=3﹣（﹣3t+3）=3t， ∵NE∥FQ， ∴△PNE∽△PFQ， ∴
=
，
•FQ=
×（6﹣5t）=6t﹣5t2，
∴FH=NE=
∵A（2，0）、D（4，3）， ∴直线AD解析式为y=x﹣3， ∵点E在直线y=x﹣3上， ∴点E的坐标为（4﹣2t，﹣3t+3）， ∵OH=OF+FH， ∴4﹣2t=2t+6t﹣5t2， 解得：t=1+
＞1（舍）或t=1﹣
；
（Ⅱ）当点N在AD上时，2＜2t≤4，即1＜t≤， ∵PN=EM，
∴点E、N重合，此时PQ⊥BD， ∴BP=OQ， ∴2t=6﹣3t， 解得：t=，
综上所述，当PN=EM时，t=（1﹣
）秒或t=秒．
【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数的解析式、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点．
38．如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x﹣1与抛物线y=﹣x2+bx+c交于A、B两点，其中A（m，0）、B（4，n），该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D．
（1）求m、n的值及该抛物线的解析式；
（2）如图2，若点P为线段AD上的一动点（不与A、D重合），分别以AP、DP为斜边，在直线AD的同侧作等腰直角△APM和等腰直角△DPN，连接MN，试确定△MPN面积最大时P点的坐标；
（3）如图3，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把A与B坐标代入一次函数解析式求出m与n的值，确定出A与B坐标，代入二次函数解析式求出b与c的值即可；
（2）由等腰直角△APM和等腰直角△DPN，得到∠MPN为直角，由两直角边乘
积的一半表示出三角形MPN面积，利用二次函数性质确定出三角形面积最大时P的坐标即可；
（3）存在，分两种情况，根据相似得比例，求出AQ的长，利用两点间的距离公式求出Q坐标即可．
【解答】解：（1）把A（m，0），B（4，n）代入y=x﹣1得：m=1，n=3， ∴A（1，0），B（4，3）， ∵y=﹣x2+bx+c经过点A与点B， ∴解得：
， ，
则二次函数解析式为y=﹣x2+6x﹣5；
（2）如图2，△APM与△DPN都为等腰直角三角形， ∴∠APM=∠DPN=45°， ∴∠MPN=90°，
∴△MPN为直角三角形，
令﹣x2+6x﹣5=0，得到x=1或x=5， ∴D（5，0），即DA=5﹣1=4， 设AP=m，则有DP=4﹣m， ∴PM=
m，PN=
（4﹣m），
m×
（4﹣m）=﹣m2﹣m=﹣（m﹣2）2+1，
∴S△MPN=PM•PN=×
∴当m=2，即AP=2时，S△MPN最大，此时OP=3，即P（3，0）； （3）存在，
易得直线CD解析式为y=x﹣5，设Q（x，x﹣5）， 由题意得：∠BAD=∠ADC=45°， 当△ABD∽△DAQ时，解得：AQ=
，
，
=
，即
=
，
由两点间的距离公式得：（x﹣1）2+（x﹣5）2=
解得：x=（不符合题意舍去），此时Q（，﹣）；
当△ABD∽△DQA时，=1，即AQ=，
∴（x﹣1）2+（x﹣5）2=10，
解得：x=2（不符合题意的舍去），此时Q（2，﹣3）， 综上，点Q的坐标为（2，﹣3）或（，﹣）．
【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，两点间的距离公式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
39．如图，点A，B，C都在抛物线y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（其中﹣＜a＜0）上，AB∥x轴，∠ABC=135°，且AB=4．
（1）填空：抛物线的顶点坐标为 （m，2m﹣5） （用含m的代数式表示）； （2）求△ABC的面积（用含a的代数式表示）；
（3）若△ABC的面积为2，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值．
【分析】（1）利用配方法将二次函数解析式由一般式变形为顶点式，此题得解； （2）过点C作直线AB的垂线，交线段AB的延长线于点D，由AB∥x轴且AB=4，可得出点B的坐标为（m+2，4a+2m﹣5），设BD=t，则点C的坐标为（m+2+t，4a+2m﹣5﹣t），利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于t的一元二次方程，解之取其正值即可得出t值，再利用三角形的面积公式即可得出S△ABC的值； （3）由（2）的结论结合S△ABC=2可求出a值，分三种情况考虑：①当m＞2m﹣2，即m＜2时，x=2m﹣2时y取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m的一元二次方程，解之可求出m的值；②当2m﹣5≤m≤2m﹣2，
