一元二次方程应用题（分类）
经济问题：
1：某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？
解：设没件降价为x，则可多售出5x件，每件服装盈利44-x元，
依题意x≤10 ∴(44-x)(20+5x)=1600 即(x-36)(x-4)=0 ∴x=4或x=36(舍)
2..某商品进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件，如果售价超过50元，但不超过80元，每件商品的售价每上涨10元，每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，每件商品的售价每涨1元，每个月少卖3件。设该商品的售价为X元。
（1）、每件商品的利润为(x-40)元。若超过50元，但不超过80元，每月售210-(x-40)\\10件。 若超过80元，每月售 210-(x-40)\\10-3(x-80)件。（用X的式子填空。） （2）、若超过50元但是不超过80元，售价为多少时 利润可达到7200元? (3)、若超过80元，售价为多少时利润为7500元。
解： (2)设售价为a ：(a-40)[210-(a-40)\\10=7200
(3)设售价为b： (b-40)[210-(b-40)\\10-3(b-80)=7500 （第2 ，3问也可设该商品的售价为X1 ， x2元）
3.某商场销售一批衬衫，平均每天可出售30件，每件赚50元，为扩大销售，加盈利，尽量减少库存，商场决定降价，如果每件降1元，商场平均每天可多卖2件，若商场平均每天要赚2100元，问衬衫降价多少元
解：衬衫降价x元 ， 2100=(50-x)(30+2x)，(x-10)(x-60)=0 ， x=60>50（舍） x=10
4.某公司生产开发了960件新产品，需要经过加工后才能投放市场，现在有A，B两个工厂都想参加加工这批产品，已知A工厂单独加工这批产品比B工厂单独加工这批产品要多用20天，而B工厂每天比A工厂多加工8件产品，公司需要支付给A工厂每天80元的加工费，B工厂每天120元的加工费。
（1）. A，B两个工厂每天各能加工多少件新产品？ （2）. 公司制定产品方案如下：可以由每个厂家单独完成；也可以由两个厂家同时合作完成。在加工过程中，公司需要派一名工程师每天到厂进行技术指导，并负担每天5元的午餐补助费。请帮助公司选择哪家工厂加工比较省钱，并说明理由。
解：（1）.设A每天加工x件产品，则B每天加工（x+8）件产品 由题意得960/x-960/(x+8)=20 ， 解得x=16件 所以A每天加工16件产品，则B每天加工24件产品
（2）.设让A加工x件，B加工960-x件 ，则公司费用为y=x/16*(80+5)+(960-x)/24*(120+5) 化简为y=5/48*x+5000，因为y随x的增大而增大， 所以x=0时最省钱，即全让B厂加工 。 5．将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖出500个，已知该商品每降价1元，其销售量就要减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少？这时进货应为多少个？
解：设售价应定为x元，根据题意列方程得50010(x50)(x40)8000整理得
x2140x4800 （x－60）（x－80）＝0 。解得x1＝60，x2＝80
答：当x1＝60时，进货量为400个 ，当x2＝80时，进货量为200个。
6．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品售价为a元，可以卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20％，商店计划要赚400元，需要卖出多少件商品？每件商品售价多少？
解：由题意列方程得，a(350-10a)-21(350-10a)=400，a56a7750， （a-25）(a-31)=0 。
312120%∵21∴a
2解得，a1＝25，a2＝31
2
＝31不合题意,舍去， 350-10a＝100。 1
答：每件商品售价25元，需要卖出100件
7.每件商品的成本是120元，在试销阶段发现每件售价（元）与产品的日销售量（件）始终存在下表中的数量关系，但每天的盈利（元）却不一样。为找到每件产品的最佳定价，商场经理请一位营销策划员通过计算，在不改变每件售价（元）与日销售量（件）之间的数量关系的情况下，每件定价为m元时，每日盈利可以达到最佳值1600元。请你做营销策划员，m的值应为多少？
每件售价 每日销售 130 70 150 50 165 35 .解：若定价为m元时，售出的商品为：［70－（m－130）］件
2列方程得：70(m130)(m120)1600 整理得m320m256000
∴m1＝m2＝160. 即当x＝14时，所得利润有最大值，最大利润是720元
8. 将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，如果该商品每涨价1元，其销售量就减少10个。商店为了赚取8000元的利润，这种商品的售价应定为多少?应进货多少？
解：利润是标价-进价 ，设涨价x元,则: (10+x)(500-10x)=8000
5000-100x+500x-10x^2=8000 ，x^2-40x+300=0 ；(x-20)^2=100 ，x-20=10或x-20=-10 ，x=30或x=10 。 经检验,x的值符合题意 ，所以售价为80元或60元 ，所以应进8000/(10+x)=200个或400个
