三角函数恒等变换练习题及答案详解

三角函数恒等变换练习题及答案详

解(总7页)

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两角和与差的正弦、余弦、正切

1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换；2.利用三角变换讨论三角函数的图象和性质 2.1.牢记和差公式、倍角公式，把握公式特征；2.灵活使用(正用、逆用、变形用)两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键．

知识点回顾

1． 两角和与差的余弦、正弦、正切公式

cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (Cα－β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β (Cα＋β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β (Sα－β) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β (Sα＋β) tan α－tan βtan(α－β)＝ (Tα－β)

1＋tan αtan βtan α＋tan βtan(α＋β)＝ (Tα＋β)

1－tan αtan β2． 二倍角公式

sin 2α＝2sincos；

cos 2α＝cosα－sinα＝2cosα－1＝1－2sinα； 2tan αtan 2α＝. 2

1－tanα3． 在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如

Tα±β可变形为

tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)， tan α＋tan βtan α－tan βtan αtan β＝1－＝－1.

tanα＋βtanα－β4． 函数f(α)＝acos α＋bsin α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝ a＋bsin(α＋φ)或f(α)＝

2

2

2

2

2

2

a2＋b2cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定．

[难点正本 疑点清源] 三角变换中的“三变”

(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．

(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等． (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．

热身训练

21tan α1． 已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝－，则的值为_______．

35tan β2

2． 函数f(x)＝2sin x(sin x＋cos x)的单调增区间为______________________．

3． (2012·江苏)设α为锐角，若cos4

＝，则 65

sin α＋cos α1

4． (2012·江西)若＝，则tan 2α等于

sin α－cos α2

( ) 3

A．－

4

4C．－

3

π1

5． (2011·辽宁)设sin(＋θ)＝，则sin 2θ等于

43

( )

1

B．－

9

7

A．－

9

典例分析

题型一 三角函数式的化简、求值问题 例1 (1)化简：

1－tan ααα2·1＋tan α·tan ； 2tan 2

(2)求值：[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin80°.

在△ABC中，已知三个内角A，B，C成等差数列，则tan ＋tan ＋3tan tan 的值2222

为________．

题型二 三角函数的给角求值与给值求角问题

2

ACAC3

π12

例2 (1)已知0<β<<α<π，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)的值；

29223

11

(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，求2α－β的值．

27

113π

已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β.

7142

题型三 三角变换的简单应用 例3 已知f(x)＝112xsinx－2sin·sinx 4tanx4(1)若tan α＝2，求f(α)的值； (2)若x∈

π，π，求f(x)的取值范围．

122

4

2x(x∈R)． 已知函数f(x)＝3sin2x＋2sin

126(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)求使函数f(x)取得最大值时x的集合．

利用三角变换研究三角函数的性质

典例：(12分)(2011·北京)已知函数f(x)＝4cos x·sinx(1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在区间－1. 6,上的最大值和最小值． 

5

总结

方法与技巧 1． 巧用公式变形：

和差角公式变形：tan x±tan y＝tan(x±y)·(1∓tan xtan y)； 1＋cos 2α1－cos 2α22

倍角公式变形：降幂公式cosα＝，sinα＝；

22

2,22

配方变形：1±sin α＝sin±cos1＋cos α＝2cos，1－cos α＝2sin.

2222

2． 利用辅助角公式求最值、单调区间、周期．由y＝asin α＋bcos α＝a＋bsin(α＋φ)(其中tan

2

2

ααααbφ＝)有a2＋b2≥|y|.

a3． 重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成

同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．

4． 已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧：把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加

减，观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手，给这个等式两边求某一函数值，可使所求的复杂问题简单化．

5． 熟悉三角公式的整体结构，灵活变换．本节要重视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构，更

要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形． 失误与防范

1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．

6

2．在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝2

所对应的角α＋β不是唯一的． 2

3．在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值．

过手训练

(时间：25分钟，满分：43分)

一、选择题(每小题5分，共15分) 1． (2012·山东)若θ∈

( )

37，则sin θ等于 ,，sin 2θ＝842

212． 已知tan(α＋β)＝，tan＝，那么tan等于

44

( )

ππ

3． 当－≤x≤时，函数f(x)＝sin x＋3cos x的

22

( )

A．最大值是1，最小值是－1 1B．最大值是1，最小值是－

2C．最大值是2，最小值是－2 D．最大值是2，最小值是－1

二、填空题(每小题5分，共15分) 4． 已知锐角α满足cos 2α＝cos，则sin 2α＝________. 45． 已知coscos 2α12

＝________. ＝，α∈0,，则

13π44sin＋α

4

2

2sinx＋16． 设x∈0,，则函数y＝的最小值为________．

sin 2x2三、解答题

7

7． (13分)(2012·广东)已知函数f(x)＝2cosx(其中ω>0，x∈R)的最小正周期为10π. 6(1)求ω的值；

(2)设α，β∈0，π2，f

5α＋53π＝－65，f5β－56π16＝17，求cos(α＋β)的值． 课后习题

(时间：35分钟，满分：57分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1． (2012·江西)若tan θ＋1

tan θ＝4，则sin 2θ等于

( )

2． (2012·大纲全国)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝3

3，则cos 2α等于

( ) A．－

553

B．－

9

3． 已知α，β都是锐角，若sin α＝55，sin β＝1010

， 则α＋β等于 ( )

和

3π

4

D．－π4和－3π

4

4． (2011·福建)若α∈0,2，且sin2

α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于

(

二、填空题(每小题5分，共15分)

5． cos2

75°＋cos2

15°＋cos 75°cos 15°的值为________． 6.

3tan 12°－3

4cos212°－2sin 12°

＝________.

7． sin α＝35，cos β＝35，其中α，β∈0,2，则α＋β＝____________.

三、解答题(共22分) 8． (10分)已知1＋sin α1－sin α1－sin α－

1＋sin α＝－2tan α，试确定使等式成立的α的取值集合．

8

)

9． (12分)已知α∈αα6，，且sin ＋cos ＝.

2222(1)求cos α的值；

3(2)若sin(α－β)＝－，β∈，，求cos β的值．

529