即2≤m≤5时，x=m时y取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m的一元一次方程，解之可求出m的值；③当m＜2m﹣5，即m＞5时，x=2m﹣5时y取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m的一元一次方程，解之可求出m的值．综上即可得出结论．
【解答】解：（1）∵y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5=a（x﹣m）2+2m﹣5， ∴抛物线的顶点坐标为（m，2m﹣5）． 故答案为：（m，2m﹣5）．
（2）过点C作直线AB的垂线，交线段AB的延长线于点D，如图所示． ∵AB∥x轴，且AB=4，
∴点B的坐标为（m+2，4a+2m﹣5）． ∵∠ABC=135°， ∴设BD=t，则CD=t，
∴点C的坐标为（m+2+t，4a+2m﹣5﹣t）． ∵点C在抛物线y=a（x﹣m）2+2m﹣5上， ∴4a+2m﹣5﹣t=a（2+t）2+2m﹣5， 整理，得：at2+（4a+1）t=0， 解得：t1=0（舍去），t2=﹣∴S△ABC=AB•CD=﹣
．
，
（3）∵△ABC的面积为2， ∴﹣
=2，
解得：a=﹣，
∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣m）2+2m﹣5． 分三种情况考虑：
①当m＞2m﹣2，即m＜2时，有﹣（2m﹣2﹣m）2+2m﹣5=2， 整理，得：m2﹣14m+39=0， 解得：m1=7﹣
（舍去），m2=7+
（舍去）；
②当2m﹣5≤m≤2m﹣2，即2≤m≤5时，有2m﹣5=2，
解得：m=；
③当m＜2m﹣5，即m＞5时，有﹣（2m﹣5﹣m）2+2m﹣5=2， 整理，得：m2﹣20m+60=0， 解得：m3=10﹣2
（舍去），m4=10+2
．
．
综上所述：m的值为或10+2
【点评】本题考查了二次函数解析式的三种形式、二次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形、解一元二次方程以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）利用配方法将二次函数解析式变形为顶点式；（2）利用等腰直角三角形的性质找出点C的坐标；（3）分m＜2、2≤m≤5及m＞5三种情况考虑．
40．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A和点B的坐标分别为A（﹣2，0），B（0，﹣6），将Rt△AOB绕点O按顺时针方向分别旋转90°，180°得到Rt△A1OC，Rt△EOF．抛物线C1经过点C，A，B；抛物线C2经过点C，E，F．
（1）点C的坐标为 （﹣6，0） ，点E的坐标为 （2，0） ；抛物线C1的解析式为 y=﹣
．抛物线C2的解析式为 y=﹣
；
（2）如果点P（x，y）是直线BC上方抛物线C1上的一个动点． ①若∠PCA=∠ABO时，求P点的坐标；
②如图2，过点P作x轴的垂线交直线BC于点M，交抛物线C2于点N，记h=PM+NM+围．
【分析】（1）根据旋转的性质，可得C，E，F的坐标，根据待定系数法法求解析式；
（2）①根据P点直线CA或其关于x轴对称直线与抛物线交点坐标，求出解析式，联立方程组求解；
②根据图象上的点满足函数解析式，可得P、N、M纵坐标，根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的较大的纵坐标间较小的纵坐标，可得二次函数，根据x取值范围讨论h范围．
【解答】解：（1）由旋转可知，OC=6，OE=2， 则点C坐标为（﹣6，0），E点坐标为（2，0）， 分别利用待定系数法求C1解析式为：y=﹣C2解析式为：y=﹣
BM，求h与x的函数关系式，当﹣5≤x≤﹣2时，求h的取值范
，
故答案为：（﹣6，0），（2，0），y=﹣，y=﹣
（2）①若点P在x轴上方，∠PCA=∠ABO时，则CA1与抛物线C1的交点即为点P
设直线CA1的解析式为：y=k1x+b1 ∴
解得
∴直线CA1的解析式为：y=x+2
联立：
解得或（不符合题意，舍）
根据题意，P点坐标为（﹣）；
若点P在x轴下方，∠PCA=∠ABO时，则CA1关于x轴对称的直线CA2与抛物线C1的交点即为点P
设直线CA2解析式为y=k2x+b2 ∴
解得
∴直线CA2的解析式为：y=﹣x﹣2
联立
解得或（不符合题意，舍）
由题意，点P坐标为（﹣∴符合条件的点P为（﹣
） ）或（﹣
）；
②设直线BC的解析式为：y=kx+b ∴解得
∴设直线BC的解析式为：y=﹣x﹣6
过点B做BD⊥MN于点D，如图则BM=∴
，
BM=2BD=2|x|=﹣2x．
=（yP﹣yM）+（yN﹣yM）+2|x|=yP﹣yM+yN﹣yM﹣2x
h=PM+NM+
=[﹣x2﹣4x﹣6﹣（﹣x﹣6）]+[﹣x2+6﹣（﹣x﹣6）]+（﹣2x） =﹣x2﹣6x+12 ∴h=﹣（x+3）2+21
当x=﹣3时，h的最大值为21 ∵﹣5≤x≤﹣2
∴当x=﹣5时，h=﹣（﹣5+3）2+21=17 当x=﹣2时，h=﹣（﹣2+3）2+21=20 ∴h的取值范围是：17≤h≤21
