一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 集合𝐴={𝑥|−5<𝑥<2}，𝐵={𝑥|−3<𝑥<3}，则𝐴∩𝐵=( )
A. {𝑥|−3<𝑥<2} C. {𝑥|−3<𝑥<3}
2. |
1+2𝑖2−𝑖3
B. {𝑥|−5<𝑥<2} D. {𝑥|−5<𝑥<3}
|=( )
A. 5
B. 1
C. 3
5
D. 2
3. 随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加.抽样发现重庆市某家庭2019年的总收入
与2015年的总收入相比增加了一倍，实现翻番.同时该家庭的消费结构也随之发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下的折线图，则下列结论中正确的是( )
A. 该家庭2019年食品消费额是2015年食品消费额的一半 B. 该家庭2019年教育医疗消费额与2015年教育医疗消费额相当 C. 该家庭2019年休闲娱乐消费额是2015年休闲娱乐消费额的六倍 D. 该家庭2019年生活用品消费额与2015年生活用品消费额相当
𝑥+2𝑦≤2
4. 若变量x，y满足约束条件{𝑥+𝑦≥0，则𝑧=2𝑥+3𝑦的最大值为( )
𝑥≤4
A. 2 B. 5 C. 8 D. 10
𝑒𝑥−1,𝑥≤1,
5. 若函数𝑓(𝑥)={则𝑓(𝑓(2))=( )
5−𝑥2,𝑥>1,
A. 1 B. 4 C. 0 D. 5−𝑒2
6. 设数列{𝑎𝑛}是公差不为零的等差数列，且𝑎1，𝑎3，𝑎7构成等比数列，则公比q为( )
A. √2 B. 4 C. 2
D. 2
1
7. 数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日
自倍，松竹何日而长等.如图，是源于其思想的一个程序框图.若输入的𝑎,𝑏分别为8、2，则输出的𝑛=( )
A. 2 B. 3 C. 5 D. 4
8. 函数𝑦=2𝑠𝑖𝑛2𝑥的图象可看成是由𝑦=𝑠𝑖𝑛𝑥的图象按下列哪种变换得到的？( )
A. 横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍
B. 纵坐标变为原来的2倍，横坐标变为原来的2倍 C. 横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍
D. 纵坐标变为原来的2倍，横坐标变为原来的2倍
9. 已知双曲线C：−
16
𝑥2
𝑦291
1
1
=1的左焦点为F，右顶点为A，M是双曲线C的渐近线上的一点且在第
一象限内，若△𝐹𝐴𝑀的面积为27，则点M的坐标为( )
A. (2,6)
9
B. (8,6)
C. (9,4)
27
D. (16,4)
8127
10. 如果底面是菱形的直棱柱(侧棱柱与底面垂直的棱柱)𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的所有棱长都相等，
∠𝐴𝐵𝐶=60°，E，M，N分别为AB，BC，𝐶𝐶1的中点，现有下列四个结论：①𝐶𝐸⊥平面𝐶𝐶1𝐷1𝐷 ②𝐴1𝐵//𝑀𝑁 ③𝐴𝐷1//平面𝐴1𝑀𝑁④异面直线𝐴1𝐷与MN所成的角为60°，其中正确结论的个数为( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
11. 已知3𝑎=2，那么log38−2log36用a表示是( )
