试数学（理）试题
一、单选题 1．已知集合A．
B．
C．
D．
则集合
（ ）
【答案】D 【解析】解方程组
，得
．故
．选D．
2．若双曲线A．
的一个焦点为
，则（ ）
B． C． D．
【答案】B
【解析】因为双曲线B. 3．已知
且
的一个焦点为，所以 ，故选
则向量在方向上的投影为（ ）
A． B．【答案】D
C． D．
【解析】设与的夹角为
，
向量在方向上的投影为故选
4．已知等差数列
满足：
，且，，成等比数列，则数列第 1 页 共 20 页
的前项和为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；然后求解等差数列的前n项和公式可得Sn． 【详解】
设等差数列{an}的公差为d， ∵a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列． ∴
a1a5，即（2+d）2＝2（2+4d），解得d＝0或4．
∴an＝2，或an＝2+4（n﹣1）＝4n﹣2． 当d＝0时，数列{an}的前n项和为：2n；
当d＝4时，则数列{an}的前n项和为：2n故选：C． 【点睛】
2n2．
本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． 【答案】B
D．
【解析】分析：先求出函数的定义域，结合函数图象进行排除，再利用特殊值的符号得到答案．
详解：令得
或
，
，
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故排除选项A、D，
由故选B．
，故排除选项C，
点睛：本题考查函数的图象和性质等知识，意在考查学生的识图能力． 6．下列命题正确的是（ ）
A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 【答案】C
【解析】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确.
[点评]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质，需要熟练掌握课本基础知识的定义、定理及公式.
7．阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数
且
)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点
间的
距离为2,动点满足当不共线时，面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
线为轴，建立直角坐标系；则：
如图，以经过的直线为轴，线段
设
的垂直平分
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，两边平方并整理得：
，．
选A 8．设函数
则不等式
面积的最大值是
的解集为（ ）
A．【答案】A
B． C． D．
【解析】根据题意，分析可得f（x）为奇函数且在R上为增函数，则有f（1﹣2x）+f（x）＞0⇒f（1﹣2x）＞﹣f（x）⇒f（1﹣2x）＞f（﹣x）⇒1﹣2x＞﹣x，解可得x的取值范围，即可得答案． 【详解】
根据题意，函数f（x）＝2x﹣2﹣x，
则f（﹣x）＝2﹣x﹣2x＝﹣（2x﹣2﹣x）＝﹣f（x），f（x）为奇函数， 又由f（x）＝2x﹣2﹣x，其导数为f′（x）＝（2x+2﹣x）ln2＞0， 则函数f（x）在R上为增函数， 则
f（1﹣2x）+f（x）＞0⇒f（1﹣2x）＞﹣f（x）⇒f（1﹣2x）＞f（﹣x）⇒1﹣2x＞﹣x， 解可得：x＜1，
即不等式的解集为（﹣∞，1）； 故选：A． 【点睛】
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析f（x）的单调性以及奇偶性，属于基础题．
9．在中，点满足，当点在线段（不包含端点）上移动时，若
，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
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【答案】C
【解析】根据题意画出图形，利用
、
表示出
，再利用
表示出
，求出λ与μ，
然后利用对勾函数的单调性求【详解】 如图所示，
的取值范围．
△ABC中，，
∴（），
又点E在线段AD（不含端点）上移动， 设
k
，0＜k＜1，
∴又
， ，
∴，
∴．
∵在（0，1）上单调递减，
∴λ的取值范围为（，+∞），
故选：C．
【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算与基本不等式的应用问题，是中档题．
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10．已知函数最小值为（ ）
的图象的一个对称中心为，且，则的
A． B．1 C． D．2 【答案】A
【解析】当时，，
当时，或，，
两式相减，得或，，
即或，，
又因为，所以的最小值为．故选.
解法2：直接令，得，解得．故选.
