1997年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案

数学(文史类)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷(选择题共65分)

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．

3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．

一、选择题：本大题共15小题；第(1)—(10)题每小题4分，第(11)—(15)题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

(1) 设集合M={x|0≤x<2}，集合N={x|x2－2x－3<0}，集合M∩N= (A) {x|0≤x<1} (B) {x|0≤x<2} (C) {x|0≤x≤1} (D) {x|0≤x≤2} (2) 如果直线ax+2y+2=0与直线3x－y－2=0平行，那么系数a= (A) －3 (B) －6 (C) －

( )

( )

32 (D) 23( )

(3) 函数y=tg11x在一个周期内的图像是

32

(4) 已知三棱锥D—ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=3，BC=2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的大小是

( )

1

2 (B) (C) (D)

3432(5) 函数y=sin(－2x)+sin2x的最小正周期是

3(A) (B)π (C) 2π (D) 4π

2(A)

(6) 满足tg a≥ctg a的角a的一个取值区间是

(A) 0， (B) 0， (C) ， (D) ，

444242(7) 设函数y=f(x)定义在实数集上，则函数y=f(x－1)与y=f(1－x)的图像关于

( )

( )

( )

(A) 直线y=0对称 (B) 直线x=0对称 (C) 直线y=1对称 (D) 直线x=1对称

(8) 长方体一个顶点上三条棱的长分别是3，4，5且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是

(A) 202π (B) 252π (C) 50π (D) 200π

(9) 如果直线l将圆：x2+y2－2x－4y=0平分，且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是

(A) [0，2] (B) [0，1] (C) [0，

( ) ( )

1] (D) 210， 2( )

(10) 函数y=cos2x－3cosx+2的最小值为

(A) 2 (B) 0 (C) －

1 (D) 6 441关于直线x+y=0对称，椭圆C的方程是 ( )

22x3y2(11) 椭圆C与椭圆

9(A)

x22y32491 (B)

x22y32941

(C)

x22y32941 (D)

x22y32491

( )

(12) 圆台上、下底面积分别为π、4π，侧面积为6π，这个圆台的体积是

(A)

237373 (B) 23 (C) (D) 363(13) 定义在区间(－∞，+∞)的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间0，的图像与f(x)的图像重合．设a>b>0，给出下列不等式

( )

2

① f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)；② f(b)－f(－a) < g(a)－g(－b)； ③ f(a)－f(－b)>g(b)－g(－a)；④ f(a)－f(－b)x0(14) 不等式组3x2x的解集是

3x2x(A) {x|0( )

(15) 四面体的一个顶点为A，从其它顶点与各棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有

(A) 30种 (B) 33种 (C) 36种 (D) 39种

( )

第Ⅱ卷(非选择题 共85分)

注意事项：

1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．

二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．

ax的展开式中x3的系数为9，常数a的值为___________ (16)已知x249(17)已知直线x－y=2与抛物线y2=4x交于A、B两点，那么线段的中点坐标是_______ (18)

sin7cos15sin8的值为__________ cos7sin15sin8(19)已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题： ①若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α； ②若l平行于α，则l平行于α内的所有直线； ③若mα，lβ，且l⊥m，则α⊥β； ④若lβ，且l⊥α，则α⊥β； ⑤若mα，lβ，且α∥β，则m∥l．

其中正确的命题的序号是___________ (注：把你认为正确的命题的序号都填上) ．

3

三、解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

(20)(本小题满分10分) 已知复数z1322i，i．求复数zz3的模及辐角主值． 2222(21)(本小题满分11分)

设Sn是等差数列{an}前n项的和．已知项为1．求等差数列{an}的通项an．

(22)(本小题满分12分)

甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时．已知汽车每小时．．．的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，且．．．．．

比例系数为b；固定部分为a元．

(Ⅰ)把全程运输成本．．．．．．y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域； (Ⅱ)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ ．．．．．．(23)(本小题满分12分)

如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．

(Ⅰ)证明AD⊥D1F； (Ⅱ)求AE与D1F所成的角； (Ⅲ)证明面AED⊥面A1FD1；

(Ⅳ)设AA1=2，求三棱锥E－AA1F的体积VEAA1F． (24)(本小题满分12分)

已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图像交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数的y=log2x的图像交于C、D两点．

(Ⅰ)证明点C、D和原点O在同一条直线上； (Ⅱ)当BC平行于x轴时，求点A的坐标． (25)(本小题满分12分)

已知足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l：x－2y=0的距离为

11111S3与S4的等比中项为S5，S3与S4的等差中345345．求该圆的方程． 5 4

1997年普通高等学校招生全国统一考试

数学试题(文史类)参考解答及评分标准

说明：

一．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．第(1)—(10)题每小题4分，第(11)—(15)题每小题5分．满分65分．

(1)B (2)B (3)A (4)C (5)B (6)C (7)D (8)C (9)A (10)B (11)A (12)D (13)C (14)C (15)B

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．

(16)4 (17) (4，2) (18)2－3 (19)①，④ 注：第(19)题多填、漏填和错填均给0分．

三、解答题

(20)本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算等基础知识，考查利用三角公式进行变形的技能和运算能力．满分10分．

