平行四边形
概念 两组对边分别平行的四边形称为平行四边形。
注：在用字母表示四边形时，一定要按顺时针或逆时针方向注明各顶点，否则则是错误的。
判定
两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（两组对边平行判定） 对角线互相平分的四边形是平行四边形；
3（矩形(长方形)、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。）
性质：
（1）平行四边形的两组对边分别相等 （2）平行四边形的两组对角分别相等 （ 3）平行四边形的邻角互补
（4）夹在两条平行线间的平行的高相等 （5）平行四边形的对角线互相平分
（6）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。 （7）平行四边形的面积等于底和高的积。（可视为矩形）.
（8）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。 （9）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点. （10）平行四边形不是轴对称图形
矩形
概念 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 性质
1.从边看，矩形对边平行且相等。 2.从角看，矩形四个角都是直角。
3.从对角线看，矩形对角线互相平分且相等。
4.矩形的代表：正方形——具有菱形和平行四边形的一切性质。
5.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴，它也是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。 6.矩形的四个角都是直角 7．矩形的对角线相等
判定
1.定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形 2．有三个角是直角的四边形是矩形
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3．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
菱形
概念 在一个平面内，一组邻边相等的平行四边形是菱形 性质
1、具有平行四边形的性质； 2、菱形的四条边相等；
3、菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 4、菱形是轴对称图形，它有两条对称轴。
特点
顺次连接菱形各边中点为矩形
正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形。
判定
1.四边都相等的四边形是菱形。
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 3.有一组邻边相等的平行四边形是菱形
正方形
概念 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。 性质
1.四个角都是直角，四条边都相等 2.两条对角线相等且互相垂直平分 3.每条对角线平分一组对角
4.正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，有四条对称轴
判定
1.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。
2.邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。（一个角是直角的菱形） 3.有一组邻边相等的矩形。
4.既是矩形，又是菱形的四边形。
正方形是特殊的矩形 ，也是特殊的菱形！
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3.6 三角形、梯形的中位线（1）
一、课标要求：探索掌握三角形中位线的性质。
二、教学目标：探索并掌握三角形中位线的概念、性质；会利用三角形中位线的 性质解决有关问题；经历探索三角形中位线性质的过程，体会转 化的思想方法。
