高考第一轮复习——曲线运动、万有引力定律(一)

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

曲线运动、万有引力考点例析（一）

【典型例题】

问题1：会用曲线运动的条件分析求解相关问题。

[例1] 质量为m的物体受到一组共点恒力作用而处于平衡状态，当撤去某个恒力F1时，物体可能做（ ）

A. 匀加速直线运动 B. 匀减速直线运动C. 匀变速曲线运动 D. 变加速曲线运动

分析与解：当撤去F1时，由平衡条件可知：物体此时所受合外力大小等于F1，方向与F1方向相反。

若物体原来静止，物体一定做与F1相反方向的匀加速直线运动。若物体原来做匀速运动，若F1与初速度方向在同一条直线上，则物体可能做匀加速直线运动或匀减速直线运动，故A、B正确。

若F1与初速度不在同一直线上，则物体做曲线运动，且其加速度为恒定值，故物体做匀变速曲线运动，故C正确，D错误。

答案：A、B、C。

[例2] 图1中实线是一簇未标明方向的由点电荷产生的电场线，虚线是某一带电粒子通过该电场区域时的运动轨迹，a、b是轨迹上的两点。若带电粒子在运动中只受电场力作用，根据此图可作出正确判断的是（ ）

A. 带电粒子所带电荷的符号

B. 带电粒子在a、b两点的受力方向C. 带电粒子在a、b两点的速度何处较大D. 带电粒子在a、b两点的电势能何处较大

分析与解：由于不清楚电场线的方向，所以在只知道粒子在a、b间受力情况是不可能判断其带电情况的。而根据带电粒子做曲线运动的条件可判定，在a、b两点所受到的电场力的方向都应在电场线上并大致向左。若粒子在电场中从a向b点运动，故在不间断的电场力作用下，动能不断减小，电势能不断增大。故选项B、C、D正确。

问题2：会根据运动的合成与分解求解船过河问题。

[例3] 一条宽度为L的河流，水流速度为Vs，已知船在静水中的速度为Vc，那么：

（1）怎样渡河时间最短？

（2）若Vc>Vs，怎样渡河位移最小？

（3）若Vc分析与解：（1）如图2甲所示，设船上头斜向上游与河岸成任意角θ，这时船速在垂直于河岸方向的速度分量V1=Vcsinθ，渡河所需时间为：.

可以看出：L、Vc一定时，t随sinθ增大而减小；当θ=900时，sinθ=1，所以，当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，

（2）如图2乙所示，渡河的最小位移即河的宽度。为了使渡河位移等于L，必须使船的合速度V的方向与河岸垂直。这是船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ。根据三角函数关系有：Vccosθ－Vs=0。

所以θ=arccosVs/Vc，因为0≤cosθ≤1，所以只有在Vc>Vs时，船才有可能垂直于河岸横渡。

（3）如果水流速度大于船上在静水中的航行速度，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游。怎样才能使漂下的距离最短呢？如图2丙所示，设船头Vc与河岸成θ角，合速度V与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以Vs的矢尖为圆心，以Vc为半径画圆，当V与圆相切时，α角最大，根据cosθ=Vc/Vs，船头与河岸的夹角应为：θ=arccosVc/Vs。

船漂的最短距离为：。此时渡河的最短位移为：。

问题3：会根据运动的合成与分解求解绳联物体的速度问题。

对于绳联问题，由于绳的弹力总是沿着绳的方向，所以当绳不可伸长时，绳联物体的速度在绳的方向上的投影相等。求绳联物体的速度关联问题时，首先要明确绳联物体的速度，然后将两物体的速度分别沿绳的方向和垂直于绳的方向进行分解，令两物体沿绳方向的速度相等即可求出。

[例4] 如图3所示，汽车甲以速度v1拉汽车乙前进，乙的速度为v2，甲、乙都在水平面上运动，求v1∶v2

分析与解：如图4所示，甲、乙沿绳的速度分别为v1和v2cosα，两者应该相等，所以有v1∶v2=cosα∶1

[例5] 如图5所示，杆OA长为R，可绕过O点的水平轴在竖直平面内转动，其端点A系着一跨过定滑轮B、C的不可伸长的轻绳，绳的另一端系一物块M。滑轮的半径可忽略，B在O的正上方，OB之间的距离为H。某一时刻，当绳的BA段与OB之间的夹角为α时，杆的角速度为ω，求此时物块M的速率Vm。