【点评】本题考查二次函数综合题，解（1）的关键是利用旋转的性质得出C，E的坐标，又利用了待定系数法；解（2）①的关键是利用解方程组，要分类讨论，以防遗漏；解（2）②的关键是利用平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标得出二次函数，又利用了二次函数的性质．
41．如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点． （1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标； （2）F（x，y）是抛物线上的动点：
①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；
②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．
【分析】（1）根据点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法即可求出抛物线顶点D的坐标；
（2）①过点F作FM∥y轴，交BD于点M，根据点B、D的坐标，利用待定系数法可求出直线BD的解析式，根据点F的坐标可得出点M的坐标，利用三角形的面积公式可得出S△BDF=﹣x2+4x﹣3，再利用二次函数的性质即可解决最值问题； ②过点E作EN∥BD交y轴于点N，交抛物线于点F1，在y轴负半轴取ON′=ON，连接EN′，射线EN′交抛物线于点F2，则∠AEF1=∠DBE、∠AEF2=∠DBE，根据EN∥BD结合点E的坐标可求出直线EF1的解析式，联立直线EF1、抛物线的解析式成方程组，通过解方程组即可求出点F1的坐标，同理可求出点F2的坐标，此题得解．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y=ax2+bx+c，
，解得：
，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3． ∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4， ∴顶点D的坐标为（1，4）．
（2）①过点F作FM∥y轴，交BD于点M，如图1所示． 设直线BD的解析式为y=mx+n（m≠0）， 将（3，0）、（1，4）代入y=mx+n，
，解得：
，
∴直线BD的解析式为y=﹣2x+6． ∵点F的坐标为（x，﹣x2+2x+3）， ∴点M的坐标为（x，﹣2x+6），
∴FM=﹣x2+2x+3﹣（﹣2x+6）=﹣x2+4x﹣3，
∴S△BDF=FM•（yB﹣yD）=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1． ∵﹣1＜0，
∴当x=2时，S△BDF取最大值，最大值为1．
②过点E作EN∥BD交y轴于点N，交抛物线于点F1，在y轴负半轴取ON′=ON，连接EN′，射线EN′交抛物线于点F2，如图2所示． ∵EF1∥BD， ∴∠AEF1=∠DBE． ∵ON=ON′，EO⊥NN′， ∴∠AEF2=∠AEF1=∠DBE．
∵E是线段AB的中点，A（﹣1，0），B（3，0）， ∴点E的坐标为（1，0）．
设直线EF1的解析式为y=﹣2x+b1， 将E（1，0）代入y=﹣2x+b1， ﹣2+b1=0，解得：b1=2，
∴直线EF1的解析式为y=﹣2x+2． 联立直线EF1、抛物线解析式成方程组，
，
解得：，
，2
（舍去）， ﹣2）．
∴点F1的坐标为（2﹣
当x=0时，y=﹣2x+2=2， ∴点N的坐标为（0，2）， ∴点N′的坐标为（0，﹣2）．
同理，利用待定系数法可求出直线EF2的解析式为y=2x﹣2．
联立直线EF2、抛物线解析式成方程组，，
解得：，
，﹣2
（舍去）， ﹣2）．
，2
﹣2）或（﹣
，
∴点F2的坐标为（﹣
综上所述：当∠AEF=∠DBE时，点F的坐标为（2﹣﹣2
﹣2）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、三角形的面积、平行线的性质以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）①根据三角形的面积公式找出S△BDF=﹣x2+4x﹣3；②联立直线与抛物线的解析式成方程组，通过解方程组求出点F的坐标．
42．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，AD⊥y轴于点E（点A在点D的左侧），经过E、D两点的函数y=﹣x2+mx+1（x≥0）的图象记为G1，函数y=﹣x2﹣mx﹣1（x＜0）的图象记为G2，其中m是常数，图象G1、G2合起来得到的图象记为G．设矩形ABCD的周长为L． （1）当点A的横坐标为﹣1时，求m的值； （2）求L与m之间的函数关系式；
（3）当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点时，求L的值；
（4）设G在﹣4≤x≤2上最高点的纵坐标为y0，当≤y0≤9时，直接写出L的取值范围．
