要点一、全等三角形的概念
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 要点二、对应顶点，对应边，对应角
1.对应顶点，对应边，对应角定义
两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边， 重合的角叫对应角.
要点诠释：
在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上， 这样容易 找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作AABC也QEF，其中点 A和点
D，点B和点E,点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和 DF是对应边；/ A和/D，/B 和 ZE，ZC和/F是对应角.
要点三、全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等
要点四、全等三角形的判定
（SSS、SAS、ASA、AAS、HL ）
全等三角形判定一（SSS, SAS） 全等三角形判定1 ―― “边边边”
三边对应相等的两个三角形全等•（可以简写成“边边边”或“ SSS'）. 要点诠释： 如图，如果 A'B' = AB , A'C' = AC , B'C' = BC,则△ABC
A'B'C'.
要点二、全等三角形判定2―― “边角边”
1.全等三角形判定2―― “边角边”
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或
要点诠释：如图，如果 AB = A'B' , ZA = / A', AC = A'C'，贝UAABC 也zA'B'C'.注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.
2.有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等 .
如图，AXBC 与AABD 中，AB = AB , AC = AD , ZB=ZB，但AABC 与AABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等， 两个三角形不
一定全等.
【典型例题】 类型一、全等三角形的判定1 ―― “边边边”
1、已知：如图，△ RPQ中，RP= RQ , M为PQ的中点.
求证：RM平分ZPRQ .
证明：TM为PQ的中点（已知），
•••PM = QM
在△RPM和△RQM中，
RP RQ（已知）， PM QM, RM RM公共边
• △PM ^zRQM （SSS）.
• ZPRM =/QRM （全等三角形对应角相等） 即RM平分ZPRQ. 举一反三:
【变式】已知：如图， AD = BC, AC = BD.试证明：/CAD =/DBC.
类型二、全等三角形的判定2―― “边角边”
^^2、已知：如图，AB = AD , AC = AE, /1 =/2 .
求证：BC= DE.
证明：
• / + /CAD =/2 + ZCAD，即 ZBAC = /DAE /ABC和ZADE中 AB AD BAC DAE
AC AE
•••/ABC也zADE (SAS)
•••BC = DE (全等三角形对应边相等)
在
AB= CB, EB= DB ,ZABC = /EBD = 90 ° ）连接 AE、CD，试确定 AE
与CD的位置与数量关系，并证明你的结论.
证明：延长AE交CD于F,
v/ABC和△DBE是等腰直角三角形 ••AB = BC, BD = BE
在△KBE和MBD中 AB BC ABE CBD 90 BE BD
• ZABENBD (SAS)
••AE= CD, Z1 =/2
又+ Z3 = 90 °,3 =/4 (对顶角相等) • z2 +Z4 = 90。，即 AFC = 90 °
••AE 丄 CD
举一反三:
【变式】已知：如图, PC AC, PB AB , AP 在 PA 上,
求证：QC= QB
平分ZBAC，且 AB = AC ,点 Q
类型三、全等三角形判定的实际应用
G4、“三月三，放风筝” •下图是小明制作的风筝，他根据DE = DF, EH 不用度量，就知道/ DEH =/DFH •请你用所学的知识证明.
【答案与解析】
证明：在厶DEH和ADFH中,
DE = DF EH = FH DH DH
/.ZDEH 也QFH(SSS)
= FH ,
一、选择题
1. △KBC 和△A'B'C'中，若 AB = A'B' , BC= B'C', AC = A'C'.则（
）
A. ^BC 也ZA'C'B' C. △ABC 也△'A'B'
B. △ABC 也ZA'B'C' D. △ABC 也zC'B'A'
）
2.如图，已知AB = CD , AD = BC,则下列结论中错误的是（ A.
AB //DC
B.ZB = /D
C.ZA = /C D.AB = BC
3.下列判断正确的是（
）
A. 两个等边三角形全等
B. 三个对应角相等的两个三角形全等 C. 腰长对应相等的两个等腰三角形全等 D. 直角三角形与锐角三角形不全等
6.如图，已知 AB丄BD于B, ED丄BD于D , AB = CD , BC = ED,以下结论不
正确的是（
）
A. EC 丄 AC B.EC= AC C.ED + AB = DB D.DC = CB
、填空题
9.如图，在AABC和△EFD中，AD = FC, AB = FE,当添加条件 得△ABC
也^FD (SSS)
时，就可
Z2 = 30 °，3= 26。，贝U£BE=
D
CD , AC = BD，贝U AABC宅
三、解答题
13.已知：如图，四边形
ABCD中，对角线AC、BD相交于0, AD =
AB = CD.求证：AD //BC.
