海盐县元通中心小学数学课题组 （执笔：董林根）
从2002年下半年开始，我们确定研究课题《“自学—讨论”教学模式的构建与研究》，旨在克服传统数学教学模式的缺陷，迎合新课程改革的实践，期望较好地在课堂教学模式上做好过渡，以促进学生数学素质的全面发展，促进数学教学质量的提高。
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课题的形成和研究的基本设想
一、 课题提出
1、传统数学教学模式的缺陷。
传统数学教学模式以传授知识为主，学生仅以掌握知识为目的。虽然学生基础知识的掌握比较理想，但是学生缺乏主动探索学习的能力。这种“注入”式的教学，很大程度上扼杀了学生的“创造力”，使他们变成一个个被动接受知识的容器。所以，在学习质量的测评中，常常发现学生对稍有变化的习题产生误解，尤其对实际问题的解决，缺乏分析能力，缺少解题方法，甚至束手无策。
2、开放性数学教学模式的困惑。
近年来，为适应素质教育的需要，各地相继出现了许多旨在培养学生创新意识和创造能力的开放性数学教学模式。虽然这种教学模式极大地发挥了学生的主体作用，使课堂教学面目一新，在许多优秀学生身上确发现了许多“创造点”，但是从有关统计资料反映，学生对基础知识的掌握程度有所下降，尤其是“落后生”，因此，在实际教学中常常出现“课上轰轰烈烈，课后补得热烈”的现象。近两年来，随着素质教育的不断推进，新课程改革的实验不断深入，使教师的理念更新，教学行为得到质的转变。然而，我们发现“拖堂”是数学生活化、学习探究化“新课堂教学”的家常便饭，这使我们产生一个困惑：课堂教学还要不要40分钟？教师还要不要进行课堂教学时间的？还有，许多“复古性”的“再现式”探究教学，也浪费了不少的宝贵的教学时间。
3、实施数学素质教育的矛盾冲突。
根据以往实施数学素质教育的探索，产生如下矛盾冲突：
从教材上讲，现行省编义务教材，是以“易教易学”的最大特色编排的，引导探究、“创新”、“创造”的力度不够，许多内容与学生生活实际相去太远，某些内容已“过时”。
﹡课题组人员：董林根（负责人）、朱建生、徐海兵、崔培芬、陆献珍、戴红军、何月丰
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所以，要真正发挥学生的主体作用，按照数学素质教育的要求，怎样去合理地组织、整合老教材，是当前值得研究的问题。
从教法上讲，重视了学生基础知识的落实，往往顾不上研究发展学生的思维能力和发现、创新能力，即抓住了落后学生，却使优秀学生“吃不饱”；重视了学生思维能力和发现、创新能力的培养，就顾不上或削弱了落后学生基础知识的落实，即优秀学生“吃饱了”，落后学生就“难受了”。如何真正做到兼顾两头，面向全体，促进学生整体数学素质的提高，又是当前急需研究的问题。
从课堂教学时间上讲，开放性课堂教学，确实使学生的主体作用得到很好的体现，然而，感到最头疼的是课堂教学时间很难。虽然我们也一再强调发挥教师的主导作用，但是实际上“放”是容易的，而“收”却往往导致“放”的失败。因此，为了真正体现学生的主体作用，课堂教学时间的安排和如何才能做到恰到好处，也是当前值得研究的问题。
从学法上讲，造成某些学生学有困难的重要原因是这些学生缺乏正确的学习方法，而正确的学习方法的运用又与学生的智力有关。学习“落后生”之所以落后，其根本原因是智力偏弱，缺乏思考的能力，即缺乏探究的能力。探究性学习是有难度的，而对于“落后生”更是难上加难。探究学习如何在“落后生”身上得到体现，这更是当前迫切需要研究的问题。
4、课题的形成和构想。
，《关于深化教育改革全面推进素质教育的决定》中指出：“智育工作要转变教育观念，改革人才培养模式，积极实行启发式和讨论式教学，激发学生思考和创新意识，切实提高教学质量。要让学生感受、理解知识产生和发展的过程，培养学生的科学精神和创新思维习惯，重视培养学生收集处理信息的能力，获取新知识的能力，分析和解决问题的能力，语言文字表达能力以及团结协作和社会活动的能力。”这就从教与学两个方面为我们明确了方向。本课题设想按照《决定》指明的方向，结合新课程理念，在数学教学实践中，构建起相对稳定的适应小学中高段课堂教学的“自学—讨论”教学模式，期望较好地解决上述矛盾冲突，做好迎合新课程的过渡工作，取得教与学的双赢效果。
二、研究目标
1、设想通过研究，力争达到以下教与学的目标：
（1）、教师实现以“讲”为主向以“导”为主的转变，引导学生通过自学、讨论、
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交流，手、口、脑、耳并用，积极主动地、创造性地去获取知识，培养学生善于思考、发现问题、分析问题和解决问题的能力，以及与学生一起营造民主、团结、协作的学习集体。
（2）、学生实现以“学会”为主向“会学”为主的转变，逐步提高自学能力，养成主动探究的习惯和乐于思维的态度，形成互相帮助、虚心求教、敢于争辩的学习氛围，发展学生的个性和创造力。
2、设想通过尝试、研究，构建起实用性、适应性较强的“自学—讨论”教学模式，较好地解决上述的几个矛盾冲突，进而适应新课程的教学。
三、研究内容
围绕确定的研究目标，本课题在构建“自学—讨论”教学模式时将着重研究以下内容：
1、新课程标准要求下的新教材还未到位，现行教材已滞后于素质教育的要求，如何合理地整合教材，适应本课题所构想的教学模式？
2、在教学模式构建的过程中，如何做到既能使学生较好地掌握基础知识，又能较好地发展学生的创造思维能力？
3、开放性教学的“放”和“收”，体现在课堂教学时间上的安排和，怎样才能做到“恰倒好处”？
4、学生从“学会”向“会学”的转化过程中，如何使“落后生”也能积极参与探究学习，不同程度地提高他们的探究能力和学习成绩？
四、理论依据
1、“教为主导、学为主体”的辩证统一教学观，认为教学活动是教师的导与学生主动学习的有机结合。教师在教学活动中是“引导者”，做到“道而弗牵、强而弗抑、开而弗达”。课堂教学是师生的双边活动，重视学生的主体作用并不是说教师可以撒手不管，而是在学生的学习活动过程中起“穿针引线”的作用，把学生的学习活动放在一个“有限”而有“宽松”的氛围中。
2、杜威、布鲁纳的教学理论及国内外有关自学、探索、尝试、发现、讨论、合作等教学模式的理论。认为教学过程是学生参与学习生活的过程，学生的学习是已有经验的不断改造，因此教学不该是讲和听，而必须通过亲身活动去感受、发现、和升华。传统的传授式教学，很大程度上“扼杀”了学生在学习活动中的“创造性”。无数的科学
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发现，无不都是科学家在不断的亲身实践、无数次的实验和体验中获得的。
3、团体动力原理。这种理论主张改变“静态的集体”为“动态的集体”，为学生提供充分表现自己的机会，通过集体的力量来解决问题。“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”，“众人拾柴火焰高”，都说明了集体的力量。通过“小组合作”、“集体研讨”，许多个人无法解决的问题就可以“迎刃而解”。同时，在集体解决问题的过程中，可以潜移默化地培养学生的集体观念。
4、前苏联阿莫纳什维利的“合作教育学”。该种理论主张用人道主义的原则和个性民主化的原则来改造教学过程，处理教学过程中人与人之间的关系，激发学习热情，提高教学质量，培养个性和谐发展的人。该种理论认为，教师在教学中的角色应是学生学习的合作者，所有的教学任务都应在民主协作的氛围中完成。
模式定义与结构解说
一、模式定说
我们把“自学—讨论”教学模式定义为：它是一种围绕教学目标，以学生自学、讨论、交流为主，教师参与学生学习活动的组织、引导、释疑点拨，在民主、互助、协作的氛围中，使学生应用正确的学习方式积极主动地获取知识、发展数学素质的教学模式。
这里“以学生自学、讨论、交流为主”阐明了学生学习的基本方式，“使学生应用正确的学习方式积极主动地获取知识、发展数学素质” 阐明了学生学习的主体地位和数学素质教育的要求，“教师参与学生学习活动的组织、引导、释疑点拨” 阐明了教师的课堂教学角色，“民主、互助、协作的氛围” 阐明了一种和谐、平等的教学氛围，而这一切都是“围绕教学目标”，体现课堂教学的目标意识。
二、模式基本结构解说
“自学—讨论”教学模式，一般结构如下： ㈠、前提诊断，获取信息
这一步，教师组织与新知密切相关的内容让学生训练，用以了解学生已有知识、经验、能力的信息，作为布置或调节新知学习的起点，一般为2—4分钟。根据教学实际，这一步可作课前谈话，也可省略。
㈡、巧设情景，导入新知
良好的导入，是课堂教学成功的开端。教师设计切合新知教学和学生生活实际的问
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题情景，“生长知识”，诱发学生学习的动机，激发学生的学习兴趣`，自然地导入新知教学。这一步一般不超过4分钟。
如“长方形和正方形面积的计算”导入：
1、教师出示长方形纸：以前我们用哪些方法求它的面积呢？ 估计：
①、目测估算（板书：目测估算）；
②、用表示面积单位的纸片去摆（测量）（板书：实摆）； ③、按面积单位的意义打格后数（板书：数格）； ④、可能会有学生说出长乘宽。
2、导入新课：目测估算可靠吗？（板书：？）摆纸片测量和打格后数虽然可靠，但如果去测量一个很大的„„，这样行吗？（板书：？）如果有学生已讲出长乘宽，教师则乘势说：刚才有同学说用长乘宽，是不是这样呢？让我们一起来研究（板书：研究）长方形和正方形面积的计算（板书：长方形和正方形面积的计算）。
㈢、提纲引领，明确目标
为了使学生学有方向，教师应精心设置自学提纲，明确学习目标。根据实际情况，提纲可以是口头或书面形式，也可以小黑板出示，条件许可，还可让学生自定学习目标。提纲设置要有面向全体的要求，也要有深入研究或开放性的内容。同时，可进行学法、操作等的提示或讨论。这一步一般需2分钟左右。如：
《最小公倍数的认识》自学提纲
6的倍数有： 8的倍数有：
6和8公有的倍数有： ，其中最小的一个公有的倍数是： 。用图表示如下：
6和8公有的倍数 6的倍数 8的倍数
5
3的倍数有： 5的倍数有： 9的倍数有：
3、5和9公有的倍数有： ，其中最小的一个公有的倍数是： 。用图表示如下：
几个数 叫做这几个数的公倍数，其中 叫做这几个数的最小公倍数。
思考：倍数、公倍数、最小公倍数有什么联系与区别？ ㈣、围绕目标，自学探究
这一步，教师组织学生或通过看书，或实践操作等方法自行围绕提纲所示的学习目标进行自学研究。教师可重点对“落后生”单独指导。解决问题的能力是一个人最本质的能力，培养学生的这种能力，对其的后续发展至关重要，所以这一步时间应予保证，至少5分钟。如果学生所学内容不适合探究，可以直接进入下一步。
㈤、小组研讨，互助释疑
这一步适合需合作研讨的学习内容或探究后的互助释疑。小组构成一般以前后桌四人为宜，也可同桌或多人。小组合作研讨时，根据需要可作出分工。探究后的互助释疑，让学生围绕提纲目标的解决，交流自行发现的一些问题，展开互助式的讨论，同时也给“落后生”一个“表现”和“暴露”问题的机会。教师可参与薄弱小组的辅导或讨论。这一步倾向于小组研讨的，一般安排不少于8分钟；倾向于互助释疑的，一般在4分钟左右。有时会遇到一些学习内容，探究后还需要小组研讨，在研讨时互助释疑，时间可适当延长。
㈥、组际交流，导引解惑
这一步，一般每组择代表介绍自己组的学习情况，提出疑难问题，通过集体讨论解
