《保险精算学》笔记：多重损失模型

第一节 简介 一、 背景介绍

如果被保险人投保寿险且在缴费期间死亡，那就意味着他将获得保险赔付而且不再缴纳保险费了。就这人而言，保险人遭受到了损失。在前面七章中我们都是讨论在以死亡为唯一损失变量时，各种保险要素确实定。在实际中，除了死亡这个损失变量，我们可能还会遇到其它的提前终止缴费的损失变量，比如，寿险中，被保险人退保；劳动力计划中，雇员辞职、残疾或者退休等，都会对单一考虑死亡因素时的缴纳——赔付之间的平衡构成影响。多重损失模型就是在这种背景下产生的。 二、 多损失模型的构造 1、两变量模型

多种损失模型的实质就是一个两变量模型。变量一是状况终止的时间 场合它可以表示为剩余寿命；变量二是状况终止的原因 我们可以令

,表示死亡，

，表示退保。

，在寿险

，这是一个离散随机变量，比如在寿险场合，

2、联合密度函数

3、边际分布函数

4、事件的概率

5、多重损失函数

：由原因 引起的，且损失发生在时间 之前的概率

DOC.

：由原因 引起的损失发生的概率

：

的密度函数

：

的分布函数

：由各种原因引起的损失发生在时间 之前的概率

：损失不会发生在时间 之前的概率

： 时刻由原因 引起的损失效力

： 时刻由各种原因引起的总损失效力

：给定损失时间 ， 的条件概率

DOC.

第二节 残存组确实定 一、 随机残存组

1、 随机残存组的定义：考察一组 以下联合概率密度函数确定：

岁的 个生命，每一个生命的终止〔损失〕时间与原因的分布由

2、 随即残存组函数

：在年龄 与 之间因原因 而离开的成员的期望个数

：在年龄 与 之间因各种原因而总共离开的成员的期望个数

：原先 个 岁的成员在 岁时的期望残存个数

二、 决定性残存组

1、确定性残存组的定义：总的损失效力可以看作总的损失率，而不作为条件密度函数。那么一组 岁成员随着年龄的增加按决定性损失效力演变

，那么原先

个岁成员在

个

岁时的残存数为

2、确定性残存组函数

：在年龄 与 之间因各种原因而离开的成员数

DOC.

：现年 岁，将来因为原因 而终结的个体数

：因原因 引起的损失效力

：因各种原因引起的总损失效力

第三章 多重损失表的构造 一、 单重损失函数 1、 绝对损失率

〔1〕 单重损失函数定义

〔2〕 绝对损失函数定义

称为绝对损失率，是指原因 在 的决定过程中不与其它损失原因竞争。它也称为净损失率

〔net probabilities of decrement〕或损失率(independent rate of decrement)。 2、 根本关系

DOC.

由此可以推导出

3、 常数损失效力假定

〔1〕 假定：每一年内死亡效力恒定，即

等价推出

〔2〕 关系时式

4、 多重损失均匀分布假定

〔1〕 假定： 每种损失在每一年内均匀分布

等价推出

DOC.

〔2〕 关系式

与常数损失效力假定情况下的关系式一样。 二、 多重损失表的构造

1、 由单重损失函数推导多重损失函数

2、 多重损失表构造 示例

年龄 65 66 单重损失表 …… …… …… 多重损失表 …… …… …… 0.02 0.025 0.04 0.06 0.01941 0.02401 0.03921 0.05866

DOC.