9.甲、乙两名职工接受相同数量的生产任务，开始时，乙比甲每天少做四件，乙比甲多用了2天时间，这样甲、乙两人各剩624件；随后，乙改进了生产技术，每天比原来多做6件，而甲每天的工作量不变，结果两人完成全部生产任务所用的时间相同。原来甲乙两人每天各做多少件？没人的全部生产任务是多少? 解：设每人的全部生产任务是y件，甲每天做X+4件，乙原来每天做X件，依题意得： (y-624)/x=(y-624)/(x+4)+2 1式 （因为开始时，乙比甲每天少做4件，乙比甲多用了2天的时间，这样甲、乙两人各剩624件~~即根据时间关系列等式）
（y-624）/x + 624/(x+6)=y/(x+4) 2式 （结果两人完成全部生产任务所用的时间相同~~~也是根据时间关系列等式）。 由1，2式得：（X+30）*（X-20）=0，解之得：X=20,X+4=24，，y=864。 答：每人的全部生产任务是864件，甲每天做24件，乙原来每天做20件。
面积类：
1.一个长方体的长与宽的比为5：2，高为5厘米，表面积为40平方厘米。画出这个长方体的展开图，及其过程（设未知数）
解：设宽为2x，长为5x.2*（2x*5x+2x*5+5x*5）=40，10x的平方+35x-20=0 ，x=1/2
2.用一个白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制作25个盒身，或制作盒底40个，一个盒身和两个盒底配成一套罐头盒。现在有36张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底可以使盒身和盒底正好配套？ 解：设用 X 张制罐身，用 Y 张制罐底。则X+Y=36，X=36-Y 25X=40Y/2 ， X=4Y/5 4Y/5=36-Y ， Y=20 X=16。
3.用长为100cm的金属丝做一个矩形框.李明做的矩形框的面积为400平方厘米，而王宁做的矩形框的面积为600平方厘米，你知道这是为什么吗？
解：设矩形一边长为X厘米，则相邻一边长为1/2（100-2X）厘米，即（50-X）厘米，依题意得： X*(50-X)=400 解之得：X1=40,X2=10; X*(50-X)=600 解之得：X1=20,X2=30；
所以李明做的矩形的长是40厘米，宽是10厘米； 王宁做的矩形的长是30厘米，宽是20厘米。 4.在一块面积为888平方厘米的矩形材料的四角，各剪掉一个大小相同的正方形（剪掉的正方形作废料处理，不再使用），做成一个无盖的长方体盒子，要求盒子的长为25cm，宽为高的2倍，盒子的宽和高应为多少？
解：设剪去正方形的边长为x,x同时是盒子的高，则盒子宽为2x;
矩形材料的尺寸：长：25+2x 宽：4x; (25+2x)*4x=888, 解得：x1=6,x2=-18.5(舍去）。
2
5.一张桌子的桌面长6米 宽为4米。长方形台布的面积是桌面面积的两倍 。若将台布铺在桌子上四边（四个角除外）垂下的长度相同，求这块台布的长和宽 。
解：设垂下的长度为a， 则：（6+a）*（4+a）＝2*4*6解得：a＝2或a＝-12(舍去)
6.用22厘米长的铁丝，折成一个面积为30平方厘米的长方形，求这个长方形的长和宽。又问：能否折成面积是32平方厘米的长方形呢？为什么？
解：设长方形的长为x厘米，那么宽为11-x厘米。 x(11-x)=32
由根的判别式：11²-4×1×32=121-128=-7<0 。 因为，没有实数根，所以无法折成面积是32平方厘米的长方形。 那么长方形的长宽多少？
x(11-x)=30， (x-5)(x-6)=0，x=5或6 。 这个长方形的长和宽为6厘米和5厘米。
7.如图，在一块长35M，宽26M的矩形地面上，修剪同样宽的两条互相垂直的道路，（两条道路与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850M²，道路的宽应为多少？
据转换思想： 解：可设道路的宽为Xm 。 （35-x）（26-x)=850 ， (x-1)(x-60)=0
x1=1，x2=60 。 x2=60与题意不符
8.为一副长20CM 宽16CM的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的二分之一，镜框边的宽度应为多少
解：方法一：镜框边的宽度为xcm,照片长加两个宽度，宽加两个宽度，外部变成一个大长方形，故大长方形的长为(20+2x)cm，宽为(16+2x)cm，大长方形面积减去照片（小长方形）面积就是镜框的面积。
(20+2x)(16+2x)-20*16=20*16/2， 4x^2+72x-160=0，(x+20)(x-2)=0 。 x=2,x=-20(舍去） 方法二：镜框的面积就是两个以照片长为长、镜框边的宽度为宽的长方形面积，两个以照片宽为长、镜框边的宽度为宽的长方形面积，四个以镜框边的宽度为边长的小正方形面积三部分组成。
2(20x)+2(16x)+4x^2=20*16/2，4x^2+72x-160=0 ，(x+20)(x-2)=0 x=2,x=-20(舍去）
增长率问题：
1. 某超市一月分销售额是20万元，以后每月的利润都比上个月的利润增长10%，则二月分销售额是多少？ 3月的销售额是多少？ 解：二月20*（1+0.1）=22 ， 三月22*（1+0.1）=24.2。
2. 某企业2007年利润为50万元，如果以后每年的利润都比上年的利润增长x%。那么2009年的年利润将达到多少万元？ 解：50*（1+x%）^2
3. 某厂经过两年体制改革和技术革新，生产效率翻了一番，求平均每年的增长率（精确到0.1%） 解：设平均每年的增长率为x. (x+1)^2=2 ， x=0.414
4.随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加.据统计，某小区2006年底拥有家庭轿车64辆，2008年底家庭轿车的拥有量达到100辆.