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3的倍数 9的倍数 5的倍数 决，教师发挥“穿针引线”、“抛砖引玉”的作用，消除学生的疑惑。一般安排6分钟左右。
㈦、反馈练习，师生讨论
教师为了全面了解学生学习的反馈信息，结合教学内容和学生实际，编拟体现教学目标的重点练习内容（也可依据自学提纲），组织学生练习，获取反馈信息，共性问题与学生交流、讨论、纠错，完成主体教学目标。时间许可，还可进行深入性或开放性的讨论。这一步一般不少于10分钟。
㈧、总结归纳，自我评价
这一步，教师先组织学生自行总结所学知识，引导学生将知识系统化；再让学生对自己的学习、学法进行自我评价，教师适当总评。对学生学习过程中的重点疑难问题，在这一步应予重点强调。总结归纳是学生建构知识体系的重要环节，而学生自我评价能力的培养也是新课程所强调的，因此不能走过场，一般至少安排3分钟。
㈨、留有余疑，延续兴趣
课终或临近课终，教师可乘势出示或引导出相关的拓展延伸题（最好是开放题），供学生课外研究、讨论，用以加深和巩固学生对新知的理解、掌握、拓展（拓展延伸题也可作机动题处理），深化学生的学习兴趣。
三、课型教案举例
教学内容：浙江省现行义务教材8册P113-115例3、例4，“分数的大小比较”。 教学目标：引导学生经历分数大小比较的研究过程，感受分数大小比较的方法、规律；引导学生在理解的基础上正确比较两个同分母真分数和同分子真分数的大小；在学习的过程中渗透分类、比较的思想，激发学生爱学习、乐钻研的热情。
教学准备：多媒体课件、学生操作用提纲纸。 教学过程：
㈠、复习铺垫，初步感受 1、看图填分数。（课件出示）
（ ） （ ）
（ ） （ ）
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2、口答填空。（课件出示）
11① 这个分数你的理解是（ ）。呢？
86②
5151里面有（ ）个；里面有（ ）个。 6688㈡、设置情景，导入新课
1、你能给下面的分数分类吗？你的分类标准是什么？（课件出示）
2431151611 25347977772、小熊和小狗看了上面的分数后忽然争论起来了，小熊说：“我发现
351比大，737111比大。”小狗说：“你后面的讲得不对，应该是比大。”你的意见呢？怎样才能
223得到肯定的结论呢？（课件出示）
3、让我们一起来研究分数的大小比较。（板书课题：分数的大小比较） ㈢、出示提纲，明确要求
小黑板出示：用你觉得可行的方法研究，看看究竟小熊和小狗谁的意见正确。你还可以给你分类的分数按大小排个队。
㈣、学生操作，研究
教师在学生操作探究时个别引导：可以画画图啦、折折纸啦、想想这个分数表示什么啦„„
㈤、小组交流，质疑问难 教师引导学生主要交流：
1、研究中有什么困难，在小组里提出来； 2、发表自己的意见，通过合作研讨，解决问题； 3、有没有大家都弄不明白的疑惑。 ㈥、反馈交流，导引解惑
1、学生汇报自己的研究成果。估计有以下几种方法： ① 折纸比较； ② 画图比较；
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③ 用计量单位思考比较； ④ 举例想象比较；
⑤ 从几个几分之一的合成或从平均分的份数多少上看每份的大小去比较； ⑥ 可能的其它方法。 2、得出小熊的意见是正确的。
3、学生利用分类的分数，挑任意两个分数比较大小，再按大小排排队。 ㈦、师生交流，检查巩固
1、卡片示“试一试”6小题，学生口答。
2、学生做书上练一练：1、2、3。完成后小组学生互相交流批改，帮助有错的学生纠正错误。（机动：P116思考题）
3、学生解题。（练一练：4、5、6。）完成后交流一下解题格式，再反馈纠误。 4、学生创造习题，互相考查。 ㈧、回顾总结，评价激励
1、这节课你有哪些收获？你感受最深的是什么？ 2、你对自己的学习满意吗？给自己的学习打个成绩。 ㈨、拓展延伸，留有余疑
小黑板出示：小熊和小狗又在争论一道题目：小红和小李在同一条大道上跑步锻炼。
33小红跑完全程用了分钟，小李跑完全程用了分钟。小熊说小红跑得快，小狗说小李
45跑得快。你的意见呢？为什么？
四、模式特点和操作过程中应注意的问题
㈠、“自学——讨论”教学模式的特点
1、“自学——讨论”教学模式在课堂教学程序上，具有以下几个主要特点。 ① 易操作性。
该模式所构建的几个主要环节，是一般数学课堂教学都有可能具备的，教师无论水平高低，均能操作。教师只要在课前充分考虑好重点环节的“预设”即可。
② 可性。
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由于该模式安排了较多的学生活动，如自学、讨论等，在这些活动过程中，教师以合作者的身份参与活动，就可以从学生活动信息中了解到是否需要调整的内容、时间等，及时作出相应的，既放得开，又收得拢，充分发挥课堂教学的效率。
③ 宽适应性。
该模式充分考虑到不同层次的学生的学习。在自学探究、小组探讨与交流、集体交流与讨论等环节中，不同层次的学生对学习材料的研究、理解也具有层次性，体现着学习目标的层次性。同时在这些环节的进程中，余地空间较大，适应不同层次教师的操作。
2、“自学——讨论”教学模式在师生角色层面上，具有以下几个主要特点。 ① 教师从 “纯传授者”转变为学生学习活动的“组织者、引导者和合作者”。 运用该模式进行课堂教学，教师完全没有 “纯传授者”的身份，它要求教师精心组织教材和教学活动，以合作者的身份参与学生的学习活动，引导学生消除学习上的疑惑或难点。教师与学生的关系是“零距离”的关系。
② 学生从被动的“接受者”转变为以“自主、合作”为主要形式的“主动学习者”。 在该模式的学习活动中，学生的学习始终是主动的、积极的。自学探究、小组合作研讨、汇报交流与讨论、学习的总结与评价等，都是以学生为主，即使有个别知识点需要别人帮助解决，也是在主动“想要”的状态下实现“接受”的。
3、“自学——讨论”教学模式在追求教学实效上，具有以下几个主要特点。 ① 能增强学生的学习兴趣和热情。
兴趣是一个人力求认识和趋向某种客体，并伴有积极情绪体念的心理倾向。它是在个体需要的基础上产生，并在实践活动中形成和发展的。心理学研究表明，“自发”状态下的个体活动，具有“积极主动性”。“自学——讨论”教学模式正是基于这样的心理学依据，设计了相应的教学环节，使学生始终处在“主动”状态下参与学习活动，从而不断增强他们的学习兴趣和热情。
② 能使学生习得科学的学习方式方法。
在该模式状态下展开学习，学生就会潜移默化地习得科学的学习方式方法。如学习目标的确定、自学探究时的操作方法（学具操作实验、作图观察理解等）、合作研讨、交流互帮等。当学生能用正确的学习方式方法展开学习活动时，他们的学习效率更高，效果也随之更好。
③ 学生“双基”的获得与解决问题能力的形成，两者和谐统一，相互促进。
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“自学——讨论”教学模式它克服了传统教学模式只注重“双基”而忽略“能力”的弊端，把解决问题能力的培养放进课堂，给以一定的时间保证。把“双基”以问题解决的形式展示给学生，使学生在获得“双基”的同时，自然地发展了“能力”。比如安排自学探究这个环节，虽然要占去一定的课堂教学时间，但很值得，因为在这个环节中，尽管“落后生”需要帮助，但是他们至少动了脑筋，哪怕是错误的想法。长此以往，学生解决问题的能力就会逐步形成。
④ 学生经历自学探究、合作交流和讨论，“不同的人在数学上得到不同的发展”。 “自学——讨论”教学模式环节设计中考虑到不同层次学生的学习能力，在自学探究时遇到的困惑，可以在小组合作研讨时通过互帮解决；还是不能解决的，在集体汇报交流时展开讨论，加以解决。这样，使不同的学生在数学学习活动中得到不同的发展。
㈡、“自学——讨论”教学模式操作过程中应注意的问题
我们常说，教学有法，但无定法，各人各法，只要得法。“自学——讨论”教学模式的操作需要一般的结构，但也不是“固定不变”的。教师在应用该模式时应根据教学的内容，作出相应的调整。比如有的教学内容不需小组合作，可以把这一步省略；有的教学内容需要直接建构数学模型，复习铺垫这一步就可省略。教学时间的安排也可作出调整，但一定要保证学生自学探究和交流讨论的时间，否则会使教学流于形式，影响教学效果。
模式构建与研究中的几点做法
在模式构建与研究中，我们主要做了四个方面的工作。
一、精心整合，用活教材
新课程标准要求下的新教材还未到位，现行教材已滞后于素质教育的要求，如何合理地整合教材，适应本课题所构想的教学模式，这是我们首先做的研究工作。
现行省编义务教材，是以“易教易学”的最大特色编排的，许多内容与学生生活实际相去太远，某些内容已“过时”。虽然近来做了一些修改与调整，但是，引导探究、“创新”、“创造”的力度还是不够，与新课程对教材的要求仍有距离。同时，现行教材的课例设计也不适应“自学——讨论”教学模式。为此，我们对有关教材的内容进行适当的整合或设计。
369比如“分数的基本性质”，教材编排是先让学生比较、和的大小，通过图例引
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导学生观察分子、分母的变化，再导出分数的基本性质，最后引导应用。显然，教材编排偏于“传授”，嚼得太细，又与前面教材“分数与除法的关系”缺乏联系和衔接，不利于培养学生的探究能力。因此，我们对教材进行了整合。
整合后，我们先让学生说说分数与除法的关系，诱导出“商不变的性质”，再引导学生从分数与除法的关系上猜测分数也具有类似性质。
然后组织学生尝试创造几个大小相等的分数，并探究设法加以证明。 接着开展小组研讨交流活动，互帮释疑，发现总结规律。 再通过集体汇报讨论，教师解惑，完成以下主要学习任务： 1、分数基本性质的理解：“0除外”的理解；两种表述的比较。 2、分数基本性质的应用：比较大小；统一分母或分子。 3、学生看书，加深理解。
在练习巩固后安排一个拓展练习：互相出分数考查知识掌握程度，可以用多种方式。
1例如：可以说一个分数，一学生说出分母或分子变成18，要求对方回答出相应的分子
3或分母；可以是连等填空形式；也可以是比较大小。
实际教学后，我们明显发现整合后的教材更有利于学生的学习。
二、注重发展， 落实双基
在教学模式构建的过程中，如何做到既能使学生较好地掌握数学基础知识，又能较好地发展学生的数学能力，这是我们第二个研究的主要问题。
传统数学教学模式以传授知识为主，学生仅以掌握知识为目的。虽然学生基础知识的掌握比较理想，但是学生缺乏主动探索学习的能力。所以，在学习质量的测评中，常常发现学生对稍有变化的习题产生误解，尤其对实际问题的解决，缺乏分析能力，缺少解题方法，甚至束手无策。近年来，为适应素质教育的需要，各地相继出现了许多旨在培养学生创新意识和创造能力的开放性数学教学模式。虽然这种教学模式极大地发挥了学生的主体作用，使课堂教学面目一新，在许多优秀学生身上确发现了许多“创造点”，但是从有关统计资料反映，学生对基础知识的掌握程度有所下降，尤其是“落后生”，因此，在实际教学中常常出现“课上轰轰烈烈，课后补得热烈”的现象。
针对以上现象，我们把相应的学习材料，整合成以学生自学研讨形式加以呈现，引导学生“主动获取”。这样，学生不仅仅掌握了基础知识，而且也获得了学习数学的方
