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浙江大学2007-2008学年春季学期微积分2试卷

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浙江大学2007-2008学年春季学期 《微积分Ⅱ》课程期末考试试卷

一 、填空题(每小题5分,共25分,把答案填在题中横线上) 1.点M(1,-1, 2)到平面x2y2z10的距离d = . 2.已知a2,b3,ab3,则ab .

3.设f(u,v)可微,zf(xy,yx),则dz= .

4.设f(x)在[0,1]上连续,且f(x)>0, a与b为常数.Dx,y0x1,0y1,则

Daf(x)bf(y)d= .

f(x)f(y)5.设f(x,y)为连续函数,交换二次积分次序

20dxx22x0f(x,y)dy . 二 、选择题(每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题 目要求的,把所选字母填入题后的括号内)

6.直线l1:

xy6x1y5z5与直线l2:的夹角为 1212yz3(A)

 . (B) . (C) . (D) . [ ] 23467.设f(x,y)为连续函数,极坐标系中的二次积分

cos0101020df(rcos,rsin)rdr可以写成直角坐标中的二次积分为

yy201x20(A)(C)

dydxf(x,y)dx (B)dy01011y20xx20f(x,y)dx

f(x,y)dy [ ]

f(x,y)dy (D)dx1x, 0x528.设f(x) S(x)为f(x)的以2为周期的余弦级数,则S()

222x,1< x1

2(A)

1133. (B). (C). (D). [ ] 2244第 1 页 共 6 页

xy,(x,y)(0,0),449.设f(x,y)xy则f(x,y)在点O(0,0)处

0, (x,y)(0,0),(A)偏导数存在,函数不连续 (B)偏导数不存在,函数连续

(C)偏导数存在,函数连续 (D)偏导数不存在,函数不连续 [ ] 三、解答题

2222x3yz9 10.(本题满分10分)求曲线L:2在其上点M(1,-1,2)处的切线方程22z3xy与法平面方程.

11.(本题满分10分)设F可微,z是由F(xy,yz,zx)0确定的可微函数,并设F2F3,求

zz. xy 12.(本题满分10分)设D是由曲线yx3与直线yx围成的两块有界闭区域的并集,

[eDx2sin(xy)]d.

x29y22z2013.(本题满分10分)求空间曲线L:上的点到xOy平面的距离最大值与

x3y3z5最小值.

14.(本题满分10分)设平面区域D=(x,y)0x1,0y1,计算二重积分

22 xy1 d. D

15.(本题满分5分)设当y>0时u(x,y)可微,且已知

du(x,y)(

yx2xy)dx(x2y2y)dy. 求u(x,y). 2222xyxy第 2 页 共 6 页

浙江大学2007-2008学年春季学期

《微积分II》课程期末考试试卷答案

一、填空题(每小题5分,共25分) 1.d124132.

2.ab(ab)(ab)22ab2ab49619. 3.dzf1yxy1f2yxlnydxf1xylnxf2xyx1dy 4.Iafxbfyafybfxdd, fxfyfyfxDD 2I20abdDx22xab,I01ab. 2fx,ydx

111y11y05.

dx0fx,ydydy111y11y 或 01dy111y1y x 或 dyf,xydfx,ydx.

二、选择题(每小题5分,共20分)

6.选(B). l1的方向向量1,2,1,l2的方向向量

1,1,2,

cos1,2,11,1,231,.

66623227.选(D). 积分区域Dx,yxyx,y0,化成直角坐标后故知选(D).



11111113(f(0)f(0))(1).

22222224000,fy0,00,偏导数存在. 9.选(A). fx0,0limx0x8.选(C). S()S()S() 取ykx,limfx,kxlimx0x052k1k4k1k4

随k而异,所以不连续.

三、解答题(10~14每题10分,15题5分,共55分) 10.由L,视x为自变量,有

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dydz4x6y2z0,dxdx dydz6x2y2z0.dxdx以x,y,z1,1,2代入并解出

dydz,,得 dxdxdy5dz7,, dx4dx8所以切线方程为

x1y1z2,

57148法平面方程为

x1y1z20,即8x10y7z120.

FyFxF1F3FFzzzzF3F211.,12,1.

xFzF2F3yFzF2F3xyF3F212.D在第一象限中的一块记为D1,D在第三象限中的一块记为D2,

78eDx2sinxydexdexdsinxydsinxyd.

22D1D2D1D2xededdxedydxe3dy D1D20x1xx2x21xx20x32xxedx3x2012101x103xedxxxedxx23x2010101x3xedx

x22xx3exdxeuduueudue1(ueueu)0e11e210sinxydsinxydD1D210dx3sinxydydxsinxydy

x1xx0x33dxcosxx3cosxxdx cosxxcosxx013dxcosxx3cosxxdx0 cosxxcosxx011010所以,原式e2.

13.L上的点到平面xoy的距离为z,它的最大值点,最小值点与z的一致,用拉格朗日乘数法,设Fx,y,z,,zx9y2z22222x3y3z5,

求偏导数,并令其为零有:

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FF2x0,18y30, xxFF2z4z30,x29y22z0 , zxFx3y3z50 . 解之得两组解x,y,z1(1,,1);当x5,13x,y,z2(5,5,5). 所以当x1,3y1时,z1最小;35y时,z5最大.

3114.将分成如图的两块,的圆记为D1,另一块记为D2

4222222xy1d1xyd+xy1d

D 1xD1D12y2dx2y21dx2y21d

DD1D221x2y2dx2y21dD1D 220d1rrdrdy2001110x2y21dx

15.由dux,y(211()43343yxuy222xy)dx(xy2y)dy,有,xy222222xyxyxxyxy122ux2xyy,又由2xy2y,推知 22yxy从而知ux,yarctanxxy2x2yy2x2y2y, 2xxy1()2yy2y,yy2C

所以,ux,yarctanx122xyy2C. y2注:若用凑的办法亦可:

(yx22xy)dx(xy2y)dy 2222xyxy第 5 页 共 6 页

ydxxdy1ydxxdy122xyydxxdy2ydydxydy2x2x2y2y21() yd(arctanx12xyy2) y2xy122xyy2C. 2所以,ux,yarctanFufu.

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