围线积分的计算及巧妙运用

滕岩梅

【摘 要】The calculation of contour integral has been widely used in the complex variable function and the integral transform ,and it is important to the subsequent course .In this paper ,the problems that we should pay attention in integral calculation and the computational method are summarized .Some complex problems are solved by Cauchy integral theorem .%围线积分的计算在复变函数与积分变换中被广泛使用 ,对后继课程的学习非常重要 .本文将积分计算中需注意的问题和计算方法详加总结 ,并应用柯西积分定理解决一些复杂问题 . 【期刊名称】《大学数学》 【年(卷),期】2015(031)005 【总页数】6页(P66-71)

【关键词】围线积分;单连通区域柯西积分公式;柯西积分定理;高阶导数公式 【作 者】滕岩梅

【作者单位】北京航空航天大学数学与系统科学学院 ,北京 100190 【正文语种】中 文 【中图分类】O177.6

围线积分是复变函数与积分变换的主要内容之一，其应用也非常广泛，在工程中很多领域都有涉及.首先，阐述围线积分的几种计算方法.

首先要注意被积函数解析性，可分下面几种情况： 例1 计算围线积分z.

解 因为被积函数在整个复平面上有两个不解析的点，均在积分区域外部. 由单连通区域内的柯西积分定理，积分值为零.

此积分看起来似乎可以用参数方程计算定积分的方法，但明显计算上要复杂得多. 此时可根据被积函数的表示形式，用不同的公式运算. (i) 若被积函数为的形式可用重要公式 例2 计算围线积分z. 解 由重要公式知

注意这里的积分曲线均可换为包含z0的封闭曲线，而积分结果不变. 另外，还需注意若积分曲线改为任意不包含z0的封闭曲线，例如等，则由单连通区域的柯西积分定理，积分值为零.

(ii) 若被积函数为的形式可用柯西积分公式

例3 计算围线积分dz,其中C为包含1的任意封闭曲线. 解e.

(iii) 若被积函数为的形式可用高阶导数公式

例4 计算围线积分dz,其中C为包含1的任意封闭曲线. 解e.

这时，需要用多连通区域的柯西积分定理,将沿原曲线积分转化为沿小曲线积分和，每个小曲线内只包含被积函数的一个不解析的点. 然后用相应公式求解. 例5 计算围线积分dz其中C为包含0, 1的任意封闭曲线. 解 分别以0，1为心做互不包含、互不相交的小圆C1,C2，则

当被积函数在复平面内有有限个奇点或在积分区域内有有限个奇点时，可以用留数方法计算围线积分，围线积分对被积函数的形式没有其他要求，因此应用相对广泛.

上面我们举的围线积分的例子，都可以用留数方法计算. 例6 计算围线积分dz其中C为包含0, 1的任意封闭曲线. 解 因为被积函数在积分区域内有两个不解析的点，由留数定理

此外，对某些不能用上面方法计算的围线积分，只要满足留数定理的要求，就可以用留数方法计算. 例7 计算围线积分z.

解 因为被积函数在积分区域内只有一个奇点0，所以

单连通区域柯西积分定理被称为单复变的钥匙，在理论体系的建立方面其重要性不容忽视.利用这一定理可以引入不定积分,简化计算，此定理的推广形式：多连通区域柯西积分定理可以帮助解决更多围线积分问题.

此定理也是计算复积分的切实有效的方法.对于一些复杂的复积分，可以利用单连通区域的柯西积分定理,将之转化为简单积分或已知积分进行运算. 例8[1] 求其中C是连接0到点(0,2πa)的摆线:

解 由图1知，直线段L与C构成一条闭曲线.因为2z2+8z+1在全平面上解析，则

例9[2] 已知求f(t)=e-t2的傅立叶变换. 解 由傅立叶变换的定义，f(t)的傅立叶变换为

利用单连通区域柯西积分定理可以推导出几类实积分的计算公式.例如形如f(x)dx的实积分，其计算公式证明如下.

定理2 设f(z)在整个复平面Z上除有限个奇点外均解析,且这些奇点不在实轴上.如果存在一个常数M与正数R以及α>1,使得对于一切|z|≥R,有

证 令r>R,考虑曲线Cr=[-r,r]∪Γr,其中Γr为上半圆周，使得f(z)在上半平面内的全部奇点都包含在Cr中,于是由留数定理有 左边的积分又等于

为了证明结论成立,我们只须证明,当r→+∞,(1)式左端第二个积分趋于零,因为 拉普拉斯逆变换公式为

定理3 设是F(s)的所有有限奇点,适当选取a使这些奇点全在Re(s)例10 求函数的拉普拉斯逆变换.

解 因为在整个复平面上有3个奇点i,-i,0，分别为一级、一级和三级极点，由上面定理知 ″.

解 由反z变换的公式以及求围线积分的留数定理，有

围线积分在许多学科分支、应用领域都有着广泛应用.而对于其计算除了上述方法外，我们还有级数法等，在此不一一列举.

【相关文献】

[1] 高宗升，滕岩梅. 复变函数与积分变换[M].5版.北京：北京航空航天大学出版社，2010. [2] Saff E B,Snider A D. Fundamentals of Complex Analysis With Applications to Engineering and Science[M]. Beijing：China Machine Press，2005.

[3] 张华林，周小方.“信号与系统”课程逆z变换的两个方法[J]. 漳州师范学院学报，2013(2)：47-49.