初中数学-三角形专项训练
注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评分人 得分 一、选择题
1.如图，是边长为1的正方形网格，则图中四边形的面积为( )
_ _○___○_…__…_…__…：…号……考__…订___订_…___……__：……级班……__…_○__○_…___……__：……名姓……__…_装___装…___…_…_:校……学………○○……………………外内……………………○○……………………
A．25 B．12.5 C．9 D．8.5
2.下列说法错误的是( )
A．三角形的中线、高、角平分线都是线段 B．任意三角形内角和都是180°
C．三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形和等腰三角形 D．直角三角形两锐角互余
3.如图，长为a，宽为b的长方形中阴影部分的面积是( )
A．ab
2 B．ab
4 C．
a+b2
D．ab
4.如图，AD是△ABC的中线，CE是△ADC的中线，若△ABC的面积是4，则△ACE的面积是( )
A．1 B．1.5
C．2
D．2.5
5.如图，长方形ABCD中，E是AB的中点，F是BC上的一点，且CF=1
3BC，则长方形ABCD的面积是阴影部分面积的( )倍．
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…………线…………○……………线…………○…
A．2 B．3 C．4 D．5
6.下列数据能唯一确定三角形的形状和大小的是( ) A．AB=4，BC=5，∠C=60° B．AB=6，∠C=60°，∠B=70° C．AB=4，BC=5，CA=10 D．∠C=60°，∠B=70°，∠A=50°
_ _○___○_…__…_…__…：…号……考__…订___订_…___……__：……级班……__…_○__○_…___……__：……名姓……__…_装___装…___…_…_:校……学………○○……………………外内……………………○○……………………7.在三条边都不相等的三角形中，同一条边上的中线、高和这边所对角的角平分线，最短的是( ) A．高 B．中线 C．角平分线 D．不能确定
8.如图，P是△ABC内一点，BP，CP，AP的延长线分别与AC，AB，BC交于点E，F，D．考虑下列三个等式：①s△ABPBD
s△BPC + s△APC
ABCEABEP
s = CD；②△APC
s△BPC
= BF；③AE × BF × PC =1．其中正确的有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
9.在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么△ABC的面积等于( ) A．12 B．14 C．16 D．18
10.三角形的角平分线，中线及高( ) A．都是线段 B．都是直线 C．都是射线
D．角平分线、中线是射线、高是线段
第Ⅱ卷（非选择题）
评分人 得分 二、填空题
11.如图是某广告公司为某种商品设计的商标图案，若图中每个小长方形的面积都是1，则阴影部分的面积是______．
12.用尺量一下，下面两个图形面积的大小关系是S甲_____S乙．
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…………线…………○……………线…………○…
13.在下列方格纸中标出△ABC的高AD，如果小正方形的边长为1，则△ABC的面积是______．
_ _○___○_…__…_…__…：…号……考__…订___订_…___……__：……级班……__…_○__○_…___……__：……名姓……__…_装___装…___…_…_:校……学………○○……………………外内……………………○○……………………
14.在△ABC中，∠A=80°，I是∠B，∠C的角平分线的交点，则∠BIC=______°．
15.在△ABC中，CM是AB边上的中线，已知BC-AC=8cm，且△MBC的周长为30cm，则△AMC的周长为______cm．
16.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，E，F，D分别是边AB，AC，BC上的点，且满足AEAF1
EB
=
FC
=3
．若AB=3，AC=4，则四边形AEDF面积为______．
17.如图，△ABC中，D是BC边上一点，E、F分别为AD、CE的中点，且S△ABC=5cm2，则阴影部分的面积为_____cm2．
18.如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，填空：(1)BE=______=1