解法一：将已知复数化为复数三角形式：

z13icosisin， 2233 5

2222i cos4isin4

依题意有zω+zω3

=(cos771312+isin12)+(cos12+isin1312) =(cos71371312+cos12)+i(sin12+sin12)

=2cos4(cos56+isin56)

故复数zω+zω3的模为2，辐角主值为56．

解法二：zω+zω3 = zω(1+ω2) =(

13222+2i)(2+2i)(1+i)

=2(－32i+12i) =2(cos

56+isin56) (21)本小题主要考查等差数列、等比数列、方程组等基础知识，考查运算能力．满分11分．解：设等差数列{an}的首项a1=a，公差为d，则通项为 an =a+(n－1)d， 前n项和为

Snn1nna2d， 依题意有

1S1123S4S5345 13S314S42其中S5≠0． 由此可得

6

2132143154d4ad5ad3a2223425

13a32d14a43d23242整理得

3ad5d20 52ad22解方程组得

d0

a1

由此得 an=1；

12d5 a412(n－1) 53212 =－n．

55或 an=4－

3212n时，S5=－4，均适合题意． 553212故所求等差数列的通项为an=1，或ann．

55经验证知时an=1，S5=5，或an(22)本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力．满分12分．

解：(1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 y=a·+bv2·=S(

s，全程运输成本为 vsvsva+bv) v故所求函数及其定义域为 y = S(

a+bv)，v∈0，c v (Ⅱ)依题意知S、a、b、v都为正数，故有 S(

a+bv)≥2Sab． vabv，即vva时上式中等号成立． b当且仅当

7

若

ac，则当vba时，全程运输成本y最小． b若

ac，当x0，c时，有 bS(

aaaaS+bv)－S(+bc)= S[(－)+(bv－bc)]=(c－v)(a－bcv)． vcvcvc因为c－v≥0，且a>bc2，故有 a－bcv≥a－bc2>0， 所以S(

aa+bv)≥S(+bc)，且仅当v=c时等号成立． vc也即当v=c时，全程运输成本y最小． 综上知，为使全程运输成本y最小，当速度应为．

(23)本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，考查逻辑推理和空间想象能力．满分12分．

解：(Ⅰ) ∵ AC1是正方体， ∴ AD⊥面DC1． 又D1F面DC1， ∴ AD⊥D1F．

(Ⅱ)取AB中点G，连结A1G，FG．

因为F是CD的中点，所以GF、AD平行且相等，又A1D1、AD平行且相等，所以GF、A1D1平行且相等，故GFD1A1是平行四边形，

A1G∥D1F．

设A1G与AE相交于点H，∠AHA1是AE与D1F所成的角． 因为E是BB1的中点，所以

Rt△A1AG≌Rt△ABE，∠GA1A=∠GAH， 从而∠AHA1=90º，

也即直线AE与D1F所成的角为直角．

(Ⅲ)由(Ⅰ)知AD⊥D1F，由(Ⅱ)知AE⊥D1F，又AD∩AE=A， 所以D1F⊥面AED．

8

abababc时行驶速度应为vc时行驶；当bbb又因为D1F面A1FD1，所以面AED⊥面A1FD1． (Ⅳ)∵ 体积VEAA1FVFAA1E，

又FG⊥面ABB1A1，三棱锥F－AA1E的高FG=AA1=2，

112S□ABB1A1=×2=2． 22114∴VEAA1F=×SAA1E×FG=×2×2=

333面积 SAA1E=

(24)本小题主要考查对数函数图像、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查运算能力和分析问题的能力，满分12分．

解：(Ⅰ)设点A、B的横坐标分别为x1、x2由题设知，x1>1，x2>1．则点A、B纵坐标分别为log8x1、log8x2．

因为A、B在过点O的直线上，所以，

log8x1log8x2 x1x2点C、D坐标分别为(x1，log2x1)，(x2，log2x2)． 由于log2x1=

log8x2－3 log8x1，

log82log2x2=

log8x2=3log8x2

log82log2x13log8x1， x1x1log2x23log8x2． x2x2OC的斜率 k1OD的斜率 k2由此可知，k1=k2，

即O、C、D在同一条直线上． (Ⅱ)由于BC平行于x轴知 log2x1= log8x2， 即得 log2x1=∴ x2=x1．

代入x2log8x1=x1log8x2得

31log2x2， 3x13log8x1=3x1log8x1．

9

由于x1>1知log8x1≠0， ∴ x1=3x1．

考虑x1>1解得x1=3．

于是点A的坐标为(3，log83)．

(25)本小题主要考查轨迹的思想，考查综合运用知识建立曲线方程的能力．满分12分． 解：设圆P的圆心为P(a，b)，半径为，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|．由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90º，知圆P截x轴所得的弦长为2r．故

r2=2b2

又圆P被y轴所截得的弦长为2，所以有 r2=a2+1．

从而得2b2－a2=1．

又因为P(a，b)到直线x－2y=0的距离为即有 a－2b=±1， 由此有

3a2b55，所以d， 5552b2a21 a2b1解方程组得

2b2a21 a2b1a1 b1于是r2=2b2=2， 所求圆的方程是

a1 b1(x+1)2+(y+1)2=2，或(x－1)2+(y－1)2=2．

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