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式方法，更重要的是发展了学生的数学能力。
例如“三角形的面积计算”一课，教材编排是要求学生用2个完全一样的三角形拼成一个平行四边形展开探究的。我们则在复习平行四边形面积计算的基础上，直接把三角形面积计算抛给学生：你有什么办法能求出下列三个三角形的面积（单位：厘米）？引导学生探究、小组合作探究。
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学生的探究是多样性的：有学生是通过打格数格求得，有学生画补成平行四边形后推得，有学生按书本方法剪拼推得，有学生直接从“任意一个平行四边形沿对角线剪开，都可以得到2个完全一样的三角形”推想得到“三角形的面积=底×高÷2”。这样的知识获得，是伴随着学生探究能力的发展同步进行的。学生不仅仅掌握了基础知识，而且也获得了学习数学的方式方法，很自然地发展了学生的数学能力。
三、“放”得有度，“收”得有理
开放性课堂教学，确实使学生的主体作用得到很好的体现，然而，感到最头疼的是课堂教学时间很难。虽然我们也一再强调发挥教师的主导作用，但是实际上“放”是容易的，而“收”却往往导致“放”的失败。因此，为了真正体现学生的主体作用，课堂教学时间的安排和如何才能做到恰到好处，这是我们第三个研究的主要问题。
近两年来，随着素质教育的不断推进，新课程改革的实验不断深入，使教师的理念更新，教学行为得到质的转变。课堂教学重视操作、探究、交流，已成教师的共识，然而我们发现“拖堂”成了这类课的家常便饭。教师还要不要进行课堂教学时间的？回答应该是肯定的。
探究性学习是有难度的，尤其是小学生。一堂课40分钟，安排多少时间让学生探究，应视教学内容的广度、深度而定。其中应该包括学生探究、小组合作探究、师生共同探究，探究活动中还应包括交流与讨论。我们在教学实践中观测到学生在课堂学习活动中，如果需要探究，至少应有10分钟；有的内容甚至需一节课或更多。
我们主要做好教学设计，充分做好“预设”，尽可能消除“非预设生成”的空间。 例如《平行四边形和梯形的认识》一课。我们精心整合教材，在课堂教学环节中安排充分的时间让学生开展探究学习。
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事先，我们设计了一份学习提纲（见下），意图是使学生在实践操作基础上，认识四边形，认识平行四边形和梯形。
看一看，量一量，算一算，下面的图形有什么相同点？你能给下面的图形分类吗？你的分类标准是什么？每一类各有什么特征？
1 2 3 4 5 6 7 课始，学生根据提纲上的各类四边形，量量边长、量量内角，看看想想，小组议议，交流交流各自的发现。
大约20分钟后，教师引导学生汇报探究发现的成果。学生积极发言，各抒己见，课堂气氛十分热烈，形成如下意见：
1、相同点：都是四条线段围成的图形，都有四条边、四个角，内角和360度。 2、按对边是否平行分类可分成两组对边分别平行的四边形、只有一组对边平行的四边形、两组对边都不平行的四边形3类；按对边是否相等分类可以分成两组对边分别相等的四边形、只有一组对边相等的四边形（等腰梯形）、两组对边都不相等的四边形3类；按对角是否相等分类可分为对角相等的四边形、对角不相等的四边形2类（其中对角相等的四边形又分为四个角都是直角的和四个角不是直角的2类）。
3、其它一些不尽合理的分类。
在此基础上重点引导学生认识平行四边形和梯形，讨论它们的特征，比较它们的不同点，演示归纳了四边形（重点是平行四边形）的特性和它们之间的关系（重点是平行四边形与长方形、正方形的关系），认识了直角梯形和等腰梯形。
这节课，让学生充分探究，展开交流，收到了意想不到的良好效果。
实践证明，现行教材把平行四边形和梯形的认识分开编排，显然不利于学生的探究，给教师的教学带来一定的制约。把平行四边形和梯形的认识放在一起教学一个课时，再放一个课时学习画平行四边形和梯形，认识并学习画高，这样的设计，既放得开，又收得拢，效果显然优于分开编排的教学。
四、合作互帮，人人发展
造成某些学生学有困难的重要原因是这些学生缺乏正确的学习方法，而正确的学习方法的运用又与学生的智力有关。落后生之所以落后，其根本原因是智力偏弱，缺乏独
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立思考的能力，即缺乏探究的能力。探究性学习是有难度的，而对于“落后生”更是难上加难。学生从“学会”向“会学”的转化过程中，如何使“落后生”也能积极参与其中，不同程度地提高他们的探究能力？这是我们第4个研究的主要问题。
针对这个问题，我们在模式环节中安排三个层次：探究，“迫使”学生动脑；小组合作研讨，互帮解惑；集体汇报交流和讨论，扫除学习难点。对于学习上的“落后生”，通过“迫使”动脑，他们或多或少地动了一番脑筋，哪怕是错误的想法，想总比不想好。最重要的是通过后两个层次，启发或引导他们理解和掌握最基本的知识。我们一般安排4人为一学习小组，其中安排一名“落后生”，1名优等生，2名中等生（一般情况下班级中都呈“两头尖”状态）。如果有特“差”生，我们就安排2名优等生，以利于互帮的开展。
比如上述的《平行四边形和梯形的认识》一课。经过以上三个层次的学习活动，“落后生”也动了脑，再经过同学的介绍和互帮启发，他们也能较好地认识平行四边形和梯形。
其中，我们发现，小组合作互帮型的学习组织形式对提高学习“落后生”的学习兴趣、学习热情、学习成绩，效果最好。
研究成效概述
两年的研究，我们开始初尝收获的喜悦。
一、 通过研究，我们较好地完成了既定的研究目标
1、教师结合开课活动和平时课堂教学，开展课题研究，观念更新，新课程理念得到较好落实。参与研究的教师实现了以“讲”为主向以“导”为主的转变，引导学生通过自学、讨论、交流，手、口、脑、耳并用，积极主动地、创造性地去获取知识，有效地培养了学生善于思考、发现问题、分析问题和解决问题的能力，师生共同营造了民主、团结、协作的学习集体。
2、在教师的引导下，学生初步实现以“学会”为主向“会学”为主的转变，提高了自学能力，许多学生已养成主动探究的习惯和乐于思维的态度，互相帮助、虚心求教、敢于争辩的学习氛围开始形成，学生的个性和创造力得到发展。
3、通过尝试、研究与实践，我们已构建起实用性、适应性较强的“自学—讨论”教学模式，较好地解决了上述的几个矛盾冲突，比较成功地做好了适应新课程教学的“过
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渡”。
二、教师个人素质得到较快提高
1、教师在模式构建与实践中教学理论水平提升。课题组教师所写论文有5篇获县级三等奖，5篇获县级二等奖，3篇获县级一等奖，1篇获市级三等奖，1篇获省级三等奖，1篇获全国教育年会论文二等奖，2篇获全国教育论文征文一等奖，2篇发表于县教育科研杂志上，1篇发表于市级教学刊物，3篇发表在国家级刊物，教学案例分析1个获县级一等奖，1个获县级三等奖，1个获市级三等奖。
2、结合新课程培训学习，教师在模式构建与实践中，教学行为更新。在模式应用研究中，有3位教师分别在校、西塘片、县对外开课展示和研讨，得到好评；有2名教师在嘉兴市教研室对我校的教学调研中开课，得到教研室领导的高度评价。
3、课题研究促进了教师个体素质的提高。课题组为主的中心组被评为2003年度县级先进教研组；课题负责人董林根老师2002年9月被评为县级学科带头人，2003年2月被评为县级教科研先进个人，2003年9月被评为县级名师培养人选；徐海兵老师经考评，提拔为学校分管数学教学和教科研的副教导；年青教师何月丰，积极应用该模式的理论指导自己的教学，提前满师，并以良好的教学素质，已在2004年8月通过竞聘进入海盐县实验小学任教。
三、学生的学习质量得到保证
统计发现，积极参与研究的教师所教班级学生学科成绩明显优于其它班级。被研究的中心本部三个班，学科检测总体成绩全部进入“优秀”等次。
1、学科竞赛成绩突出。三个班的数学奥林匹克校级竞赛获奖率占元通片各校获奖人数的12/13，县级竞赛成绩名列全县前茅，荣获满分奖4人、一等奖6人、二等奖4人、三等奖2人，统计获奖率占元通片各校获奖人数的17/18，明显优于其它班级。
2、学科成绩得到保证。2003/2004学年末全县五年级数学期末抽测，中心本部三个班级的总成绩（均量值）名列全县各校第四。
3、学生课业“减负”明显。随着学生数学学习能力的形成，学生的学习效率提高，书面作业量减少；“消除”了强制性的回家作业，减轻了学生的课业负担。
4、学习“落后生”转化快。例如“落后生”李超，四年级学年末成绩34分，到五年级学年末成绩61分；外地转入的“特差插班生”安闯，五年级第一学期末成绩8分，到第二学期末成绩上升到74分。
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四、学生的非智力因素得到发展
从本学年末再次抽取的五年级（1）班学生学习兴趣倾向调查反映，喜欢数学学习的人数从第一次调查的1人上升到34人，占全班学生的91.%。学生数学学习兴趣显著提升，学生认为这样学习，脑子好使，学得轻松，学习效率高，成绩提高快。“随着清脆的铃声，一位‘白发苍苍’的老师面带微笑地走进教室。他，便是我们敬爱的动脑筋爷爷——董老师。一上课，他便会提一些有趣的问题，带着我们走进奇妙无穷的数学世界，引导我们尽情遨游，用心‘咀嚼’。那时，我们就会慢慢地嚼，越嚼越甜，到最后被我们嚼出来时，那味道真是‘鲜’极了„„我之所以这样喜欢数学课，还因为数学课上，我们提倡的是自学、研究、探讨，提倡的是学习过程，提倡的是有问题大家一起来解决„„正是这样的学习，才使得我们更加努力地学习，更加热爱学习。”（摘自学生作文）
结论
二年的实践研究充分证明，这项研究具有较强的实效性，随着学生自学、讨论能力的提高，学生的思维能力得到较快发展，数学学习能力和效果也随着提高，学生的数学素质得到全面提升。我们将继续研究并完善这个教学模式，使它以“动态”的形式，更好地服务于数学教学。
参考资料：
① 《数学课程标准》（实验稿），北京师范大学出版社。 ② 《基础教育课程改革通览》，民族大学出版社。
③ 《小学数学素质教育课堂教学模式》，王沛忠主编，山东教育出版社。 ④ 《小学数学探究教学方》，左秀兰著，吉林人民出版社。 ⑤ 《课堂教学技艺》，许高厚主编，北京师范大学出版社。
⑥ 《教学改革与创新》，阮望兴、朱建人主编，嘉兴市教育科学研究所。 ⑦ 《教学模式研究资料汇编》，海盐县教育局教研室、海盐县教育科学研究所。
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工作报告 “自学——讨论”教学模式的构建与研究
海盐县元通中心小学数学课题组 （执笔 董林根）
从2002年下半年开始，我们确定研究课题《“自学—讨论”教学模式的构建与研究》，旨在克服传统数学教学模式的缺陷，迎合新课程改革的实践，期望较好地在课堂教学模式上做好过渡，以促进学生数学素质的全面发展，促进数学教学质量的提高。经过两年时间的研究，已取得初步成效。现将课题研究的主要情况作一简要回顾。
一、研究的起因 ㈠ 传统教学模式的缺陷
传统数学教学模式以传授知识为主，学生仅以掌握知识为目的。虽然学生基础知识的掌握比较理想，但是学生缺乏主动探索学习的能力。这种“注入”式的教学，很大程度上扼杀了学生的“创造力”，使他们变成一个个被动接受知识的容器。所以，在学习质量的测评中，常常发现学生对稍有变化的习题产生误解，尤其对实际问题的解决，缺乏分析能力，缺少解题方法，甚至束手无策。