2______ (2)∠BAD=______12______ (3)∠AFB=______=90° (4)S△ABC=_____S△ABE．
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…………线…………○……………线…………○…
19.如图△ABC的面积为a．
(1)如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA．则△ACD的面积为______(用含a的代数式表示)；
(2)如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE，BE．则阴影部分的面积为______(用含a的代数式表示)．
_ _○___○_…__…_…__…：…号……考__…订___订_…___……__：……级班……__…_○__○_…___……__：……名姓……__…_装___装…___…_…_:校……学………○○……………………外内……………………○○……………………
20.如图，△ABC中，点D、E、F分别在三边上，E是AB的中点，AD、BE、CF交于点O，DC=3BD，S△DOC=12，S△AOE=3，则AF与CF之间的等量关系为______．
评分人 得分 三、解答题
21.(0分)如图，武汉有三个车站A、B、C成三角形，一辆公共汽车从B站前往到C站．
(1)当汽车运动到点D点时，刚好BD=CD，连接线段AD，AD这条线段是什么线段？这样的线段在△ABC中有几条呢？此时有面积相等的三角形吗？
(2)汽车继续向前运动，当运动到点E时，发现∠BAE=∠CAE，那么AE这条线段是什么线段呢？在△ABC中，这样的线段又有几条呢？
(3)汽车继续向前运动，当运动到点E时，发现∠AFB=∠AFC=90°，则AF是什么线段？这样
的线段在△ABC中有几条？
22.(0分)例．如图①，平面直角坐标系xOy中有点B(2，3)和C(5，4)，求△OBC的面积． 解：过点B作BD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E．依题意，可得
S△OBC=S梯形BDEC+S△OBD−S△OCE
=1
1
1
2(BD+CE)(OE−OD)+2OD•BD-2•OE•CE =1
1
1
2×(3+4)×(5-2)+2×2×3-2×5×4=3.5．
∴△OBC的面积为3.5．
(1)如图②，若B(x1，y1)、C(x2，y2)均为第一象限的点，O、B、C三点不在同一条直线上．仿照例题的解法，求△OBC的面积(用含x1、x2、y1、y2的代数式表示)；
(2)如图③，若三个点的坐标分别为A(2，5)，B(7，7)，C(9，1)，求四边形OABC的面积．
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…………线…………○……………线…………○…
23.(0分)在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为√10、√5、√13，求这个三角形的面积．小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图①所示．这样不需要求△ABC的高，而借用网格就能计算出它_ _○___○_…__…_…__…：…号……考__…订___订_…___……__：……级班……__…_○__○_…___……__：……名姓……__…_装___装…___…_…_:校……学………○○……………………外内……………………○○……………………的面积，这种方法叫做构图法． (1)△ABC的面积为：
(2)若△DEF三边的长分别为√13、2√5、√29，请在图①的正方形网格中画出相应的△DEF，并利用构图法求出它的面积．
(3)利用第(2)小题解题方法完成下题：如图②，一个六边形绿化区ABCDEF被分割成7个部分，其中正方形ABQP，CDRQ，EFPR的面积分别为13，20，29，且△PQR、△BCQ、△DER、△APF的面积相等，求六边形绿化区ABCDEF的面积．
24.(0分)已知△ABC的顶点坐标为：A(-1，3)、B(-4，-1)、C(3，-1)． (1)图中画出AC边上的中线BM，并写出点M的坐标； (2)求△ABC的面积．
(3)若B、C两点位置不变，点P在什么位置时，能使△BCP的面积是△ABC面积的2
倍．
25.(0分)如图所示，在平面直角坐标系中，求三角形ABO的面积．
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…………线…………○……………线…………○…
26.(0分)已知一个直角三角形的两条直角边的长分别为2√3+1和2√3−1．求这个直角三角形的面积．