,△KDC ZADC
/BCD，
笔分析：要证AD //BC，只要证Z 又需
s
证 证
••• AB //CD ( 明：
)，
••• Z
在八
— ( )
和厶 中， ______ (), ______ (),
( ), A Z SA ( ) ) — ( // ( )•
15.如图，已知 AB = DC, AC = DB , BE= CE 求证：AE= DE.
全等三角形判定3―― “角边角”
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或 “ ASA ”）.
要点诠释：如图，如果/A =/A' ,AB = A'B', ZB = Z B'，则△ABC也ZA'B'C'.
A
要点二、全等三角形判定4―― “角角边”
1. 全等三角形判定4 ―― “角角边”
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 边”或“ AAS ”）
（可以简写成“角角
2. 三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在AABC 和AADE 中，如果 DE//BC，那么ZADE = /B,/AED = /C, 又/A =ZA，但SBC和8DE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不 定全等•
要点三、判定方法的选择
1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表:
已知条件 一边一角对应相等 两角对应相等 两边对应相等 可选择的判定方法 SAS AAS ASA ASA AAS SAS SSS 类型一、全等三角形的判定3―― “角边角”
1、已知：如图，E, F 在 AC 上，AD //CB 且 AD = CB,/D = /B .
•'•/A
=/C 在△KDF与△:BE中 A C AD CB D B
• △DF 也QBE (ASA) ••AF = CE , AF+ EF= CE+ EF
故得：AE= CF 举一反三：
【变式】如图，AB //CD , AF //DE, BE= CF求证：AB
类型二、全等三角形的判定4―― “角角边”
= CD.
2、已知：如图，AB 丄 AE, AD 丄 AC,/E=/B, DE = CB. 求证：AD = AC.
证明：TAB丄AE, AD丄AC ,
•••/CAD = /BAE = 90 °
•••/CAD + ZDAB = /BAE +ZDAB ，即/BAC = /EAD
在经AC和生AD中
BAC EAD B E CB=DE
• △AC 也£AD (AAS)
•'AC = AD
举一反三:
【变式】如图，AD是AABC的中线，过C、B分别作AD及AD的延长线的垂 线 CF、BE.
证明：TAD为△ABC的中线
•'•BD = CD
••BE丄 AD , CF丄 AD ,
• zBED^ZCFD = 90 ° , 在△BED和△CFD中
BED CFD
BDE CDF (对顶角相等) BD CD
• △ED也/CFD (AAS )
•••BE= CF
3、已知：如图，AC与BD交于0点，AB //DC, AB = DC (1) 求证：AC与BD互相平分；
(2) 若过O点作直线I，分别交AB、DC于E、F两点，
.
证明: TAB //DC
.•./A = /C
在△KBO与ACDO中 A = C
AOB= COD (对顶角相等) AB=CD
•••ZABO 也 ADO (AAS) ••AO = CO , BO=DO
在ZKEO和MFO中 A = C AO二CO
AOE = COF (对顶角相等) • ZAEO 也ZFO (ASA)
•••OE = OF.
一、选择题
1.能确定△ABC也ZEF的条件是 （A. AB = DE, BC = EF, /A =/E B. AB = DE, BC = EF, /C=/E C. /A = /E, AB = EF, ZB = /D D ./A =/D, AB = DE,ZB=ZE
）
2 •如图，已知△ ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ ABC
全等的图形是 （
）
图4 —
A .甲和乙 B.乙和丙 C .只有乙 D .只有丙
3. AD是△ABC的角平分线，作DE丄AB于E, DF丄AC于F,下列结论错误的
6 .如图，/ 1 = Z2，Z3 = /4
A. △ADC ^zBCD
F面结论中错误的是（
）
C.^ABO ^/CDO
B. ^ABD 也BAC
是（ ）
A. DE= DF 4.如图，已知MB
的是（
B. AE = AF =ND，/MBA =
C . BD = CD D . ZADE = ZADF
ZNDC，下列条件不能判定△ ABM也△DN
）
A. ZM =/N B. AB = CD C . AM = CN D . AM //CN
、填空题
7.女口图,/ 1 = / 2 ,要使△ ABE ◎△ ACE ,还需添加一个条件
是 __________________________ .
(填上你认为适当的一个条件即可).