㈡ 开放性数学教学模式的困惑。
近年来，为适应素质教育的需要，各地相继出现了许多旨在培养学生创新意识和创造能力的开放性数学教学模式。虽然这种教学模式极大地发挥了学生的主体作用，使课堂教学面目一新，在许多优秀学生身上确发现了许多“创造点”，但是从有关统计资料反映，学生对基础知识的掌握程度有所下降，尤其是“落后生”，因此，在实际教学中常常出现“课上轰轰烈烈，课后补得热烈”的现象。近两年来，随着素质教育的不断推进，新课程改革的实验不断深入，使教师的理念更新，教学行为得到质的转变。然而，我们发现“拖堂”是数学生活化、学习探究化“新课堂教学”的家常便饭，这使我我们产生一个困惑：课堂教学还要不要40分钟？教师还要不要进行课堂教学时间的？还有，许多“复古性”的“再现式”课堂教学，也浪费了不少的宝贵的教学时间。
㈢ 实施数学素质教育的矛盾冲突。
根据以往实施数学素质教育的探索，产生如下矛盾冲突：
从教材上讲，老教材与新课程的衔接出现“断层”。现行省编义务教材，是以“易教易学”的最大特色编排的，引导探究、“创新”、“创造”的力度不够，许多内容与学生生活实际相去太远，某些内容已“过时”。所以，要真正发挥学生的主体作用，按照
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数学素质教育和数学新课程的要求，怎样去合理地组织、整合教材，是当前值得研究的问题。
从教法上讲，重视了学生基础知识的落实，往往顾不上研究发展学生的思维能力和发现、创新能力，即抓住了落后学生，却使优秀学生“吃不饱”；重视了学生思维能力和发现、创新能力的培养，就顾不上或削弱了落后学生基础知识的落实，即优秀学生“吃饱了”，落后学生就“难受了”。如何真正做到兼顾两头，面向全体，促进学生整体数学素质的提高，又是当前急需研究的问题。
从课堂教学时间上讲，开放性课堂教学，确实使学生的主体作用得到很好的体现，然而，感到最头疼的是课堂教学时间很难。虽然我们也一再强调发挥教师的主导作用，但是实际上“放”是容易的，而“收”却往往导致“放”的失败。因此，为了真正体现学生的主体作用，课堂教学时间的安排和如何才能做到恰到好处，也是当前值得研究的问题。
从学法上讲，造成某些学生学有困难的重要原因是这些学生缺乏正确的学习方法，而正确的学习方法的运用又与学生的智力有关。学习“落后生”之所以落后，其根本原因是智力偏弱，缺乏思考的能力，即缺乏探究的能力。探究性学习是有难度的，而对于“落后生”更是难上加难。探究学习如何在“落后生”身上得到体现，这更是当前迫切需要研究的问题。
基于上述三个主要原因的考虑，结合新课程的理念，我们决定在数学教学实践中，构建起相对稳定的适应小学中高段课堂教学的“自学—讨论”教学模式，期望较好地解决上述矛盾冲突，做好过渡，迎合新课程，力争取得教与学的双赢效果。
二、研究的措施 ㈠ 建立课题组
考虑到本课题的研究范围，我们成立了课题组。 承担课题研究的成员共7人：
课题组负责人：董林根，男，现年51岁，大专学历，，小学高级教师，县学科带头人，县名师（培养人选），中国教育学会数学教育研究发展中心会员，中国管理科学研究院学术委员会特约研究员。
课题组人员：
朱建生，男，现年39岁，大专学历，，小学高级教师。 陆献珍，女，现年35岁，大专学历，小学高级教师。
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崔培芬，女，现年37岁，大专学历，小学一级教师。
徐海兵，男，现年30岁，大专学历，预备，小学一级教师。 戴红军，男，现年37岁，中师学历，小学高级教师。 何月丰，男，现年22岁，大专学历，小学二级教师。 ㈡ 确定研究年段
根据参与主要研究的教师实际任课年段，为了便于开展研究，我们确定中心本部三个班级，从四年级跟踪研究到五年级末为一个研究周期，如果研究取得进展，将作深入研究。
㈢ 学校建立课题研究的保障措施 1、学校提供研究经费至少五仟元。 2、学校负责组织课题组成员的学习和培训。
两年来学校多次请市、县教研室、教科所领导和专家来我校作讲座、指导课题研究、开展研讨活动。课题组主要成员，多次外派学习和培训。
3、学校领导参与和顾问、指导课题研究。 三、研究的开展
㈠ 我们经过多次讨论与实践，构建了模式操作的基本环节。
前提诊断，获取信息——巧设情景，导入新知——提纲引领，明确目标——围绕目标，自学探究——小组研讨，互助释疑——组际交流，导引解惑——反馈练习，师生讨论——总结归纳，自我评价——留有余疑，延续兴趣。
我们要求教师结合教材内容、班级学生实际灵活进行模式操作。 ㈡ 在模式构建与研究中，我们着重做了四个方面的工作。 1、精心整合，用活教材
新课程标准要求下的新教材还未到位，现行教材已滞后于素质教育的要求，如何合理地整合教材，适应本课题所构想的教学模式，这是我们首先做的研究工作。
现行省编义务教材，是以“易教易学”的最大特色编排的，许多内容与学生生活实际相去太远，某些内容已“过时”。虽然近来做了一些修改与调整，但是，引导探究、“创新”、“创造”的力度还是不够，与新课程对教材的要求仍有距离。同时，现行教材的课例设计也不适应“自学——讨论”教学模式。为此，我们对有关教材的内容进行适当的整合或设计。
369比如“分数的基本性质”，教材编排是先让学生比较、和的大小，通过图例引
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导学生观察分子、分母的变化，再导出分数的基本性质，最后引导应用。显然，教材编排偏于“传授”，嚼得太细，又与前面教材“分数与除法的关系”缺乏联系和衔接，不利于培养学生的探究能力。因此，我们对教材进行了整合。
整合后，我们先让学生说说分数与除法的关系，诱导出“商不变的性质”，再引导学生从分数与除法的关系上猜测分数也具有类似性质。
然后组织学生尝试创造几个大小相等的分数，并探究设法加以证明。 接着开展小组研讨交流活动，互帮释疑，发现总结规律。 再通过集体汇报讨论，教师解惑，完成以下主要学习任务：
1、分数基本性质的理解：适当图示帮助理解；“0除外”的理解；2种表述的比较。 2、分数基本性质的应用：比较大小（例1）；统一分母或分子（例2）。 3、学生看书，加深理解。
在练习巩固后安排一个拓展练习：互相出分数考查知识掌握程度，可以用多种方式。例如：可以说一个分数，规定分母或分子是几，要求对方回答出相应的分子或分母；可以是连等填空形式；也可以是比较大小。
显然，整合后的教材更有利于学生的学习。 2、注重发展， 落实双基
在教学模式构建的过程中，如何做到既能使学生较好地掌握数学基础知识，又能较好地发展学生的数学能力，这是我们第二个研究的主要问题。
我们把相应的学习材料，整合成以学生自学研讨形式加以呈现，引导学生“主动获取”。这样，学生不仅仅掌握了基础知识，而且也获得了学习数学的方式方法，更重要的是发展了学生的数学能力。
例如“三角形的面积计算”一课，教材编排是要求学生用2个完全一样的三角形拼成一个平行四边形展开探究的。我们则在复习平行四边形面积计算的基础上，直接把三角形面积计算抛给学生：你有什么办法能求出下列三个三角形的面积（单位：厘米）？引导学生探究、小组合作探究。
3
3
2 2
1 3
学生的探究是多样性的：有学生是通过打格数格求得，有学生通过剪拼求得，有
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学生画补成平行四边形后推得，有学生按书本方法剪拼推得，有学生直接从“任意一个平行四边形沿对角线剪开，都可以得到2个完全一样的三角形”推想得到“三角形的面积=底×高÷2”。这样的知识获得，是伴随着学生探究能力的发展同步进行的。学生不仅仅掌握了基础知识，而且也获得了学习数学的方式方法，很自然地发展了学生的数学能力。
3、“放”得有度，“收”得有理
开放性课堂教学，确实使学生的主体作用得到很好的体现，然而，感到最头疼的是课堂教学时间很难。虽然我们也一再强调发挥教师的主导作用，但是实际上“放”是容易的，而“收”却往往导致“放”的失败。因此，为了真正体现学生的主体作用，课堂教学时间的安排和如何才能做到恰到好处，这是我们第三个研究的主要问题。 近两年来，随着素质教育的不断推进，新课程改革的实验不断深入，使教师的理念更新，教学行为得到质的转变。课堂教学重视操作、探究、交流，已成教师的共识，然而我们发现“拖堂”成了这类课的家常便饭。教师还要不要进行课堂教学时间的？回答应该是肯定的。
探究性学习是有难度的，尤其是小学生。一堂课40分钟，安排多少时间让学生探究，应视教学内容的广度、深度而定。其中应该包括学生探究、小组合作探究、师生共同探究，探究活动中还应包括交流与讨论。我们在教学实践中观测到学生在课堂学习活动中，如果需要探究，至少应有10分钟；有的内容甚至需一节课或更多。
我们主要做好教学设计，充分做好“预设”，尽可能消除“非预设生成”的空间。 4、合作互帮，人人发展
造成某些学生学有困难的重要原因是这些学生缺乏正确的学习方法，而正确的学习方法的运用又与学生的智力有关。落后生之所以落后，其根本原因是智力偏弱，缺乏思考的能力，即缺乏探究的能力。探究性学习是有难度的，而对于“落后生”更是难上加难。学生从“学会”向“会学”的转化过程中，如何使“落后生”也能积极参与其中，不同程度地提高他们的探究能力？这是我们第4个研究的主要问题。
针对这个问题，我们在模式环节中安排三个层次：探究，“迫使”学生动脑；小组合作研讨，互帮解惑；集体汇报交流和讨论，扫除学习难点。对于学习上的“落后生”，通过“迫使”动脑，他们或多或少地动了一番脑筋，哪怕是错误的想法，想总比不想好。最重要的是通过后两个层次，启发或引导他们理解和掌握最基本的知识。我们一般安排4人为一学习小组，其中安排一名“落后生”，1名优等生，2名中等生（一般
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情况下班级中都呈“两头尖”）。如果有特“差”生，我们就安排2名优等生，以利于互帮的开展。
其中，我们发现，小组合作互帮型的学习组织形式对提高学习“落后生”的学习兴趣、学习热情、学习成绩，效果最好。
㈢ 开展正常的研究活动
1、我们4次聘请县教研室、教科所领导和专家对课题组进行指导和培训。 2、开好模式研究课
组内每个教师至少每月开课一次，其中有3位教师分别在校、西塘片、县对外开课展示和研讨。
3、做好2次学生学习兴趣倾向调查。 3、做好有关课例的分析与资料积累。
我们着重做了2个案例分析，积累了数十个课型案例。每一个教师都写了10——20篇教学反思或论文。
四、研究的初步成效
㈠ 通过研究，我们较好地完成了既定的研究目标。
1、教师结合开课活动和平时课堂教学，开展课题研究，观念更新，新课程理念得到较好落实。参与研究的教师实现了以“讲”为主向以“导”为主的转变，引导学生通过自学、讨论、交流，手、口、脑、耳并用，积极主动地、创造性地去获取知识，有效地培养了学生善于思考、发现问题、分析问题和解决问题的能力，师生共同营造了民主、团结、协作的学习集体。
2、在教师的引导下，学生初步实现以“学会”为主向“会学”为主的转变，提高了自学能力，许多学生已养成主动探究的习惯和乐于思维的态度，互相帮助、虚心求教、敢于争辩的学习氛围开始形成，学生的个性和创造力得到发展。
3、通过尝试、研究与实践，我们已构建起实用性、适应性较强的“自学—讨论”教学模式，较好地解决了上述的几个矛盾冲突，比较成功地做好了适应新课程教学的“过渡”。