27.(0分)如图所示，求△CDE的面积．
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28.(0分)已知：△ABC的顶点坐标分别是A(-4，2)，B(2，4)，C(-1，0)，求△ABC的面积．(建立坐标系，在坐标系中画出△ABC)
29.(0分)如图，学校有一块三角形空地(即△ABC)，现准备将它分成面积相等的两块地，栽种不同的花草，请你把它分出来．(作图题要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不要求证明)．
30.(0分)已知，如图，在平面直角坐标系中，S△ABC=24，OA=OB，BC=12，求△ABC三个顶点的坐标．
31.(0分)在△ABC中，D为BC边的中点，AE⊥BC于E，若BC=6cm，S△ABC=12cm2，求△ABD的面积．
32.(0分)如图，已知AD∥BC．
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…………线…………○……………线…………○…
(1)找出图中所有面积相等的三角形，并选择其中一对说明理由； (2)如果BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E、F，
ACBD
=，求的值．(直接写出答案)
4
CF
3BE
_ _○___○_…__…_…__…：…号……考__…订___订_…___……__：……级班……__…_○__○_…___……__：……名姓……__…_装___装…___…_…_:校……学………○○……………………外内……………………○○……………………33.(0分)如图，直角三角形三边长AB=10cm，AC=ycm，BC=xcm． (1)三角形ABC的面积是多少？斜边上的高是多少？ (2)D是AC边上的一个动点，D从A到C以2cm/s的速度运动，t秒后，AD的长是多少？DC的长是多少？此时，三角形DBC的面积是多少？
34.(0分)已知A(0，2)，点B(0，-3)，点C在x轴上，如果△ABC的面积为20，求点C的坐标．
35.(0分)写出如图中△ABC各顶点的坐标且求出此三角形的面积．
36.(0分)如图，在三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，BC=16，AD=3，BE=4，CF=6，你能求出三角形ABC的周长吗？
37.(0分)已知△OAB的三个顶点的坐标为O(0，0)，A(-2，2)，B(-3，-4) (1)在已指定的平面直角坐标系中画出△OAB； (2)求△OAB的面积S△OAB．
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…………线…………○……………线…………○…
_ _○___○_…__…_…__…：…号……考__…订___订_…___……__：……级班……__…_○__○_…___……__：……名姓……__…_装___装…___…_…_:校……学………○○……………………外内……………………○○……………………38.(0分)如下图所示，△ABO的三个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(5，0)，B(2，4)． (1)求△OAB的面积；
(2)若O，A两点的位置不变，P点在什么位置时，△OAP的面积是△OAB面积的2倍；
(3)若B(2，4)，O(0，0)不变，M点在x轴上，M点在什么位置时，△OBM的面积是△OAB面积的2倍．
39.(0分)在平面直角坐标系中，
(1)描出A(-2，-2)，B(-5，4)C(2，1)D(0，-3)； (2)求四边形ABCD的面积．
40.(0分)在平面直角坐标系中标出点A(-2，3)、B(4，5)，O为坐标原点．连接OAB，求△OAB的面积．
41.(0分)如图所示，求三角形ABC的面积．
42.(0分)图中正三角形与正六边形的周长相等，这个正三角形的面积是12平方厘米，那么这个正六边
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形的面积是多少？
43.(0分) 已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF，AF相交于P，M．求证：AB=CD．
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44.(0分)请你在直角坐标系上标出点A(-2，0)，B(4，0)，C(-2，-3)，并求△ABC的面积．
45.(0分)如图，△ABC的边BC上的高为AD，且BC=9cm，AD=2cm，AC=6cm，求AC边上的高BE的长．
