6 月
Vol.38 No.6June
2021
工 程 力 学ENGINEERING MECHANICS
103
文章编号：1000-4750(2021)06-0103-10
严重事故下核电厂安全壳结构概率性能评价
金 松，李鑫波，贡金鑫
3. 河北工业大学土木与交通学院，天津 300401)
1,231,2
(1. 大连理工大学建设工程学部，辽宁，大连 116024；2. 海岸和近海工程国家重点实验室，大连理工大学，辽宁，大连 116024；
摘 要：安全壳结构在严重事故下概率安全性能是核电厂结构概率安全评价中关注的重点。该文基于安全壳三维精细化有限元模型，评估了安全壳结构在严重事故工况下的概率安全性能。为了实现非线性有限元分析自动化运行，开发了Python和Matlab脚本。为量化评估统计不确定性对易损性参数的影响，分别采用统计推断法和bootstrap方法对安全壳结构易损性参数的置信区间进行估计。此外，利用 bootstrap法量化分析了安全壳结构的可靠度和总失效概率的统计特性。采用中值法和置信法评估了安全壳结构的安全裕度。研究表明：统计推断法和bootstrap法对易损性参数pm的置信区间估计几乎相同，对于易损性参数βS，两种方法估计的置信区间差别较大，统计推断法往往会高估易损性参数βS的置信区间。内压易损性参数的统计不确定性对可靠指标和总失效概率的影响不大，并且易损性函数参数的统计不确定性对总失效概率的影响大于对可靠指标的影响。中值法计算的安全裕度与置信水平为95%的置信安全裕度相差不大。总体来看，该文研究的安全壳可以满足严重事故下概率性能目标要求，同时也能满足安全裕度不小于2.5的要求。
关键词：核安全壳结构；可靠性；概率安全评价；有限元模型；易损性分析；统计不确定性；bootstrap中图分类号：TL364+.3；TU311.3 文献标志码：A doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2020.07.0437
PROBABILISTIC PERFORMANCE EVALUATION OF NUCLEARCONTAINMENT STRUCTURE SUBJECTED TO SEVERE ACCIDENTS
JIN Song , LI Xin-bo , GONG Jin-xin
1,2
3
1,2
(1. Faculty of Infrastructure Engineering, Dalian University of Technology, Dalian, Liaoning 116024, China;
2. State Key Laboratory of Costal and Offshore Engineering, Dalian University of Technology, Dalian, Liaoning 116024, China;
3. School of Civil Engineering and Transportation, Hebei University of Technology, Tianjin 300401, China)
Abstract: Probabilistic safety performance of nuclear containment structure subjected to severe accidentconditions is the focus of probabilistic safety assessment (PSA) of nuclear power plant structures. Based ondetailed three-dimensional finite element model of the nuclear containment structure, probabilistic safetyperformance of nuclear containment structure under severe accident conditions is evaluated in this study. Torealize the automatic running of nonlinear finite element analysis, Python and Matlab scripts are developed. Toquantitatively evaluate the effect of statistical uncertainty on the fragility function parameters, statistical inferenceand bootstrap method are used to estimate the confidence interval of the fragility function parameters. Moreover,statistical characteristics of reliability index and total failure probability of the nuclear containment structure arequantitatively analyzed by bootstrap method. Finally, median value and confidence interval method are used toevaluate the safety margin of the nuclear containment structure. Results indicate that confidence interval offragility function parameter,pm, estimated by statistical inference and bootstrap method are almost the same. Asfor confidence interval of fragility function parameter βS, statistical inference method tends to overestimate the
收稿日期：2020-07-07；修改日期：2020-11-06基金项目：国家自然科学基金项目(51978125)
通讯作者：贡金鑫(1964−)，男，河北衡水人，教授，博士，博导，主要从事工程结构可靠性研究 (E-mail: ******************).
作者简介：金 松 (1992−)，男，安徽巢湖人，博士生，主要从事核电厂安全壳结构概率安全性能评估研究(E-mail: **********************);
李鑫波(1995−)，男，四川成都人，硕士，主要从事核电厂结构力学性能分析研究(E-mail: ******************).
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confidence interval of fragility function parameter βS. Statistical uncertainty of fragility function parameters hasnegligible influence on reliability index and total failure probability, and the influence of the statistical uncertaintyof the fragility function parameters on total failure probability is greater than that of reliability index. There issmall difference between the safety margin calculated by median value method and the safety margin with 95%confidence level calculated by confidence interval method. In general, nuclear containment structure used in thisstudy meets the requirements of probabilistic performance under severe accident conditions, and it also meets therequirements of safety margin of no less than 2.5.
