教学设计
一、教材依据 ：
《实际问题与二元一次方程组》是人教版义务教育课程标准实验教科书 中学数学
七年级数学第八章第三节的内容。本节课是《实际问题与二元一次方 程组》第三课时的内容。
二、设计思路： 本节主要内容是用二元一次方程组解决实际问题。例题分析与讲解时根据 学生的实际情况，为学生构造恰当的探索、研究、交流的空间，老师不能代替 学生思维，而是引导学生学会 “逐步抽象”，将实际情景中的数量关系抽象出来， 使学生分析问题和解决问题的能力通过这一具体化的途径得以提高，加深学生 对数学模型的认识。最后通过反馈练习，检查学生掌握知识的情况，让学生掌 握解决问题的方法，更好的解决实际问题。 学生在第四章《一元一次方程》中已经学习了解一元一次方程的方法，在 本章学习二元一次方程组、实际问题与二元一次方程组的基础知识后，本节课 继续学习《实际问题与二元一次方程组》 。通过本课的学习，让学生在探究如何 用二元一次方程组解决实际问题的过程中，进一步提高分析问题和解决问题的 能力。进一步感受设未知数迂回解决实际问题的策略。
教材的地位和作用：《二元一次方程组》是九年制义务教育课本七年级数学 下册第八章第一节的内容。在此之前，学生已学习了《一元一次方程》 , 这为 过渡到本节的学习起着铺垫作用。本节内容是二元一次方程组的后续部分，在 教材中起着占据承上启下的地位。
其次是教材的编写特点。教材从学生的年龄特征和知识的实际水平出发， 让学生用“观察、猜想、操作、验证、归纳”的方法探索二元一次方程。这样 符合学生的认知规律，同时也培养了学生主动探求知识的精神和思维的条理性。
本章知识是在学习了一元一次方程的应用后的又一种重要的用来表示数量 关系的数学模型，用它解决某些实际问题比用一元一次方程更简捷，但在解法 上他们又存在着相互转化的关系，在这节的教学中不仅要让学生充分认识到消 元这种思想方法的重要性，更重要的是让他们进一步体会知识的形成过程，提 高他们能准确选择模型解决问题的能力。安排这节的目的在于：一方面通过实 际生活中的问题，进一步突出方程组这种数学模型应用的广泛性和有效性；另 一方面使学生能在解决实际问题的情境中运用所学数学知识，进一步提高分析 问题和解决问题的综合能力。
学生基础分析：七年级的学生已开始能从具体事例中归纳问题的本质，学 生已初步
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掌握了本章知识，他们已经能比较熟练得求出二元一次方程组的解， 知道用二元一次方程组表示等量关系。在学习二元一次方程组的解法时，已经 借助实际问题学习了列二元一次方程组，在本节中，学生已经利用方程组为工 具进行一定深度的思考，增加运用方程组解决实际问题的实践。通过观察、分 析实际问题的含义，寻找问题中的等量关系，使把全章强调的以方程组为工具， 把实际问题模型化的思想提到新的高度。为切实提高利用方程组解决实际问题 的能力打下了基础。
三、教学目标： 知识与技能：
（1）进一步经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界 的有效数学模型；
（2）会用列表的方式分析问题中所蕴涵的数量关系，列出二元一次方程组；
（3）培养分析问题、解决问题的能力，进一步体会二元一次方程组的应用价 值．
过程与方法： 进一步经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻 画现实世界的有效数学模型。
情感态度与价值观： 通过“自主探究”与“合作交流，培养学生勤于思考， 勇于探索的精神及合作精神。
现代教学手段的运用： 多媒体课件。
四、教学重点： 用列表的方式分析题目中的各个量的关系。
五、教学难点： 借助列表分析问题中所蕴含的数量关系。正确找出问题中 的两个等量关系。
六、教学准备 ：
教师：制作多媒体课件，指导学生课前预习。 学生：在教师的指导下完成课前预习任务。
七、教学过程：
（一）、创设问题情景，导入新课：
（设计说明：以一道生活中的运货问题引入，具有现实意义。通过情景吸引学 生，激发学生的学习兴趣，学生自己动手能更好地让学生体会到运输费用问题， 为新知识学习做准备。）
导语：前面我们利用二元一次方程组解决了许多实际问题，今天我们来学 习一些有关公路、铁路的运输问题。 .这里给大家准备了一个比较简单的问题， 请认真思考，独立解答。课件展示。
问题一：长青化工厂与 A 地相距 150 千米，工厂要将 200 吨货物用汽车运往 A 地，已知公路运价是1.5元/ （吨•千米），则需付运费 _____________________ 元.