（1） 若该小区2006年底到2009年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到2009年底家庭轿车将达到多少辆？
（2） 为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位.据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，求该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案.
(1). 解：设增长率是x. 64(1+x)²=100 x=0.25 2009年有：100(1+0.25)=125
（2）解：设室内车位为X，则室外车位为(150000-5000X)/1000 有条件得到：0<=2X<=(150000-5000X)/1000<=2.5X
3
得到20<=X<=21.4 因为X为整数 ， 所以X取20或21
当X=20是，室内车位为50：当X=21时，室内车位45 。所以最多能有70个车位.
5.某企业2005年初投资100万元生产适销对路的产品，2005年底，将获得的利润与年初的投资和作为2006年初的投资。道2006年底，两年共获得56万元，已知2006年的年获利率比2005年的年获利率多10个百分点，求2005和2006年的年获利率各是多少
解：设2005年获利率是x ，100x+100(1+x)(x+0.1)=56 (20x+46)(5x-1)=0 ，x1=-2.3(舍）x2=0.2 ，0.2+0.1=0.3 2005年获利率是20%， 2006年获利率是30%
其它：
1.游行队伍有8行12列，后又增加了69人，使得队伍增加的行·列数相同，增加了多少行多少列？解：设增加x 列， (8+x)(12+x)=96+69，x=3 增加了3行3列
2.一辆警车停在路边,当警车发现一辆一8M/S的速度匀速行驶的货车有违章行为,决定追赶,经过2.5s,警车行驶100m追上货车.试问：(1)从开始加速到追上货车,警车的速度平均每秒增加多少m?(2)从开始加速到行驶64m处是用多长时间?
解： 2.5*8=20 100-20=80, 80/8=10 . 100/【（0+10a）/2】=10解方程为2
64/【（0+2a)/2】=a 解方程为8
3.一容器装满20L纯酒精，第一次倒出若干升后，用水加满，第二次又倒出同样升数的混合液，再用水加满，容器里只有5L的纯酒精，第一次倒出的酒精多少升？
解：设第一次倒出x升，则第二次为x（20-x）/20.(此处为剩下的酒精占总体积20升的多少即比率然后乘上倒出的升数即为倒出的纯酒精数.则20-x-x(20-x)/20=5 解得x=10
4. 用含30%和75%的两种防腐药水，配置含药50%的防腐药水18kg，两种药水各需取多少？ 解：设30%的取 X kg， 75%的取 Y kg， 则 30%*X+75%Y=50%*18， 6X+15Y=180。 X+Y=18， X=18-Y 6*18-6Y+15Y=180。 Y=8 ， X=10 。
5.甲乙二人分别从相聚20千米的A、B两地以相同的速度同时相向而行，相遇后，二人继续前进，乙的速度不变，甲每小时比原来多走1千米，结果甲到达B地后乙还需30分钟才能到达A地，求乙每小时走多少千米？
解：可以设乙每小时走a千米，乙从中点相遇后到A地需要时间10/a，甲从中点相遇后到B地需要时间10/a-0.5 。根据题意建立方程：(10/a-0.5)(a+1)=10 。 a=4 即乙每小时走4千米
6.一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以35千米/时的速度前进，突然，1号队员以45千米/时的速度独自前进，行进10千米后调转车头，仍以45千米/时的速度往回骑，直到与其他队员会合，1号队员从离队开始到与队员重新会合，经过了多少时间
解：设一共用了x小时，得：35x=10-45(x-10/45)
x=1/4答：1号队员从离队开始到与队员重新会合，经过了1/4小时。
7.在某场象棋比赛中，每位选手和其他选手赛一场，胜者记2分，败者记0分，平局各记1分，今有四位统计员统计了全部选手的得分之和分别是2025分、2027分、2080分、2085分，经核实，只有一位统计员的结果是正确的，问这场比赛有几位选手参加？
解： 无论如何，每一局两人合计都应得2分，所以最终的总得分一定是偶数，由于2025、2027、2085都是奇数，所以都不符合题意，所以正确的是第三个记分员
设有x人参加，则一共比了x（x-1）/2局
你的数字似乎有错，请确认是否为2070，而不是2080（2080得不出整数解）
x（x-1）/2=2070/2， x²-x-2070=0。（x-46）（x+45）=0 ， x1=46，x2=-45（舍）。
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