㈡ 教师在模式构建与实践中教学理论水平提升，教学行为更新。
1、教师在实践研究中结合理论学习，自觉撰写各类教学论文。参与研究的教师所写论文有5篇获县级三等奖，5篇获县级二等奖，3篇获县级一等奖，1篇获市级三等奖，1篇获省级三等奖，1篇获全国教育年会论文二等奖，2篇获全国教育论文一等奖，2篇
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发表于县教育科研杂志上，1篇发表于市级教学刊物，3篇发表在国家级刊物，教学案例分析有1个获县级一等奖，1个获县级三等奖，1个获市级三等奖。
2、结合新课程培训学习，教师在模式构建与实践中，教学行为更新。在模式应用研究中，有3位教师分别在校、西塘片、县对外开课展示和研讨，得到好评；有2名教师在嘉兴市教研室对我校的教学调研中开课，得到教研室领导的高度评价。
㈢ 学生的学习质量得到保证。
统计发现，积极参与研究的教师所教班级学生学科成绩明显优于其它班级。被研究的中心本部三个班，学科检测总体成绩全部进入“优秀”等次。
1、学科竞赛成绩突出。三个班的数学奥林匹克校级竞赛获奖率占元通片各校获奖人数的12/13，县级竞赛成绩名列全县前茅，荣获满分奖4人、一等奖6人、二等奖4人、三等奖2人，统计获奖率占元通片各校获奖人数的17/18，明显优于其它班级。
2、学科成绩得到保证。2003/2004学年末全县五年级数学期末抽测，中心本部三个班级的总成绩（均量值）名列全县各校第四。
3、学生课业“减负”明显。随着学生数学学习能力的形成，学生的学习效率提高，书面作业量减少；“消除”了强制性的回家作业，减轻了学生的课业负担。
4、学习“落后生”转化快。例如“落后生”李超，四年级学年末成绩34分，到五年级学年末成绩61分；外地转入的“特差插班生”安闯，五年级第一学期末成绩8分，到第二学期末成绩上升到74分。
㈣ 学生的非智力因素得到发展。
从本学年末再次抽取的五年级（1）班学生学习兴趣倾向调查反映，喜欢数学学习的人数从第一次调查的1人上升到34人，占全班学生的91.%。学生数学学习兴趣显著提升，学生认为这样学习，脑子好使，学得轻松，学习效率高，成绩提高快。
二年的实践研究充分证明，这项研究具有较强的实效性，随着学生自学、讨论能力的提高，学生的思维能力得到较快发展，数学学习能力和效果也随着提高，学生的数学素质得到全面提升。我们将继续研究并完善这个教学模式，使它以“动态”的形式，更好地服务于数学教学。
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研究论文 好课尚须好板书
浙江省海盐县元通中心小学 董林根
关键词：板书、启发、学法、质量。
内容提要：一堂好的数学课，应该有好的板书。好的板书，应该有利于学生对知识的理解和掌握，有助于发展学生的能力和非智力因素，能有效激发学生的学习兴趣，启发学生思维。板书还应体现学法指导，让学生懂得怎样去获取知识。板书要做到科学性、计划性，文字要精炼、概括，内容显示要形象、直观，布局巧妙、美观大方。板书是微型教案，它对于教师提高课堂教学质量具有十分重要的辅助作用。教师如果能很好地利用板书，就可以有效地加深学生对教学内容的理解，使课堂口语表达的效果得到强化。只有教师的认识清楚了，才能在教学活动中自觉地重视板书的设计和使用。如何精心设计融知识、能力和学法为一体的高效板书，是很值得研究的。在多媒体逐渐普及的今天，还要不要精心设计数学教学板书，回答是肯定的。好的板书，既要体现启发性、美观性，又要体现教学程序与学法指导；不但能留给学生思维的空间、学法的启迪，而且还能留给学生美的示范和享受。
笔者从事小学数学教学多年，听过不少数学课，其中不乏许多评价较高的课。总感到数学课的板书不尽人意。有的偏少，甚至只有一个课题；有的只是几块小黑板；有的板书随心所欲，想怎么写就怎么写；有的板书过多过滥，不分轻重，眉毛胡子一把抓；有的虽有较完整的重点内容板书，但缺乏启发性和学法的体现。
近年来，随着多媒体课件的制作和使用，给小学数学课堂教学提供了极大的方便，如新课的导入、难点的突破、练习题的编排，配以动感的画面，都给人耳目一新的感觉，激发了学生的学习兴趣，有效地调动了学生的学习积极性，提高了课堂教学的效率。然而，笔者发现，由于多媒体课件展示的动态性、即时性，有些重点或难点内容给学生感官刺激时间偏短，特别是对中下学生，很难留下较深刻的印象，往往出现“当时清楚，过后模糊”的现象。还有，个别教师“贪图省力”，把课堂教学内容一股脑儿设计在多媒体课件中，连课题也懒得板书。这不能不说是多媒体课堂教学的一个误区。
一堂好的数学课，应该有好的板书。
板书（有人将板书称之为“微型教案”）是指教师为辅助课堂口语的表达而写在黑板上的文字或其它符号。它包括主体板书（也叫正板书）和辅助板书。主体板书是教师在备课时就精心设计好的，一般要求写在黑板的左半部或中间，且应保留下来。一般来说，一堂课应有一个完整的板书计划，授课结束后，黑板上应留下一个完整、美观的板书。辅助板书主要是解决课堂上临时发现学生遗忘的知识、需要帮助理解的内容等，一般写在黑板的右侧，可以随机书写或擦去。
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好的板书，应该有利于学生对知识的理解和掌握，有助于发展学生的能力和非智力因素，能有效激发学生的学习兴趣，启发学生思维。板书还应体现学法指导，让学生懂得怎样去获取知识。同时要做到科学性、计划性，文字要精炼、概括，内容显示要形象、直观，布局巧妙、美观大方。
本文拟介绍一位教师在两个班级教学“长方形和正方形的面积计算”时的不同板书，并作简要讨论。
在第一个班级授课时，板书设计如下：
长方形和正方形的面积计算 目测估算 实摆数格 长方形的面积=长×宽
s = a × b
正方形的面积=边长×边长
s = a × a
显然，这个板书能体现知识的要点，也有助于学生掌握长方形和正方形的面积计算公式，布局上也能体现简练、概括，但是这个板书缺乏启发性，不利于学生思维，也没有体现学法指导，比较呆板。执教后经过讨论修改，在第二个班级授课时，板书设计如下：
长方形和正方形的面积计算
目测估算（?）实摆数格（?）
研究 （操作 探究 发现） 长方形的面积=( )○( ) s = a × b 正方形的面积=( )○( ) ? s = a × a 应用
(可靠、通用、简便) 掌握 明显可以看出，修改后的这个板书，是一个完整的微型教案，目标意识更强，不但有利于学生对知识的理解与掌握，而且体现能力培养，启发学生思维，还给人以美感，更具特色的是把学法融合其中，给学生以启迪，使学生学有方向，练有目标，懂得怎样去主动获取知识。其中也清楚地体现了教与学的程序、教师的主导作用和学生的主体作
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用，入课、结课设疑问更是把学生引入不断索知的正确途径。
从以上案例，我们可以有以下几点思考：
1、板书是微型教案，是教案的高度浓缩，板书对于教师提高课堂教学质量具有十分重要的作用。教师如果能很好地利用板书，就可以有效地加深学生对教学内容的理解，使课堂口语表达的效果得到强化。但是，有些教师对板书在教学中的重要辅助作用认识不足，反映在板书的运用上，存在一些错误倾向：①、不写或少写板书。整堂课也写不了几个字，甚至一个字也不写。误以为板书耽误时间，影响课堂教学效率。事实上恰恰是因为没有板书而容易导致学生思路混乱，造成教学效率低下。②、板书过多过滥。有些教师喜爱板书，对自己所教的内容，无论重要与否、是否关键部分，统统写在黑板上，眉毛胡子一把抓，学生看得眼花缭乱，无所适从。③、教师虽精心设计了板书，但只是结论性的文字显示。这种板书没有启发性，了学生的思考，不利于学生思维能力的发展。④、教师在教学中注意了学法指导，但如果没板书出来，正确的学习方法很难在学生脑海里留下印象。因此，只有教师的认识清楚了，才能在教学活动中自觉地重视板书的设计和使用。
2、传统的数学教学板书一般以小黑板为主，即使使用主体板书，通常也是以归纳主要知识内容为主，很少考虑应用板书去启发学生学习，更谈不上进行学法指导。所以，如何精心设计融知识、能力和学法为一体的高效板书，是很值得研究的。要设计好板书，教师首先要创造性地钻研教材，挖掘教材的内蕴，根据实际情况适当地组织、整合教材，确定好本节课的教学目标。其次，要结合学生的实际情况，确定适合的教学模式，设计切实可行的教学方案，在方案设计的各个环节中考虑好什么时候、什么地方板书。最后，根据教案，考虑好怎样板书，才能既体现启发性、美观性，又体现程序与学法指导，设计成一份完整、实效、可行的教学板书。
3、在多媒体逐渐普及的今天，还要不要精心设计数学教学板书，回答是肯定的。多媒体课件的设计、制作和使用，目的也是为了更加有效地提高课堂教学效率，它与教学板书之间应该是相辅相成的。教师决不能认为板书书写会影响课堂教学效率，用多媒体课件取而代之，成为点击鼠标的“机器人”。须知，好的板书不但能留给学生思维的空间、学法的启迪，而且还能留给学生美的示范和享受。
综上所述，从素质教育和数学新课程对数学教学的要求出发，笔者认为：一堂好的数学课一定要有好的板书。
附录：
1、参考文选：《课堂教学技艺》（主编：许高厚。北京师范大学出版社）；《基础教育课程改革通览》（民族大学出版社）。
2、此文发表于《中小学数学（小学版）》2003.6第六期。
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研究论文 “平行四边形和梯形的认识”教学引起的思考
浙江省海盐县元通中心小学 董林根
新课程的实施，引起学生学习方式的根本改变，其中探究性学习已成为学生的一种主要学习方式。“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。”（《数学课程标准》）
探究性学习是有难度的，尤其是小学生。一堂课40分钟，安排多少时间让学生探究，应视教学内容的广度、深度而定。其中应该包括学生探究、小组合作探究、师生共同探究，探究活动中还应包括交流与讨论。笔者在教学实践中观测到学生在课堂学习活动中，如果需要探究，至少应有10分钟；有的内容甚至需一节课或更多。综观现行课堂教学中的某些探究活动，很有点“花架子”的味道。很多课上，学生的探究活动开始于“轰轰烈烈”，结束于“草草收兵”。有的时候，学生刚刚进入探究的“意境”，教师就“鸣金收兵”。接下来的“交流讨论”就演变成几个尖子学生的“才华展示”。表面看起来热热闹闹，实质上影响到大多数学生的发展，最后很难保证全面提高教学质量。
如何在数学课堂教学活动中，体现新课程的教学理念，引导学生开展探究性学习，笔者以自己教学的《平行四边形和梯形的认识》一课为例，谈一点粗浅的看法，与同行们一起探讨。
这节课，笔者在精心整合教材的基础上，在课堂教学环节中安排充分的时间让学生开展探究学习。
事先，笔者设计了一份学习提纲（见下），意图是使学生在实践操作基础上，认识四边形，认识平行四边形和梯形。
看一看，量一量，算一算，下面的图形有什么相同点？你能给下面的图形分类吗？你的分类标准是什么？每一类各有什么特征？
1 2 3 4 5 6 7 课始，学生根据提纲上的各类四边形，量量边长、量量内角，看看想想，小组议议，交流交流各自的发现。
大约20分钟后，教师引导学生汇报探究发现的成果。学生积极发言，各抒己见，课堂气氛十分热烈，形成如下意见：