学生领悟：公路运费 二公路长x货物重量x 公路运价 （教学说明：教师提出问题，学生独立思考，分析解决问题。提醒学生注意过 程的规范与运算的准确。）
（二）、探索新知 解决问题 （设计说明：让学生明确本节课的学习任务，带着问题去学习。）
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1、 出示学习目标。
（设计说明：选择经济领城问题让学生展开讨论，增强市场经济意识和决 策能力，同时巩固二元一次方程组的解法。通过该题，旨在培养学生的读题能 力和收集信息能力。由于探究 3题目较长，数量关系比较多且不易理清，所以 先通过几个问题引导学生准确把握题意，找出题目中的等量关系，为列方程组 解决问题扫清障碍。）
2、 问题：
长青化工厂用汽车从A地购买一批原料运回工厂，制成产品后用火车运到 B地。工厂与A地相距100千米，与B地相距125千米。公路运价为1.5元/（吨•千 米），铁路运价为1.2元/ （吨•千米），这两次运输支出公路运费15000元，铁 路运费6000元。求工厂从A地购得的原料有多少吨？制成的产品有多少吨？
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这道题中的量有很多，我们不妨画一个示意图。
原料 1.5元/ （吨千米）
A地
公路100km
长青化工厂
125km元/ （吨千米） 铁路 1.2
公路运费：
铁路运费：
15000 元 6000 元
解：设购得的原料为x吨，制成的产品为y吨 列方程组： 1.5 X 100 x x = 15000
1.2 X 125 X y =
6000
解得： x=100
y=40
答：购得的原料为100吨，制成的产品为40吨。 3、问题：教材114页：探究3：
如图，长青化工厂与 A、B两地有公路、铁路相连，这家工厂从 A地购买 一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地。公路运 价为1.5元/ （吨•千米），铁路运价为1.2元/ （吨•千米），这两次运输共支出公 路运费
15000元，铁路运费97200元 这批产品的销售款比原料费与 运输费的和多多少元？ 图中黑白相间的线表示铁路，其他线表示公路。
问题中的一些已知条件是用图及其标注数据给出的。 分析：产品的销售款、原料费、
运输费与那些量有关？是什么关系？
销售款二产品数量X产品单价， 原料费二原料数量x原料单价， 运输费二路程X运价X货物重量
销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关。设产品重 x吨，原料重y 吨。根据题中数量关系填写下表。
产品x吨 原料y吨 合计 公路运费（元） 铁路运费（元） （1）题目所求数值是 _________ ，为此需先解出 _______ 与 ________
（2）由上表，列方程组
（3）解这个方程组，得
厂
I y— ________ （4）因此，这批产品的 销售款比原料费与运输费的和多 ________ 。
）解决实际问题是否要考虑它是否符合问题的实际意义？ 答案：（1）题目所求
数值是 产品销售款-（原料费+运输费）,为此需先解 出产品重（x）与原料重（y）。
产品x吨 原料y吨 合计 公路运费（元） 1.5 X 20x 1.5 X 10y 15000 铁路运费（元） 1.2 X 110x 1.2 X 120y 97200
（2）由上表，列方程组
45 (20x10y)= 15000 1.2 (110x120y)= 97200
(3)解这个方程组，得
{X = 300 y =400
（4）求出x,y的值以后，原料款1000y销售款8000x可求，于是问题获解。
所以销售款-原料费-运输费
=8000 >300-1000 官00-15000-97200=1887800 因此，这批产品的销售款比原料费与运输费的和多
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_1887800_元
（5）、从以上探究可以看出，方程组是解决含有多个未知数问题的重要工具。 列出
方程组要根据问题中的数量关系，解出方程组的解后，应进一步考虑它是 否符合问题的实际意义。
（教学说明：教师提出问题，学生思考、交流之后师生共同得出结论 学生 回答问题时，要把理由交代清楚，尤其是自己的思考过程，以便学生之间相互 学习•） （三）、知识应用
（设计说明：及时复习强化，并为部分学有余力的学生拓展学习空间， 为他 们的发展提供平台。教师要及时指导，并强调要通过动手作图直观地寻求结果。 教师再用课件演示来进行解答。）
从甲地到乙地的路有一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时行3千米， 平路每小时行4千米,下坡每小时行5千米,那么从甲地到乙地需行54分,从乙 地到甲地需行42分,从甲地到乙地全程是多少？
（教学说明：准备好课件为学生进行演示对照。让学生猜想并验证，规范 解答。）
（四八课堂小结：
（设计说明：通过总结，培养学生归纳、概括能力，有助于学生清理知识 的脉络，使新旧知识形成体系，教师只作为组织者与引导者。）
（五）、拓展提咼
北京和上海都有某种仪器可供外地使用。其中北京可提供 10台，上海可提 供4台。已知重庆需要8台，武汉需要6台，从北京、上海将仪器运往重庆、 武汉的费用如下表所示。有关部门计划用 8000元运送这些仪器，请你设计一种 方案，使武汉、重庆能得到所需仪器，而且运费正好够用。
（教学说明：有余力的学生可当堂做题，然后利用 课件来对照。） 八、教学反思：
本节课是实际问题与二元一次方程组的最后一节课，虽然问题更加贴近现 实生活，但问题信息量大，数量关系复杂，未知数不容易设定，解决的难度明 显加大，对学生来说是一种挑战。因此安排学生合作学习。让学生先独立思考， 自主探索，然后在讨论中合理设定未知数，借助表格分析题中的数量关系，列 出方程组求得问题的解。
.为让学生能从总体上准确把握题意，一方面设计思考问题引导学生讨论交 流，另一方面利用表格将题目中的数量关系清晰的呈现出来，学生踏着这些台 阶，一步步地就找到了解决问题的途径。
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