Key words: nuclear containment structure; reliability index; probabilistic safety assessment; finite element
model; fragility analysis; statistical uncertainty; bootstrap
安全壳结构作为核电厂最重要的结构，是事故下的防泄漏屏障，在保证核安全方面起到关键作用
[1 − 3]
。美国三里岛核事故以后，安全壳结构的
重要性得到重新认识，研究安全壳结构在超设计基准事故下的行为和相关性能成为热点。目前，关于安全壳结构在事故压力下的力学性能开展了一系列的试验和数值模拟研究[4]
。安全壳结构试验研究主要包括桑迪亚实验室的1∶4模型试验[5]
，印度BARCOM1∶4模型试验[6]
、法国MAEVA模型试验[7]
、英国Sizewell-B1∶10安全壳缩尺模型试验[8]
，以及国内张心斌等[9]
进行的1∶10预应力混凝土安全壳模型试验。通过模型试验可以深入了解安全壳结构内压承载力、破坏过程及破坏形态。但由于安全壳模型试验成本高，制作难度大，试验周期长，很难大量重复进行。阳涛等
[10]
开展了采用碳纤维布加固的安全壳模型试验研究，试验发现采用CFRP 加固能够显著提高安全壳结构的抗压承载力，并且有效控制安全壳的变形和裂缝发展。复杂非线性有限元分析技术的飞速发展使得模拟安全壳结构成为可能。Huang等
[11]
在考虑时变因素影响的前提下，分析了安全壳
结构在超设计基准工况下的力学性能。Shokoohfar和Rahai[12]
采用有限元软件ABAQUS对预应力混凝土安全壳在压力和温度共同作用下的力学性能进行分析。台湾学者Hu等
[13]
采用有限元软件
ABAQUS对安全壳结构的极限承载力进行分析，详细考虑了相关材料的非线性以及预应力损失的影响。Sara等
[14]
采用数值模拟方法详细评估了预
应力损失、混凝土老化、钢筋锈蚀、钢衬里锈蚀四种不同老化情况下安全壳极限承载力，研究发现钢筋锈蚀对安全壳极限承载力影响最大。Wang
[15]
对安全壳结构穹顶和筒体交接部位在温度和压力共同作用下的力学性能进行理论分析，并将理论分析结果与有限元计算结果进行了比较。Luu等
[16]
开发了循环软化膜单元，并且利用循环软化膜单元对安全壳结构的滞回性能进行分析。
安全壳结构有多处几何不连续区域(例如设备闸门、人员闸门、截椎体、环梁)，这些几何不连续区域的存在造成安全壳结构受力机理复杂。其次，安全壳结构在运营期间承受各种不同类型的荷载作用，因此分析安全壳结构力学性能，会涉及各种相关不确定性。此外，概率安全性能评价(PSA)方法是评估核电厂结构安全性能评估的主流分析方法
[17]
。因此采用概率方法评估安全壳结构
性能更加合适。在分析与设计安全壳结构的过程中需要考虑各种内部灾害和外部灾害工况[18]
, 诸如
主蒸汽管道破裂等事故工况会造成安全壳结构内
部产生超压
[19]
。然而，目前关于安全壳结构超压下失效概率研究主要集中在易损性研究方面。例如Hoseyni等
[20]
采用中值法和传统Monte Carlo方
法评价了安全壳结构的超压易损性。Kim等[21]
采
用简化的安全壳结构全截面开裂功能函数，对安全壳结构不同位置的可靠度进行分析。Prinja等[22]
采用传统一次二阶矩中心点法和验算点法对安全壳结构在内压荷载作用下的可靠度进行分析，该分析同样也是基于简化的显示功能函数。
上述关于安全壳结构在严重事故工况下可靠性分析或易损性分析，主要基于简化的显示功能函数，或者在易损性分析中考虑的不确定性不够全面。本文基于安全壳结构三维实体精细化有限元模型，对安全壳结构在严重事故内压的易损性进行分析，开发了相应自动化前后处理程序。然后采用统计推断法和bootstrap法分析了安全壳结构易损性参数的置信区间。在此基础上采用bootstrap法计算了安全壳在严重事故内压下的可靠指标和总失效概率的统计特性，最后采用中值法和置信法评估了安全壳结构的安全裕度。本
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文的相关研究成果可以为安全壳结构严重事故工况下概率安全评价(PSA)提供技术参考和研究指导。
1 安全壳结构有限元模型
1.1 安全壳几何模型