A. 𝑎−2 B. 5𝑎−2 C. 3𝑎−(1+𝑎)2 D. 3𝑎−𝑎2
12. 已知𝐹1,𝐹2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|𝑃𝐹2|>|𝑃𝐹1|，椭圆的离心
2
率为𝑒1，双曲线的离心率为𝑒2，若|𝑃𝐹1|=|𝐹1𝐹2|，则𝑒+3的最小值为( )
1
3𝑒
A. 6+2√3 B. 6+2√2 C. 8 D. 6
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 碗里有花生馅汤圆2个、豆沙馅汤圆3个、芝麻馅汤圆4个，从中随机舀取一个品尝，不是豆
沙馅的概率为______．
⃗ =(2,0)，⃗ 14. 已知𝑎𝑏=(1,1)，若(𝜆⃗ 𝑏−𝑎⃗ )⊥𝑎⃗ ，则𝜆= ______ ．
15. 已知底面半径为r，高为4r的圆柱的侧面积等于半径为R的球的表面积，则𝑟=______． 16. 数列{𝑎𝑛}中，𝑎1=1，前n项和𝑆𝑛=𝑛2𝑎𝑛，则𝑎3= ______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17. 对50名学生的某学科考试分数进行统计，得到如下的频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图上的数据求t的值； (2)估计这50名学生成绩的中位数(结果保留整数)；
(3)估计这50名学生成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．
𝑅
𝑃𝐴⊥底面ABCD，𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐷=𝐷𝐴=2，𝑃𝐴=1，∠𝐵𝐴𝐷=120°，18. 如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，
E为BC的中点．
(1)求证：𝐴𝐸⊥平面PAD；
(2)若F为CD的中点，求点D到平面PEF的距离．
19. 在△𝐴𝐵𝐶中，𝑎=2，𝑏=4，𝐶=60°．
(1)求边c及面积S． (2)求𝑠𝑖𝑛𝐴+𝑐𝑜𝑠𝐵的值．
20. 已知抛物线𝐸:𝑥2=2𝑦的焦点为F，𝐴, 𝐵是E上两点，且|𝐴𝐹|+|𝐵𝐹|=𝑚．
(1)若𝑚=4，求线段AB中点M到x轴的距离；
(2)若线段AB的垂直平分线与y轴仅有一个公共点𝐶(0,2)，求m的值．
21. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥(𝑥2+𝑥+𝑎)在(0,𝑓(0))处的切线与直线2𝑥−𝑦−3=0平行，其中𝑎∈𝑅．
(1)求a的值；
(2)求函数𝑓(𝑥)在区间[−2,2]上的最值．
22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{
𝑥=−1+2cos𝜑
(其中𝜑为参数)，以坐标
𝑦=2sin𝜑
14
原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线𝑙1的极坐标方程为𝜌=√2sin (𝜃+𝜋)，设𝑙1与C相交于A，B两点，AB的中点为M，过点M作𝑙1的垂线𝑙2交C于P，Q两点．
(1)写出曲线C的普通方程与直线𝑙1的直角坐标方程； (2)求|𝑀𝑃|⋅|𝑀𝑄|的值．
|𝑃𝑄|
23. 已知函数𝑓(𝑥)=|𝑥+1|−|𝑥−1|．
(1)求不等式𝑓(𝑥)≤1的解集A；
(2)设a为集合A中最大的元素，若正数x，y满足𝑥+𝑦=4𝑎，证明：𝑥𝑦+𝑥+2𝑦⩾4．