1、相同点：都是四条线段围成的图形，都有四条边、四个角，内角和360度。 2、按对边是否平行分类可分成两组对边分别平行的四边形、只有一组对边平行的四边形、两组对边都不平行的四边形3类；按对边是否相等分类可以分成两组对边分别相等的四边形、只有一组对边相等的四边形（等腰梯形）、两组对边都不相等的四边形3
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类；按对角是否相等分类可分为对角相等的四边形、对角不相等的四边形2类（其中对角相等的四边形又分为四个角都是直角的和四个角不是直角的2类）。
3、其它一些不尽合理的分类。
在此基础上重点引导学生认识平行四边形和梯形，讨论它们的特征，比较它们的不同点，归纳了四边形（重点是平行四边形）的特性和它们之间的关系（重点是平行四边形与长方形、正方形的关系），认识了直角梯形和等腰梯形。
这节课，让学生充分探究，展开交流，收到了意想不到的良好效果。
实践证明，现行教材把平行四边形和梯形的认识分开编排，显然不利于学生的探究，给教师的教学带来一定的制约。把平行四边形和梯形的认识放在一起教学一个课时，再放一个课时学习画平行四边形和梯形，认识并学习画高，显然效果明显优于分开编排的教学。
因此笔者认为，组织学生开展探究性学习至少应注意以下几点。
一、现行老教材已滞后于新课程，且还不可能一下子退出“历史舞台”，教师必须以新课程的理念对它进行整合。实践证明，把学生身边的数学问题引进课堂，学生更容易激起探究的兴趣。比如相遇应用题的教学，教师不用书本上的形式题，而用学生熟悉的“家长接送孩子中的相遇问题”引入探究，学生更乐意参与探究。所以，教师就不能墨守成规，照本宣科进行教学，而应该认真钻研教材，择精保留，补充学生熟悉的数学探究素材，两者精心整合，为学生的探究学习奠定基础。
二、值得探究的数学问题，一般情况下不可能在1、2分钟里解决，而需要有相应足够的探究时间。为了培养学生解决问题的能力，课堂教学中应该要有学生探究的时间。当探究发生困难时，还要有合作探究的时间。因此，课堂教学中学生参与探究学习的时间教师必须予以确保，而不能为了赶进度，进行形式上的探究学习活动。有理由相信，只要学生在每一次的探究学习活动中探究一点，获得一点，长此以往，坚持不懈，学生的探究能力就一定会真正得到发展，他们的分析问题、解决问题的能力也会得到明显的提高。
三、“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”，“众人拾柴火焰高”，探究性学习离不开小组合作和交流。在学生探究发生困难时、探究的问题需要多人合作才能进行时，就得开展小组合作学习，这时教师也是其中的一员。学生可以在小组里提出自己探究中的困难，齐心协力进行探究，在探究中大家互相交流看法，逐步统一意见。教师在学生“走投无路”时及时加以点拨。
四、提供给学生的探究素材，应该有利于学生动手操作，能使学生眼到、手到、心到。经验表明，许多科学问题都是通过科学家无数次的动手实验才得以解决。例如前述的“平行四边形和梯形的认识”教学，学生正是通过动手去量一量边长、量一量角、推一推平行线，才发现了四边形的特征，发现了平行四边形和梯形的特征。所以，教师在提供学生探究问题时，要充分考虑到让学生通过动手操作实验去发现、去感悟。
附：本文发表于《中小学数学》（小学版）2003.12期
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研究论文 刍议小学生数学创造性思维的培养
海盐县元通中心小学 董林根
关键词：创新意识、思维、创造、发展。
内容提要：小学素质教育的实施，新的数学课程理念，都要求我们十分重视培养小学生的创新意识。学生创造能力的形成，依赖于创造性思维的形成和发展。创造性思维的形成，有一个思维积累的过程，如果没有这个积累的过程，它就成了“空中阁楼”。因此，要求我们在教学中重视学生思维过程的基本训练。创造性思维的形成，需要相应的知识基础，而知识的掌握和运用，又离不开对知识的理解。因此，训练学生多角度理解知识的能力，十分必要。学生只有理解、掌握了相应的基础知识，创造性思维才能成为有本之源。培养学生类推能力能有效促进学生创造性思维的形成。学生具备了这种能力,就会通过旧知相应地去推断、获取新知。在学生遇到难题时，引导学生“难的不会想容易”，从中找出解题规律。这个过程，体现着一种创造性思维过程。“一题多解”，“一题多变”是使学生形成创造性思维的有效途径。通过这个途径，培养学生思维的广阔性,发散性和灵活性。
“创新意识是一个民族进步的灵魂，是国家兴旺发达的不竭动力”（江语）。小学素质教育的实施，新的数学课程理念，都要求我们十分重视培养小学生的创新意识，引导学生在数学学习活动中善于联想、发现，敢于猜想、尝试，积极思维、创造。“数学是思维的体操”，学生创造能力的形成，依赖于创造性思维的形成和发展。如何结合数学教学，培养发展学生的创造性思维，笔者谈几点看法，与同行们共探。
一、重视思维过程的基本训练。
创造性思维的形成是一个思维积累的过程，如果没有这个积累的过程，创造性思维就成了“空中阁楼”。因此，要求我们在教学中必须摒弃“重结果，轻过程”的旧教学观，重视学生思维过程的基本训练。
比如体积单位换算的教学，如果教师直接把相邻两个体积单位间的进率告诉学生，让学生按进率去互化，学生也照样会解决问题。有的教师可能还认为这样很实用，可以增加课堂练习量，提高教学效率。但是这样一来，学生失去了一次思维的过程，学生只知其然而
不知其所以然，对学生思维发展是十分不利的。所以，在这里化点时间是很值得的。可
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1米 10分米 1米 10分米 1米 10分米 1立方米 = 1000立米分米 以如下教学：教师先出示一立方米的示意图，问学生：“一立方米等于多少立方分米呢？”引导学生去思考推想，并说出自己推想的思维过程：1立方米就是棱长1米的正方体的体积，也就是棱长10分米的正方体的体积，即：10×10×10＝1000立方分米，所以1立方米=1000立方分米。同理可得1立方分米＝1000立方厘米。
再如：打谷场上有一堆圆锥形的稻谷，底面圆的周长12.56米，高是1.6米。稻谷每立方米重550千克。这堆稻谷重多少千克？（选自浙江省义务教材小学数学12册P30）教学这一练习题时，可让学生练习后说说各自的思路和解题方法。思路是：先求出底面半径，再求出底面积，然后求出圆锥形谷堆的体积，最后求出这堆稻谷重多少千克。解题方法一是分步解答（较繁），二是列综合算式解答。解题思路一般学生无思维障碍，但列综合算式解题时，教师可让学生议一议计算的思路：按步计算很繁，如何算可简便些呢？学生通过观察思维，就能发现应用乘法交换律、结合律和分配律可使计算简便：
112.5621550×[×3.14×()×1.6]＝550××3.14×22×1.6＝550×4×3.14×1.6
323.143111414×＝11052.8×＝11052×+×＝3684（千克）。这显然比直接化成分数计算3335315简便。这种一般学生都能进行的基本思维训练，持之以恒，学生就会形成一种积极思维的习惯，逐渐萌发出创造性思维的火花。
二、训练学生多角度理解知识的能力。
创造性思维的形成，需要相应的知识基础，而知识的掌握和运用，又离不开对知识的理解。因此，训练学生多角度理解知识的能力，十分必要。学生只有理解、掌握了相应的基础知识，创造性思维才能成为有本之源。
例如：在教学完数的整除知识后，为了加深学生对整除的理解，可安排练习“说说你对a÷b=c（a、b、c都是自然数）”引导学生多角度理解整除意义：①a能被b整除；②b能整除a；③a是b的倍数；④b是a的约数；⑤a是a、b两数的最小公倍数；⑥b是a、b两数的最大公约数。再如12册的分数（百分数）应用题的复习，可引导学生多角度理解分率句。如“女生人数是男生人数的
4”。可理解为：①女生人数比男生人数5151少；②男生人数是女生的；③男生人数比女生多；④男生人数占男女生总人数的44；⑤女生人数占男女生总人数的⑥男女生总人数相当于男生的（1+）；⑦
5男女生总人数相当于女生的（1+
5）；⑧女生人数与男生人数的比是4 : 5；⑨男女生人4数的总份数是（4+5）；等等。多角度理解知识，不但有利于学生牢固掌握基础知识，而
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且在理解过程中发展了学生思维的广阔性、深刻性，学活了知识，为创造性思维的形成，打下坚实的基础。
三、培养学生的类推能力。
所谓类推，即比照某一事物的道理推出跟它同类的其它事物的道理。学生类推能力的形成，是思维发展的结果。具备了这种能力,学生就会通过旧知相应地去推断、获取新知。
如在数线段的学习中,教师可引导学生类推出数角、数长方形、数平行四边形、数三角形等。具体做法例举如下: 教师出示线段 ,学生都知是一条线段; 接着变为 ，学生再数知3条；再变为 ，学生再数知6条；还可变形成 、 „„等。让学生在数的过程中，推断出数线段的基本方法：若有n条基本线段，那么线段总数为n+(n－1)+(n－2)+„+2+1＝(n+1)×n÷2。然后，教师可引导学生类推到数角 、 、 „„数三角形 、 、 、 „„，数长方形 、 、 、 „„等，让学生感悟到方法不变。进一步还可类推到形如 、 „„ 等的数法。这样以一推之，不但使学生习得了一种思维方式，提高了学习效率，而且能有效促进学生创造性思维的形成。
四、引导学生“难的不会想容易的”。
我们知道，事物的发展总是遵循从简单到复杂的规律，知识的获取总是遵循由易到难的规律。所谓复杂，是由“多个（或多层）体”组合而成；所谓难，也是由某些“易的成分”组合而成。所以在学生遇到难题时，引导学生从简单处，从易处下手，从中找出解题规律，就能化难为易，化繁为简，使问题迎刃而解。
324如：学生在学习分数除法中，有一类“王阿姨小时可织布米，平均每小时织
825324布多少米？”的习题，有学生常列式成÷，教师只要引导学生想一想整数除法，
825假设成“王阿姨3小时织布9米”，学生就很容易地理解数量关系，从而推得正确算式
3÷。当然也可从“工作效率×工作时间=工作总量”推得。 82425再如：一圆形纸片，剪7次，最多可剪多少块？学生一下子很难解答，即使有学生画图去试，也很难画出这7条直线的正确位置。这时可引导学生从最简单的1次、2次去推。如下图表：
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剪的次数 图示 块数 规律一 规律二
0 1 2 3 4 5 6 7 „ n 无法画出 以下很难画出 11 16 22 29 „ „ 1 1+0 2 1+1 4 2+2 7 4+3 ？ 很难递推 7+4 11+5 16+6 22+7 1+0 1+2+3 1+2+3 1+1 1+2+1 „ +1 +4+1 1+2+3 1+2+3 „ +4+„ „ +4+„ +7+1 +n+1 可得出用规律一（递推法）求结果是29块；更好的是规律二，若剪n次，可得最多块数为1+2+3„„+n+1，也就是
(1n)n+1。事实上在“难的不会想容易”的过程中，2渗透了化归思想，培养了学生探究、类比和推理能力，体现着一种创造性思维过程。
五、引导学生多想“这道题还可以„„”，进行开放性思维的培养。
