第９期 杨胜洲：用分离参数法求取值范围 ・７・ 课本内容进行进一步研究和引申，有助于学生理解 问题的本质，提高学生研究问题的能力．例如２００８ 若到２个定点的距离之比为常数（不为１）的 点的轨迹是一个圆，则称之为阿波罗尼斯圆． 抓住这个本质后，例３就不难解决了． 年江苏省数学高考试题第１３题： 例３若ＡＢ＝２，ＡＣ＝ 曰ｃ，则Ｓａａｓｃ的最大值 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 参考文献 此题的源头来自课本必修２“圆的方程”习题 中的探究和拓展：已知点Ｍ（ ，Ｙ）与２个定点０（０， １ 中华人民共和国教育部．普通高中数学课程 标准（实验）［Ｍ］．北京：人民教育出版社， ２００５． Ｏ），Ａ（３，０）的距离之比为－４－－ ，则点Ｍ的坐标应满足 厶 什么关系？画出满足条件的点 所形成的曲线． 这２个问题的本质是相同的，如果引申为一般 情形，那么即可得到： ［２］ 高德龙．２００６年一道高考题的引申［Ｊ］．数学 通讯，２００６（１１）：１ｌ一１２ 用分离参数●杨胜洲 法求取值范围 （任丘市第一中学河北任丘０６２５５０） 解 由 ＋ａＩ Ｉ＋ａ一１＜０，得 口＜ ‘ 求参数的取值范围问题是中学数学的重点，也 是一个难点．学生在解答此类问题时往往会因分类 不恰当或讨论不全面而出现错误．为迅速、准确地 处理一类求参数取值范围问题，给出一种方法—— 分离参数法． 下面举例说明如何用分离参数法求取值范围． １分离参数。利用三角函数的有界性求取值范围 例１ 已知方程ｃｏｓ２ｘ＋ ｓｉｎ２ｘ—ｍ＝０在 ‘＋Ｉ Ｉ＋ｌ 酌一１ Ｉ＋ 得 （ ＋告） ＋ ３∈［１，＋ｏｏ）， ｆ０，孚１内有实根，求实数ｍ的取值范围． 解已知方程整理得 删 。南解 ，１］＇ 故ａ≤０，即实数ａ的取值范围为（一∞，０］． ３分离参数。用均值不等式求取值范围 ｍ＝ｃ。ｓ２ ＋ ｉｎ２ ＝２ｓｉｎ（２ ＋ 由 ∈ｆ ｏ，子），得 例３已知函数，（ ）＝ｌｇ（ａ ＋ａ一一ｒｎ）（ａ＞ ２ ＋詈∈（詈， ）， 因此原方程有２个实根等价于 １一 ０，且ａ≠１）的定义域为实数集Ｒ，求实数ｍ的取值 范围． 由题设，ａ ＋ａ～一ｍ＞０对任何实数 恒 成立，即ｍ＜ａ ＋ａ 对 ∈Ｒ恒成立，故只要ｍ＜ ＜ｓｉｎ（２ ＋６）＜－１， 一１＜ｍ≤２， （ａ ＋ａ ） ｉ 即可．而由均值不等式０５ ＋ａ ≥ ２￣／ｎ ａ～＝２（当且仅当ａ ＝ａ～，即 ＝０时取到 等号），得ｍ＜２，即实数ｍ的取值范围为（一ｏ。， ２）． 即 于是 ’。