三、教学重点：探索并掌握三角形中位线的性质。 四、教学难点：运用转化思想解决有关问题。
五、设计意图：本节课首先通过剪三角形拼平行四边形引出中位线的概念，由说 理的过程引导学生探索出三角形中位线的性质，使学生经历由直 观感知到理性认知的过程，突出转化思想，激发学生的思维活动。 六、教学过程：
1、情境创设：怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼与 一个平行四边形。 2、探索活动：
活动一：操作——观察——探索 操作：
操作1：把一个等边三角形剪成四个全等的三角形——取三边中点，并分别 连接（图1）；
操作2：把一个任意三角形剪成四个全等的三角形——取三边中点，并分别 连接（图2）；
操作3：把一个任意三角形剪拼成一个平等四边形——剪一个三角形，记为 △ABC；分别取AB、AC的中点D、E，连接DE；沿DE将△ABC
剪成两部分，并将△ADE续点E旋转180°，得四边形BCFD（图3）。 A D F
E
B 图2 图3 图1 C
【设计意图：操作1是学生已熟知的内容，以此作铺垫，学生能利用类比的方法解决操作2，通过对操作2图形的观察、思考，操作3将迎刃而解，如此设计，遵循由特殊到一般的规律，符合学生认知特点。】
观 察：四边形BCFD是平行四边形吗？ 探索：
问题1：要判定一个四边形是平行四边形，须具备什么条件？ （边、角、对角线）
问题2：结合此题中的条件，你感觉应该选用哪种方法？
由操作3和△ADE≌△CFE，得CF∥DB，所以四边形BCFD是平行四边形。
【设计意图：通过对问题的逐层分析，把解决问题方案的范围逐渐缩小，最终确定一个合理的方案。能培养学生严密推理的能力和良好的思维习惯。】 活动二：探索三角形中位线的性质。
（1）概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
问题：你能说出三角形的中位和三角形中位线的区别吗？画图描述。
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【设计意图：这两个概念容易混淆，通过画图比较，巩固学生对中位线概念的理解，培养学生严谨细致的学习习惯。】 （2）探索：如图3，DE是△ABC的中位线，DE与BC有怎样的位置关系和数量关系？为什么？ 操作1：你能直观感知它们之间的关系吗？用三角板验证。 操作2：你能用说理的方法来验证它们之间的这种关系吗？ 由活动一知DE=1/2DF =1/2BC，DE∥BC。 三角形中位线的性质：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 【设计意图：先由直观的方法感知DE与BC的位置与数量上的关系，再用说理的方式来验证这一关系，此举既满足了学生探求新知的欲望，获得成功的体验，又刺激学生进行更深入的A 探求。】
F （3）尝试练习：填空 D 如图4，Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E、F分别
C 是△ABC三边中点，EF=4cm，则CF= cm。 E ② 如图1，若△ABC的周长是16cm，则△DEF的周长是 cm。 图4 2
③ 若三角形三条中位线索分别是3cm、4cm、5cm，则这个三角形的面积是 cm。 【设计意图：通过练习，加深对所学知识的理解，能较熟练的解决一些基本问题。】 3、例题教学：
例1：如图5，在四边形ABCD中，E、F、G、H分 H A D 别是AB、BC、CD、DA、的中点，四边形EFGH是平行四
E G 边形吗？为什么？
操作1：请任画一个四边形，顺次连接四边形各边的中点。
B C F 问题1：猜想探索得到的四边形的形状，并说明理由。
图5 问题2：由E、F分别是中点，你能联想到什么？你应该如何做？
【设计意图：对大部分学生而言，此题难度较大，原因在于条件与结论之间无法建立直接的联系，学生易产生思维障碍，因此需要将难度分解，把问题慢慢引向三角形中位线的性质上，让学生进一步感受转化思想的重要性。】 4、练习反馈：P135 练习1—3 5、作业 P134 1 3
6、教学流程:剪拼三角形→平行四边形的说理→中位线概念→探求性质 →尝试练习→例题讲解→练习反馈→小结,作业 6、备选练习： （1） 例1中