1
2
4
1
【答案与解析】
1.答案：A
解析：
本题主要考查了集合交集及其运算问题，属于基础题； 直接利用交集运算法则即可求解．
解：因为集合𝐴={𝑥|−5<𝑥<2}，𝐵={𝑥|−3<𝑥<3}， 所以𝐴∩𝐵={𝑥|−3<𝑥<2}； 故选A．
2.答案：B
解析：解：因为2−𝑖=所以|
1+2𝑖2−𝑖
1+2𝑖
(1+2𝑖)(2+𝑖)(2−𝑖)(2+𝑖)
=𝑖，
|=1，
故选：B．
化简代数式，根据复数模的定义，求出复数的模即可． 本题考查了复数的化简问题，考查复数求模，是一道基础题．
3.答案：C
解析： 【试题解析】
本题考查图表，进行推理，属于基础题．
根据题意可设出年收入，然后求出所有金额，进行比较．
解：因为某家庭2019年全年的收入与2015年全年的收入相比增加了一倍，设2015年全年的收入为A，2019年全年的收入为2A．
由图可知，该家庭2019年食品的消费额0.2×2𝐴=0.4𝐴，2015年食品的消费额为0.4×𝐴=0.4𝐴，相等，A错；
2015年教育医疗的消费额为0.3×𝐴=由图可知，该家庭2019年教育医疗的消费额0.2×2𝐴=0.4𝐴，
0.3𝐴，0.3𝐴=3，B错；
2015年休闲旅游的消费额为0.1×𝐴=由图可知，该家庭2019年休闲旅游的消费额0.3×2𝐴=0.6𝐴，0.1𝐴，0.1𝐴=6，C对；
由图可知，该家庭2019年生活用品的消费额0.15×2𝐴=0.3𝐴，2015年生活用品的消费额为0.15×𝐴=0.15𝐴，不相等，D错； 故选：C．
0.6𝐴
0.4𝐴4
4.答案：B
解析：解：作出不等式对应的平面区域(阴影部分)， 由𝑧=2𝑥+3𝑦，得𝑦=−3𝑥+3，
平移直线𝑦=−3𝑥+3，由图象可知当直线𝑦=−3𝑥+3经过点B时，直线𝑦=−3𝑥+3的截距最大，此时z最大． 𝑥=4𝑥=4
由{，解得{， 𝑥+2𝑦=2𝑦=−1即𝐵(4,−1)．
此时z的最大值为𝑧=2×4+3×(−1)=8−3=5， 故选：B．
作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值． 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．
2
𝑧
2
𝑧
2
𝑧
2
𝑧
5.答案：A
解析：
本题考查分段函数，属于基础题．
根据所给函数解析式，先求𝑓(2)，再求𝑓(𝑓(2))． 𝑒𝑥−1,𝑥≤1∵𝑓(𝑥)={解：，
5−𝑥2,𝑥>1则𝑓(2)=5−22=1， 所以𝑓(𝑓(2))=𝑓(1)=𝑒0=1．
故选A．
6.答案：C
解析：
𝑎3，𝑎7构成等比数列，本题考查等差数列的通项公式及等比数列性质的应用，属于基础题目.因为𝑎1，所以𝑎32=𝑎1𝑎7，得𝑎1=2𝑑，从而可解得q．
解：设数列{𝑎𝑛}是公差为d，因为𝑎1，𝑎3，𝑎7构成等比数列， 所以𝑎32=𝑎1𝑎7，所以(𝑎1+2𝑑)2=𝑎1(𝑎1+6𝑑)，所以𝑎1=2𝑑，
3
公比𝑞=𝑎=
1
𝑎
𝑎1+2𝑑𝑎1
=2．
故选C．
7.答案：C
解析：
本题主要考查了程序框图的应用，模拟程序，一直循环到满足𝑎≤𝑏为止． 解：由已知第一次循环𝑎=8+2=12,𝑏=4，不满足𝑎≤𝑏，继续循环此时𝑛=2， 第二次循环𝑎=18,𝑏=8，不满足𝑎≤𝑏，继续循环此时𝑛=3， 第三次循环𝑎=27,𝑏=16，不满足𝑎≤𝑏，继续循环此时𝑛=4，
812
8
第四次循环𝑎=
,𝑏=32，不满足𝑎≤𝑏，继续循环此时𝑛=5，
第五次循环𝑎=
2434
,𝑏=，满足𝑎≤𝑏，退出循环，
