三明

2012年三明市普通高中毕业班质量检查

文 科 数 学

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的．

1．已知集合M{x1x1},N{0,1,2}，则MN为

A．{1} B．{0,1} C．{0,1,2} D．{x|0x1}

22．“x1”是“x1”的

A．充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 3．已知平面向量a(3,1),b(x,3)，若ab，则实数x等于 A．3 B．1 C．1 D．3

4．已知i是虚数单位，且复数m(m1)(m1)i是纯虚数，则实数m的值为 A． 1 B．1 C．0或1 D．0

5．阅读如图所示的程序框图，运算相应程序，若输入的m1，则输出m应为 A．1 B． 2 D． 4

C． 3

开始 16．已知0x1，若ax,b,cx．则

x2输入m A．abc B．bca C．cba D．cab 7．若是第四象限角，且tanmlgm1 否 输出m 是 5，则sin 121515A． B． C． D．

5135138．已知m,n是两条不同的直线，,,是三个不同的 平面，下列命题正确的是

A．若m//,n//，则m//n． B．若,，则//． C．若m//,m//，则//． D．若m,m，则//．

数学（文科）试题 第1页（共6页）

mm1 结束 （第5题图）

9．如图是甲、乙两个学生的8次数学单元考试成绩的茎叶图．现有如下结论： ①X甲＝X乙； ②乙的成绩较稳定； ③甲的中位数为83； ④乙的众数为80。

（第9题图） 则正确的结论的序号是

A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④

x10．已知函数g(x)2g(x)(x0)1，若f(x)，则函数f(x)在定义域内 2xg(x)(x0)

B．有最大值，但无最小值． D．既无最大值，又无最小值．

A．有最小值，但无最大值．

C．既有最大值，又有最小值．

11．若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A5,0，B5,0距离之差为8，则称曲线C为“好曲

线”．以下曲线不是“好曲线”的是 ．．

x2y21 D．x216y A．xy5 B．xy9 C．

2592212．已知线段PP1P2|1，对于自然数n(n3)有P12，|Pn2Pn2PnPn1，则

|PP|P|P2||P134|PP35nPn|2 |A．

1 2 B．

2 3 C． 1

D．

3 2

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡相应位置．

13．已知圆C:x2y26x6y170，过原点的直线l被圆C所截得的弦长最长，则直线l的方程

是 ．

14．在ABC中，A60，a206，b2，则B的大小为 ．

15．若a[0,3]，则函数f(x)x2axa有零点的概率为 ．

16．袋内有50个球，其中红球15个，绿球12个，蓝球10个，黄球7个，白球6个．任意从袋内摸球， 要使一次摸出的球中，一定有8个同色的球，那么从袋内摸出的球的只数至少应是 个．

数学（文科）试题 第2页（共6页）

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)

已知数列{an}满足an11an1(nN*)． 2（Ⅰ）若a12，求证数列{an2}是等比数列；

（Ⅱ）若数列{an}是等差数列，bnan()，求数列{bn}的前n项和Sn．

18．(本小题满分12分)

某食品厂对生产的某种食品按行业标准分成五个不同等级，等级系数X依次为A，B，C，D，

12nE．现从该种食品中随机抽取20件样品进行检验，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表

如下：

X 频率 A B 0.2 C 0.45 D E a b c （Ⅰ）在所抽取的20件样品中，等级系数为D的恰有3件，等级系数为E的恰有2件，求a,b,c的 值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，将等级系数为D的3件样品记为x1,x2,x3，等级系数为E的2件样品记 为y1,y2，现从x1,x2,x3,y1,y2这5件样品中一次性任取两件(假定每件样品被取出的可能性相

同)，试写出所有可能的结果，并求取出的两件样品是同一等级的概率．

数学（文科）试题 第3页（共6页）

19．(本小题满分12分)

如图1，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，E是AD的中点．现截去部分几何体后得到如图2所示的四棱锥AA1B1CD． （Ⅰ）求四棱锥AA1B1CD的体积； （Ⅱ）求证：AB1//面A1EC．