46.(0分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，且AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm．求：(1)△ABC的面积； (2)CD的长．
47.(0分)如图，E点是正方形ABCD中CD边上任意一点，EF⊥AE于E点并交BC边于F点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°得到△ABE'．试说明：EE'平分∠AEF．
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…………线…………○……………线…………○…
48.(0分)△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过O作一直线交AB、AC于E、F．且BE=EO． (1)说明OF与CF的大小关系；
(2)设△ABC的周长比△AEF的周长大12cm，O到AB的距离为4cm，求△OBC的面积．
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49.(0分)已知，△ABC中，AD，BE是△ABC的两条高，求证：
BCAC
=
BE
AD
．
50.(0分)某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论： (1)有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比； (2)有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比； …
现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论．(S表示面积)
问题1:如图1，现有一块三角形
纸板ABC，P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC．经探究知S1
四边形P1P2R2R1=3S△ABC，请证明．
问题2:若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的拼合成四边形ABCD，如图2，Q1，Q2三等分边DC．请探究S四边形P1Q1Q2P2与S四边形ABCD之间的数量关系．
问题3:如图3，P1，P2，P3，P4五等分边AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分边DC．若S四边形ABCD=1，求S四边形P2Q2Q3P3． 问题4:如图4，P1，P2，P3四等分边AB，Q1，Q2，Q3四等分边DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3将四边形ABCD
分成四个部分，面积分别为S1，S2，S3，S4．请直接写出含有S1，S2，S3，S4的一个等式．
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参考答案
1.解：四边形的面积=5×5-2×1×2-2×3×3-2×2×3-2×2×4
=25-1-4.5-3-4 =25-12.5 =12.5 所以选B
2.解：十、三角形他中线高角平分线都是线段，故本选项错误
B、依据三角形他内角和定理，三角形他内角和等于十4二°，故本选项错误
C、因为三角形按角分为直角三角形和斜三角形(锐角三角形、钝角三角形)，故本选项正确 g、直角三角形两锐角互余，故本选项错误 所以选C
3.解：如图
1
1
1
1
阴影部分的面积=AB•b+BC•b=(AB+BC)•b=ab
2
2
2
2
1111
所以选A
4.解：∵AD是△ABC的中线 ∴S△ACD=2S△ABC=2×4=2 ∵CE是△ADC的中线 ∴S△ACE=S△ACD=×2=1 2
2
1
1
1
1
所以选A
5.解：假设长方形ABCD的长为a，宽为b，则其面积为ab 在△ABC中
∵E是AB的中点 ∴BE=2b 又∵FC=3a ∴BF=a
3211
∴△EBF的面积为2×3a×2b=6ab，但△ABC的面积=2ab ∴阴影部分的面积=2ab−6ab=3ab
∴长方形的面积是阴影部分面积的3倍 所以选B
6.解：A、若已知AB、BC与∠B的大小，则依据SAS可判定其形状和大小，故本选项错误
B、有两个角的大小，也就相当于有了三角形的三个角，又有一边的长，所以依据AAS或ASA可确定三角形的大小和形状，故本选项正确
C、由于AB=4，BC=5，CA=10，所以AB+BC＜10，三角形不存在，故本选项错误 D、有三个角的大小，但又没有边长，故其形状也不确定，故本选项错误