本文研究的是采用改进型百万千瓦级压水堆核电技术的某核电厂预应力混凝土安全壳结构。该安全壳结构由底板、筒体、穹顶、环梁、钢衬里和预应力系统组成。除底板外，安全壳结构的总高度为61.7 m。安全壳结构筒体内半径为18.5 m，外半径为19.4 m，壁厚为0.9 m。穹顶的曲率半径为30.2 m，厚度为0.8 m。在安全壳结构外壁上设置有四个扶壁柱。为保证结构完整性，在安全壳结构内设置了由水平预应力钢束、纯竖向钢束和Gamma钢束组成的预应力系统。此外，为保证安全壳结构密封功能，在安全壳结构的内壁上设置了6 mm厚的钢衬里。安全壳结构筒体上也设置了一些孔洞，用来满足工艺需要(主要包括设备闸门，人员闸门和应急闸门)。安全壳结构的几何简图如图1所示。
0.8 m57.2 m50.3 m穹顶环梁31.88 m18.5 m筒体−0.5 m0.9 m−10.0 m−4.5 m底板图 1 安全壳结构简图
Fig. 1 Sketch of containment structure
1.2 材料特性及本构关系
有限元软件ABAQUS提供了多种材料本构关系模型。其中混凝土材料本构关系包含脆性开裂模型、弥散开裂模型和塑性损伤模型。文献[23]指出塑性损伤模型最适合模拟混凝土材料的非线性行为。因此，本研究的混凝土本构关系选用经典的塑性损伤模型。混凝土单轴受压本构关系采用Saenz
[24]
提出的模型，其表达形式如下：
σc=
()Ecεc
()2()31+(R+RE−2)εcεcεc
ε0−(2R−1)ε0+R
ε0
(1)
式中：R=
RE(Rσ−1)(R−1
EcR,R=,EεE0为混凝土初始弹性模量；ε−Eε1)2
00为混凝土峰值应力对应的压应
变；εc为混凝土压应变；Ec为混凝土达到峰值应力对应的割线模量。根据Hu等
[25]
建议可取Rσ=4，
Rε=4。
混凝土受拉本构关系采用文献[26]建议的本构关系。混凝土塑性损伤模型需要定义损伤因子来描述非线性变形产生的损伤。混凝土受拉和受压损伤因子的计算方法和相关参数选取参考文献[27]。普通钢筋、钢衬里、预应力筋本构关系采用文献[28]中建议的理想弹塑性模型。此外，普通钢筋、钢衬里的弹性模量和泊松比分别取200 000 MPa和0.3。预应力筋的弹性模量取为195 000 MPa，泊松比同样取0.3。混凝土受压本构关系如图2(a)所示，普通钢筋、钢衬里、预应力筋本构关系如图2(b)所示。
混凝土应力ft0.0035εcεt混凝土应变fc(a) 混凝土钢材应力fsEsOεs钢材应变(b) 普通钢筋、钢衬里、预应力筋图 2 安全壳结构材料本构关系
Fig. 2 Constitutive relationship of materials used in
containment structure
1.3 接触约束
在有限元分析中钢衬里与混凝土采用共节点
106工 程 力 学
方式建模(蒙皮法)，不考虑两者的相对滑移[29]
。
普通钢筋、预应力筋与混凝土采用分离式建模，普通钢筋和预应力筋都嵌入到混凝土内，不考虑它们与混凝土的相对滑移[30]
。此外，Chakraborty
等
[31]
研究发现底板对安全壳结构整体力学行为无
明显影响。因此在本文的有限元模拟中忽略底板，采用约束安全壳底部所有自由度的方法模拟底板
对安全壳的约束作用。
1.4 分析方法选取与网格划分
安全壳结构在发生事故的情况下，其内部会产生高温和高压，本文分析中考虑的温度和压力时程曲线参考文献[32](温度压力时程曲线如图3所示)。从图3可以看出，安全壳的温度约100 ℃~200 ℃，最高温度不超过200 ℃。文献[33 − 34]研究成果表明：对应在温度不超过200 ℃范围内，温度作用对安全壳极限内压承载力影响很小。因此在本文有限元分析中忽略温度作用。安全壳结构非线性有限元分析可以分为两个分析步：第一个分析步，施加重力荷载和预应力；第二个分析步，沿安全壳结构内表面施加线性增长的内压荷载。
2502.02001.6)1501.2(℃/度压力温1000.8/MPa50温度时程0.40压力时程020400.0时间/min图 3 温度和压力时程曲线
Fig. 3 Pressure and temperature time history curve
本文采用适中的网格尺寸(0.8 m)，对一些洞口等不连续区域的网格做了加密处理。混凝土采用以8节点六面体线性减缩积分实体单元(C3D8R单元)为主，洞口等不连续区域模拟采用6节点六面体线性减缩积分实体单元(C3D6R单元)模拟。普通钢筋采用三维4节点面单元(SFM3D4单元)，洞口等不连续区域采用三维3节点面单元(SFM3D3单元)模拟，这种单元只能传递平面内薄膜力，无弯曲和剪切刚度。预应力筋采用2节点三维桁架单元(T3D2单元)模拟。划分完网格的安全壳结构部件如图4所示。
