[学习目标］ 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．
知识点一 线性规划中的基本概念
名 称 约束条件 线性约束条件 目标函数 线性目标函数 可行解 可行域 最优解 线性规划问题
知识点二 线性规划问题 1．目标函数的最值
线性目标函数z＝ax＋by (b≠0)对应的斜截式直线方程是y＝－错误!x＋错误!，在y轴上的截距是错误!，当z变化时，方程表示一组互相平行的直线． 当b〉0,截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值； 当b〈0，截距最大时，z取得最小值，截距最小时,z取得最大值．
意 义 关于变量x，y的一次不等式(组） 关于x，y的一次不等式(组） 欲求最大值或最小值的关于变量x，y的函数解析式 关于变量x，y的一次解析式 满足线性约束条件的解（x，y) 由所有可行解组成的集合 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 2．解决简单线性规划问题的一般步骤
在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为:“画、移、求、答”四步，即,
(1)画：根据线性约束条件,在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形,也可以是一侧开放的无限大的平面区域．
(2)移:运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解．
（3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值． （4)答：写出答案．
知识点三 简单线性规划问题的实际应用 1．线性规划的实际问题的类型
(1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；
(2)给定一项任务，问怎样统筹安排,使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小． 常见问题有： ①物资调动问题
例如,已知两煤矿每年的产量,煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？ ②产品安排问题
例如，某工厂生产甲、乙两种产品,每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？ ③下料问题
例如,要把一批长钢管截成两种规格的钢管,应怎样下料能使损耗最小？ 2．解答线性规划实际应用题的步骤
(1)模型建立:正确理解题意,将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时,仔细体会范例给出的模型建立方法．
(2)模型求解:画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．
(3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．
题型一 求线性目标函数的最值
例1 已知变量x,y满足约束条件错误!则z＝3x＋y的最大值为（ ） A．12 C．3 答案 B
解析 首先画出可行域,建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可．如图中的阴影部分,即为约束条件对应的可行域，当直线y＝－3x＋z经过点A时，z取得最大值．由错误!⇒错误!此时z＝3x＋y＝11.
B．11 D．－1
跟踪训练1 （1）x，y满足约束条件错误!若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数．．．a的值为（ ) A.错误!或－1 C．2或1
B．2或错误! D．2或－1
(2）若变量x，y满足约束条件错误!则z＝3x＋y的最小值为________． 答案 (1)D （2）1
解析 (1)如图,由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距，
故当a>0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一,则a＝2； 当a<0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1。
(2）由题意,作出约束条件组成的可行域如图所示，当目标函数z＝3x＋y,即y＝－3x＋z过点（0,1）时z取最小值1.
题型二 非线性目标函数的最值问题 例2 设实数x，y满足约束条件错误!求 (1）x2＋y2的最小值； （2)错误!的最大值．
解 如图，画出不等式组表示的平面区域ABC，
(1)令u＝x2＋y2，其几何意义是可行域ABC内任一点(x，y)与原点的距离的平方． 过原点向直线x＋2y－4＝0作垂线y＝2x,则垂足为错误!的解，即错误!， 又由错误!得C错误!，
所以垂足在线段AC的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为｜OC|＝ 错误!＝错误!，
所以，x2＋y2的最小值为错误!.
(2)令v＝错误!，其几何意义是可行域ABC内任一点（x，y）与原点相连的直线l的斜率为v，即v＝错误!.由图形可知,当直线l经过可行域内点C时，v最大， 由（1)知C错误!，
3
所以vmax＝，所以错误!的最大值为错误!。
2
跟踪训练2 已知x，y满足约束条件错误!则（x＋3）2＋y2的最小值为________．
答案 10
解析 画出可行域（如图所示)．(x＋3)2＋y2即点A（－3,0）与可行域内点（x，y）之间距离的平方．显然AC长度最小，
∴AC2＝(0＋3）2＋(1－0）2＝10，即(x＋3)2＋y2的最小值为10。 题型三 线性规划的实际应用
例3 某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A，B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？
解 设每天分别生产甲产品x桶，乙产品y桶,相应的利润为z元，于是有错误!z＝300x＋400y， 在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线
300x＋400y＝0，平移该直线,当平移到经过该平面区域内的点（4，4)时，相应直线在y轴上的截距达到最大，此时z＝300x＋400y取得最大值，
最大值是z＝300×4＋400×4＝2 800， 即该公司可获得的最大利润是2 800元．
反思与感悟 线性规划解决实际问题的步骤：①分析并根据已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域;⑤利用线性目标函数（直线)求出最优解；⑥实际问题需要整数解时,应适当调整，以确定最优解．
跟踪训练3 预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1。5倍，问桌子、椅子各买多少才行?