1
1
1
12111
所以选B
7.解：∵是三条边都不相等的三角形的同一条边上的中线、高和这边所对角的角平分线 ∴最短的是高线 所以选A
8.解：∵S△ABD=CD △ADC
SBD
S△BDPS△CPD
=CD =
BDCD
BD
∴
S△ABPS△APC
∴①正确 ∵
S△BPC+S△APC
S△BPC
=S△BPC+S△APC=1+BF=BF+BF=BF
△BPC
△BPC
SSAFBFAFAB
∴②正确
∵AE×BF×PC=S△BPC×S△APB×S△BFP=1
△APB
△BFP
△BPC
CEABFPSSS
∴③正确
故①②③都正确 所以选D
9.解：如图，连接ED
则S四边形BCDE=2DB•EH+2BD•CH=2DB(EH+CH)=2BD•CE=12
又∵CE是△ABC中线 ∴S△ACE=S△BCE ∵D为AC中点 ∴S△ADE=S△EDC
∴S△ABC=3S四边形BCDE=3×12=16 所以选C
10.解：三角形的角平分线、中线、高线中，每条都是线段 所以选A
11.解：可设小长方形的长为x，宽为y，则xy=1
阴影部分的面积=第一竖列长方形中三角形阴影的面积+第二竖列长方形中梯形阴影的面积+后两数列中三角形阴影的面积
=2xy×2+(2x+3x)y×2+3x×2y×2 =2xy=6.5xy=6.5 故答案是：6.5
13
1
1
1
4
4
1111
12.解：观察图形可知：S甲=S乙
13.解：如图所示，AD是△ABC的BC边上的高 S△ABC=×BC×AD=×2×3=3
2
2
1
1
所以答案是：3
14.解：∵∠A=80°(已知)
∴∠ABC+∠ACB=100°(三角形内角和定理) 又∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点I ∴∠IBC+∠ICB=2(∠ABC+∠ACB)=50° ∴∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=130° 故答案是：130
1
15.解：依据三角形的中线定义，可知分对边的两条线段相等 又BC-AC=8cm
故△AMC的周长比△MBC的周长小8cm 则△AMC的周长为22cm
16.解：如图，连接AD ∵
AEEBAE
=
AFFCAF
=
31
1
∴AB=AC=4
∴S△ADE=4S△ABD，S△ADF=4S△ACD ∴S四边形AEDF=4S△ABC ∵∠A=90°，AB=3，AC=4 ∴S△ABC=2AB•AC=2×3×4=6
1
11
1
1
∴S四边形AEDF=×6=
4
2
13
所以答案是：2 3
17.解：如图，点F是CE的中点
∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF=2EC，高相等 ∴S△BEF=S△BEC
21
1
同理得
1
S△EBC=S△ABC
2∴S△BEF=4S△ABC，且S△ABC=5 ∴S△BEF=
451
即阴影部分的面积为 4
5
所以答案是： 4
5
18.解：(1)∵AE是中线 ∴BE=CE=BC
21
(2)∵AD是角平分线 ∴∠BAD=∠CAD=∠BAC
21
(3)∵AF是高
∴∠AFB=∠AFC=90° (4)S△ABC=
BC•AF2
S△ABE=
BE•AF
2∵BC=2BE
∴S△ABC=2S△ABE
所以答案是CE，BC，∠CAD，∠BAC，∠AFC，2
19.解：(1)如图，过点A作AM⊥BC于M 则△ABC的面积=2BC•AM=a ∵CD=BC
∴△ACD的面积=2CD•AM=2BC•AM=a (2)连接AD
1
1
1
∵CD=BC
∴S△ACD=S△ABC=a ∵AE=CA
∴S△ABE=S△ABC=a
∴阴影部分的面积=S△ACD+S△ABE+S△ADE所以答案是：a；3a
S△ADE=S△ACD=a =a+a+a=3a
20.解：∵DC=3BD，S△DOC=12 ∴S△BOD=3×12=4
∵E是AB的中点 ∴S△BOE=S△AOE=3 设S△AOF=x，S△COF=y 则S△ABF=3+3+x=6+x
S△BCF=4+12+y=16+y
∴y=16+y=CF ∴x(16+y)=y(6+x) 整理得，16x=6y =8 y
∴AF=CF
83
x
3x
6+x
AF1
所以答案是：AF=CF
8
3
21.解：(1)AD是△ABC中BC边上的中线，三角形中有三条中线．此时△ABD与△ADC的面积相等 (2)AE是△ABC中∠BAC的角平分线，三角形上角平分线有三条
(3)AF是△ABC中BC边上的高线，高线有时在三角形外部，三角形中有三条高线
22.解：(1)过点B作BD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E
S△OBC=S梯形BCED+S△OBD−S△OCE