(a) 混凝土(b) 内层普通钢筋(c) 预应力筋(d) 钢衬里图 4 安全壳结构网格划分
Fig. 4 Finite element mesh of containment structure
1.5 安全壳结构失效准则
安全壳结构在内压荷载作用下通常有两种典型的失效模式：即功能性失效和结构性失效。功能性失效表示安全壳结构的功能丧失，通常表现为泄漏率超过允许的最大值，结构性失效表示主要承受内压材料(通常指的是普通钢筋和预应力筋)发生失效导致安全壳结构快速泄压
[35]
。准确
描述安全壳的失效准则十分困难。工程上，通常采用基于材料应变的简化失效准则。本文采用美国核管会导则RG1.216建议的安全壳结构失效准则[36]
：
1)远离不连续区域的预应力筋的应变达到0.8% (包含加压前的应变，通常加压前的应变约为0.4%)。
2)自由场位置处的钢衬里和普通钢筋的应变达到0.4%。
1.6 安全壳概率有限元分析
安全壳在设计，施工和交付使用过程存在各种不确定性。这些不确定性主要包含几何不确定性、模型不确定性、材料不确定性以及荷载不确定性。文献[37]认为安全壳结构施工质量控制严格，结构几何偏差较小，因此可以忽略安全壳结构的几何不确定性的影响。本文重点关注材料不确定性、模型不确定性、以及荷载作用不确定性。首先分析材料不确定性对安全壳结构内压承载力的影响。安全壳结构各种组成材料的概率统计特性参考文献[26]。采用概率有限元方法对安全壳这种复杂结构进行分析，计算工作量巨大。此外，ABAQUS本身是一个确定性有限元计算平台，无法自动完成抽样及前后处理
[38]
。因此，十
分有必要开发自动化抽样和前后处理程序。本文采用Python平台和Matlab软件相结合的方式开发了自动化抽样和前后处理程序(自动化抽样和前后处理计算程序开发原理如图5(a)所示)。安全壳结构易损性自动化分析流程如图5(b)所示。
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Matlab抽样产生100个材料不确定性样本安全壳有限批处理程序元模型文件INP自动化运行100个更新对应100个样本调用本构子程Python脚本本构参数对应计算结果序输出样本本循环复制母样本inp文件odb文件构格式化数据本inp文件本文件 (对应inpn后100o脚h文件要求的格t理新对应本构个未更Py处式)数据项样本利用Matlab处理对应Python后处理程序提Python更新inp文件中取的结果文件并拟合对应本构数据项易损性曲线(a) 自动化程序开发原理示意图开始建立安全壳有限元模型将基于CAE的模型编译成ABAQUS的INP文件采用Matlab编制抽样和本构自动生成程序生成相应样本本构格式化数据采用Python脚本更新对应INP文件中数据项生成对应样本采用批处理程序自动计算对应样本否失效准则？是计算样本对应内压承载力并得到易损性曲线结束 (b) 易损性分析流程图 5 自动化计算程序开发原理及易损性分析流程Fig. 5 Principle for developing automatic calculation program
and fragility analysis process
2 有限元计算结果
2.1 安全壳内压承载力计算结果
根据上述破坏准则可以得到对应安全壳样本的内压承载力。图6给出了100个安全壳结构样本对应的内压承载力分布的箱线图。
2.2 易损性曲线计算
安全壳结构的易损性曲线通常采用对数正态
分布描述[39]
，具体表达形式如下：
(pln(p/pm)
)1(ln(p/pf=Φm))
β=√2πβ·exp−dpSS2β2S
(2)
式中：pm为安全壳结构中值内压承载力；βS为对数标准差(由安全壳结构组成材料强度不确定性引起)； p为安全壳事故压力。利用矩估计法可以得到对应安全壳结构易损性参数如下：
n
lnp1∑
m=nln(pi)
(3)
i=1β1∑n
S=
(ln(pi/pm))2n−1(4)
i=1
式中，pi为安全壳样本i的内压承载力。
1.721.701.68a1.66PM1.64/力1.62载承1.60压1.58内1.561.541.521.50安全壳样本图 6 安全壳内压承载力分布