【分析】（1）求出点B坐标利用待定系数法即可解决问题； （2）利用对称轴公式，求出BE的长即可解决问题；
（3）由G2与矩形ABCD恰好有两个公共点，推出抛物线G2的顶点M（﹣m，m2﹣1）在线段AE上，利用待定系数法即可解决问题； （4）分三种情形讨论求解即可；
【解答】解：（1）由题意E（0，1），A（﹣1，1），D（1，1） 把D（1，1）代入y=﹣x2+mx+1中，得到1=﹣+m+1， ∴m=．
（2）∵抛物线G1的对称轴x=﹣∴AE=ED=2m，
=m，
∵矩形ABCD的对称中心为坐标原点O， ∴AD=BC=4m，AB=CD=2，
∴L=8m+4．
（3）∵当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点，
∴抛物线G2的顶点M（﹣m，m2﹣1）在线段AE上， ∴m2﹣1=1，
∴m=2或﹣2（舍弃）， ∴L=8×2+4=20．
（4）G1的顶点（m，m2+1），G1中（2，2m﹣1），G2顶点（﹣m，m2﹣1），G2中（﹣4，4m﹣9）．
①当m≤2，最高点是抛物线G1的顶点N（m，m2+1）时， 若m2+1=，解得m=1或﹣1（舍弃）， 若m2+1=9时，m=4或﹣4（舍弃）， 又∵m≤2，
观察图象可知满足条件的m的值为1≤m≤2，
②2＜m≤4时，当（2，2m﹣1）是最高点时，，
解得2＜m≤4， ③当m＞4时，解得4＜m≤， 综上所述，1≤m≤， ∴12≤L≤40．
，
【点评】本题考查二次函数综合题、矩形的性质、待定系数法、不等式组等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题．
43．已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2），且抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且B在C的左侧，△ABC有一个内角为60°． （1）求抛物线的解析式； （2）若MN与直线y=﹣2决以下问题：
①求证：BC平分∠MBN；
②求△MBC外心的纵坐标的取值范围．
【分析】（1）由A的坐标确定出c的值，根据已知不等式判断出y1﹣y2＜0，可得出抛物线的增减性，确定出抛物线对称轴为y轴，且开口向下，求出b的值，如图1所示，可得三角形ABC为等边三角形，确定出B的坐标，代入抛物线解析式即可；
（2）①设出点M（x1，﹣x12+2），N（x2，﹣x22+2），由MN与已知直线平行，得到k值相同，表示出直线MN解析式，进而表示出ME，BE，NF，BF，求出tan∠MBE与tan∠NBF的值相等，进而得到BC为角平分线；
②三角形的外心即为三条垂直平分线的交点，得到y轴为BC的垂直平分线，设P为外心，利用勾股定理化简PB2=PM2，确定出△MBC外心的纵坐标的取值范围即可．
【解答】解：（1）∵抛物线过点A（0，2），
x平行，且M，N位于直线BC的两侧，y1＞y2，解
∴c=2，
当x1＜x2＜0时，x1﹣x2＜0，由（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，得到y1﹣y2＜0， ∴当x＜0时，y随x的增大而增大， 同理当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴抛物线的对称轴为y轴，且开口向下，即b=0，
∵以O为圆心，OA为半径的圆与抛物线交于另两点B，C，如图1所示， ∴△ABC为等腰三角形， ∵△ABC中有一个角为60°，
∴△ABC为等边三角形，且OC=OA=2，
设线段BC与y轴的交点为点D，则有BD=CD，且∠OBD=30°， ∴BD=OB•cos30°=∵B在C的左侧， ∴B的坐标为（﹣
，﹣1），
，OD=OB•sin30°=1，
∵B点在抛物线上，且c=2，b=0， ∴3a+2=﹣1， 解得：a=﹣1，
则抛物线解析式为y=﹣x2+2；
（2）①由（1）知，点M（x1，﹣x12+2），N（x2，﹣x22+2）， ∵MN与直线y=﹣2
x平行，
x+m，则有﹣x12+2=﹣2
x1+m，即m=﹣
∴设直线MN的解析式为y=﹣2x12+2
x1+2，
∴直线MN解析式为y=﹣2把y=﹣2∴x2=2
x﹣x12+2
x﹣x12+2x1+2，
﹣x1，
x1+2代入y=﹣x2+2，解得：x=x1或x=2
﹣x1）2+2=﹣x12+4
x1﹣10，
﹣x1，即y2=﹣（2
作ME⊥BC，NF⊥BC，垂足为E，F，如图2所示，
∵M，N位于直线BC的两侧，且y1＞y2，则y2＜﹣1＜y1≤2，且﹣∴ME=y1﹣（﹣1）=﹣x12+3，BE=x1﹣（﹣BF=x2﹣（﹣
）=3
﹣x1，
=
=
﹣x1， ）=x1+
＜x1＜x2，
x1+9，
，NF=﹣1﹣y2=x12﹣4
在Rt△BEM中，tan∠MBE=
在NBF=
=
Rt△=
BFN
=
中，
=
tan﹣x1，
∠
∵tan∠MBE=tan∠NBF， ∴∠MBE=∠NBF， 则BC平分∠MBN；
②∵y轴为BC的垂直平分线，
∴设△MBC的外心为P（0，y0），则PB=PM，即PB2=PM2， 根据勾股定理得：3+（y0+1）2=x12+（y0﹣y1）2， ∵x12=2﹣y1，