解 设桌子、椅子分别买x张、y把，目标函数z＝x＋y， 把所给的条件表示成不等式组,即约束条件为 错误!
由错误!解得错误! 所以A点的坐标为错误!。 由错误!解得错误! 所以B点的坐标为错误!。
所以满足条件的可行域是以A错误!，B错误!， O（0,0)为顶点的三角形区域（如图)．
由图形可知，目标函数z＝x＋y在可行域内的最优解为B错误!， 但注意到x∈N*,y∈N*, 故取错误!
故买桌子25张,椅子37把是最好的选择．
1．若直线y＝2x上存在点(x，y)满足约束条件错误!则实数m的最大值为( ） A．－1 B．1 C.错误! D．2
2．某公司招收男职员x名，女职员y名,x和y需满足约束条件错误!则z＝10x＋10y的最大值是（ ) A．80 C．90
B．85 D．95
3．已知实数x，y满足
｛
y≤1，
x≤1，，x＋y≥1，
则z＝x2＋y2的最小值为________．
一、选择题
1．若点（x, y）位于曲线y＝｜x｜与y＝2所围成的封闭区域, 则2x－y的最小值为( ) A．－6 B．－2 C．0 D．2
2．设变量x,y满足约束条件错误!则目标函数z＝3x－y的最大值为( ） A．－4 B．0 C.错误! D．4 3．实数x，y满足错误!则z＝错误!的取值范围是（ ) A．[－1，0]
B．(－∞，0]
C．[－1，＋∞） D．［－1,1)
4．若满足条件错误!的整点(x，y)(整点是指横、纵坐标都是整数的点）恰有9个，则整数a的值为（ )
A．－3 B．－2 C．－1 D．0
5．已知x，y满足错误!目标函数z＝2x＋y的最大值为7,最小值为1,则b，c的值分别为( ） A．－1,4 C．－2，－1
6．已知x，y满足约束条件错误!使z＝x＋ay(a＞0)取得最小值的最优解有无数个,则a的值为（ ）
A．－3 B．3 C．－1 D．1
二、填空题
7．若x，y满足约束条件错误!则z＝x＋2y的取值范围是________．
8．已知－1≤x＋y≤4且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是________（答案用区间表示）．
9．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组错误!给定．若M(x，y）为D上的动点，点A的坐标为(2，1)，则z＝错误!·错误!的最大值为________．
10．满足｜x|＋|y｜≤2的点（x，y)中整点(横纵坐标都是整数）有________个．
11．设实数x,y满足不等式组错误!则z＝|x＋2y－4｜的最大值为________． 三、解答题
B．－1，－3 D．－1，－2
12．已知x，y满足约束条件错误!目标函数z＝2x－y,求z的最大值和最小值．
13．设不等式组错误!表示的平面区域为D。若指数函数y＝ax的图象上存在区域D上的点,求a的取值范围．
14．某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0。1 m3，五合板2 m2,生产每个书橱需要方木料0.2 m3,五合板1 m2，出售一张方桌可获利润80元,出售一个书橱可获利润120元． （1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？ （2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？ (3)怎样安排生产可使所得利润最大？
当堂检测答案
1．答案 B 解析 如图，
当y＝2x经过且只经过x＋y－3＝0和x＝m的交点时，m取到最大值,此时,即(m，2m）在直线x＋y－3＝0上，则m＝1。 2．答案 C
解析 该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由于x，y∈N*，计算区域内与错误!最近的点为(5，4）,故当x＝5,y＝4时，z取得最大值为90.
3．答案 错误! 解析
实数x，y满足的可行域如图中阴影部分所示,则z的最小值为原点到直线AB的距离的平方， 故zmin＝错误!2＝错误!。
课时精练答案
一、选择题 1．答案 A
解析 画出可行域，如图所示,解得A(－2,2)，设z＝2x－y，
把z＝2x－y变形为y＝2x－z， 则直线经过点A时z取得最小值； 所以zmin＝2×（－2）－2＝－6，故选A。 2．答案 D
解析 作出可行域,如图所示．
联立错误!解得错误!