Fig. 6 Pressure capacity distribution of containment structure
根据式(3)和式(4)可以得到安全壳结构对应易损性曲线如图7所示。
1.00.8率概0.6效失0.40.20.01.41.51.61.71.8内压荷载/MPa图 7 安全壳易损性曲线
Fig. 7 Fragility curve of containment structure
3 安全壳可靠性及概率性能评价
3.1 易损性参数统计不确定性及其置信区间
结构易损性分析通常采用有限的样本进行有
108工 程 力 学
限元分析并拟合对应易损性曲线。采用有限数量的样本数量分析得到的结果就会涉及统计不确定性
[40]
。目前有多种方法可以计算由于统计不确定
性造成结构易损性参数的变化，主要包含统计推断法和bootstrap法。本文采用统计推断法和bootstrap两种方法计算易损性参数的置信区间。
a) 统计推断法
对总体方差未知的情况，统计量T=X
¯−S/√μn服从自由度为n−1的t分布记为tn−1。且(n−1)S2/σ2
服从自由度为n−1的卡方分布记为χ2n−1。μ为总体
的均值；σ2为总体的方差；X
¯为样本的均值；S为样本的标准差；n为样本容量。根据统计量
T=X¯−μS/√n服从tn−1分布的特性可以得到对应置信
水平为1−α时安全壳内压易损性参数pm的置信区
间为：
()
Ptα,n−1≤pm−S/√pˆm
2
n≤t1−α2,n−1=1−α(5)
式中：1−α为置信水平；tα,n−1、t位值αα
21−α2
,n−1分别为分2和1−2
对应自由为n−1的t分布的临界值。
此外根据t分布的对称性可得：
−tα(n)=t1−α22(n)(6)
结合安全壳内压易损性曲线服从对数正态分布的假设，于是可得易损性参数pm对应置信水平为1−α的置信区间为：[(expln(pm)+β√S)(ntα
2(n−1),expln(pm)−β√S
)]
ntα2(n−1)(7)
同理，对应易损性参数βS对应置信水平为
1−α的置信区间为：√n−1√
n−1√βS,√βS(8)
χ21−
α(n−1)χ2α(n−1)2
2
根据式(7)和式(8)可以得到对应90%置信水平易损性参数pm对应的置信区间为[1.59MPa,1.61MPa]，对应参数βS的置信区间为[0.017,0.025]。
b) bootstrap法
bootstrap是一种统计推断方法，按照抽样方式的不同可以分为参数化bootstrap和非参数化bootstrap。本文采用Matlab软件分别编制了参数化bootstrap和非参数化bootstrap程序。利用程序
可以计算得到100次、500次、1000次重抽样对应安全壳结构的内压易损性曲线族如图8和图9所示。 1.0100组非参数bootstrap易损性曲线0.8母本易损性曲线率0.6概效失0.40.20.01.41.51.61.71.8内压荷载/MPa(a) 100次1.0 500组非参数bootstrap0.8易损性曲线母本易损性曲线率0.6概效失0.40.20.01.41.51.61.71.8内压荷载/MPa(b) 500次1.01000组非参数bootstrap易损性曲线0.8母本易损性曲线率0.6概效失0.40.20.01.41.51.61.71.8内压荷载/MPa(c) 1000次图 8 不同非参数bootstrap重抽样次数对应
安全壳易损性曲线
Fig. 8 Fragility curves of nuclear containment structure with
different number of nonp-arametric bootstrap re-samplings
表1列出了采用两种bootstrap法(参数化bootstrap法和非参数化bootstrap法)对应100次、500次和1000次重抽样计算的安全壳结构内压易损性参数pm和βS的统计特性。从表1可以看出，易损性参数pm和βS对重抽样次数和重抽样方法不敏感。因此，本文采用100次参数化bootstrap重
工 程 力 学
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1.0100组参数bootstrap0.8易损性曲线母本易损性曲线率0.6概效失0.40.20.01.41.51.61.71.8内压荷载/MPa(a) 100次1.0 500组参数bootstrap0.8易损性曲线母本易损性曲线率0.6概效失0.40.20.01.41.51.61.71.8内压荷载/MPa(b) 500次1.01000组参数bootstrap0.8易损性曲线母本易损性曲线率0.6概效失0.40.20.01.41.51.61.71.8内压荷载/MPa(c) 1000次图 9 不同参数bootstrap重抽样次数对应