分析与解：杆的端点A点绕O点作圆周运动，其速度VA的方向与杆OA垂直，在所考察时其速度大小为：VA=ωR

对于速度VA作如图6所示的正交分解，即沿绳BA方向和垂直于BA

方向进行分解，沿绳BA方向的分量就是物块M的速率VM，因为物块只有沿绳方向的速度，所以

VM=VAcosβ由正弦定理知，

由以上各式得VM=ωHsinα

问题4：会根据运动的合成与分解求解面接触物体的速度问题。求相互接触物体的速度关联问题时，首先要明确两接触物体的速

度，分析弹力的方向，然后将两物体的速度分别沿弹力的方向和垂直于弹力的方向进行分解，令两物体沿弹力方向的速度相等即可求出。

[例6] 一个半径为R的半圆柱体沿水平方向向右以速度V0匀速运动。在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图7所示。当杆与半圆柱体接触点P与柱心的连线与竖直方向的夹角为θ，求竖直杆运动的速度。

分析与解：设竖直杆运动的速度为V1，方向竖直向上，由于弹力方向沿OP方向，所以V0、V1在OP方向的投影相等，即有，解得V1=V0·tgθ。

问题5：会根据运动的合成与分解求解平抛物体的运动问题。

[例7] 如图8在倾角为θ的斜面顶端A处以速度V0水平抛出一小球，落在

斜面上的某一点B处，设空气阻力不计，求（1）小球从A运动到B处所需的时间；（2）从抛出开始计时，经过多长时间小球离斜面的距离达到最大？

分析与解：

（1）小球做平抛运动，同时受到斜面体的，设从小球从A运动到B处所需的时间为t，则：

水平位移为x=V0t；竖直位移为y=由数学关系得到：

（2）从抛出开始计时，经过t1时间小球离斜面的距离达到最大，当小球的速度与斜面平行时，小球离斜面的距离达到最大。因Vy1=gt1=V0tanθ，所以。

[例8] 如图9所示，一高度为h=0.2m的水平面在A点处与一倾角为θ=30°的斜面连接，一小球以V0=5m/s的速度在平面上向右运动。求小球从A点运动到地面所需的时间（平面与斜面均光滑，取g=10m/s2）。某同学对此题的解法为：小球沿斜面运动，则由此可求得落地的时间t。问：你同意上述解法吗？若同意，求出所需的时间；若不同意，则说明理由并求出你认为正确的结果。

分析与解：不同意。小球应在A点离开平面做平抛运动，而不是沿斜面下滑。

正确做法为：落地点与A点的水平距离 斜面底宽

因为，所以小球离开A点后不会落到斜面，因此落地时间即为平抛运动时间。

∴

问题6：会根据匀速圆周运动的特点分析求解皮带传动和摩擦传动问题。

凡是直接用皮带传动（包括链条传动、摩擦传动）的两个轮子，两轮边缘上各点的线速度大小相等；凡是同一个轮轴上（各个轮都绕同一根轴同步转动）的各点角速度相等（轴上的点除外）。

[例9] 如图10所示装置中，三个轮的半径分别为r、2r、4r，b点到圆心的距离为r，求图中a、b、c、d

各点的线速度之比、角速度之比、加速度之比。

分析与解：因va= vc，而vb∶vc∶vd =1∶2∶4，所以va∶ vb∶vc∶vd=2∶1∶2∶4；ωa∶ωb=2∶1，而ωb=ωc=ωd ，所以ωa∶ωb∶ωc∶ωd=2∶1∶1∶1；再利用a=vω，可得aa∶ab∶ac∶ad=4∶1∶2∶4

[例10] 如图11所示，一种向自行车车灯供电的小发电机的上端有一半径r0=1.0cm的摩擦小轮，小轮与自行车车轮的边缘接触。当车轮转动时，因摩擦而带动小轮转动，从而为发电机提供动力。自行车车轮的半径R1=35cm，小齿轮的半径R2=4.0cm，大齿轮的半径R3=10.0cm。求大齿轮的转速n1和摩擦小轮的转速n2之比。（假定摩擦小轮与自行车轮之间无相对滑动）

