理科零诊模拟题

数学试卷(理科)

注意：试卷满分为150分，时间120分钟，将答案填在答题卡上，交卷只交答题卡.

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．已知集合A{xR|3x20}，A{xR|(x1)(x3)0}，则AB( )

A．(,1) B．(1,) C．(232,3) 3D．(3,)

2.在复平面内,复数i(2i)对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

23．已知命题p:xR,x2命题q:xR,x0，则（ ） A．命题p是真命题 B．命题q是真命题

C．命题pq是假命题 D．命题pq是真命题

111,cos()＝－,则＝( ) 7145A． B． C． D．以上答案都不对

34125．阅读右边的程序框图． 若输入n5, 则输出k的值为 ( ) A．2 B．3 C．4 D．5

4．已知、为锐角，且cos＝

6．函数yloga(xax1)有最小值，则实数a的取值范围是( ) A.0a1 B.0a2且a1 C.1a2 D.a2 7．设a,b,c是空间三条直线，,是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不正确的是（ ）

A．当c时，若c，则// B．当b时，若b，则

C．当b,a且c是a在内的射影时，若bc，则ab D．当b且c时，若c//，则b//c 8．函数yxcosxsinx的图象大致为（ ）

否k＝k＋1 2开始 输入n k=0 n=3n+1 n>150? 是 输出k 结束

A． B． C． D．

9．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a,b，共可得到lgalgb的

不同值的个数是（ ） A．9

B．18

C．10

D．1

x2y210．在椭圆221(ab0)中，F，A，B分别为其左焦点，右顶点，上顶点，O为

ab坐标原点，M为线段OB的中点，若FMA为直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A．52

B．

51 2C．

25 5D．

5 5第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．(x16)的二项展开式中的常数项为___ ． x12．在等差数列an中,已知a3a810,则3a5a7 ． 13．已知正数a、b满足3a2b9,则

12的最小值为 ． ab14．一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何

体的体积为 ．

15．具有相同定义域D的函数f(x)和g(x)，若对任意的xD，都有f(x)g(x)1，则称f(x)和g(x)在D上是“密切函数”.给出定义域均为D{x|1x3}的四组函数： ①f(x)x2x1,g(x)3x2 ②f(x)x3x,g(x)3x2x1 ③f(x)log2(x1),g(x)3x 313sin(x),g(x)cosxsinx 2334343其中,函数f(x)与g(x)在D上为“密切函数”的是 ． ④f(x)三、解答题（本大题共6个小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.） 16. （本小题满分12分）

已知{an}为等比数列，a11,a427.Sn为等差数列{bn}的前n项和，b13,S535.

（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；

（Ⅱ）设Tna1b1a2b2anbn，求Tn.

17.（本小题满分12分）

在ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c已知向量m(cosA,cosB) n(a,2cb),且

m//n．

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若a4,求ABC面积的最大值.

18. （本小题满分12分）

梯形ACPD中，AD//CP,PDAD,CBAD，DAC图①；现将其沿BC折成如图②的几何体，使得AD6. （Ⅰ）求直线BP与平面PAC所成角的正弦值； （Ⅱ）求二面角CPAB的余弦值.

19. （本小题满分12分）

4，PC=AC2，如

DPDBABP图①

CC图②

A为了拓展网络市场，腾讯公司为QQ用户推出了多款QQ应用，如“QQ农场”、“QQ音乐”、“QQ读书”等.某校研究性学习小组准备举行一次“QQ使用情况”调查，从高二年级的一、二、三、四班中抽取10名学生代表参加,抽取不同班级的学生人数如下表所示:

班级 人数 一班 2人 二班 3人 三班 4人 四班 1人 （Ⅰ） 从这10名学生中随机选出2名，求这2人来自相同班级的概率；

（Ⅱ）假设在某时段，三名学生代表甲、乙、丙准备分别从QQ农场、QQ音乐、QQ读书中任意选择一项，他们选择QQ农场的概率都为选择QQ读书的概率都为

11；选择QQ音乐的概率都为；631；他们的选择相互.设在该时段这三名学生中选择2QQ读书的总人数为随机变量,求随机变量的分布列及数学期望E.

20. （本小题满分13分）

x2y221(0b22)的左、右焦点分别为F1和F2 ，以F1 、F2为直径已知椭圆

8b的圆经过点M（0，b）. （Ⅰ）求椭圆的方程；

21. （本小题满分14分）

（Ⅱ）设直线l与椭圆相交于A，B两点，且MAMB0.求证：直线l在y轴上的截距为定值.