①若四边形ABCD是矩形，则四边形EFGH是 形。 ②若四边形ABCD是菱形，则四边形EFGH是 形。
D C （2）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，E、F分
别是AB、AD的中点，试问线段OE与OF有什么关系， O E 并说明理由。
A F B （3）如图，等腰梯形ABCD对角线交于点O,
A D E 点E、F、G分别是AO、BO、DC的中点，∠AOD=60°，
O G 试说明△EFG是等边三角形。
F
B C 精选资料，欢迎下载
B 。
3.6 三角形、梯形的中位线（2）
一、课标要求：探索并掌握梯形中位线的性质。
二、教学要求：探索并掌握梯形中位线的概念、性质，会利用梯形中位线的性质 解决有关问题。经历探索梯形中位线性质的过程，体会转化的思 想方法。
三、教学重点：探索梯形中位线的性质，并会利用性质解决有关问题。 四、教学难点：将梯形问题转化为三角形问题。
五、设计思路：本节课首先通过剪梯形拼三角形，将梯形中位线问题转化为三角 形中位线索问题，从而推导出梯形中位线的性质；学生经历了将 未知问题转化为已知问题的过程，获得解决问题的一般策略，有 利于提高数学素养，发展数学思维。 六、教学过程：
1、复习：画图描述三角形中位线的概念和性质 【设计意图：通过回顾三角形中位线的概念和性质，为探求梯形中位线的概念及性质做好铺垫，渗透转化的思想。】 2、情境创设：
怎样将一张梯形硬纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个三角形？ 3、探索活动： A D 活动——操作——观察——探索
操作、观察：① 剪一个梯形，设为梯形ABCD。 N 图1 ② 取CD的中点N。
③ 沿AN将梯形剪成两部分，并将△AND结点N旋转180°，
B C E 得△ABE（如图1）。 ④ 取AB中点M，连接MN。
【设计意图：此操作的目的是将梯形转化为三角形，因此只需取一腰的中点即可，而教材中取两腰中点并连线，与转化图形无关，干扰了学生正常操作程序，造成思维混乱，所以另一中点的选取应滞后。】 探索：
问题1：MN与BE之间有怎样的关系？并说明理由。（MN∥BE、MN=1/2BE）
问题2：MN是△ABE的中位线，在梯形ABCD中，你认为应该如何定义这条线段？（梯形的中位线）
问题3：梯形两底中点的连线段也是梯形的中位线吗？（不是）
【设计意图：这既是对将要探究的梯形中位线性质的一个铺垫，又渗透了转化的思想方法。——将对梯形中位线性质的研究转化为对三角形中位线性质的研究。】 活动二：探索梯形中位线的性质。
梯形ABCD的中位线MN与梯形的两底边AD、BC有怎样的位置关系和数量关系？为什么？ 问题1：由MN与BE的关系，你能发现MN与AD、BC之间有怎样的关系？为什么？（MN=1/2（AD+BC））
问题2：你能对照三角形中位线的性质来描述梯形中位线的性质吗？ 请尝试并相互交流。 A D （梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半）
F E 问题3：当梯形ABCD的上底AD=0，即两个端点A、D重合 时，对于梯形中位线EF，你有什么发现？（图2）
B C 图2 精选资料，欢迎下载
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（梯形中位线变成三角形的中位线，三角形是梯形的特殊情况） 【设计意图：让学生通过类比的思想探索出梯形中位线的性质，强化了对三角形中位线的理解与运用，使学生掌握了解题的一般策略，同时对三角形与梯形之间的区别与联系有了更深入的了解】
3．例题教学：
例2：如图3，梯子各横木间互相平行，且A1A2=A2A3=A4A5，
B5 A5 B1B2=B2B3=B2B4=B4B5，已知横木A1B1=48cm，A2B2=44cm，
A4 B4 求横木A3B3，A4B4，A5B5的长。
A3 B3 问题1：你认为哪根横木的长最容易求出？为什么？
A2 B2 （A3B3，A2B2 是梯形A1 B1 B3A3 的中位线）
A1 B1 问题2：你能写出求解的过程吗？请尝试。
问题3：若将题中A2B2=44cm改为A3B3=44cm，其余横木的长如何求解？ 图3 若改成A5B5=44cm呢？A4B4=44cm呢？