安全壳易损性曲线
Fig. 9 Fragility curves of containment structure with different
number of parametric bootstrap re-samplings
抽样结果作为易损性参数置信区间构造的依据。图10给出了100次参数bootstrap重抽样对应90%置信水平易损性曲线的置信区间。
100次参数化bootstrap重抽样得到易损性参数pm对应90%置信水平的置信区间为[1.596MPa,
1.603MPa]，对应易损性参数βS的置信区间为[0.0191,0.0195]。对比统计推断法和bootstrap法
预测的置信区间可以看出, 两种方法对易损性参数
表 1 不同bootstrap次数计算易损性参数统计特性Table 1 Statistical characteristics of fragility parameters with
different number of parametric bootstrap re-samplings
方法
μpˆmσpˆmδpˆmμβˆSσβˆSδβˆS
100次参数化bootstrap
1.5980.0010.0006260.0190.0010.053500次参数化bootstrap1.5990.0010.0006260.0190.0010.0531000次参数化bootstrap
1.5980.0010.0006260.0190.0010.053
100次非参数化bootstrap1.5980.0020.0012520.0190.0010.053
500次非参数化bootstrap1.5980.0020.0012520.0190.0010.0531000次非参数化bootstrap1.5980.0020.0012520.0190.0010.053注：μpˆm为易损性参数pm的均值；σˆp
δm为易损性参数pm的标准差；pˆm为易损性参数pm的变异系数；μˆ值；σββS为易损性参数βS的均βˆS为易损性参数S的标准差；δβˆS为易损性参数βS的变异系数。
1.00.8率概0.6失效0.4100组bootstrap0.2母本易损性曲线95%置信水平0.05%置信水平1.41.51.61.71.8内压荷载/MPa图 10 100次参数bootstrap重抽样及其对应90%
置信水平易损性曲线
Fig. 10 Fragility curves of 100 parametric bootstrap re-samplings with 90% confidence level
pm置信区间的估计几乎相同。对于易损性参数βS，两种方法估计的置信区间差别较大，统计推
断法往往会高估易损性参数βS的置信区间。需要说明的是，可以认为100次参数化bootstrap方法
估计的易损性参数置信区间为准确结果。
3.2 安全壳可靠指标与总失效概率分析
为了更加合理的评估安全壳结构的内压承载力，需要考虑模型不确定性。不同堆型的安全壳结构的模型不确定性取值大小差异
[41 − 42]
。文献[20]
指出采用先张法和后张法施工的预应力混凝土安
全壳模型不确定性βM可取0.12。此外安全壳结构的事故内压服从均值μpa=0.663MPa，对数标准差
βpa=0.3的对数正态分布。安全壳结构的可靠指标β和总失效概率CCFP可以采用下式进行计算
[26]
：
CCFP=Φ(−β)(9)β=√ln[pm/μpa](10)
β2S+β2M+β2pa
110工 程 力 学
根据上述100次参数化bootstrap重抽样计算结果，可以采用数理统计法得到对应可靠指标的均值μβ和变异系数δβ。具体计算公式如下：
μ=1∑nβnβi
(11)i=1
δβ=σβ/μβ
(12)
其中：
n
σβ=
1∑(βi−μβ)2
n−1(13)
i=1
总失效概率CCFP的统计特性可以采用同样方法确定。安全壳结构的可靠指标β和总失效概率
CCFP的统计特性汇总于表2。从表2可以看出，可靠指标β和总失效概率CCFP的变异性都很小，且总失效概率
CCFP的变异性明显高于可靠指标β。