已知函数f(x)ln(exa)（a为常数）是实数集R上的奇函数. （Ⅰ）求实数a的值；

（Ⅱ）讨论关于x的方程lnxf(x)(x22exm)的根的个数.

ln(221)ln(321)ln(n21)2n2n1(nN*,n2). （Ⅲ）证明：22223n2(n1)

16.（Ⅰ）an1n3， 3分） （

bn2n1． （6分） （Ⅱ）Tn31532n13n22n13n1 ① 3Tn335322n13n12n13n ②

①-②得：2Tn323323n12n13n （9分）

整理得：Tnn3n （12分） 17．解析：（I） 因为m//n．，所以，acosB(2cb)cosA0，由正弦定理，得：

sinAcosB(2sinCsinB)cosA0，所以

sAiBn CcA即sinAcosBsinBcosA2sinCcosA，所以，sin（A+B）＝2sinCcosA

又A＋B＋C＝，所以，sinC＝2sinCcosA，因为0＜C＜，所以sinC＞0， 所以cosA＝

BA1，又0＜A＜，所以A＝。 23（2）由余弦定理，得：a2b2c22bccosA，所以16＝b2c2bcbc，所以bc≤16，当且仅当b＝c＝4时，上式取“＝“，所以，△ABC面积为S＝所以△ABC面积的最大值为43 18. 17、解：（Ⅰ）由题意，PC=AC=2,ABBC=2,BD=2，

1 bcsinA≤43，

2AD=6.在ABD中，∵AB2DB2AD2，∴BDBA，

∴BD、BA、BC两两垂直，分别以BC、BA、BD所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Bxyz（如图）.A(0,2,0),B(0,0,0),C(2,0,0),P(2,0,2).

设平面PAC的法向量为n(x,y,z)，CA(2,2,0)，CP(0,0,2)，

CA0xy0n，取n(1,1,0) CP0z0n设直线BP与平面PAC成的角为，

zDPBPn26则sin 626BPnBC xA y直线BP与平面PAC成的角为arcsin6 6AP(2,2,2),BC(2,0,0).

（Ⅱ）设平面PAB的法向量为m(x,y,z)，

AB(0,2,0),AP(2,2,2).

2y0,y0,ABm0, x2z.APm0.2x2y2z0.令z1,m(2,0,1). 由（Ⅰ）知平面PAC的法向量为令n(1,1,0).

cosm,nmn23 mn332由图知二面角CPAB为锐角， ∴二面角CPAB大小的余弦值为

3. 319、解：(I)记这两名学生都来自第i班为事件Ai(i1,2,3,4)

2C21C323则PA12；PA22；

C1045C10452C46PA32；PA40．

C1045∴PPA1PA2PA3PA4（Ⅱ）的取值为0,1,2,3．

102． 45931111P(0)；P(1)C3； 282811331P(2)C；P(3)C3． 2828233333的分布列为： 

0

1 2 3

133 88813313E0123．

888823或Enp．

2P()

1 8x2y220（1）由题设知bc，又a22，所以bc2，故椭圆方程为1；„„

842分

（2）因为M(0,2)，所以直线l与x轴不垂直.设直线l的方程为ykxm，

x2y21222A(x1,y1),B(x2,y2)由8得(2k1)x4kmx2m80，所以 4ykxm4km2m28x1x22,x1x2„„„„„„„„„„„„„„„6分 22k12k1又MAMB0，所以(x1,y12)(x2,y22)0，即x1x2y1y22(y1y2)40，

x1x2(kx1m)(kx2m)2(kx1mkx2m)40，

整理得(k21)x1x2k(m2)(x1x2)(m2)20，

2m284km2k(m2)()(m2)0，„„„„„„„„„10分 即(k1)222k12k12因为m2，所以2(k1)(m2)4km(2k1)(m2)0， 展开整理得3m20，即m分

21、解：（Ⅰ）∵f(x)f(x),∴ln(exa)ln(exa)

22222.直线l在y轴上的截距为定值.„„„„„„„12331xxa(eea)0 ∴a0 -------------2分 xealnx(xe)2me2 （Ⅱ）lnxx(x22exm)xlnx,(x)(xe)2me2 令h(x)x11lnxeh(x)(e,)h(x)h(e)h(x),∴在（0，）上递增，上递减，∴ max2ex∴exa(x)为二次函数在（0，e）上递减，，(e,)上递增，∴(x)minme2-

112 即：me，无解 ee1122 me 即：me，有一解

ee1122 me 即：me，有二解 ………………..8

ee故me2（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知当me21时(x)(xe)21，(x)minme1，此时

2(x)minh(x)max恒成立，

∴h(x)(x)min1，即

lnx1,lnxx恒成立， x∴当n2时有ln(n21)n21

ln(n21)n211 ∴1222nnnln(221)ln(321)ln(n21)11(n1)()2222223n2n11111(n1)()(n1)()……………………………

2334(n1)n2(n1)2n2n12(n1)………14