浙江大学2007-2008学年春季学期微积分2试卷

一 、填空题（每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上） 1.点M（1,－1, 2）到平面x2y2z10的距离d = . 2.已知a2,b3,ab3,则ab .

3.设f(u,v)可微，zf(xy,yx),则dz= .

4.设f(x)在[0，1]上连续，且f(x)＞0, a与b为常数.Dx,y0x1,0y1,则

Daf(x)bf(y)d= .

f(x)f(y)5.设f(x,y)为连续函数，交换二次积分次序

20dxx22x0f(x,y)dy . 二 、选择题（每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题 目要求的，把所选字母填入题后的括号内）

6.直线l1:

xy6x1y5z5与直线l2:的夹角为 1212yz3（A）

 . （B） . （C） . （D） . [ ] 23467.设f(x,y)为连续函数，极坐标系中的二次积分

cos0101020df(rcos,rsin)rdr可以写成直角坐标中的二次积分为

yy201x20（A）（C）

dydxf(x,y)dx （B）dy01011y20xx20f(x,y)dx

f(x,y)dy [ ]

f(x,y)dy （D）dx1x, 0x528.设f(x) S(x)为f(x)的以2为周期的余弦级数，则S()

222x,1＜ x1

2（A）

1133. （B）. （C）. （D）. [ ] 2244第 1 页 共 6 页

xy,(x,y)(0,0),449.设f(x,y)xy则f(x,y)在点O(0,0)处

0, (x,y)(0,0),（A）偏导数存在，函数不连续 （B）偏导数不存在，函数连续

（C）偏导数存在，函数连续 （D）偏导数不存在，函数不连续 [ ] 三、解答题

2222x3yz9 10.（本题满分10分）求曲线L：2在其上点M（1，－1，2）处的切线方程22z3xy与法平面方程.

11.（本题满分10分）设F可微，z是由F(xy,yz,zx)0确定的可微函数，并设F2F3，求

zz. xy 12.（本题满分10分）设D是由曲线yx3与直线yx围成的两块有界闭区域的并集，

求

[eDx2sin(xy)]d.

x29y22z2013.（本题满分10分）求空间曲线L：上的点到xOy平面的距离最大值与

x3y3z5最小值.

14.（本题满分10分）设平面区域D=(x,y)0x1,0y1，计算二重积分

22 xy1 d. D

15.（本题满分5分）设当y＞0时u(x,y)可微，且已知

du(x,y)(

yx2xy)dx(x2y2y)dy. 求u(x,y). 2222xyxy第 2 页 共 6 页

浙江大学2007－2008学年春季学期

《微积分II》课程期末考试试卷答案

一、填空题（每小题5分，共25分） 1．d124132.

2．ab(ab)(ab)22ab2ab49619. 3．dzf1yxy1f2yxlnydxf1xylnxf2xyx1dy 4．Iafxbfyafybfxdd， fxfyfyfxDD 2I20abdDx22xab,I01ab. 2fx,ydx

111y11y05．

dx0fx,ydydy111y11y 或 01dy111y1y x 或 dyf,xydfx,ydx.

二、选择题（每小题5分，共20分）

6．选（B）. l1的方向向量1,2,1，l2的方向向量

1,1,2，

cos1,2,11,1,231,.

66623227．选（D）. 积分区域Dx,yxyx,y0，化成直角坐标后故知选（D）.



11111113(f(0)f(0))(1).

22222224000,fy0,00，偏导数存在. 9．选（A）. fx0,0limx0x8．选（C）. S()S()S() 取ykx，limfx,kxlimx0x052k1k4k1k4

随k而异，所以不连续．

三、解答题（10～14每题10分，15题5分，共55分） 10．由L，视x为自变量，有

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dydz4x6y2z0,dxdx dydz6x2y2z0.dxdx以x,y,z1,1,2代入并解出

dydz,，得 dxdxdy5dz7,， dx4dx8所以切线方程为

x1y1z2，

57148法平面方程为

x1y1z20，即8x10y7z120.

FyFxF1F3FFzzzzF3F211．,12,1.

xFzF2F3yFzF2F3xyF3F212．D在第一象限中的一块记为D1，D在第三象限中的一块记为D2，

78eDx2sinxydexdexdsinxydsinxyd.

22D1D2D1D2xededdxedydxe3dy D1D20x1xx2x21xx20x32xxedx3x2012101x103xedxxxedxx23x2010101x3xedx

x22xx3exdxeuduueudue1(ueueu)0e11e210sinxydsinxydD1D210dx3sinxydydxsinxydy

x1xx0x33dxcosxx3cosxxdx cosxxcosxx013dxcosxx3cosxxdx0 cosxxcosxx011010所以，原式e2.

13．L上的点到平面xoy的距离为z，它的最大值点，最小值点与z的一致，用拉格朗日乘数法，设Fx,y,z,,zx9y2z22222x3y3z5，

求偏导数，并令其为零有：

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FF2x0，18y30， xxFF2z4z30，x29y22z0 ， zxFx3y3z50 ． 解之得两组解x,y,z1(1,,1);当x5,13x,y,z2(5,5,5). 所以当x1,3y1时，z1最小；35y时，z5最大.

3114．将分成如图的两块，的圆记为D1，另一块记为D2

4222222xy1d1xyd+xy1d

D 1xD1D12y2dx2y21dx2y21d

DD1D221x2y2dx2y21dD1D 220d1rrdrdy2001110x2y21dx

15．由dux,y(211()43343yxuy222xy)dx(xy2y)dy，有，xy222222xyxyxxyxy122ux2xyy，又由2xy2y，推知 22yxy从而知ux,yarctanxxy2x2yy2x2y2y， 2xxy1()2yy2y,yy2C

所以，ux,yarctanx122xyy2C. y2注：若用凑的办法亦可：

(yx22xy)dx(xy2y)dy 2222xyxy第 5 页 共 6 页

ydxxdy1ydxxdy122xyydxxdy2ydydxydy2x2x2y2y21() yd(arctanx12xyy2) y2xy122xyy2C． 2所以，ux,yarctanFufu．

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