ｌ＜２ｓｉｎ（２ ＋詈） 故实数ｍ的取值范围为（一Ｉ，２］． ２分离参数，用代数式的性质求取值范围 例２不等式ａｘ ＋ａ Ｉ Ｉ＋ａ一１＜０对任意实 ４分离参数，用常见函数的单调性求范围 １ 例４当０＜ ≤３时，不等式１一ｋｘ≤— ＝≤ √１ ｘ 数 都成立，求实数ａ的取值范围． ｌ一 恒成立，求实数ｋ，ｍ的取值范围． ・８・ 中学教研（数学） 解先分离参数 ，得 ｋｘ≥ｌ一 ： ￣／－ｆ＋ｘ－１：————兰：． Ｊ１＋ ｌ＋ １＋ ＋ ｌ＋ 由 ∈（０，３］，得 后≥ １ ＋ ＋￣／１＋ － 同理，分离ｍ得 ｌ ｍ≤ １＋ ＋而 １＋ ’ 因此 ｍ≤——— ＿＝＝≤五， １ ％ √１ 当 ∈（０，３］时恒成立．令 ）＝——— １＋ ＋√１＋ ，易 知 ）在（Ｏ，３］上单调递减，得 ３） ）＜ ０）， 即 ， 于是 ｍ≤ １，后≥ ５分离参数，用换元法求取值范围 例５若方程 一２ａｘ—ａ＋２＝０有正根，求实 数ａ的取值范围． 分析方程有正根包含３种情形：两根均为 正，一正一零，一正一负．若直接按根的分布讨论， 则比较复杂．可先分离参数，再结合换元法求解，则 简洁得多． 分离参数ａ，得 ｎ＝ 。 丽（Ｌ 刈 。）． 设ｚ＝２ｘ＋１（ｔ＞１），则 ｔ一１ 丁， （ 二！ ｊ．，） 因此。＝ ４ ＝÷【（ｔ＋÷）一２］≥ ２ ・了９ 当且仅当ｔ＝÷，即ｔ＝３时，取到等号，从而ｏ≥１， 即实数ａ的取值范围为［１，＋∞）． 例６ 对于任意的实数 ，不等式２ ～ ｏ ＋１＋３＞０恒成立，求实数。的取值范围． 解先分离ａ．由题意得 口ｖ ＋１＜２ ＋３。 因此 ｒ工ｔ．Ｉ＿Ｉ， ｎ＜兰 ２ ＋３ ２ｘ ＋２＋１：— ： ￣／ ＋ｌ ｖ ＋１ ２ ＋＿ ＝． √ ＋１ 设￡＝ （ ≥１），则０＜２ｔ＋÷（￡≥１）恒成立， 故只要ｎ＜（２ ＋÷） 即可．而由均值不等式求 （２ｔ＋÷） ｉ 时，等号成立的条件并不具备，于是考 察函数ｇ（￡）＝２ｔ＋÷（￡≥１）的单调性．易知对勾函 数ｇ（ｆ）＝２ｔ＋＇－－．￣Ｅ １，＋∞）上单调递减，则当ｆ＝ １，即 ＝０时， （２Ｈ ＿３＇ 因此 ａ＜３． ６分离参数，用导数工具求取值范围 例７若ｌｎｘ一（ ＋１） ＜０在（０，＋∞）上恒 成立，求实数 的取值范围． 解分离ｋ得 （ ＋１） ＞ｌｎｘ， 即 后＋１＞ 构造函数，（ ）＝ （ ＞０），问题可转化为求 （ ） 的最值问题，且可用导数工具求解．由 ｆ ）： ， 解方程厂 （ ）＝０，得 ＝１．又当 ∈（０，１）时， ｌ厂 （ ）＞０；当 ∈（１，＋∞）时 （ ）＜０．于是 ） ＝ １）＝０， 解得 后＋１＞０， 即后＞一１，故实数 的取值范围为（一１，＋∞）． 由以上几例可以看出，在一个方程、函数或不 等式中，若涉及到求参数取值范围的问题，则可先 考虑能否将它作适当变形，将所求参数分离出来， 通过考察函数单调性、有界性，不等式性质，或结合 换元法、导数等转化成求含该参数一端值域或最值 的问题，这就是分离参数法．这种方法集化归与转 化思想、整体与换元思想于一身，可尽量避免对参 数的讨论，在求参数范围这个热点问题中有着独特 的解题优势．