20．(本小题满分12分)

已知函数f(x)sin(xA 图1

B A

A1 D1 BCA1 B1

D C

D E 图2

C

x)3cos2． 32（Ⅰ）将函数f(x)的图象向上平移大值；

个单位后得到函数g(x)的图象，求g(x)的最 2x3（Ⅱ）设D(x,y)|y3，若PD，问：是否存在直线OP(O为坐标原点)，使得该直

xy5线与曲线yf(x)相切？若存在，求出直线OP的方程；若不存在，请说明理由．

数学（文科）试题 第4页（共6页）

21．(本小题满分12分)

x2y2M、N分别是直线已知F1、F2分别是椭圆C:221（ab0）的左、右焦点，

abl:xym（m是大于零的常数）与x轴、y轴的交点，线段MN的中点P在椭圆C上． ab（Ⅰ）求常数m的值；

（Ⅱ）试探究直线l与椭圆C是否还存在异于点P的其它公共点？请说明理由；

（Ⅲ）当a2时，试求PF1F2面积的最大值，并求PF1F2面积取得最大值时椭圆C的方程．

数学（文科）试题 第5页（共6页）

22．(本小题满分14分)

已知函数fxxxa，a是大于零的常数． （Ⅰ）当a1时,求f(x)的极值；

（Ⅱ）若函数f(x)在区间1,2上为单调递增，求实数a的取值范围；

(Ⅲ)证明：曲线yf(x)上存在一点P，使得曲线yf(x)上总有两点M,N，且MPPN成立 ．

2数学（文科）试题第6页（共6页）

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文科数学参考答案及评分标准

题号 答案 1 B 2 B 3 C 4 D 5 C 6 B 7 A 8 D 9 C 10 A 11 B 12 C 13．xy0 14．45 15．17．解：（Ⅰ）由an12 16．35 311an1得an12(an2)，a12，a120， 22an121(n1,nN)

an221为公比的等比数列．------------------------------5分 211（Ⅱ）解法一：由an1an1，及anan11(n2)，

221两式相减，得an1an(anan1)．

2所以{an2}是以a12为首项，

又{an}是等差数列，于是an1ananan1d，

1d，解得d0， 21于是ana1，代入an1an1得a12，于是an2(nN*)．---------------9分

211bnan()n()n1，

2211(1()n)112于是Sn2(1()n)2()n1．---------- ---------------12分

12212所以d解法二：∵{an}是等差数列，∴设an1and（d为常数）， 即an1an(an1)andan2(1d)

从而{an}是常数列，公差d0，故an2．-----------------------------------9分

下同解法一．

18．解：（Ⅰ）由频率分布表得a0.20.45bc1，即abc0.35.

因为抽取的20件样品中，等级系数为D的恰有3件，所以b等级系数为E的恰有2件，所以c1230.15. 2020.1. 20数学（文科）试题 第7页（共6页）

从而a0.35bc0.1。

所以a0.1,b0.15,c0.1. -----------------------------------------6分 （Ⅱ）从样品x1,x2,x3，y1,y2中任取两件，所有可能的结果为：

(x1,x2)，(x1,x3)，(x1,y1)，(x1,y2)，

(x2,x3)，(x2,y1)，(x2,y2)，(x3,y1)，(x3,y2)，(y1,y2)，共计10个

设事件A表示“从样品x1,x2,x3，y1,y2中任取两件，其等级系数相等”， 则A包含的基本事件为：(x1,x2)，(x1,x3)，(x2,x3)，(y1,y2)，共4个． 故所求的概率P(A)40.4. ---------------------------------------12分 1019．解：（Ⅰ）如图，将几何体补形成正方体，-----------------------------------------3分

则VAA1B1CDV正方体AC1VA1DD1B1CC1VB1ABCa（Ⅱ）在正方体AC1中，截面A1B1CD是矩形， 连接A1C,B1D，交于O，则O为B1D中点。