∴y02+2y0+4=（2﹣y1）+（y0﹣y1）2，即y0=y1﹣1， 由①得：﹣1＜y1≤2， ∴﹣＜y0≤0，
则△MBC的外心的纵坐标的取值范围是﹣＜y0≤0．
【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，锐角三角函数定义，勾股定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
44．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（4，0），与y轴交于点C（0，4）． （1）求抛物线的解析式；
（2）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值； （3）点D为抛物线对称轴上一点．
①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，直接写出点D的坐标； ②若△BCD是锐角三角形，直接写出点D的纵坐标n的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）易得BC的解析式为y=﹣x+4，先证明△ECF为等腰直角三角形，作PH⊥y轴于H，PG∥y轴交BC于G，如图1，则△EPG为等腰直角三角形，PE=
PG，
设P（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜3），则G（t，﹣t+3），接着利用t表示PF、PE，所以PE+EF=2PE+PF=﹣
t2+5
t，然后利用二次函数的性质解决问题；
（3）①如图2，抛物线的对称轴为直线x=﹣点D的纵坐标的取值范围． ②由于△BCD是以BC为斜边的直角三角形有4+（y﹣3）2+1+y2=18，解得y1=
，y2=
，得到此时D点坐标为（，
）或（，
），
然后结合图形可确定△BCD是锐角三角形时点D的纵坐标的取值范围． 【解答】解：（1）把B（4，0），C（0，4）代入y=x2+bx+c，得
，
解得
，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣5x+4；
（2）易得BC的解析式为y=﹣x+4， ∵直线y=x+m与直线y=x平行， ∴直线y=﹣x+4与直线y=x+m垂直， ∴∠CEF=90°，
∴△ECF为等腰直角三角形，
作PH⊥y轴于H，PG∥y轴交BC于G，如图1，△EPG为等腰直角三角形，PE=设P（t，t2﹣5t+4）（1＜t＜4），则G（t，﹣t+4）， ∴PF=∴PE=
PH=PG=﹣
t，PG=﹣t+4﹣（t2﹣5t+4）=﹣t2+4t，
t2+2
t，
t2+4
t+
t=﹣
t2+5
t=﹣
（t﹣
）PG，
∴PE+EF=PE+PE+PF=2PE+PF=﹣
2+
，
；
当t=时，PE+EF的最大值为
（3）①如图2，抛物线的对称轴为直线x=，
设D（，y），则BC2=42+42=32，DC2=（）2+（y﹣4）2，BD2=（4﹣）2+y2=+y2， 当△BCD是以BC为直角边，BD为斜边的直角三角形时，BC2+DC2=BD2，即32+（）2+（y﹣4）2=+y2，解得y=5，此时D点坐标为（，
）；
当△BCD是以BC为直角边，CD为斜边的直角三角形时，BC2+DB2=DC2，即32++y2=（）2+（y﹣4）2，解得y=﹣1，此时D点坐标为（，﹣）； 综上所述，符合条件的点D的坐标是（，
）或（，﹣）；
②当△BCD是以BC为斜边的直角三角形时，DC2+DB2=BC2，即（）2+（y﹣4）
2+
+y2=32，解得y1=），
，y2=，此时D点坐标为（，）或（，
所以△BCD是锐角三角形，点D的纵坐标的取值范围为＜y＜或﹣＜
y＜．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握等腰直角三角形的性质、二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；会利用两点间的距离公式计算线段的长；理解坐标与图形的性质；会运用分类讨论的思想和数形结合的思想解决数学问题．
45．如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，过点B的直线y=kx+分别与y轴及抛物线交于点C，D． （1）求直线和抛物线的表达式；
（2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；
（3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求解可得；
（2）先求得点D的坐标，过点D分别作DE⊥x轴、DF⊥y轴，分P1D⊥P1C、P2D⊥DC、P3C⊥DC三种情况，利用相似三角形的性质逐一求解可得；
（3）通过作对称点，将折线转化成两点间距离，应用两点之间线段最短． 【解答】解：（1）把A（﹣4，0），B（1，0）代入y=ax2+2x+c，得
，
解得：，