开放性思维要求学生的思维不要被条条框框、书本、教师所束缚，大胆地去想、去探索、去发现，哪怕是一种猜想。所以教师要从传统的“做百题为一题”的教学观念转变为“做一题为百题”的素质教育观念。在教学活动中，教师应积极引导学生在解题过程中，多想“这一题还有没有其它解法？”“这一题还可怎么变,变了以后又怎样解答？”通过一题多解，一题多变，培养学生思维的广阔性,发散性和灵活性。
如笔者曾放手让学生研究“计算88÷88法：
①按带分数除法的法则计算 88÷88
792088=88÷=88×=；
90792088”一题,学生研究得出以下几种计算方②法则活用 88÷88
88888888(1)=88÷=88÷=88×=；
889090③因为A÷B与B÷A（A、B不为0）的商互为倒数，所以先求88由此得88÷88
88=。 9019088÷88=1=，显然从思维角度看，方法③具有明显的创造性。
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再如教学图形题：图中两个正方形的边长分别为8厘米和6厘米，求图中阴影部分的面积。
学生在用多种方法解答后，有学生提出此题大正方形的
A D G H B C E F 边长不必告诉也能求得。其思路如下：梯形ABCG的上底和下底之和是CG+AB，即小正方形边长与大正方形边长之和，高是大正方形的边长，面积为（CG+AB）×BC×正方形边长+大正方形边长）×大正方形边长×
1，即（小21；三角形ABE的底是BC+CE，即大正2方形的边长与小正方形边长之和，高也是大正方形的边长。所以，梯形ABCG的面积＝三角形ABE的面积。由此进一步推得：梯形ABCG的面积－梯形ABCH的面积＝三角形AGH的面积，三角形ABE的面积－梯形ABCH的面积＝三角形CEH的面积，根据“等量减等量差相等”，可知三角形AGH的面积＝三角形CEH的面积，于是可知阴影部分面积＝三角形CEG的面积＝6×6×
1=18(平方厘米)。也有学生研究出用X代替大正方形边长，2111列出式子X2+62－（X+6）×X×－62×－（X－6）×X×算得结果（这里仅举一式说
222明）。
还可引导学生变化成右图：
与前图比较，学生很快发现思路的共同点：梯形DCEF的面积等于三角形BEF的面积，且梯形HCEF是公共部分，从而
A D G H F
B C E
1可知阴影部分面积是正方形ABCD面积的。引导学生养成多想“这道题还可以„„”，
2通过“一题多解”，“一题多变”，就能使学生的思维不满足于当前问题的解决上，而是用变化的、发展的，即创造性的意念去探究、发现新知识，在这个过程中，发展了学生的创造性思维。
总之，只要我们结合素质教育的要求和数学新课程的理念，在数学教学过程中积极引导学生形成创造意识，真正重视学生创造性思维能力的培养，数学教学就一定能结出“创造之果”。
参考资料：《数学课程标准》（实验稿），北京师范大学出版社。
[此文2001.8获海盐县教育局教研室数学论文评比壹等奖；2002.6获浙江省教育学分会数学论文评比叁等奖；2004.8获中国教育学会数学教育研究发展中心12届数学年会小学数学论文贰等奖，并发表于《中小学数学（小学版）》2004.8增刊。]
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研究论文 “放”中抓“收”
海盐县元通中心小学 陆献珍
在开放性教学中，“收”既是“放”延伸，又是“放”的概括，是对学生的开放性活动的再思考，是提升的过程。教师要从促进学生发展高度出发，创造性地组织好“收”的教学，以优化开放性教学，促进学生思维的发展。
一、“放”后“理一理”
由于小学生年龄小，思考问题缺乏条理性。他们在开放的问题情境中，思维活动往往停留于无序、静止、零碎的层面。虽然“想得多”，但难以思得有序，想得周到。为此，及时引导学生对开放性问题的答案进行比较、梳理，不但可以使数学知识连点成面，有利于学生形成系统的认知结构，而且还可以培养学生思维的有序性、条理性，促进逻辑思维的发展。
例如：教学“□＋□=10”时，当学生反馈出多种算式后，教师点拨：“谁能象体育老师一样，给这些算式排队？”从而让学生自主沟通静态的算式，并使之有序化，系统化。再如第五册教学“在28、36、45、50、63、72、75、90中，被2除没有余数的有哪几个？被3除没有余数的有哪几个？被5除没有余数的有那几个？”这道题时，教师在学生无序思考的基础上，启发学生思考：“谁能把被2整除的数一个不漏地找出来？”“接下来应思考被哪个数除？”从而使学生的思维变无序为有序，思考解答问题更有条理，更加全面。
二、“放”后“思一思”
小学生思维粗糙、肤浅，往往难以从丰富多彩的开放化答案中，洞察、把握数学现象中蕴含的本质规律，揭示出“知识背后的知识”，造成思考问题表面化、静态化、机械化。为此，教师要善于引导学生对开放性的思维活动进行反思，多想想有什么共同特点，学会由表及里、由粗及精地深入思考问题。
例如：在分数的初步认识中，教学“1/2”时，让学生用长方形纸折、画表示出1/2。学生反馈出各种不同折法后，教师应及时追问：“这些折法有什么共同点？”让学生异中求同，从而进一步体会到数学现象的多样性与规律性。又如教学圆面积计算公式的推导时，当学生将圆形纸片剪、拼成长方形、三角形、梯形等后，应让学生进一步思考：“这些剪拼方法有什么共同点？”从而揭示数学现象中蕴含的共同规律，让学生感受到转化的数学思想方法，提高学生的洞察能力和发展意识，培养学生思维的深刻性。
三、“放”后“试一试”
小学生由于年龄特征、知识经验有限，在开放性问题的教学中，所提出的问题解决
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方案，往往虽然正确、合理，但并非最优化。此时，若“放”而不“收”，会造成学生思维策略良莠不分；若“放”而强“收”，又不利于学生的自主内化。因此，当学生反馈出优劣并存的多样化答案后，可变讲为试，让学生在自主尝试、比较、筛选、建构活动中，自主对自己或他人的思维成果进行有理有据的评价，大胆取舍，形成不迷信他人，敢于表述己见，善于提炼真知的个性品质。
例如：教学口算“两位数乘一位数”时，先让学生探索、讨论12×4的口算方法，结果学生反馈出了如下多样化口算方法：
（1） 相加法。12+12+12+12=48。
（2）把两位数拆成两个一位数的和，再算。如 7×4=28 6×4=24 +5×4=20 +6×4=24
12×4=48 12×4=48
（3）把两位数拆成整十数与一位数的和，再算。即 10×4=40 + 2×4 = 8 12×4=48
接着，教师让学生用自己喜欢的方法，试算23×9、24×4、32×3等算式。从而在尝试中深刻体验到方法（1）比较麻烦，方法（2）比较复杂，只有方法（3）简便、易算。这样，顺着学生的思维在尝试中“收”，让学生主动参与对多样化口算方法的再体验、再优化的选择过程，有利于学生主动提炼出简便的口算方法，培养和发展了学生思维的批判性。
四、“放”后“补一补”
开放性教学中，往往是因问题隐去了一些前提条件，而使问题的答案趋于多样化。而学生对问题答案的前提条件把握得是否准确、清晰，直接制约着思维水平。为此，在开放性教学中可让学生自主探究、自主选择、思考、补充，使答案最优或唯一，在“收”中训练思维的严密性。
例如：在“2、6、8、9、10中，哪个数与众不同？”的教学中，当学生提出种种答案后，让学生将原题改一改，想想该提出什么条件，才能使你的答案成为该题的唯一正确答案？学生经过积极思考，尝试验证，提出了各种构题策略。学生在构题活动中进一步弄清特定条件与唯一答案之间的内在联系，充分挖掘了开放题的思维价值，培养了学生思维的严密性和创造性，促进了学生思维品质的提高。
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研究案例 美 妙 的 巧 算
设计与执教：海盐县元通中心小学 董林根
复习内容：浙江省现行义务教材数学七册总复习P146-147。
复习目标：引导学生主动参与复习过程，领会复习方法；通过回顾、整理与交流，进一步掌握基本运算定律、运算性质；能够较熟练地应用已算定律、运算性质进行简便运算；通过“创造简算式题”，激发学生复习兴趣，发展学生创造能力。
复习重点：定律、性质的掌握与运用。 复习难点：活用定律、性质。
教学模式：“自学——讨论”教学模式。 教具准备：卡片、多媒体课件。
（复习课的教学目标，应该要涉及到学生对基础知识的回顾、整理，应用知识解决问题的能力，复习方法的领会，复习兴趣与积极性的激发。）
教学过程：
（一）、导入复习主题
1、用“巧”字组词，引出“巧算”（板书：巧算）。
2、设问：怎样才能巧算？引导得出：首先要掌握有关的运算定律和性质；其次要会正确应用；最后要有所创造活用。
（板书：定律、性质、回顾、应用、创造）
（导入设计体现趣中引题，方法引领，使学生乐于积极投入复习。） （二）、学生复习 小黑板或课件示自学要求： 1、回顾运算定律、性质。 2、举例说明运算定律、性质。 3、举例应用运算定律、性质。 （出示自学要求，使学生学有方向。） （三）、组内交流互帮
教师组织并参与学生分组交流，互相帮助、启发。
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（组内交流互帮，充分发挥学生的主体作用，把合作学习加以落实，体现教学民主，渗透教师对学生的信任。）
（四）、师生交流反馈 多媒体课件出示： 1、说出口算依据和过程。
324+687+676 5872－437－563 （40+4）×25 65×101 88×125 600÷25 125×25×32 348+998 99×99+99 4000÷125 75×102－75×2 68×99
2、想想怎样算。
850×32+85×680 6336÷ 1190÷35 6378－520+480 75×4÷75×4 999×999+1999 3、判断，有错的说明错误原因。
＊ 125×（8+17）=125×8×17=1000×17=17000 „„„（ ） ＊ 439×（100+2）=439×100+2=43900+2=439902 „„ （ ） ＊ 534－72+28=534－100=434 „„„„„„„„„„„（ ） ＊ 840÷（28+21）=840÷28+840÷21=30+40=70 „„„（ ）
＊（56+84）÷14=56÷14+84÷14=4+6=10 „„„„„„（ ）
（体现学生为主体，不等于教师撒手不管，教师设计相关的练习题，用以获取学生的反馈信息，通过师生交流合作，查漏补缺，完善学生的知识结构。这里以“过程性知识”呈现，体现新课程标准的理念。“过程”清楚了，结果也自然出来了。）
（五）、学生创造表演
教师发动学生创造简便运算式题，上台展示互相考查。
（复习课，学生容易厌倦，安排这个环节，既消除学生的疲劳和厌倦情绪，又使学生的学习达到一个高潮。通过互相考查“操练”，不仅使学生习得技能，更使学生的学习兴趣继续延伸，创造力得到发展。）
（六）、学生总结评价
教师引导学生总结所学知识，对自己的学习行为进行评价，感受巧算的美妙。（板书：美妙的）
（让学生自己总结，自我评价，感受巧算之美妙，继续体现学生为主体。同时再次
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建构知识体系。）
（七）、拓展延伸留疑 机动题：
1、1+2+3+4+„„+2002+2003-12-13-14-15-„„-2001-2002=（ ）