表 2 安全壳可靠指标和总失效概率统计特性Table 2 Statistical characteristics of reliability index andcumulative failure probability for containment structure
μβσβδβμCCFPσCCFPδCCFP2.720
0.004
0.002
0.0033
0.00004
0.0124
注：μβ为可靠指标的均值；σβ为可靠指标的标准差；δβ为可靠指标
的变异系数；µCCFP为总失效概率的均值； σCCFP为总失效概率的标准差；δCCFP为总失效概率的变异系数。
3.3 安全壳结构概率安全裕度及概率安全性能
评价
3.3.1 安全壳结构概率安全裕度评价
安全壳结构安全裕度评价是安全壳结构概率
安全评价(PSA)工作中的一项重要任务。同时，安全壳结构的安全裕度是核电厂安全审查中关注的重要指标。本文采用中值法和置信法这两种方法评价安全壳结构的安全裕度。中值法的具体计算思路如下，根据文献[27]中给出不确定性SRSS组合方法，可以得到安全壳结构总的不确定性参数如下：
β√c=β2
S+β2M
(14)
安全壳对应95%保证率对应的平均安全裕度如下[26]
：
p¯mar=p95%/pd
(15)p95%=pm·exp(−1.645βc)
(16)
此外，也可采用置信法来评价安全壳结构的安全裕度。具体计算思路如下：置信水平为Q的安全壳结构易损性曲线可以采用如下的形式表达：
(ln(p/pm)+βMΦ−1(Q)
)
pf,Q=Φ
β(17)
S
对式(17)进行等效变换可得：
[(plnp−lnpm·exp−βMΦ−1(Q))]f,Q=Φβ(18)
S
对比式(16)和式(18)可知，只须将式(16)中的pm替换成pm·exp(−βM·Φ−1(Q))即可计算得到
具有置信水平的安全裕度。定义：
pm,Q=pm·exp(−βM·Φ−1(Q))
(19)
于是可得置信水平为Q的安全裕度表达式
如下：
Pmar,Q=pm,Q/pd
(20)
采用中值法和置信法计算得到安全壳结构的安全裕度列在表3。从表3可以看出，采用中值法计算的安全裕度与95%置信水平的置信安全裕度相差不大。置信安全裕度随着置信水平的提高不断减小。总体来看，本文研究的安全壳结构可以满足安全裕度不小于2.5的要求。
表 3 安全壳结构安全裕度
Table 3 Safety margin of containment structure
p¯marPmar,5%Pmar,10%Pmar,95%3.07
4.64
4.44
3.12
注：p
¯mar为中值法计算的安全裕度； Pmar,5%为置信水平为5%的置信安全裕度；Pmar,10%为置信水平为10%的置信安全裕度；Pmar,95%为置信水平为95%的置信安全裕度。
3.3.2 安全壳概率安全性能评价
安全壳结构在严重事故下的性能主要包含确定性能目标和概率性能目标两个方面。确定性性能目标指的是在堆芯毁损24 h之内，安全壳结构应保证其结构完整性。概率性能指标指的是安全壳结构在严重事故下的总失效概率不超过10%[43]
。本文采用概率性能目标作为安全壳结构性能评价的依据，从表2的计算结果可以看出，安全壳结构总失效概率基本上稳定在0.0033，远小于10%，说明本文分析的安全壳结构满足严重事故下的性能要求。
4 结论
本文基于安全壳三维精细化实体有限元模型，对安全壳结构严重事故工况下的易损性和概率安全性能进行详细分析。通过上述研究主要得
工 程 力 学111
到以下结论：
(1)统计推断法和bootstrap法对易损性参数
pm置信区间估计几乎相同，就易损性参数βS而
言，两种方法估计的置信区间差别较大，统计推断法往往会高估易损性参数βS的置信区间。
(2)考虑各种不确定性以后，安全壳结构在内压作用下的总失效概率基本稳定在0.0033。说明本文分析的安全壳结构能满足严重事故下的性能要求。 此外，安全壳结构内压易损性参数的统计不确定性对可靠指标β和总失效概率CCFP的影响不大，并且易损性参数的统计不确定性对总失效概率的影响明显大于对可靠指标的影响。
(3)中值法计算的安全裕度与置信法计算的置信水平为95%的置信安全裕度相差不大。同时，置信安全裕度随着置信水平的增大不断减小。总体来看，安全壳结构可以满足安全裕度不小于2.5的要求。参考文献：
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