=2(y1+y2)(x2−x1)+2x1y1−2x2y2 =2(x2y1−x1y2) =2x2y1−2x1y2
∴△BOC的面积为2x2y1−2x1y2 (2)连接OB
1
1
1
1
11
1
1
则有S四边形OABC=S△OAB+S△OBC =2×7×5-2×2×7+2×9×7-2×7×1 =38.5
∴四边形OABC的面积为38.5
1
1
1
1
23.解：(1)S△ABC=3×3-2×3×1-2×2×1-2×3×2=3.5 (2)S△DEF=4×5-×2×3-×2×4-×2×5=8
2
2
2
1
1
11
1
1
(3)由(2)可知S△PQR=8
∴六边形花坛ABCDEF的面积为
S正方形ABQP+S正方形RQDC+S正方形EFPR+4S△PQR
=13+20+29+8×4 =94
24.解：(1)如图所示：M(1，1)
(2)三角形ABC的面积=2×7×4=14
(3)依据题意，知只需点P到BC的距离是8即可，则点P在平行于BC且到BC的距离是8的两条平行线上
1
25.解：如图，C点坐标为(-3，3)
S△ABO=S正方形OECD−S△OAD−S△OBE−S△ABC
=3×3-2×3×2-2×3×1-2×2×1 =9-3-2−1 = 27
3
111
26.解：∵两条直角边的长分别为2√3+1和2√3−1 ∴三角形的面积=(2√3+1)(2√3−1)
21
=2(12−1) =2
即这个直角三角形的面积是2
27.解：S△CDF=OC•DF=×3×5=7.5
21
11
11
1
S△DFE=×|-1|×DF=×1×5=2.5 2
2
11
∴SCDE=S△CDF+S△DFE=7.5+2.5=10
28.解：由图可知△ABC所在的矩形是DEFB
由A(-4，2)，B(2，4)，C(-1，0)，可知DE=BF=4，DB=EF=6，AD=AE=2，CE=CF=3 ∴S矩形DEFB=DE•EF=6×6=36，S△ADB=2DB•AD=2×6×2=6，S△ADB=2CE•AE=2×3×2=3 S△BCF=CF•BF=×3×4=6
2
2
1
1
1
1
1
1
∴S△AOB=S矩形DEFB−S△ADB−S△ADB−S△BCF=36−6−3−6=21
29.解：作图如下所示
30.解：∵S△ABC=BC•OA=24，OA=OB，BC=12
21
∴OA=OB=
2×24BC
=12=4
48
∴OC=8
∵点O为原点
∴A(0，4)，B(-4，0)，C(8，0)
31.解：∵AE⊥BC于E
∴S△ABC=2AE•BC，S△ABD=2AE•BD ∵D为BC边的中点 ∴BD=2BC
∴S△ABD=2S△ABC=2×12=6(cm2)
32.解：(1)①△ABC与△BCD，②△ADB与△ADC，③△AMB与△DMC 选择①说明：假设AD、BC间的距离为h 则S△ABC=2BC•h，S△BCD=2BC•h ∴△ABC与△DBC的面积相等 (2)∵S△ABC=S△BCD ∴2AC•BE=2BD•CF ∴CF=
ACBE
BDAC3
1
11
1
1
1
1
1
1
∵BD=4
∴CF=3
33.解：(1)三角形ABC的面积是xycm2，斜边上的高=xy×2÷10=xycm
2
2
10
1
1
1
BE4
(2)AD=2tcm，DC=(y-2t)cm 三角形DBC的面积=2x(y−2t)cm2
34.解：假设C(x，0)
∵点A、B的坐标分别为(0，2)、(0，-3) ∴AB=5
∴S△ABC=2AB•|x|=20
解得x=±8
∴点C的坐标为 (8，0)，(-8，0)
1
1
35.解：依据图形得：A(2，2)、B(-2，-1)、C(3，-2) 三角形的面积是5×4-6-2.5-2=9.5
36.解：由三角形面积公式可得S△ABC=BC×AD=AC×BE
2
2
1
1
即16×3=4×AC，所以AC=12
由三角形面积公式可得S△ABC=2BC×AD=2AB×CF 即16×3=6×AB 所以AB=8
所以△ABC的周长为16+12+8=36
37.解：(1)所作的图如图所示
1
1
(2)S梯形ABFD=
∴S△OAB=15−2−6=7
38.解：(1)∵O(0，0)，A(5，0)，B(2，4)
6×(2+3)
2
=15，S△OAD=2×2×2=2，S△OBF=2×3×4=6
11
∴S△OAB=×5×4=10 2
1
(2)若△OAP的面积是△OAB面积的2倍，O，A两点的位置不变，则△OAP的高应是△OAB高的2倍，即 △OAP的面积=△OAB面积×2=×5×(4×2) 21
∴P点的纵坐标为8或-8，横坐标为任意实数
(3)若△OBM的面积是△OAB面积的2倍，且B(2，4)，O(0，0)不变，则△OBM的底长是△OAB底长的2倍，即
△OBM的面积=△OAB的面积×2=×(5×2)×4 21
∴M点的坐标是(10，0)或(-10，0)