∴抛物线解析式为：y=∵过点B的直线y=kx+， ∴代入（1，0），得：k=﹣， ∴BD解析式为y=﹣
，
；
（2）由得交点坐标为D（﹣5，4），
如图1，过D作DE⊥x轴于点E，作DF⊥y轴于点F， 当P1D⊥P1C时，△P1DC为直角三角形， 则△DEP1∽△P1OC， ∴
=
，即=
，
解得t=，
当P2D⊥DC于点D时，△P2DC为直角三角形 由△P2DB∽△DEB得即
=
， ；
=
，
解得：t=
当P3C⊥DC时，△DFC∽△COP3， ∴
=
，即=
，
解得：t=， ∴t的值为、
、．
（3）由已知直线EF解析式为：y=﹣x﹣，
在抛物线上取点D的对称点D′，过点D′作D′N⊥EF于点N，交抛物线对称轴于点M
过点N作NH⊥DD′于点H，此时，DM+MN=D′N最小． 则△EOF∽△NHD′
设点N坐标为（a，﹣），
∴=，即=，
解得：a=﹣2，
则N点坐标为（﹣2，﹣2）， 求得直线ND′的解析式为y=x+1， 当x=﹣时，y=﹣， ∴M点坐标为（﹣，﹣）， 此时，DM+MN的值最小为
=
=2
．
【点评】本题是二次函数和几何问题综合题，应用了二次函数性质以及转化的数学思想、分类讨论思想．解题时注意数形结合．
46．如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D． （1）求抛物线的解析式；
（2）若直线y=m（﹣3＜m＜0）与线段AD、BD分别交于G、H两点，过G点作EG⊥x轴于点E，过点H作HF⊥x轴于点F，求矩形GEFH的最大面积； （3）若直线y=kx+1将四边形ABCD分成左、右两个部分，面积分别为S1，S2，且S1：S2=4：5，求k的值．
【分析】（1）利用待定系数法即可得出结论；
（2）方法1、先利用待定系数法求出直线AD，BD的解析式，进而求出G，H的坐标，进而求出GH，即可得出结论；
方法2、利用相似三角形的对应边上的高的比等于相似比，即可求出GH，即可得出结论；
（3）先求出四边形ADNM的面积，再求出直线y=kx+1与线段CD，AB的交点坐标，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0）， ∴∴
，
，
∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3；
（2）方法1、由（1）知，抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3， ∴C（0，﹣3）， ∴x2+2x﹣3=﹣3， ∴x=0或x=﹣2， ∴D（﹣2，﹣3），
∵A（﹣3，0）和点B（1，0），
∴直线AD的解析式为y=﹣3x﹣9，直线BD的解析式为y=x﹣1， ∵直线y=m（﹣3＜m＜0）与线段AD、BD分别交于G、H两点， ∴G（﹣m﹣3，m），H（m+1，m）， ∴GH=m+1﹣（﹣m﹣3）=m+4，
∴S矩形GEFH=﹣m（m+4）=﹣（m2+3m）=﹣（m+）2+3， ∴m=﹣，矩形GEFH的最大面积为3．
方法2、由（1）知，抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3， ∴C（0，﹣3）， ∴x2+2x﹣3=﹣3，
∴x=0或x=﹣2， ∴D（﹣2，﹣3），
∵A（﹣3，0）和点B（1，0），
如图1，过点D作DM⊥x轴于M，交GH于N， ∴DN=m﹣3，
∵直线y=m（﹣3＜m＜0）与线段AD、BD分别交于G、H两点， ∴△DGH∽△DAB， ∴∴
， ，
∴GH=m+4，
∴S矩形GEFH=﹣m（m+4）=﹣（m2+3m）=﹣（m+）2+3， ∴m=﹣，矩形GEFH的最大面积为3．
（3）∵A（﹣3，0），B（1，0）， ∴AB=4，
∵C（0，﹣3），D（﹣2，﹣3）， ∴CD=2，
∴S四边形ABCD=×3（4+2）=9， ∵S1：S2=4：5， ∴S1=4， 如图，
设直线y=kx+1与线段AB相交于M，与线段CD相交于N， ∴M（﹣，0），N（﹣，﹣3）， ∴AM=﹣+3，DN=﹣+2， ∴S1=（﹣+3﹣+2）×3=4， ∴k=
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，矩形的面积公式，梯形的面积公式，求出相关线段的长是解本题的关键．
47．如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B． （1）求抛物线的解析式．
（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标． （3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）设出抛物线顶点坐标，把C坐标代入求出即可；
（2）由△BCQ与△BCP的面积相等，得到PQ与BC平行，①过P作PQ∥BC，
交抛物线于点Q，如图1所示；②设G（1，2），可得PG=GH=2，过H作直线Q2Q3∥BC，交x轴于点H，分别求出Q的坐标即可；