11．在底面是边长为2的正方形的四棱锥的中心，异面直线
与
中，点在底面的射影为正方形
的内切球半径为，外
所成角的正切值为2，若四棱锥
接球的半径为，则（ ）
A． B． C． D． 【答案】B
【解析】易知P﹣ABCD为正四棱锥，内切球球心为两斜高与底面中线所成正三角形的中心，外接球半径需通过方程解得，求解过程不难． 【详解】
如图，E，F为AB，CD的中点， 由题意，P﹣ABCD为正四棱锥， 底边长为2，
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∵BC∥AD，
∴∠PBC即为PB与AD所成角， 可得斜高为2， ∴△PEF为正三角形，
正四棱锥P﹣ABCD的内切球半径 即为△PEF的内切圆半径，
可得r，
设O为外接球球心， 在Rt△OHA中，
，
解得R，
∴，
故选：B．
【点睛】
解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 ． 12．设数列
满足
，
，且
，若
表示不超过的最大整数，
则（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021 【答案】C
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【解析】an+2﹣2an+1+an＝2，可得an+2﹣an+1﹣（an+1﹣an）＝2，a2﹣a1＝4．利用等差数列的通项公式、累加求和方法、取整函数即可得出． 【详解】
∵an+2﹣2an+1+an＝2，∴an+2﹣an+1﹣（an+1﹣an）＝2， a2﹣a1＝4．
∴{an+1﹣an}是等差数列，首项为4，公差为2． ∴an+1﹣an＝4+2（n﹣1）＝2n+2．
∴n≥2时，an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+……+（a2﹣a1）+a1
＝2n+2（n﹣1）+……+2×2+2n（n+1）．
∴．
∴1．
∴故选：C． 【点睛】
2+2018＝2020．
本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、累加求和方法、取整函数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题
13．已知实数，满足约束条件，则的最大值为__________．
【答案】
【解析】作出可行域，求出区域的顶点坐标，将顶点坐标一一代入函数的最大值。 【详解】
，即可判断
作出不等式组表示的平面区域，如图
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求得区域的顶点分别为
，
，
，分别将三点代入目标函数得：
，
，
【点睛】
，所以的最大值为
本题考查了线性规划问题，作出可行域，当不等式组为线性约束条件，目标函数是线性函数，可行域为多边形区域时（或有顶点的无限区域），直接代端点即可求得目标函数的最值。
14．四棱锥的三视图如图所示（单位：
），则该四棱锥的体积是__________
．
【答案】12
【解析】首先还原几何体，根据图中数据计算几何体体积． 【详解】
由三视图得到几何体如图：
体积为故答案为：12
12；
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【点睛】
由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.
15．设为坐标原点，是以为焦点的抛物线的点，且
，则直线
上任意一点，是线段上
斜率的最大值为__________．
【答案】
【解析】由题意可得F（，0），设P（
，y0），
显然当y0＜0，kOM＜0；当y0＞0，kOM＞0． 要求kOM的最大值，设y0＞0，
则
可得
当且仅当y02=2p2，取得等号．
故答案为：.
点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质．解题的关键是利用了抛物线的定义。一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论
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的总结和应用。尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化.
16．已知函数，若有两个零点，则实数的取值范围是__________．
【答案】
a有两个正实根．令
【解析】f（x）有两个零点⇔方程x2lnx＝
g（x）＝x2lnx，g′（x）＝2xlnx+x2•【详解】 ∵x＞0，
x（2lnx+1），研究函数的单调性与极值即可.
∴函数
，若f（x）有两个零点⇔方程x2lnx＝a有两个正实根．
令g（x）＝x2lnx，g′（x）＝2xlnx+x2•
x（2lnx+1），
令g′（x）＝0，可得x，
∴g（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，
函数g（x）的大致图象如下：
g（），由图象可得：a（）
∴实数a的取值范围是（）．
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故答案为：【点睛】
．
已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
三、解答题
17．△ABC的内角A、B、C所对的边分别为(1)求角A的值； (2)若△ABC的面积为
且
求△ABC外接圆的面积。
且
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）利用正弦定理、和差公式即可得出sinB＝2sinBcosA，结合sinB≠0，可得
cosA，由范围A∈（0，π），可求A．
（2）利用三角形的面积公式可求bc＝12，由余弦定理可得a的值，设三角形的外接圆半径为R，由正弦定理可得R，进而根据圆的面积公式求解即可． 【详解】 （1）∵∴由正弦定理得∴
，∵
. ∴
∴，又∵，
（2）由（1）知，∴由余弦定理，
又，∴，又，∴
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又∵【点睛】
，∴，.
本题考查了正弦定理、余弦定理、和差公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 18．已知数列
满足
是等比数列； ，数列
的前项和为，求.
.
（1）证明：数列（2）令
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）运用数列的递推式和等比数列的定义即可得证；
（2）求得bn＝n（an+1）＝n•2n，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和． 【详解】 （1）由∵∴
，
得：
，
从而由∴
得，
是以2为首项，2为公比的等比数列
，
， ， .
（2）由（1）得∴
∴【点睛】
本题考查等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 19．如图，在直角三棱柱
中，、分别为
、的中点，
，
.