此时输出𝑛=5． 故选C．
8.答案：B
解析：解：𝑦=𝑠𝑖𝑛𝑥的图象纵坐标变为原来的2倍，得到的函数解析式为𝑦=2𝑠𝑖𝑛𝑥； 再将横坐标变为原来的2倍，得到的函数解析式为：𝑦=2𝑠𝑖𝑛2𝑥． 故选：B．
由函数𝑦=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)的图象变换规律即可得解．
本题主要考查了函数𝑦=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)的图象变换规律，属于基础题．
1
9.答案：B
解析：
本题主要考查双曲线的性质，属于基础题．
根据题意求得𝐴(4,0),𝐹(−5,0)，点M在𝑦=4𝑥的第一象限部分的图象上，设𝑀(𝑥0,4𝑥0)(𝑥0>0)，根据条件即可得到
27𝑥08
3
3
=27，即可求解．
解：根据题意可知，𝑐2=16+9=25，
则𝐴(4,0),𝐹(−5,0)，点M在𝑦=4𝑥的第一象限部分的图象上， 设𝑀(𝑥0,4𝑥0)(𝑥0>0)， 则𝑆△𝐹𝐴𝑀=2·|𝐴𝐹|·=2×9×
1
3𝑥041
3𝑥04
3
3
=
27𝑥08
=27，
解得𝑥0=8， 故M点坐标为(8,6)． 故选B．
10.答案：B
解析：解：①∵𝐴𝐵𝐶𝐷为菱形，∠𝐴𝐵𝐶=60°，∴△𝐴𝐵𝐶为正三角形，又E为AB的中点，所以𝐶𝐸⊥𝐴𝐵，所以𝐶𝐸⊥𝐶𝐷，又因为侧棱柱与底面垂直，所以𝐶𝐸⊥𝐶𝐶1，所以𝐶𝐸⊥平面𝐶𝐶1𝐷1𝐷，故①正确；
②取𝐶1𝐷2的中点G，连NG，𝐶𝐷1，∵𝐴1𝐵//𝐷1𝐶/
/𝑁𝐺，所以𝐴1𝐵与MN是异面直线，故②错误；
③∵𝐴𝐷1//𝐵𝐶1//𝑀𝑁，所以𝐴𝐷1//平面𝐴1𝑀𝑁，故③正确；
④由③知，异面直线𝐴1𝐷与MN所成的角等于𝐴1𝐷与𝐴𝐷1所成的锐角或直角，而侧面都是正方形，所以所成角为90°，故④不正确． 故选：B．
根据线面垂直的判断定离可得①正确；根据𝐴1𝐵//𝑁𝐺可得𝐴1𝐵与MN是异面直线，故②错误；根据③∵𝐴𝐷1//𝐵𝐶1//𝑀𝑁可得𝐴𝐷1//平面𝐴1𝑀𝑁，故③正确；根据异面直线𝐴1𝐷与MN所成的角等于𝐴1𝐷与𝐴𝐷1所成的锐角或直角，而侧面都是正方形，故④不正确． 本题考查了命题真假的判断与应用，属中档题．
11.答案：A
解析：
本题考查了对数函数的性质，考查了导数的运算，是一道基础题．
2
先表示出𝑎=𝑙𝑜𝑔3，结合对数的运算性质，从而得到答案． 2解：∵3𝑎=2，∴𝑎=𝑙𝑜𝑔3，
8622∴𝑙𝑜𝑔3−2𝑙𝑜𝑔3=3𝑙𝑜𝑔3−2(𝑙𝑜𝑔3+1)=3𝑎−2(𝑎+1)=𝑎−2，
故选A．
12.答案：C
解析：
本题考查椭圆和双曲线的定义和简单性质，以及基本不等式求最值，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
由题意可知：|𝑃𝐹1|=|𝐹1𝐹2|=2𝑐，设椭圆的方程为𝑎2+𝑏2=1(𝑎1>𝑏1>0)，双曲线的方程为𝑎2−
1
1
2
2𝑦22𝑏2
2
=1(𝑎2>0,𝑏2>0)，利用椭圆、双曲线的定义及离心率公式可得𝑒+3的表达式，通过基本不等1
𝑥2𝑦2𝑥2
3𝑒
式即得结论．
解：由题意可知：|𝑃𝐹1|=|𝐹1𝐹2|=2𝑐， 设椭圆的方程为𝑎2+𝑏2=1(𝑎1>𝑏1>0)，
1
1
𝑥2𝑦2
双曲线的方程为𝑎2−𝑏2=1(𝑎2>0,𝑏2>0)，
2
2
𝑥2
2𝑦2
又∵|𝐹1𝑃|+|𝐹2𝑃|=2𝑎1，|𝑃𝐹2|−|𝐹1𝑃|=2𝑎2， ∴|𝐹2𝑃|+2𝑐=2𝑎1，|𝐹2𝑃|−2𝑐=2𝑎2， 两式相减，可得：𝑎1−𝑎2=2𝑐， 则3+𝑒=3𝑎+