（3）存在点M，N使四边形MNED为正方形，如图2所示，过M作MF∥y轴，过N作NF∥x轴，过N作NH∥y轴，则有△MNF与△NEH都为等腰直角三角形，设M（x1，y1），N（x2，y2），设直线MN解析式为y=﹣x+b，与二次函数解析式联立，消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数关系表示出NF2，由△MNF为等腰直角三角形，得到MN2=2NF2，若四边形MNED为正方形，得到NE2=MN2，求出b的值，进而确定出MN的长，即为正方形边长． 【解答】解：（1）设y=a（x﹣1）2+4（a≠0），
把C（0，3）代入抛物线解析式得：a+4=3，即a=﹣1， 则抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3；
（2）由B（3，0），C（0，3），得到直线BC解析式为y=﹣x+3， ∵S△PBC=S△QBC， ∴PQ∥BC，
①过P作PQ∥BC，交抛物线于点Q，如图1所示，
∵P（1，4），∴直线PQ解析式为y=﹣x+5， 联立得：解得：
或
，
，即Q（2，3）；
②设G（1，2），∴PG=GH=2，
过H作直线Q2Q3∥BC，交x轴于点H，则直线Q2Q3解析式为y=﹣x+1， 联立得：
，
解得：或，
∴Q2（，），Q3（，）；
（3）存在点M，N使四边形MNED为正方形，
如图2所示，过M作MF∥y轴，过N作NF∥x轴，过N作NH∥y轴，则有△MNF与△NEH都为等腰直角三角形，
设M（x1，y1），N（x2，y2），设直线MN解析式为y=﹣x+b， 联立得：
，
消去y得：x2﹣3x+b﹣3=0，
∴NF2=|x1﹣x2|2=（x1+x2）2﹣4x1x2=21﹣4b， ∵△MNF为等腰直角三角形， ∴MN2=2NF2=42﹣8b，
∵NH2=（b﹣3）2，∴NF2=（b﹣3）2， 若四边形MNED为正方形，则有NE2=MN2， ∴42﹣8b=（b2﹣6b+9）， 整理得：b2+10b﹣75=0， 解得：b=﹣15或b=5， ∵正方形边长为MN=∴MN=9
或
．
，
【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，根与系数的关系，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，以及一次
函数与二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
48．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（1，0），C（0，3）． （1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
【分析】（1）先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n，解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式；
（2）设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x=﹣1代入直线y=x+3得y的值，即可求出点M坐标；
（3）设P（﹣1，t），又因为B（﹣3，0），C（0，3），所以可得BC2=18，PB2=（﹣1+3）2+t2=4+t2，PC2=（﹣1）2+（t﹣3）2=t2﹣6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标．
【解答】解：（1）依题意得：，
解之得：，
∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3
∵对称轴为x=﹣1，且抛物线经过A（1，0）， ∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n， 得解之得：
， ，
∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；
（2）设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小． 把x=﹣1代入直线y=x+3得，y=2， ∴M（﹣1，2），
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；
（3）设P（﹣1，t）， 又∵B（﹣3，0），C（0，3），
∴BC2=18，PB2=（﹣1+3）2+t2=4+t2，PC2=（﹣1）2+（t﹣3）2=t2﹣6t+10， ①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2﹣6t+10解之得：t=﹣2； ②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2即：18+t2﹣6t+10=4+t2解之得：t=4， ③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2﹣6t+10=18解之得：t1=t2=
；
） 或（﹣1，
，
综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，