当目标函数z＝3x－y移到（2,2)时,z＝3x－y有最大值4. 3．答案 D
解析 作出可行域，如图所示，
y－1
的几何意义是点（x，y）与点(0,1)连线l的斜率,当直线l过B(1,0)时kl最小，最小为－1。x
又直线l不能与直线x－y＝0平行，∴kl＜1。综上，k∈［－1，1）．
4．答案 C 解析
不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，当a＝0时，只有4个整点(1，1），（0，0），(1，0）,（2，0）．当a＝－1时，正好增加（－1，－1)，(0,－1)，(1，－1),（2，－1)，（3，－1）5个整点．故选C. 5．答案 D
解析 由题意知,直线x＋by＋c＝0经过直线2x＋y＝7与直线x＋y＝4的交点，且经过直线2x＋y＝1和直线x＝1的交点，即经过点（3，1）和点(1，－1), ∴错误!解得错误! 6．答案 D
解析 如图，作出可行域,作直线l：x＋ay＝0，要使目标函数z＝x＋ay(a＞0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x＋y＝5重合，故a＝1，选D.
二、填空题 7．答案 ［2,6]
解析 如图，作出可行域，
作直线l：x＋2y＝0，
将l向右上方平移，过点A(2，0）时，有最小值2,过点B(2，2)时，有最大值6,故z的取值范围为［2,6]．
8．答案 [3，8] 解析 作出不等式组
错误!表示的可行域,如图中阴影部分所示．
在可行域内平移直线2x－3y＝0，
当直线经过x－y＝2与x＋y＝4的交点A(3,1）时，目标函数有最小值zmin＝2×3－3×1＝3；
当直线经过x＋y＝－1与x－y＝3的交点B(1，－2）时，目标函数有最大值zmax＝2×1＋3×2＝8。
所以z∈[3,8]． 9．答案 4
解析 由线性约束条件
错误!画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z＝错误!·错误!＝错误!x＋y，将其化为y＝－错误!x＋z，结合图形可知，目标函数的图象过点（错误!，2)时，z最大，将点（错误!，2)代入z＝错误!x＋y，得z的最大值为4。
10．答案 13
解析 ｜x｜＋｜y|≤2可化为 错误!
作出可行域为如图正方形内部(包括边界)，
容易得到整点个数为13个． 11．答案 21
解析 作出可行域（如图）,即△ABC所围区域(包括边界）,其顶点为A(1，3),B（7,9),C（3,1）
方法一 ∵可行域内的点都在直线x＋2y－4＝0上方， ∴x＋2y－4＞0，
则目标函数等价于z＝x＋2y－4，
易得当直线z＝x＋2y－4在点B(7，9）处，目标函数取得最大值zmax＝21. 方法二 z＝|x＋2y－4|＝错误!·错误!，
令P(x，y)为可行域内一动点，定直线x＋2y－4＝0， 则z＝5d，其中d为P（x，y）到直线x＋2y－4＝0的距离． 由图可知,区域内的点B与直线的距离最大， 故d的最大值为错误!＝错误!. 故目标函数zmax＝错误!·错误!＝21。 三、解答题
12．解 z＝2x－y可化为y＝2x－z，z的几何意义是直线在y轴上的截距的相反数，故当z取得最大值和最小值时，应是直线在y轴上分别取得最小和最大截距的时候．作一组与l0：2x－y＝0平行的直线系l，经上下平移，可得:当l移动到l1,即经过点A(5,2）时，zmax＝2×5－2＝8.
当l移动到l2，即过点C(1,4.4)时，
zmin＝2×1－4.4＝－2.4。
13．解 先画出可行域，如图所示，y＝ax必须过图中阴影部分或其边界．
∵A(2，9)，∴9＝a2，∴a＝3。 ∵a＞1，∴1＜a≤3.
14．解 由题意可画表格如下：
书桌（张) 书橱(个）
(1）设只生产书桌x张，可获得利润z元, 则错误!⇒错误!⇒0≤x≤300.
所以当x＝300时，zmax＝80×300＝24 000(元)，
即如果只安排生产书桌,最多可生产300张书桌，获得利润24 000元． (2）设只生产书橱y个，可获得利润z元， 则错误!⇒错误!⇒0≤y≤450.
方木料(m3） 0。1 0.2 五合板（m2) 2 1 利润（元） 80 120 所以当y＝450时，zmax＝120×450＝54 000(元)，
即如果只安排生产书橱,最多可生产450个书橱，获得利润54 000元． （3）设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元， 则错误!⇒错误! z＝80x＋120y。
在平面直角坐标系内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域（如图）．
作直线l：80x＋120y＝0，即直线l:2x＋3y＝0.
把直线l向右上方平移至l1的位置时,直线经过可行域上的点M,此时z＝80x＋120y取得最大值． 由错误!
解得，点M的坐标为（100，400）． 所以当x＝100,y＝400时,
zmax＝80×100＋120×400＝56 000(元）．
因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大．
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