8. 在 AABC 和厶 A'B'C'中，/A = 44。，启=67°,£' = 69 ° ,zB' = 44。，且
AC = B'C'，则这两个三角形 _________ 全等.(填“一定”或“不一定”) 9. 已知，女口图，AB //CD，AF //DE, AF = DE，且 BE= 2 , BC = 10，贝U EF=
11.如图,已知：Z1 =/2 , Z3 =/4 ,要证 BD = CD ,需先证Z\\AEB 也AEC ,
根据是 ________ ，再证ABDE也A
，根据是
12.已知:如图，/B=/DEF, AB = DE，要说明 AABC 也AEF,
(1) 若以“ ASA”为依据，还缺条件 _______________ (2) 若以“ AAS”为依据，还缺条件 _______________ (3) 若以“ SAS”为依据，还缺条件 _______________
F
三、解答题
13 •阅读下题及一位同学的解答过程：如图， AB和CD相交于点0,且OA =
0B，/A = /C.那么AA0D与△COB全等吗？若全等，试写出证明过程；若不
全等，请说明理由. 答: △AOD NOB .
证明：在厶AOD和△COB中，
A AOD
C（已知），
COB（对顶角相等）,
OA OB（已知），
••• △AOD FOB （ASA）.
问：这位同学的回答及证明过程正确吗？为什么?
14.已知如图，E、F 在 BD 上，且 AB = CD，BF= DE，AE= CF,求证：AC 与 BD互相平分.
A
15.已知：如图,AB 1/CD, OA = OD, BC过O点，点E、F在直线AOD上,且 AE = DF.
要点一、判定直角三角形全等的一般方法
由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等， 或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了 •这里用到的是“ AAS ”，“ ASA 或“ SAS”判定定理.
要点二、判定直角三角形全等的特殊方法一一斜边，直角边定理
在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 （可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）•这个判定方法是直角三角形所独有的， 般三角形不具备
【典型例题】 类型一、直角三角形全等的判定一一“ HL
1、已知：如图，AB 丄 BD , CD 丄BD , AD = BC.
求证：(1) AB = CD :
(2) AD //BC.
证明：(1) VAB 丄 BD , CD 丄 BD ,
•••/ABD = ZCDB = 90 °
在 Rt △KBD 和 Rt△:DB 中,
AD= BC
BD DB ••Rt △KBD 李tMDB (HL) ••AB = CD (全等三角形对应边相等) (2 )由/ADB = /CBD
••AD //BC .
举一反三：
【变式】已知：如图， AE丄AB , BC丄AB , AE = AB 求证：ED±AC .
, ED = AC.
B
2
判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“X” ，全 等的注明理由:
(1) 一个锐角和这个角的对边对应相等;
一个锐角和斜边对应相等; 两直角边对应相等; 一条直角边和斜边对应相等.
举一反三:
【变式】下列说法中，正确的画“V” ;错误的画
X”，并举出反例画出图形.
(1)一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等. (2)有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等. (3)
的高对应相等的两个三角形全等.
有两边和第三边上(
3、已知：如图，AC = BD , AD 丄 AC, BC 丄 BD .
证明：连接DC
••AD 丄 AC , BC丄 BD •••zDAC = /CBD = 90
在 Rt △KDC 与 Rt△BCD 中，
DC CD AC= BD
••Rt△ADC 李t△BCD (HL)
••AD = BC .(全等三角形对应边相等)
举一反三：
【变式】已知，如图，AC、BD相交于0，AC = BD , ZC=ZD = 90 求证：OC =
、如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上，且过A，B两点分别作直线I的垂线，垂足分别为 D，E,请你在图中找出一对全等 三角形，并写出证明它们全等的过程
一、 选择题
1 .下列说法正确的是 （ ）
OD.
A .一直角边对应相等的两个直角三角形全等 B .斜边相等的两个直角三角形全等 C. 斜边相等的两个等腰直角三角形全等 D .一边长相等的两等腰直角三角形全等
3.能使两个直角三角形全等的条件是（）
A.斜边相等 C.两锐角对应相等
B.—锐角对应相等 D.两直角边对应相等
）
5. 直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（ A.形状相同
B .周长相等
C.面积相等
D .全等
6. 在两个直角三角形中，若有一对角对应相等，一对边对应相等，则两个直角
三角形（
）
A.—定全等
二、 填空题
B.一定不全等 C.可能全等 D.以上都不是
7 .如图，BE,CD是△ABC的高，且BD = EC,判定△BCD也QBE的依据是“ ______ ”
8.已知，如图，/ A = /D = 90 °,BE= CF, AC = DE,贝^△ABC圣 ________
=90 ,AB = CE, BC= ED，贝U AC =
10.如图，已知 AB 丄 BD 于 B, ED丄 BD 于 D , EC丄 AC , AC = EC,若 DE = 2 ,
E为AC上一点, BE 交 AD 于 F, 且 BF=
AC, FD = CD.则
/BAD =
三、解答题
14.如图，已知 AB丄BC于B, EF丄AC于G, DF丄BC于D , BC= DF.求证: AC = EF.
15.如图，已知 AB = AC, AE= AF, AE丄EC, AF丄BF,垂足分别是点 E、F.
求证：/1 = /2.
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