（改成A4B4=44cm时，可以设A2A3=x,通过列方程求解）
【设计意图：通过例题教学，使学生能熟练运用梯形中位线的性质解决有关问题，培养学生合情推理能力，由变式练习拓宽学生的视野，发展学生思维的灵活性。】 4、 练习P133 1—2 5、作业P134 2、4 6．教学流程：
剪梯形拼三角形→梯形中位线概念→探索性质→例2→练习（补）→作业
7、备选练习：
⑴已知梯形中位线长是5cm，高是4cm，则梯形的面积是 。 ⑵等腰梯形的腰长是6cm，中位线是5cm，则梯形的周长是 。 ⑶梯形上底与中位线之比是2：5，则梯形下底与中位之比是 。 ⑷如图4，梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AB中点， A D 连结EC、ED、CE∟DE，CD、Ad与BC三条线段之间有什么 样的数量关系？请说明理由。 E
B 图4 C 精选资料，欢迎下载
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数学活动 镶嵌
一 课标要求：通过探索平面图形的镶嵌，知道任一个三角形、四边形可以镶嵌平面，并能运用几种图形进行简单的镶嵌设计
二 教学目标：1 通过具体实例认识平面图形的镶嵌，知道任一个三角形、四边形可以镶嵌平面
2 经历运用所学知识解决实际问题的过程 3 在解决实际问题的过程中，丰富对平面图形的镶嵌的认识，发展空间观念，增强审美意识， 三 教学重点：通过认识平面图形的镶嵌，发展空间观念，增强审美意识 四 教学难点：探求平面镶嵌的条件
五 设计意图：通过欣赏一组镶嵌图案引导学生观察思考实际生活中的镶嵌图案；通过用三角形、四边形等镶嵌平面，理解并掌握平面镶嵌的有关知识；通过自制镶嵌图案，满足学生多样化的学习需要，为学生提供个性化学习的时间和空间，进一步培养学生认识美、欣赏美、创造美的能力。
六 教学准备：用硬纸板制作多个全等的边长为4㎝的正三角形、正方形、正五边形、正 六边形和任意三角形、四边形，设计几幅漂亮的镶嵌图案 七 教学过程： 1 图案欣赏
:问题：上述各图案是由哪些“基本图案”铺砌而成？ （正三角形、正方形、正五边形、正 六边形）
【设计意图：通过欣赏一组漂亮的图案，让学生初步感受平面图形的镶嵌，通过对图案的观察，发现图案的基本组成部分，为自制镶嵌图案作铺垫】 2 探究多边形在镶嵌中的作用 情景创设：
如图，这是一块拼图板，不少同学都曾经玩过。 现在回忆一下，怎样就算拼成功？
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象这种铺法，既无缝隙又不重叠，我们称为平面的镶嵌
【设计意图：从学生熟悉的拼图游戏入手，引入平面镶嵌的概念，能让学生很好地理解概念的含义，为平面图形的镶嵌奠定良好的基础】 探究活动
问题1：你见过自己家里地上铺的地砖及马路人行道上铺的地砖吧？都是什么形状的？（正方形、正六边形）
问题2：你能否用其它正多边形来铺地面呢？要求没有空隙，如正三边形、正五边形，请尝试（前者可以，后者不行）
问题3：那么我们今天要研究的平面图形镶嵌问题，应该研究什么问题啊？ （用什么样的正多边形可以完成平面的镶嵌而不留空隙，用两种以上的正多边形能不能完成平面的镶嵌） 【设计意图：通过身边事例感受平面镶嵌在实际生活中应用的广泛性，使学生产生探求新知的需要，激发学习的兴趣】 3操作：
问题1：正三边形、正方形、正五边形、正六边形中选择哪些组合可以进行平面镶嵌？请尝试（正三边形可分别与正方形、正六边形组合）
问题2：能否借助于数学知识预先估计哪些正多边形组合可以进行平面镶嵌？与同学交流（几个内角的和能等于360度）
问题3：用多个全等的任意三角形或四边形能镶嵌平面吗？请尝试，并与同学交流（可以，注意摆放的方法）
【设计意图：由于正多边形的知识还没有学习，只能让学生凭借感觉进行尝试，初步探索出平面镶嵌的条件，培养学生空间想象能力为以后进一步学习打下基础】 4制作镶嵌图案：
用预先准备好的硬纸板制作镶嵌图案，并进行美化，在组内交流
【设计意图：制作镶嵌图案是对镶嵌知识的应用，通过这一活动，使学生加深理解镶嵌的含义，给学生一个展示自我的机会，培养创造美的能力，形成良好的个性品质】 5填写“数学活动”评价表
指导学生将这节课的活动情况填入表格中相应的位置