分析与解：大小齿轮间、摩擦小轮和车轮之间和皮带传动原理相同，两轮边缘各点的线速度大小相等，由v=2πnr可知转速n和半径r成反比；小齿轮和车轮同轴转动，两轮上各点的转速相同。由这三次传动可以找出大齿轮和摩擦小轮间的转速之比n1∶n2=2∶175

问题7：会求解在水平面内的圆周运动问题。

[例11] 如图12所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动。当圆筒的角速度增大以后，下列说法正确的是（ ）

A. 物体所受弹力增大，摩擦力也增大了 B. 物体所受弹力增大，摩擦力减小了C. 物体所受弹力和摩擦力都减小了 D. 物体所受弹力增大，摩擦力不变

分析与解：物体随圆筒一起转动时，受到三个力的作用：重力G、筒壁对它的弹力FN、和筒壁对它的摩擦力F1（如图13所示）。其中G和F1是一对平衡力，筒壁对它的弹力FN提供它做匀速圆周运动的向心力。当圆筒匀速转动时，不管其角速度多大，只要物体随圆筒一起转动而未滑动，则物体所受的（静）摩擦力F1大小等于其重力。而根据向心力公式，，当角速度较大时也较大。故本题应选D。

[例12] 如图14所示，在光滑水平桌面ABCD固定有一边长为0.4m光滑小方柱abcd。长为L=1m的细线，一端拴在a上，另一端拴住一个质量为m=0.5kg的小球。小球的初始位置在ad连线上a的一侧，把细线拉直，并给小球以V0=2m/s的垂直于细线方向的水平速度使它作圆周运动。由于光滑小方柱abcd的存在，使线逐步缠在abcd上。若细线能承受的最大张力为7N（即绳所受的拉力大于或等于7N时绳立即断开），那么从开始运动到细线断裂应经过多长时间？小球从桌面的哪一边飞离桌面?

分析与解：当绳长为L0时，绳将断裂。据向心力公式得：

T0=mV02/L0 所以L0=0.29m

绕a点转1/4周的时间t1=0.785S；绕b点转1/4周的时间t2=0.471S；绳接触c点后，小球做圆周运动的半径为r=0.2m，小于L0=0.29m，所以绳立即断裂。

所以从开始运动到绳断裂经过t=1.256S，小球从桌面的AD边飞离桌面

问题8：会求解在竖直平面内的圆周运动问题。

物体在竖直面上做圆周运动，过最高点时的速度，常称为临界速度，其物理意义在不同过程中是不同的．在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动轨道的类型，可分为无支撑（如球与绳连结，沿内轨道的“过山车”）和有支撑（如球与杆连接，车过拱桥）两种。前者因无支撑，在最高点物体受到的重力和弹力的方向都向下。

当弹力为零时，物体的向心力最小，仅由重力提供， 由牛顿定律知mg=，得临界速度。当物体运动速度V对于无约束的情景，如车过拱桥，当时，有N=0，车将脱离轨道．此时临界速度的意义是物体在竖直面上做圆周运动的最大速度。

注意：如果小球带电，且空间存在电场或磁场时，临界条件应是小球所受重力、电场力和洛仑兹力的合力等于向心力，此时临界速度 。要具体问题具体分析，但分析方法是相同的。

[例13] 小球A用不可伸长的细绳悬于O点，在O点的正下方有一固定的钉子B，OB=d，初始时小球A与O同水平面无初速度释放，绳长为L，为使小球能绕B点做完整的圆周运动，如图15所示。试求d的取值范围。分析与解：为使小球能绕B点做完整的圆周运动，则小球在D对绳的拉力F1应该大于或等于零，即有：

根据机械能守恒定律可得

由以上两式可求得：

[例14] 如图16所示，游乐列车由许多节车厢组成。列车全长为L，圆形轨道半径为R，（R远大于一节车厢的高度h和长度l，但L>2πR）。已知列车的车轮是卡在导轨上的光滑槽中只能使列车沿着圆周运动而不能脱

轨。试问：列车在水平轨道上应具有多大初速度V0，才能使列车通过圆形轨道？

分析与解：列车开上圆轨道时速度开始减慢，当整个圆轨道上都挤满了一节节车厢时，列车速度达到最小值V，此最小速度一直保持到最后一节车厢进入圆轨道，然后列车开始加速。由于轨道光滑，列车机械能守恒，设单位长列车的质量为λ，则有：