1
2
𝑒2
3𝑐
3𝑎1𝑐
=
9𝑎1𝑎2+𝑐23𝑐𝑎2
=
9𝑎2(𝑎2+2𝑐)+𝑐2
3𝑐𝑎2
=3(
19𝑎2
𝑐
+𝑎+18)
2
𝑐
≥⋅(2√
3
1
9𝑎2𝑐9𝑎2𝑐
⋅
𝑐𝑎2
+18)=8．
𝑐
当且仅当
3
𝑒
=𝑎，即有𝑒2=3时等号成立，
2
2
则𝑒+3的最小值为8， 1
故选：C．
13.答案：3
解析：
本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
基本事件总数𝑛=9，不是豆沙馅包含的基本事件个数𝑛=6，由此能求出不是豆沙馅的概率． 解：碗里有花生馅汤圆2个、豆沙馅汤圆3个、芝麻馅汤圆4个，从中随机舀取一个品尝，基本事件总数𝑛=9，
不是豆沙馅包含的基本事件个数𝑛=6， ∴不是豆沙馅的概率为𝑝=9=3． 故答案为：3．
2
6
2
2
14.答案：2
⃗ =(1,1)，𝜆𝑏⃗ −𝑎⃗ =(2,0)，𝑏解析：解：𝑎⃗ =(𝜆−2,𝜆)， ∵(𝜆⃗ 𝑏−𝑎⃗ )⊥𝑎⃗ ， ∴(𝜆⃗ 𝑏−𝑎⃗ )⋅𝑎⃗ =0， 即2(𝜆−2)=0，
∴𝜆=2． 故答案为：2．
利用已知条件求出𝜆⃗ 𝑏−𝑎⃗ ，利用向量的垂直，求出𝜆即可． 本题考查向量的垂直条件的应用，基本知识的考查．
15.答案：√2
解析：解：设球的半径为R，
2则球的表面积𝑆球=4𝜋𝑅
因为底面半径为r，高为4r的圆柱的侧面积等于半径为R的球的表面积， 所以8𝜋𝑟2=4𝜋𝑅2； 所以𝑟=√2． 故答案为√2．
利用底面半径为r，高为4r的圆柱的侧面积等于半径为R的球的表面积，建立方程，即可得出结论． 本题考查球的表面积公式与圆柱的侧面积公式，根据公式求出球和圆柱的面积是解答本题的关键．
𝑅
16.答案：6
解析：
该题考查由数列递推式求数列的项，考查学生的运算能力，由已知得到递推式是解题关键． 由𝑆𝑛=𝑛2𝑎𝑛，得𝑆𝑛−1=(𝑛−1)2𝑎𝑛−1，两式相减可得递推式，由递推式可求𝑎2，𝑎3． 解：由𝑆𝑛=𝑛2𝑎𝑛 ①，得𝑆𝑛−1=(𝑛−1)2𝑎𝑛−1 ②，
①−②得𝑎𝑛=𝑛2𝑎𝑛−(𝑛−1)2𝑎𝑛−1，即𝑎𝑛=𝑛+1𝑎𝑛−1(𝑛≥2)， 又𝑎1=1，∴𝑎2=3𝑎1=3，𝑎3=4𝑎2=6， 故答案为：6．
1
1
1
2
1
𝑛−1
1
17.答案：解：(1)由频率分布直方图，得：
(𝑡+3𝑡+6𝑡+8𝑡+4𝑡+3𝑡)×10=1，即250𝑡=1， 解得：𝑡=0.004 ;
(2)设中位数为x，则(𝑡+3𝑡+6𝑡)×10+8𝑡(𝑥−70)=2×250𝑡． 解得：𝑥=73.125≈73．
即中位数为73 ; (3)各组人数依次是2、6、12、16、8、6，
平均数：(45×2+55×6+65×12+75×16+85×8+95×6)÷50=73．
1
解析：(1)由频率分布直方图，能求出t的值;
(2)设中位数为x，则(𝑡+3𝑡+6𝑡)×10+8𝑡(𝑥−70)=2×250𝑡.由此能求出中位数; (3)各组人数依次是2、6、12、16、8、6，由此能求出平均数．
本题考查频率分布直方图的应用，考查实数值、中位数、平均数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． (1)∵在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝑃𝐴⊥底面ABCD，证明： 18.答案：
𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐷=𝐷𝐴=2，𝑃𝐴=1，∠𝐵𝐴𝐷=120°，E为BC的中点．