【设计意图：让学生将活动情况加以概括总结，是活动课的一个重要环节，既是对活动过程的回顾，又能对活动过程进行反思，有利于养成良好的学习品质】 6教学流程
欣赏镶嵌图案→观察生活中的镶嵌→用正多边形镶嵌平面→用三边性、四边形镶嵌平面→初步探究平面镶嵌的条件→制作镶嵌图案→填写活动表
小结与思考（第1课时） 一、课标要求：
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通过旋转的具体实例，理解对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角也彼此相等；
欣赏旋转在现实生活中的应用，能按要求画出简单平面图形，能探索出图形之间的变换关系，较灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计； 梳理出平行四边形与特殊平行四边形之间的关系； 二、教学目标：
回顾、思考本章所学的知识及思想方法，并能用自己喜欢的方式进行梳理，使所学知识系统化；
进一步丰富对平面图形相关知识的认识，能有条理的、清晰地阐述自己的观点； 通过“小结与思考”的教学，培养学生归纳、反思的意识；
三、教学重点：本章复习教学的重点是：以学生活动为主，让学生在反思与交流的过程中回顾本章知识，梳理所学内容，体会数学思想方法；
四、教学难点：本章的知识内容较多，如何引导学生用自己喜欢的方式梳理本章的知识，使所学内容系统化； 五、思路设计：本节教学应以中心对称为主线，利用中心对称的性质，研究图形旋转的性质，中心对称与中心对称图形的性质；利用中心对称的性质，研究平行四边形及特殊平行四边形 ――矩形、菱形、正方形及三角形中位线和梯形中位线的性质； 六、教学过程： （一）、回顾、梳理本章所学内容：
1、旋转 ———图形的旋转————绕着某点旋转180°———中心对称、中心对称图形； 【设计说明：（1）复习由一般旋转到图形的旋转，进一步理解旋转前后的图形全等，对应点到旋转中心的距离相等；（2）由转动任意角度到转动180°的情形，培养学生由一般到特殊的辨证观；（3）通过旋转使学生进一步明确中心对称及中心对称图形的有关概念和性质】 2、已知：△ABC和一点O，画△ABC关于点O成中心对称的三角形； （1）点O在△ABC外；（2）点O与△ABC的一个顶点重合 （3）点O是△ABC的一边 BC的中点 【设计说明：（1）进一步巩固中心对称的概念；（2）通过本题，使学生进一步掌握画一个图形关于某点成中心对称的画法——关键是找对称点；（3）从一般到特殊画对称三角形；（4）通过画对称三角形，使学生进一步理解平行四边形是中心对称图形，对理解平行四边形的性质也有所帮助】
3、中心对称图形有：线段、平行四边形、（矩形、菱形、正方形等）圆等； 【设计说明：（1）通过在已学过的图形中寻找中心对称图形，使学生进一步明确中心对称图形的特点；（2）认识平行四边形从一般到特殊的规律——条件越来越多，而范围却越来越小；（3）应以学生讨论为主，让学生自己去体会】 回顾、思考本章所学内容所渗透的数学思想方法：
四边形——平行四边形——矩形——菱形——正方形之间的关系： 范围及关系
四边形
平行四边形 直角梯形 梯形 精选资料，欢迎下载 等腰梯形 矩形 正 方 形 菱形 。
四边形的分类：
一般四边形 一般平行四边形 矩形
四边形 平行四边形 正方形 菱形 一般梯形 梯形 直角梯形
等腰梯形
【设计说明：这部分内容渗透了从一般到特殊的关系，在图形不断的特殊化的过程中，图形的性质越来越多，判定它的要求也越来越高，要掌握在这种特殊化的过程中图形的变化与相互之间的联系，就必须善于分析、转化。所以，对于这部分内容，要让学生逐步理解每一类图形的条件、性质及它们的共性与个性，这样才能将这类知识串起来，达到熟练掌握的程度。】 三角形、梯形中位线的性质：
【设计说明：三角形、梯形中位线性质的探索过程，渗透了转化的思想方法，三角形中位线的研究转化为平行四边形的研究，梯形中为线的研究转化为三角形的中位线的研究；通过复习，既巩固了所学内容又进一步培养了学生的转化思想；】 3、中点四边形：
探讨：顺次连接任意四边形、平行四边形各边中点所得的四边形是 ———— 平行四边形； 探讨：顺次连接矩形、等腰梯形及对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是 ———— 菱形；