要使列车能通过圆形轨道，则必有V>0，解得。

问题9：会讨论重力加速度g随离地面高度h的变化情况。[例15] 设地球表面的重力加速度为g，物体在距地心4R（R是地球半径）处，由于地球的引力作用而产生的重力加速度g，，则为（ ）

A. 1 B. 1/9 C. 1/4 D. 1/16

分析与解：因为g= G，g， = G，所以=1/16，即D选项正确。

问题10：会用万有引力定律求天体的质量。

通过观天体卫星运动的周期T和轨道半径r或天体表面的重力加速度g和天体的半径R，就可以求出天体的质量M。[例16] 已知地球绕太阳公转的轨道半径r=1.491011m，公转的周期T=3.16107s，求太阳的质量M。

分析与解：根据地球绕太阳做圆周运动的向心力来源于万有引力得：

G=mr（2π/T）2

M=4π2r3/GT2=1.96×1030kg

[例17] 宇航员在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球。经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为L。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G。求该星球的质量M。

分析与解：设抛出点的高度为h，第一次平抛的水平射程为x，则有x2+h2=L2

由平抛运动规律得知，当初速度增大到2倍时，其水平射程也增大到2x，可得 （2x）2+h2=（L）2

设该星球上的重力加速度为g，由平抛运动的规律得： h=gt2 由万有引力定律与牛顿第二定律得：mg= G联立以上各式解得M=。

问题11：会用万有引力定律求卫星的高度。

通过观测卫星的周期T和行星表面的重力加速度g及行星的半径R可以求出卫星的高度。

[例18] 已知地球半径约为R=6.4106m，又知月球绕地球的运动可近似看

作匀速圆周运动，则可估算出月球到地球的距离约 m。（结果只保留一位有效数字）

分析与解：因为mg= G，而G=mr（2π/T）2所以，r= =4108m

问题12：会用万有引力定律计算天体的平均密度。

通过观测天体表面运动卫星的周期T，就可以求出天体的密度ρ。[例19] 如果某行星有一颗卫星沿非常靠近此恒星的表面做匀速圆周运动的周期为T，则可估算此恒星的密度为多少?

分析与解：设此恒星的半径为R，质量为M，由于卫星做匀速圆周运动，

则有G=mR，所以，M=

而恒星的体积V=πR3，所以恒星的密度ρ==。

[例20] 一均匀球体以角速度ω绕自己的对称轴自转，若维持球体不被瓦解的唯一作用力是万有引力，则此球的最小密度是多少？

分析与解：设球体质量为M，半径为R，设想有一质量为m的质点绕此球体表面附近做匀速圆周运动，则

G=mω02R，所以，ω02=πGρ

由于ω≤ω0得ω2≤πGρ，则ρ≥，即此球的最小密度为。

问题13：会用万有引力定律推导恒量关系式。[例21] 行星的平均密度是，靠近行星表面的卫星运转周期是T，试证明：T2是一个常量，即对任何行星都相同。

证明：因为行星的质量M=（R是行星的半径），行星的体积V=R3，所以行星的平均密度==，

即T2=，是一个常量，对任何行星都相同。

[例22] 设卫星做圆周运动的轨道半径为r，运动周期为T，试证明：是一个常数，即对于同一天体的所有卫星来说，均相等。

证明：由G= mr(2π/T)2得=，即对于同一天体的所有卫星来说，均相等。

问题14：会求解卫星运动与光学问题的综合题

[例23]（2004年广西物理试题）某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，试问，春分那天（太阳光直射赤道）在日落12小时内有多长时间该观察者看不见此卫星？已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g，地球自转周期为T，不考虑大气对光的折射。

分析与解：设所求的时间为t，用m、M分别表示卫星和地球的质量，r表示卫星到地心的距离。有

春分时，太阳光直射地球赤道，如图17所示，图中圆E表示赤道，S表示卫星，A表示观察者，O表示地心. 由图17可看出当卫星S绕地心O转到图示位置以后（设地球自转是沿图中逆时针方向），其正下方的观察者将看不见它. 据此再考虑到对称性，有

由以上各式可解得

【模拟试题】（答题时间：40分钟）

1. 地球半径为R，地面上重力加速度为g，在高空绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，其线速度的大小可能是（ ）

A. B. C. D. 2

2. 人造卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为R，线速度为V，周期为T。若要使卫星的周期变为2T，可以采取的办法是（ ）

