中学数学杂志２０１０年第３期 乏 ｊ 乏，１ 々 。 。 乏 乏 ｊ垓７ 圆锥曲线离心率范围再探 湖北省武汉大学附中高中部４３００７２ 玉云化 文【ｌ】介绍了离心率的一些范围问题，在它的 启示下，笔者也作了一点研究，又得到了一个简洁的 Ｉ ｙ Ｉ： 时取等号． 范围问题，现论述如下，供读者参考． 。，２ ．．２ 定理１ Ｐ是双曲线 一 ＝１（０＞０，ｂ＞０） ａ ｏ 上的一点，Ｇ，Ｈ是双曲线的左右准线与 轴的交 点，ｅ是双曲线离心率， ＧＰＨ＝０，则０为锐角且１ ＜ｅ≤ｃｏｔ ０（当且仅当Ｉ Ｉ＝ 时取得等 ｅ 号）． 证明不妨设点Ｐ在 轴上方，即设Ｐ（ｘ，Ｙ）（Ｙ ２ ＞０），而左右准线与 轴的交点是Ｇ（一一ａ，０）， Ｃ ２ 日（ ，０），由线到线的角公式得 ｖ一０ Ｙ一０ ｔａｎ ＝箍＝ Ｘ－箍－Ｘ＋－ ＝ 南 由双曲线方程得 ２＝ｎ２十 ， 代人化简得ｔａｎ ０： 垒： ｅ ｃ Ｙ ＋ａ２ｂ （ｅ ～１） ２ｅａｂ ｅＺ２ｃｙ 二 ２‘ Ｙ 由假设知Ｙ＞０，而ｅ＞１，故ｔａｎ ０＞０，所以０ 为锐角，由基本不等式得 ｔ ０≤——— ＝一 ２ ｅ２ｃ２ｙ． 二 ２ ｙ ｅｎ６ ６厂— ～ —ｅａｂｃ— ｉ √ ／ｃ 一０ ／ｅ２—１ １ ｃ （ｅ 一１）一√ｅ （ｅ 一１）一ｅ 即ｔａｎ ０≤ ｊｃ。ｔ ０≥ｅｊ１＜ｅ≤ｃ。ｔ ． 当且夜当 ２ ２＝ ： 定理２ Ｐ是椭圆 ＋告＝１ ａ＞ｂ＞ｏ）上 的一点，Ｇ，Ｈ是两条准线与ｚ轴的交点，ｅ是椭圆离 心率， ＧＰＨ＝０，则０为钝角且０＜ｅ≤一ｃｏｔ ０ （当且仅当ｌ ｙ ｌ＝ 时取得等号）． 证明 同定理１的证明得ｔａｎ ０： ，由椭圆方程得 ：口 一 ，代 ｅ Ｉ 十Ｖ Ｊ—ａ ｏ 入化简得 ｔａｎ ＝一 ＝一 ｅ ｃ ，， 十 ａ ｏ ｌ Ｊ— ｅ Ｊ ）Ｐ ｒＪｂ２ ２ ２ ＋ （ 二 ’ Ｖ 由假设知Ｙ＞０，而０＜ｅ＜１，故ｔａｎ ０＜０，所 以０为钝角，由基本不等式得 ２ｅ≤ —丽ａｂ２ ＝ ２￣／ｅ２ｃ２ｙ ｙ二 ｅ。６ｃ 一ｅ ｂ√ 厂 了 √ 广 了１ 所以。一ｔａｎ ０≤ ＝＝》一ｃ。ｔ ≥ｅ ＝ ０＜ｅ≤一ｃｏｔ ０． 当且仅当 ２ ２ｙ： 二 ｙ Ｙ ｊ Ｉ），Ｉ： 、 时取等号． ｅ ｃ ｅ一 参考文献 ［１］ 武增明 关于圆锥曲线离心率的取值范围的一组结 论［Ｊ］．中学数学杂志，２００９，（１１）．
