梁的弯曲振动

动力学方程

考虑细长梁的横向弯曲振动 梁参数： 密度

E弹性模量，I截面对中性轴的惯性积，S梁的横截面积 外部力

m(x,t):单位长度梁上分布的外力矩 f(x,t):单位长度梁上分布的外力

假设：欧拉—贝努利梁（Euler-Bernoulli beam）

梁各截面的中心惯性轴在同一平面xoy内，外载作用在该平面内，梁在该平面作横向振动（微振），这时梁的主要变形是弯曲变形，在低频振动时可以忽略剪切变形以及截面绕中性轴转动惯量的影响 动力学方程

m(x,t):单位长度梁上分布的外力矩 f(x,t):单位长度梁上分布的外力

令：

y(x,t):距原点

x处的截面在t时刻的横向位移

微段受力分析：

截面上的剪力和弯矩：Fs,M

2y微段上的惯性力：Sdx2

t微段所受的外力：f(x,t)dx 微段所受的外力矩：m(x,t)dx

力平衡量方程

F2ySdx2(Fssdx)Fsf(x,t)dx0

xt即：

Fs2yf(x,t)S2 xt

在右截面上任一点为矩心，力矩平衡：

Mdx2ydx(Mdx)MFsdxf(x,t)dxSdx2m(x,t)dx0

x2t2略去高阶小量:FsMm(x,t) x2y(x,t)由材料力学的等截面假设，弯矩与挠度的关系：M(x,t)EI

x2变截面梁的动力学方程

22y(x,t)2y(x,t)[EI]Sf(x,t)m(x,t)

xx2x2t2等截面梁的动力学方程：

4y2ySf(x,t)m(x,t)

xx4t2固有频率和模态函数

变截面梁的动力方程：（右侧为零）

22y(x,t)2y(x,t)[EI]S0 x2x2t2自由振动方程：

4y2yS20 x4t梁的主振动可假设为：

y(x,t)(x)q(t)(x)asin(t)

代入自由振动方程：(EI)2S0 对于等截面梁：(x)(x)0，(4)442a02，a02EI S通解：(x)C1cosxC2sinxC3coshxC4sinhx

Ci(i1~4)和应该满足的频率方程由梁的边界条件确定

4y2y等截面梁的自由振动方程：4S20

xt梁的主振动：y(x,t)(x)q(t)(x)asin(t) 代入，得：(4)(x)4(x)0

通解：(x)C1cosxC2sinxC3coshxC4sinhx

ii(x)无穷多个

iti) 第i阶主振动：y(i)(x,t)aiisin(ai和i由系统的初始条件确定

系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加

y(x,t)aiisin(iti)

i1常见的约束状况一边界条件

（1） 固定端 挠度和截面转角为零

y(x,t)0，

y(x,t)0，x0或l x(x)0，(x)0

（2） 简支端 挠度和弯矩为零

2y(x,t)0，x0或l y(x,t)0，MEIx2(x)0，(x)0

（3） 自由端 弯矩和剪力为零

M2y(x,t)F0，x0或l MEI0，sxx2(x)0，(x)0

例：求悬臂梁的固有频率和模态函数 解：一端固定，一端自由 边界条件

固定端：挠度的截面转角为零 (0)0，(0)0

自由端：弯矩和截面剪力为零，(x)0，(x)0 得：C1C3，C2C4

以及：

C1(coslcoshl)C2(sinlsinhl)0C1(sinlsinhl)C 2(coslcoshl)0Ccoslcoshlsinlsinhl1,C2非零解条件：

sinlsinhlcoslcoshl0 (x)CxC41cosxC2sin3coshxC4sinhx，2a2，0

a20EIS