A. R不变，使线速度变为V/2 B. V不变，使轨道半径变为2RC. 使轨道半径变为 D. 使卫星的高度增加R

3. 地球赤道上的物体重力加速度为g，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a，要使赤道上的物体“飘”起来，则地球的转速应为原来的（ ）

A. g/a倍 B.倍 C. 倍 D. 倍

4. 同步卫星离地距离r，运行速率为V1，加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为V2，地球半径为R，则（ ）

A. a1/a2=r/R B. a1/a2=R2/r2 C. V1/V2=R2/r2 D. V1/V2=

5. 在质量为M的电动机飞轮上，固定着一个质量为m的重物，重物到轴的距离为R，如图所示，为了使电动机不从地面上跳起，电动机飞轮转动的最大角速度不能超过（ ）

A. B. C. D.

6. 如图所示，具有圆锥形状的回转器（陀螺），半径为R，绕它的轴在光滑的桌面上以角速度ω快速旋转，同时以速度v向左运动，若回转器的轴一直保持竖直，为使回转器从左侧桌子边缘滑出时不会与桌子边缘发生碰撞，v至少应等于（ ）

A. ωR B. ωH C. R D. R

7. 如图所示，放置在水平地面上的支架质量为M，支架顶端用细线拴着的摆球质量为m，现将摆球拉至水平位置，而后释放，摆球运动过程中，支架始终不动。以下说法正确的应是（ ）

A. 在释放瞬间，支架对地面压力为（m+M）gB. 在释放瞬间，支架对地面压力为Mg

C. 摆球到达最低点时，支架对地面压力为（m+M）gD. 摆球到达最低点时，支架对地面压力为（3m+M）g

8. 有一个在水平面内以角速度ω匀速转动的圆台，半径为R。如图所示， 圆台边缘处坐一个人，想用击中台心的目标，如果弹水平射出，出口速度为V，不计阻力的影响：则（ ）

A. 身与OP夹角成θ＝sin－1（ωR／v）瞄向圆心O点的右侧B. 身与OP夹角成θ＝sin－1（ωR／v）瞄向圆心O点的左侧C. 身与OP夹角成θ＝tg－1（ωR／v）瞄向圆心的左侧D. 身沿OP瞄准O点

9. 某飞行员的质量为m，驾驶飞机在竖直面内以速度V做匀速圆周运动，圆的半径为R，在圆周的最高点和最低点比较，飞行员对坐椅的压力最低点比最高点大（设飞行员始终垂直坐椅的表面）（ ）

A. mg B. 2mg C. mg+ D.

10. 一飞机以150m/s的速度在高空中水平匀速飞行，相隔1s先后释放A、B两物，A、B在运动过程中它们的位置关系下述正确的是（ ）

A. B总在A的前方，水平方向距离为150m B. A总在B的正下方5m处

C. B总在A的前斜上方 D. 以上说法都不对

11. 河水流速为4m/s，AB是河岸上的两点，其大小为河宽的3倍，要使船从A出发驶向与B正对的彼岸C位置，则船速至少应为 m/s。12. 如图所示，光滑斜面长为a，宽为b，倾角为θ，一小物体沿斜面上方顶点P水平射入，从右下方顶点Q离开斜面，试求其入射的初速度V0。

13. 如图所示，长为L的细绳，一端系有一质量为m的小球，另一端固定在O点。细绳能够承受的最大拉力为7mg。现将小球拉至细绳呈水平位置，然后由静止释放，小球将在竖直平面内摆动。如果在竖直平面内直线OA（OA与竖直方向的夹角为θ）上某一点钉一个小钉，为使小球可绕点在竖直平面内做圆周运动，且细绳不致被拉断，求的长度d所允许的范围。

【试题答案】

1. BC 2. C 3. B 4. AD 5. B 6. D 7. BD 8. A 9. B 10. D. 11.

12. 解：题中小球在立体斜面上做类平抛运动，沿斜面方向的加速度a=gsinθ，由平抛运动规律得到：和b=V0t，即

13. 解：为使小球能绕点做完整的圆周运动，则小球在最高点D对绳的拉力F1应该大于或等于零，即有： ①

根据机械能守恒定律可得： ②

因为小球在最低点C对绳的拉力F2应该小于或等于7mg，即有：

③

根据机械能守恒定律可得： ④由①②③④式解得：。