∴𝐴𝐸⊥𝑃𝐴，𝐴𝐸⊥𝐴𝐷，
∵𝑃𝐴∩𝐴𝐷=𝐴，∴𝐴𝐸⊥平面PAD．
解：(2)以A为原点，AE为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系， F为CD的中点，
33
𝐷(0,2，0)，𝑃(0,0，1)，𝐸(√3,0，0)，𝐶(√3,1，0)，𝐹(√,,0)，
2
21
⃗⃗⃗⃗ =(√3,3,−1)， ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ =(√3,0，−1)，⃗𝑃𝐹𝑃𝐷=(0,2，−1)，⃗⃗𝑃𝐸22⃗ =(𝑥,y，𝑧)， 设平面PEF的法向量𝑛
⃗⃗⃗ =√3𝑥−𝑧=0𝑛⃗ ⋅⃗⃗𝑃𝐸√3
则{，取𝑥=1，得𝑛⃗ =(1,3,√3)， 3√3
⃗⃗⃗⃗ =𝑥+𝑦−𝑧=0⃗ ⋅⃗𝑛𝑃𝐹22∴点D到平面PEF的距离： 𝑑=
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝑛|𝑃𝐷⃗⃗ ||𝑛⃗⃗ |
=
√3
3√
133
=
√13
13．
解析：(1)推导出𝐴𝐸⊥𝑃𝐴，𝐴𝐸⊥𝐴𝐷，由此能证明𝐴𝐸⊥平面PAD．
(2)以A为原点，AE为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点D到平面PEF的距离．
本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
(1)在△𝐴𝐵𝐶中，解：由余弦定理可得：𝑐2=22+42−2×2×4×𝑐𝑜𝑠60°=12，解得𝑐=2√3， 19.答案：
则𝑆=2×2×4×𝑠𝑖𝑛60°=2√3． (2)在△𝐴𝐵𝐶中，由正弦定理可得：∴𝑠𝑖𝑛𝐴=，𝑠𝑖𝑛𝐵=1， 2∴𝐴=30°，𝐵=90°． 𝑠𝑖𝑛𝐴+𝑐𝑜𝑠𝐵=2+0=2．
1
1
1
2𝑠𝑖𝑛𝐴
1
=
4𝑠𝑖𝑛𝐵
=
2√3， 𝑠𝑖𝑛60°
解析：本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
(1)由余弦定理可得：c，再利用面积计算公式可得S． (2)由正弦定理可得：
=𝑠𝑖𝑛𝐵=𝑠𝑖𝑛60°，解得sinA，sinB，即可得出． 𝑠𝑖𝑛𝐴
2
4
2√320.答案：解：(Ⅰ)设𝐴(𝑥1,𝑦1),𝐵(𝑥2,𝑦2),由抛物线定义可知：
F点坐标为(0,)，|𝐴𝐹|+|𝐵𝐹|=𝑦1+𝑦2+𝑝，
2则𝑦1+𝑦2+𝑝=4⇒2𝑦𝑀=3⇒𝑦𝑀=2． 即线段AB 中点M 到x 轴的距离为2． (2)设𝑙𝐴𝐵:𝑦=𝑘𝑥+𝑛(显然斜率存在，𝑘≠0)， 𝑦=𝑘𝑥+𝑛
⇒𝑥2−2𝑘𝑥−2𝑛=0, 联立{2
𝑥=2𝑦所以𝑥1+𝑥2=2𝑘，得𝑀(𝑘, 𝑘2+𝑛)，
3
3
1
又𝑦1+𝑦2+1=𝑚⇒𝑘𝑥1+𝑘𝑥2+2𝑛+1=𝑚， 得：2𝑘2+2𝑛+1=𝑚(∗)，
1
𝑘2+𝑛−2
𝑘
又𝑘𝑀𝐶=−⇒
𝑘
=−𝑘⇒𝑘2=1−𝑛，
1
代入(∗)式，得：𝑚=3．
解析：本题主要考查了抛物线的概念，及标准方程，直线与抛物线的位置关系，属于中档题． (1)设出A，B两点坐标，由抛物线的定义得𝑦1+𝑦2+𝑝=4，求出M点的纵坐标，即可．
(2)设出直线AB的方程，联立直线与抛物线方程得出𝑥1+𝑥2，表示出M点坐标，再由𝑦1+𝑦2+1=𝑚，得到2𝑘2+2𝑛+1=𝑚，再由MC的斜率得出𝑘2=1−𝑛，两式联立求出m．