又E是AD的中点，连接OE，则OE是AB1D的中位线，于是AB1//OE， 又OE面A1EC， A1B面A1EC，于是AB1//面A1EC。-------------12分

A E B A

E D A1 O C

D B1 A1 B1

D1 C1

3131313aaa--------7分 263O C x1320．解：(Ⅰ)函数f(x)sin(x)3cos2sinx，-------------3分

3222所以g(x)f(x)从而(g(x))max31sinx， 221，此时x2k(kz)．-----------------------------------6分 22数学（文科）试题 第8页（共6页）

x3 (Ⅱ)由y3知，区域D如右图所示．

xy5于是直线OP的斜率的取值范围是kOP[,]，

---------------------------------------9分

又由

y 5 3 2332P 5 O 3 x 13知，f(x)sixn22f(x)12，coxs于是

11f(x)[,]，

2212，所以直线OP不可能与函数yf(x)的图象相切．-------------12分 23mamb,)， 21．解：（Ⅰ）由已知可得M(ma,0)、N(0,mb)，故MN的中点为P(22因为

m2m21，所以m2．---------------------4分 又点P在椭圆C上，∴44（Ⅱ）（解法一）由（Ⅰ）得l:22xy2， ab222y N P 2bx22abxab0，与方程C联立得： 即2x22axa0， 由于(22a)242a20，

22F1 O F2 M x

∴此方程有两个相等实根x2a， 22a2b,)， 22故直线l与椭圆C相切，切点为P(除此之外，不存在其他公共点． ----------------------------------------------8分

（解法二）由（Ⅰ）得l:xy2，与方程C联立得： abx2y2xyxyxy2,2,22,ababa2b2ab所以2则 222xy1xy,xy1,1,2222ab2baba数学（文科）试题 第9页（共6页）

∴和

xay12是方程x2x0的两根，

2b2又(2)41xy20，∴此方程有两个相等实根，即， 2ab2∴直线l与椭圆C的公共点是唯一的点P(22a,b)， 22即除点P以外，不存在其他公共点．-----------------------------------------------------8分 （Ⅲ）当a2时，SPF1F2122|F1F2|bcb， 222所以SPF1F22b2c222a2， 224当且仅当bc2时，等式成立，故(SPF1F2)max2 x2y21．-------------------------------------------------12分 此时，椭圆C的方程为：4232222．解：（Ⅰ）fxxxax2axax

2fx3x24axa2，当a1，fx3x24x13x1x1

令fx0，得x11,x21， 311f(x)在区间(0,)，(,1)，(1,)上分别单调递增，单调递减，单调递增，

33于是当x114时，有极大值f()；当x1时有极小值f(1)0．------------4分 332722（Ⅱ）fx3x4axa，若函数f(x)在区间1,2上为单调递增，

则fx3x4axa0在x1,2上恒成立，

22当032a1，即a时，由f134aa20得0a1；

232a32aa22，即a3时，f0，无解； 当13233当

2a2，即a3时，由f2128aa20得a6． 3综上，当函数f(x)在区间1,2上为单调递增时，0a1或a6．--------10分

数学（文科）试题 第10页（共6页）

322（Ⅲ）fxxxax2axax，fx3x24axa2，

2令fx0，得x1a,x2a， 3aafx在区间(,)，(,a)，(a,)上分别单调递增，单调递减，单调递增，

33aa4a3于是当x时，有极大值f()；

3327当xa时，有极小值fa0．

a432a2,a),B(a,0), AB的中点P(,a3), 327327443ay)， 设M(x,y)是图象任意一点,由MPPN，得N(ax,3274443224因为f(ax)(ax)2a(ax)a(ax) 33334343ax32ax2a2xay， 2727N由此可知点在曲线yf(x)上，即满足MPPN的点N在曲线C上．

记A(所以曲线yf(x)上存在一点P(2a23,a)，使得曲线yf(x)上总有两点M,N，且MPPN327成立 ． ------------------------------------14分

数学（文科）试题 第11页（共6页）