）．
【点评】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．
49．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y=﹣x+2与二次函数图象在第一象限内的交点． （1）求二次函数的解析式及点E的坐标．
（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标． （3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．
【分析】（1）把C与D坐标代入二次函数解析式求出a与c的值，确定出二次函数解析式，与一次函数解析式联立求出E坐标即可；
（2）过M作MH垂直于x轴，与直线CE交于点H，四边形COEM面积最大即为三角形CME面积最大，构造出二次函数求出最大值，并求出此时M坐标即可； （3）令y=0，求出x的值，得出A与B坐标，由圆周角定理及相似的性质得到三角形AOC与三角形BOF相似，由相似得比例求出OF的长，即可确定出F坐标． 【解答】解：（1）把C（0，2），D（4，﹣2）代入二次函数解析式得：
，
解得：，即二次函数解析式为y=﹣x2+x+2，
联立一次函数解析式得：，
消去y得：﹣x+2=﹣x2+x+2，
解得：x=0或x=3， 则E（3，1）；
（2）如图①，过M作MH∥y轴，交CE于点H， 设M（m，﹣m2+m+2），则H（m，﹣m+2）， ∴MH=（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）=﹣m2+2m， S四边形COEM=S△OCE+S△CME=×2×3+MH•3=﹣m2+3m+3， 当m=﹣=时，S最大=
，此时M坐标为（，3）；
（3）连接BF，如图②所示， 当﹣x2+x+20=0时，x1=∴OA=
，OB=
，
，x2=
，
∵∠ACO=∠ABF，∠AOC=∠FOB， ∴△AOC∽△FOB， ∴
=
，即
=
，
解得：OF=，
则F坐标为（0，﹣）．
【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，二次函数图象与性质，以及图形与坐标性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
50．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线
上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC． （1）求线段OC的长度；
（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）令y=0，求出x的值，确定出A与B坐标，根据已知相似三角形得比例，求出OC的长即可；
（2）根据C为BM的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OC=BC，确定出C的坐标，利用待定系数法确定出直线BC解析式，把C坐标代入抛物线求出a的值，确定出二次函数解析式即可；
（3）过P作x轴的垂线，交BM于点Q，设出P与Q的横坐标为x，分别代入抛物线与直线解析式，表示出坐标轴，相减表示出PQ，四边形ACPB面积最大即为三角形BCP面积最大，三角形BCP面积等于PQ与B和C横坐标之差乘积的一半，构造为二次函数，利用二次函数性质求出此时P的坐标即可． 【解答】解：（1）由题可知当y=0时，a（x﹣1）（x﹣3）=0， 解得：x1=1，x2=3，即A（1，0），B（3，0）， ∴OA=1，OB=3 ∵△OCA∽△OBC， ∴OC：OB=OA：OC， ∴OC2=OA•OB=3，
则OC=；
（2）∵C是BM的中点，即OC为斜边BM的中线， ∴OC=BC，
∴点C的横坐标为， 又OC=
，点C在x轴下方，
），
∴C（，﹣
设直线BM的解析式为y=kx+b， 把点B（3，0），C（，﹣解得：b=﹣∴y=
x﹣
，k=，
）在抛物线上，代入抛物线解析式， ，
）代入得：
，
又∵点C（，﹣解得：a=
，
∴抛物线解析式为y=（3）点P存在， 设点P坐标为（x，则Q（x，∴PQ=
x﹣
x﹣
），
x2﹣x+2；
x2﹣x+2），过点P作PQ⊥x轴交直线BM于点Q，
﹣（x2﹣x+2）=﹣x2+3x﹣3，
当△BCP面积最大时，四边形ABPC的面积最大， S△BCP=PQ（3﹣x）+PQ（x﹣）=PQ=﹣当x=﹣（，﹣
x2+
x﹣
，
=时，S△BCP有最大值，四边形ABPC的面积最大，此时点P的坐标为）．
【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数图象与性质，待定系数法确定函数解析式，相似三角形的判定与性质，以及坐标与图形性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
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