21.答案：解：(1)𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥(𝑥2+3𝑥+𝑎+1)，
故𝑓′(0)=𝑎+1，而切线的斜率是2， 故𝑎+1=2，解得：𝑎=1． (2)由(1)得𝑓(𝑥)=𝑒𝑥(𝑥2+𝑥+1)， 𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥(𝑥+1)(𝑥+2)，
令𝑓′(𝑥)>0，解得：𝑥>−1或𝑥<−2， 令𝑓′(𝑥)<0，解得：−2<𝑥<−1， 故函数𝑓(𝑥)在[−2,−1)递减，在(−1,2]递增， 而𝑓(−2)=𝑒2，𝑓(−1)=𝑒，𝑓(2)=7𝑒2， 故𝑓(𝑥)在[−2,2]的最小值是𝑒，最大值是7𝑒2．
1
3
1
解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及切线的意义，是一道中档题． (1)求出函数的导数，计算𝑓′(0)=2，求出a的值即可；
(2)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可．
22.答案：解：(1)由曲线C的参数方程{
𝑥=−1+2cos𝜑
，消去参数𝜑，
𝑦=2sin𝜑
得曲线C的普通方程为(𝑥+1)2+𝑦2=4．
由曲线𝑙1的极坐标方程𝜌=√2sin (𝜃+𝜋)，得𝜌𝑠𝑖𝑛 𝜃+𝜌𝑐𝑜𝑠 𝜃=1，
4
1将𝑥=𝜌𝑐𝑜𝑠 𝜃，𝑦=𝜌𝑠𝑖𝑛 𝜃代入，得𝑙1的直角坐标方程为𝑥+𝑦−1=0； (2)由𝑙1⊥𝑙2，得直线𝑙2的斜率𝑘𝑙2=−𝑘𝑙=1，所以𝑙2的倾斜角为4，
1
1𝜋
又𝑙2过圆心(−1,0)，所以𝑙2的方程为𝑦=𝑥+1，与𝑥+𝑦−1=0联立，得AB的中点𝑀(0,1)， 故𝑙2的参数方程为{
𝑥=
√2𝑡2
√2𝑡2
𝑥=𝑡cos
𝜋4
𝜋,(𝑡为参数)，
𝑦=1+𝑡sin4,(𝑡为参数)，
即{
𝑦=1+
代入(𝑥+1)2+𝑦2=4中，化简、整理得𝑡2+2√2𝑡−2=0， 设P，Q对应的参数分别为𝑡1，𝑡2，则由韦达定理得𝑡1·𝑡2=−2， 又线段PQ为圆的直径，所以|𝑃𝑄|=4， 所以|𝑀𝑃|⋅|𝑀𝑄|=|−2|=2．
|𝑃𝑄|
4
解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型． (1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果． −2,𝑥<−1,
23.答案：解：(1)𝑓(𝑥)=|𝑥+1|−|𝑥−1|={2𝑥,−1≤𝑥≤1.
2,𝑥>1,解不等式𝑓(𝑥)≤1，
𝑥<−1,−1≤𝑥≤1,𝑥>1,即{或{或{ −2≤1,2𝑥≤1,2≤1,解得𝑥≤2．
即不等式𝑓(𝑥)≤1的解集𝐴=(−∞,2]． (2)由题可知𝑎=2，则𝑥+𝑦=2， 即2𝑥𝑦=2𝑥+𝑦，则有𝑥𝑦=𝑥+2𝑦． 所以𝑥𝑦+𝑥+2𝑦=𝑥𝑦+𝑥𝑦≥2√4=4， 当且仅当𝑥=1，𝑦=2时等号成立，
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所以𝑥𝑦+𝑥+2𝑦≥4．
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解析：本题主要看考查了绝对值不等式的解法及基本不等式的应用，属于中档题． (1)化为分段函数，解不等式组即可；
(2)由(1)知𝑥+𝑦=2，从而有𝑥𝑦=𝑥+2𝑦，然后利用基本不等式可证．
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