探讨：顺次连接菱形、对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形是 ———— 矩形； 探讨：顺次连接正方形各边中点所得的四边形是 ———— 正方形； 【设计说明：通过中点四边形的探讨与研究，（1）进一步培养了学生“操作、观察 —— 猜想 —— 探索 ——— 说理”的能力；（2）进一步巩固了各类四边形的性质与判定；】 作业：
P137 2、 3、
教后感
小结与思考（第2课时） 一、课标要求：、在探索平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定四边形是特殊四边形的过程中，鼓励学生探究方式和表述方式的多样化，为学生提供个性化学习的时间和空间。 二、教学目标：通过具体习题的辅导，帮助学生进一步熟悉、巩固所学的知识、技能和方法，
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加深对相关知识、方法的理解和应用； 三、教学重点：本章知识的巩固与应用； 四、教学难点：灵活应用本章所学知识
五、思路设计：本节教学以具体问题为载体，面向全体学生，使他们对具体问题的分析思考及表述，进一步巩固所学内容，使每个学生都有不同程度的收获； 六、教学过程：
例1：如图：△ABC和△ADE都是顶点为45°的等腰三角形，BC、DE分别是两个三角形的底边。图中的△ACE可以看成是哪个三角形通过怎样的旋转得到的？P137 4
A
E
D
B C
【本题比较能体现旋转的内涵（旋转前后的图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等）及等腰三角形的两腰相等的性质，使学生对旋转的性质及应用有更进一步的认识】
例2：如图：ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别与AD、BC相交于点E、F图中关于点O成中心对称的三角形、四边形有多少对？请将它们分别表示出来。P137 5、 A E D F C B
【设计说明：通过本题教学，使学生进一步理解、掌握平行四边形的有关性质，掌握判定两个三角形或两个四边形成中心对称的方法，从而对中心对称图形有更进一步的认识。】
例3：如图：在菱形ABCD中，∠B= 60°，点E、F分别在AB、AD上，且BE = AF。你能说明 △ECF是等边三角形吗？ P138 9、 F D A E C B
【设计说明：（1）本题是通过有两边相等且有一个角是60°来说明三角形是等边三角形的，因为四边形ABCD是菱形，所以AB = BC = CD = DA，又因为∠B = 60°，所以 △ABC、△ACD都是等边三角形，所以BC = AV，∠B = ∠CAD = 60°，又因为BE = AF ，所以根据“SAS”
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得：△CBE≌△CAF，从而得：CE = CF、∠BCE = ∠ACF，又因为∠BCA =60 °，所以∠ECF= 60°，所以△ECF是等边三角形；（2）本题既复习了菱形、等边三角形和全等三角形的性质，又培养了学生探索能力及有条理的口头表述和书面表述能力；】
例4：如图：四边形ABCD的对角线相交于点O，且AD∥BC ，AD=BC请补充2个条件，使四边形ABCD为正方形，并说明理由。 P138 11、 A D
O
B C
【设计说明：本题是开放题，解答多样；如：（1）AB = AD，AB⊥AD；（2）AB = AD，AC = BD；（3）AB⊥AD，AC⊥BD等，都可以说明四边形ABCD是正方形；所以通过本题教学，可以培养学生的发散思维能力，并且培养学生的口头表述能力和书面表述能力；】 小结：
作业：P137 6、7、8 选做： 第10题
【本教案设计说明：本教案选题针对划片普通班学生的基础，目的是：（1）进一步复习本章内容；（2）辅导复习题；（3）进一步增强学生的解题能力。但对灵活应用题及探索研究题无力顾及，只能对学有余力的同学采取个别指导。】
课后记：
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