圆盘定理矩阵理论在非线性电路系统稳定性分析中的应用

摘要：在分析非线性电路时，人们非常关心非线性电路系统的解在平衡点周围的性质，即解的稳定性的问题。对一些的系统，在一定的条件下可将系统化为线性系统，应用线性系统的分析方法可得出平衡点附近的性质。现在就谈谈矩阵理论中的圆盘定理在线性自治系统的稳定性和非线性电路按首次近似决定的稳定性分析中的应用。

关键字：圆盘定理；非线性系统；稳定性分析

一、首先是圆盘定理在线性系统稳定性判断中的应用。

首先引人线性系统的稳定性定理[1]：设线性自治系统的状态方程为：

dxAx dt式中，A为nn非奇异矩阵；x(t0)x0。当且仅当A的所有特征根的实部

Rei0(i1,2,,n)，且实部为零的根所对应的初等因子是一次的，则平衡点

x0是稳定的。当且仅当Rei0(i1,2,,n)，平衡点是渐进稳定的。若至少

有一个特征根的实部Rei0，则平衡点x0是不稳定的。 考虑四阶线性自治系统，状态方程如下：

dx1dtdx2dt

dx3dtdx4dt2x1x23x22x31x12x3x42x12x24x4

该线性系统的系数矩阵为：

00210320； A1020.51204A的四个盖尔圆为：

S1:z21;S2:z32;

3

S3:z2;2S4:z43,四个盖尔圆为于虚轴的左半平面上，由圆盘定理可知，矩阵A的特征值在左半平

面，故其特征值有负实部，故该系统在平衡点x0处是渐进稳定的。

二、有了线性系统的分析基础，就可以应用到非线性电路的分析上了。下面考虑非线性自治系统按首次近似决定的稳定性。 非线性自治系统，一般有如下的状态方程：

dxAxR(x) dt设有

R(x)lim=0； x0x这时，在此条件下，平衡点x0的稳定性能由线性系统 dxAx dt平衡点的稳定性来决定。下面考虑一个三阶非线性系统，状态方程如下：

dx2xyx2exdtdy xyx3yz2dtdzxy2zex(y2z2)dt其中，(x,y,x)R3，显然，x0,y0,z0是系统的一个平衡点。并且线性化条件，其线性化方程为：

dx2xyzdtdy xydtdzxy2zdt该方程的系数矩阵为：

211； A110121矩阵A的三个盖尔圆均在左半平面，并且与虚轴在原点相切，但rank(A)3，故0不是矩阵A的特征值，则由圆盘定理可知，矩阵A的特征值均有负实部，故平

衡点x0是局部渐进稳定的。

三、非线性电路与系统可用来模仿神经网络，其中神经网络的联想记忆功能与平衡点的稳定性有关。其实记忆过程就是一个系统从任意初状态出发，达到其最邻近的渐进稳定平衡点的过程，所以可以在模拟记忆时，将要记忆的模式设置为系统的局部渐进稳定平衡点。

连续神经网络的模型[2]一般可以用下式描述：

dxAxTf(x)E dt式中，Adiag[a1,a2,an]，ai的物理意义是地i个神经元与第j个神经元的传递时延迟。T为nn实矩阵，其一般元素Tij为第i个神经元和第j个神经元之间的连续权系数；I[I1,I2,,In]T是网络输入向量；

f(x)[f1(x1),f2(x2),fn(xn)]T表示神经元输入的非线性映射，f(x)C1。设xs是系统的平衡点，则有

AxsTf(xs)E 令yxxs，则线性化方程为：

dyAyTJ(xs)yMy dtf(x)其中，J(xs)是f(x)在xs处的雅克比矩阵，可求得：

xxxs

J(xs)diag[f(x1s),f(x2s),,f(xns)] 则M可以写为：

a1T11f1(x1s)T12f2(x2s)T21f1(x1s)a2T22f2(x2s) MTn2f2(x2s)Tn1f1(x1s) anTnnfn(xns)T1nfn(xns)Tn2fn(xns)要使xs为系统的局部渐**衡点，则，根据圆盘定理设定数据：

Tiifi(xis)ai0(i1,2,n) Tf(x)aTf(x)

ijjjsiiiisij1jin这样就可得到一个局部渐**衡点。

圆盘定理在特征值估计中虽然得不到准确的值，但可得到特征值的范围，这在许多情况下却可以实用了。如本文讨论的系统稳定性判断，只要判断特征值的实部是否为负就可得出结论了，节省了计算特征值的时间。 参考文献：

[1] 刘小河. 非线性电路理论[M]. 北京：机械工业出版社，2009.8. [2]黄廷祝，钟守铭，李正良. 矩阵理论[M]. 北京：高等教育出版社，2003.