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（1）求证：（2）求证：平面
平面
； 平面
；
（3）若直线和平面所成角的正弦值等于，求二面角的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】（1）如图所示，取AB的中点M，连接MF，利用三角形中位线定理及其培训说不定判定定理可得四边形MFC1E是平行四边形，于是C1F∥EM，再利用线面平行的判定定理即可判断出结论;
（2）由直三棱柱ABC﹣A1B1C1，可得BB1⊥底面ABC，BB1⊥AB，再利用线面垂直的判定定理面面垂直的判定定理即可证明结论;
（3）由（2）可知：AB⊥BC．可建立如图所示的空间直角坐标系．求出平面ABE和平面CBE的法向量，代入公式，即可得到结果. 【详解】
（1）证明：如图所示，取AB的中点M，连接MF，
则MF
AC，又EC1AC，
∴EC1MF，
∴四边形MFC1E是平行四边形， ∴C1F∥EM，又C1F⊄平面ABE； EM⊂平面ABE； ∴C1F∥平面ABE．
（2）证明：由直三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴BB1⊥底面ABC， ∴BB1⊥AB，又C1F⊥AB，BB1与C1F相交， ∴AB⊥平面ABE，又AB⊂平面ABE， ∴平面ABE⊥平面B1BCC1；
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（3）解：由（2）可知：AB⊥BC．
因此可建立如图所示的空间直角坐标系．F（0，1，0），设C1（0，2，t）（t＞0），
（0，1，t）．
（1，1，0）．
由题意可取平面ACC1A1的法向量为
∵直线C1F和平面ACC1A1所成角的正弦值等于
，
∴|cos|，
解得t＝2．
∴E（1，1，2），A（2，0，0），C（0，2，0），），
（0，2，0）．
（x，y，z），则
•
0， （2，0，0），
（1，1，2
设平面ABE的法向量为
可得：x＝0，x+y+2z＝0，取y＝2，可得：同理可得平面CBE的法向量为
（0，2，﹣1）．
（2，0，﹣1）．
∴cos．
∴二面角A﹣BE﹣C的余弦值为．
【点睛】
空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
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20．已知椭圆
（1）求椭圆的方程； （2）设直线经过点，直线
经过点，长轴长是短轴长的2倍.
且与椭圆相交于，两点（异于点），记直线
为定值.
的斜率为
的斜率为，证明：
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】（1）根据经过点M（0，﹣1），长轴长是短轴长的2倍，可得b＝1，a＝2，得出椭圆方程；
（2）设直线AB斜率为k，联立方程组，根据根与系数的关系计算k1+k2化简． 【详解】
（1）∵椭圆又∵
，∴
.
经过点，∴.
椭圆的标准方程为：（2）若直线
.
，
的斜率不存在，则直线的方程为
此时直线与椭圆相切，不符合题意. 设直线
的方程为
，即
.
联立设
，
，得，则
.
∴
为定值，且定值为1.
.
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【点睛】
求定值问题常见的方法
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 21．已知函数（1）当（2）当
时，求证：函数时，求
，记
在点
处的切线为.
的图像（除切点外）均为切线的下方； 的最小值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）求得f（x）的导数，考虑极值点以及函数的凹凸性，即可得证； （2）讨论a＜0，a＝0，a＞1，a＝1，0＜a＜1时，函数h（x）＝f（x）﹣2lnx的导数和单调性，最值，即可得到所求g（x）的最小值． 【详解】
（1）设切线方程为记
，
，
. ，
,
在
，，
∴
故命题成立 （2）
.
上单调递减.
，，，即
在在
上单调递增，
上单调递减.
，当且仅当
时取“”.
设1)当∴
时，，
，，则在
在
，
上单调递减，且
.
上单调递增.
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∴
2)当设
时，
，
， ，
有两根，，
，，，
①当 ②当
，即，即，即，∴，即，
在
，不妨令，，，；时，
，在在在
， 上单调递减，
上单调递增， 上单调递增.
，
上单调递增，
上单调递减，在，
，
存在∴
.
使得，
综上可得【点睛】
.
本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值，考查分类讨论思想方法和转化思想，考查化简运算能力和推理能力，属于难题． 22．在直角坐标系
中，曲线
（为参数），在以为极点，轴的非负半
.
轴为极轴的极坐标系中，曲线（1）写出曲线和的普通方程；
（2）若曲线上有一动点，曲线上有一动点，求
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的最小值.
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）曲线C1 的参数方程消去参数，能求出曲线C1的普通方程；由曲线
．能求出曲线C2的普通方程；
（2）设M（2cos能求出|MN|的最小值． 【详解】
），则|MN|的最小值是M到直线C2的距离d的最小值，由此
（1）
.
（2）设结合图形可知：
，
，
最小值即为点到直线的距离的最小值.
∵到直线的距离∴当【点睛】
时，最小，即
.
，
本题考查曲线的普通方程的求法，考查线段长的最小值的求法，考查直角坐标方程、普通方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 23．已知(1)当
时,求不等式
函数
的解集；
(2)当的最小值为3时,求的最小值. ；（2）3
【答案】（1）
【解析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；
（2）先用绝对值不等式的性质求出最小值为a+b+c＝3，然后用基本不等式可得． 【详解】 （1）
，
∴或或，
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解得（2）
.
，
.
当且仅当【点睛】
绝对值不等式的解法：
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
时取得最小值3.
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