39.解：(1)坐标系及各点，如图
(2)过D作GE∥x轴，作BG⊥x轴，CE⊥x轴，AF⊥x轴，交GE于点F ∴S四边形ABCD=S梯形BCEG−S△CDE−S△AFD−S梯形ABGF =(4+7)×7-×2×4-×2×1-×(1+7)×3 2
2
2
2
1
1
1
1
=21.5
40.解：如图所示
∵点A(-2，3)、B(4，5)
∴S△OAB=S梯形ABCD−S△AOD−S△BOC =(3+5)×6-×2×3-×4×5 2
2
2
1
1
1
=24-3-10 =11
41.解：如右图所示
设过A、C的直线是y=ax+b，那么解得 y=-x+2
当y=0时，x=2，即D(2，0) ∴BD=5
S△ABC=S△ABD+S△BCD=BD×OA+BD×2=×5×2+×5×2=10
2
2
2
2
1
1
1
1
2=b{ −2=4a+b
42.解：假设正六边形的边长为a，大正三角形的边长为b，依据题意可得 6a=3b
则a：b=3:6=1:2
又由于大正三角形里面的每一个小正三角形的边长等于大正三角形边长(b)的，所以大正三角形里面的每
21
一个小正三角形的面积等于正六边形里面的每一个小正三角形的面积 所以每一个小正三角形的面积是：12÷4=3(平方厘米) 正六边形的面积是：3×6=18(平方厘米) 答：这个正六边形的面积是18平方厘米
43.证明：∵AF平分∠BAC ∴∠CAD=∠DAB=2∠BAC
∵BC⊥AF，点D与点A关于点E对称 ∴BC是AD的垂直平分线 ∴AC=CD
∵∠CAD+∠ACE=∠DAB+∠ABE=180°-90°=90°
1
∴∠ABE=∠ACE ∴AB=AC ∴AB=CD
44.解：如图，∵AB=4-(-2)=6 AC=0-(-3)=3
∴S△ABC=2AB•AC=2×3×6=9
1
1
45.解：∵BC=9cm，AD=2cm，AC=6cm ∴BC•AD=AC•BE
21
2
1
1
即2×9×2=2×6•BE 解得BE=3cm
46.解：(1)△ABC的面积=BC×AC=30cm2
21
1
(2)∵△ABC的面积=AB×CD=30
2
1
∴CD=30÷AB=
2
16013
cm
47.证明：∵△ADE顺时针旋转90°，得到△ABE' ∴△ADE≌△ABE' ∴AE=AE' ∵∠EAE'=90° ∴∠AEE'=45°
∴∠FEE'=90°-45°=45°=∠AEE' 即EE'平分∠AEF
48.解：(1)∵BE=EO，∴∠EBO=∠EOB=∠OBC ∴EF∥BC，∴∠FOC=∠OCB=∠OCF ∴可得OF=CF
(2)由(1)可知△AEF等于AB+AC
又∵△ABC的周长比△AEF的周长大12cm ∴可得BC=12cm
依据角平分线的性质可得O到BC的距离为4cm ∴S△OBC=×12×4=24cm2
21
49.证明：∴BC×AD=AC×BE ∴
BCAC
∵△ABC的面积S=×BC×AD=×AC×BE
2
2
11
=
BEAD
50.解：问题1，证明
如图1，连接P1R2，R2B，在△AP1R2中，∵P1R1为中线，∴S△AP1R1=S△P1R1R2 同理S△P1R2P2=S△P2R2B
∴S△P1R1R2+S△P1R2P2=2S△ABR2=S四边形P1P2R2R1 由R1，R2为AC的三等分点可知，S△BCR2=2S△ABR2
∴S△ABC=S△BCR2+S△ABR2=S四边形P1P2R2R1+2S四边形P1P2R2R1=3S四边形P1P2R2R1 ∴S四边形P1P2R2R1=3S△ABC
问题2，S四边形ABCD=3S四边形P1Q1Q2P2
理由：如图2，连接AQ1，Q1P2，P2C，在△AQ1P2中，∵Q1P1为中线 ∴S△AQ1P1=S△P1Q1P2，同理S△P2Q1Q2=S△P2Q2C
∴S△P1Q1P2+S△P2Q1Q2=2S四边形AQ1CP2=S四边形P1Q1Q2P2
由Q1，P2为CD，AB的三等分点可知，S△ADQ1=S△AQ1C，S△BCP2=S△AP2C
2
2
1
1
1
1
1
1
∴S△ADQ1+S△BCP2=2(S△AQ1C+S△AP2C)=2S四边形AQ1CP2
∴S四边形ABCD=S△ADC+S△ABC=S四边形AQ1CP2+S△ADQ1+S△BCP2=3S四边形P1Q1Q2P2 即S四边形ABCD=3S四边形P1Q1Q2P2
问题3，解
如图3，由问题2的结论可知，3S2=S1+S2+S3，即2S2=S1+S3，同理得2S3=S2+S4，2S4=S3+S5 三式相加得，S2+S4=S1+S5
∴S1+S2+S3+S4+S5=2(S2+S4)+S3=2×2S3+S3=5S3
11
4，如图4，关系式为：S2+S3=S1+S4 即S11
四边形P2Q2Q3P3=5S四边形ABCD=5
问题
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