2、627×375+173×474=（ ）
（安排这个机动题，不仅体现机动，也体现知识的拓展延伸，给学生留下余疑，延续学生的兴趣。）
附板书设计：
美妙的巧算 定律 性质 回顾 应用 创造
（为了激发学生复习兴趣，让他们感受复习的乐趣，课题“美妙的巧算”，既体现复习主题，又体现激发兴趣。板书关键词体现复习要点和复习方法，突出复习板书的特点。）
讨论：复习课怎么上？这是许多教师为之头痛的难题。在外出听课活动中，也鲜有复习课的展示。实际教学中很多教师普遍认为，复习课无非让学生多练罢了，而又常常感到效果不理想。翻来复去重复单调的机械练习，使学生往往产生厌倦情绪。本课例结合浙江省现行义务教材数学七册总复习中的简便运算，就复习课怎么上，做了点尝试。
小学四年级学生已初步具有学习的习惯和相应的能力，具备了一定的小组合作学习的经验。因此，本课教学目标定位在教师的引导下，依靠学生自行复习、回顾、整理所学知识，再加以创造，是能够实现的。
课本总复习的编排存在一定的不足。作为简便运算，应该把运算定律、性质的回顾作为铺垫，然后结合应用加深理解，使学生知其然又知其所以然，牢固而又灵活地掌握知识，深化知识。基于这样的认识，本课对教材作了较大的修改与整合，应该说是比较成功的。
教学过程的设计既体现学生为主体，又体现教师是学生学习的组织者、引导者和合作者，同时充分体现复习课的本质。
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研究案例 创设“生动活泼的、主动的和富有个性的”学习过程
——“归一应用题”课堂教学评析 海盐县元通中心小学 董林根
近日，笔者听了一位年轻教师执教的一节浙江省义务教材八册数学发展的归一应用题新授课，深有感受。这位教师精心设计课程，应用“自学——讨论”教学模式，为学生创设了一个“生动活泼的、主动的和富有个性的”学习过程，很有特色。现简述如下，与课程改革中的同行们共探。
一、课堂教学片断摘录
新课导入时，教师结合学生熟悉的校园改造工程，从学生参加学校搬砖劳动的情景中，引导学生提出有关信息“××同学×次搬砖×块”，运用多媒体课件，建立起归一应用题的基本模型：小明参加学校搬砖劳动，他4次搬砖20块，照这样计算，他7次搬砖多少块？教师设问：“你准备用什么方法想这个问题？”引导学生研究、小组研讨，由于学生在七册已学过简单归一应用题，所以讨论与交流十分热烈。 下面是学生汇报交流，师生互动讨论的片段。
生：我是从条件出发去想的，根据小明4次搬砖20块，就可以求出他每次搬砖多少块，接着就可以求出他7次搬砖多少块。
生：我是从常见的数量关系上去想的，这里的20块是工作总量，4次、7次相当于工作时间，根据工作总量除以工作时间等于工作效率和工作效率乘工作时间等于工作总量，问题就可以解决。
生：我是从问题出发去想的，想要求小明7次搬砖多少块，必须得知道他每次搬砖多少块。所以先求每次搬砖多少块。
这时，学生似乎已无话可说，教师追问：“还有不同的想法吗？”
学生一时冷场，稍过片刻，一位学生说：“嗯„„我把条件摘录下来，列成一个表，看起来清楚，想起来也容易。”
教师因势利导，让学生说说怎样列表，同时板书：
4次 20块 7次 ？块
教师指指屏幕和板书问：“哪个想起来容易？”学生都说看列表想起来容易。教师乘势问：“你还能想到什么？”组织学生小组合作研究，然后汇报，教师在学生汇报时择要板书。
生：搬7次还可以求比4次多搬多少块，用7次搬砖的块数减去4次搬砖的块数。算式是20÷4×7－20。
师插：好，还有没有不同的解答方法？
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生：我先想搬7次比搬4次多搬几次，再求多搬的几次是多少块。算式是20÷4×（7－4）。
师：不错，继续汇报。
生：我们组在7次前面加个“再”字，还可以求一个问题„„
师挥手示意该学生停下，面向其他学生：加个“再”字有新问题，你们能解决吗？ 生：可以求出再搬多少块，算式是20÷4×7。
生：可以求出比4次多搬多少块，算式是20÷4×7－20。 生：还可以列成20÷4×（7－4）。
生：还可以求出一共搬砖多少块，算式是20÷4×7+20。 生：还可以列成20÷4×（7+4）。 师：不简单，“再”字一加，变化真大。 生：我们要看清每一个字，不能上当。 师：对！继续。
生：还可以改成搬250块要多少次，算式是250÷（20÷4）。
生：那还可以求出搬250块比搬20块多搬几次，先求出搬250块需搬几次，再减去4次。算式是250÷（20÷4）－4。
生：我先想250块比20块多几块，再求多的块数要搬几次。 教师点了一个似有困难的学生：你知道算式怎么列吗？ 这个学生迟疑了一下：250÷（20÷4）。
下面学生纷纷举手，教师启发：你算的是什么呢？请你（前面发言的学生）再说一下思路。
听了同学的思路，这个学生回答了正确的算式：（250－20）÷（20÷4）。 学生情不自禁地报以热烈的掌声。这时又有几个学生举手了。 师：喔，还有，你说。
生：在250前面加个“再”字，可以求再搬250块，还要搬几次，算法跟求搬250块要搬几次一样。
师：看来“再”跟“还”是一对好朋友。
生：还可以求一共要搬多少次，想要求一共搬砖多少次，就是4次加上再搬250块的次数，算式是4+250÷（20÷4）；或者先求一共搬砖多少块，再求一共搬多少次，算式是（250+20）÷（20÷4）。
师：真棒！
先前那个似有困难的学生举手了，教师用充满鼓励的眼神看着他，并示意他回答。 生：那还可以„„可以求再搬250块，比„„原来要多搬几次，也有两种方法，250÷（20÷4）－4和„„（想了一下）（250－20）÷（20÷4）。
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教师和学生几乎同时鼓起掌来。
接着教师用多媒体课件出示正反两例发展的归一应用题，学生练习巩固后，教师引导学生归纳：我们身边有许许多多数学材料，我们可以提出许多数学问题，然后去研究、去探索，寻求解决的方案，找出解决问题的规律和方法，再结合实际举一反三，一题多变，一题多解。这样，你就会变得越来越聪明。
„„
最后，教师与学生一起总结所学内容，学习方法，同时对学生的学习作了评价。 师：下课之前我们一起回顾一下这节课的学习历程。 生：这节课我们学习了两步和三步计算的应用题。 生：我们是从身边寻找数学问题，提出数学问题。
生：我们是先思考、自己研究，再进行小组交流、讨论，最后大家和老师一起讨论。
生：我们还一题多变，一题多解。
生：我懂得了数学就在我身边，有不懂的地方可以和大家一起研究、讨论，学起来真有劲！
师：你们真会学习，好，给自己的学习打个分，大拇指表示优秀，食指表示良好，中指表示还须努力。
„„
师：好！希望你们继续努力，下课。 二、课堂教学评析
数学新课程标准（实验稿）指出“数学教学要面向全体学生，实现： ——人人学有价值的数学； ——人人都能获得必需的数学；
——不同的人在数学上得到不同的发展。”
本节课所选用的教学内容以及教学的实施，充分体现了新课程标准的这些理念。尤其值得称道的是教师的教学行为鼓励了学有困难学生的上进心，真正体现了数学教学面向全体，使“不同的人在数学上得到不同的发展”。
新课程注重了学生可以终生使用的基础知识和技能，强调“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展”。在现代社会，人们对解决问题过程中的逻辑推演的要求降低了，而实际问题模型化及运用模型解释生活现象，解决实际问题的要求却提高了。课堂教学从只注重学生知识结构的培养和认知图式的构建，到关注起学生的具体生活和直接经验，并真正地深入学生的精神世界，从而使教学活动的基础性、发展性和创造性达到了统一。这位年轻教师正是
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把握住了新课程标准的基本理念，积极探索，精心设计，从而取得了教学实践的成功。本节课，自始至终很好地体现了“学习不是为了‘占有’别人的知识，而是为了‘生长’自己的知识”这种现代教育观。
本案例中教师采用“自学——讨论”教学模式，精心为学生创设了“生动活泼的、主动的和富有个性的”学习过程。“数学问题生活化”和“探索性学习”是密切相关的两个问题，没有“生活化”，脱离学生的生活实际，学生就难以积极参与，也就谈不上“探索性”学习，生动活泼的学习过程就难以形成。本案例中，课程一开始，教师就将学生置于学校生问题活情景之中，使教学活动达到了“创造一种学生容易接受的气氛”的佳境。当学生获得一定的学习经验时，教师又及时引导学生触类旁通，解决实际问题。体现了“数学来源于生活，又服务于生活”的现代数学观。这样的教学，学生不仅数学学得好，而且也为他们以后运用数学打好了基础。课程的主体不再是单纯地传授知识和技能，而是教师精心组织引导下的学生的主动活动。在“数学活动”中，学生积极地探究、发现、创造，主动地获取知识，有效地将实际活动与学生的内心感受、体念结合起来，促进了学生的和谐发展。
三、思考与讨论
本案例选用的教学模式是我校正在尝试构建的小学中高段数学课堂教学“自学——讨论”教学模式。这个模式的研究要求教师重视：
A、新课程标准要求下的新教材还未到位，现行教材已滞后于素质教育的要求，如何合理地整合教材，适应本课题所构想的教学模式？
B、在教学模式构建的过程中，如何做到既能使学生较好地掌握基础知识，又能较好地发展学生的创造思维能力？
C、开放性教学的“放”和“收”，体现在课堂教学时间上的安排和，怎样才能做到“恰倒好处”？
D、学生从“学会”向“会学”的转化过程中，如何使“落后生”也能积极参与探究学习，不同程度地提高他们的探究能力和学习成绩？
从本案例的教学过程看，其中C值得讨论。就是说，一堂课40分钟，安排学生自学的时间最好是多少，自学容量怎样确定？小组合作研究与交流时间达到多少，才能真正体现效果？开展了自学与讨论，学生的课堂作业时间又将如何体现？笔者感到，这一点是不是与现行课程有关？
最后，笔者觉得本案例中，学生创造的“搬砖250块”，是不是有点偏离实际。学生参加劳动，一般是一节课，除掉教师的组织、安排，最多劳动时间35分钟，照“4次搬砖20块”算，学生要搬50次，这可能吗？教师是不是应作些提示？所以，笔者还想对年轻教师说一句话：多深入学生生活，多了解生活常识，才能使自己的课堂教学“锦上添花”。
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研究案例
列方程解应用题
设计：海盐县元通中心小学 何月丰 点评：海盐县元通中心小学 董林根
教学目标：通过学生自主尝试、合作交流，理解并掌握用方程解“和（差）倍”应用题的方法，并能正确解答；培养学生认真检验的良好学习习惯。
（评：目标定位体现“三维”，体现新课程理念。最好使用“引导学生经历“和（差）倍”应用题解答方法的探究过程，感受图示分析的优点；掌握抓重点句分析和图示分析的基本方法；学会列方程解答这类应用题；继续培养学生的思维品质。”）
教学难点：理解并掌握方法。
（评：这是重点，难点应是“掌握抓重点句分析和图示分析的基本方法”。） 教学准备：简易多媒体课件等。 教学过程：
一、联系实际，谈话引入。
1、聊学生父母的职业及每月的收入情况。 2、识线段图，获取信息。（课件出示）
妈妈每月的收入： 爸爸每月的收入： 上图是一位学生父母每月的收入情况，从图中你获取了什么信息？ 3、提供信息，编应用题。（课件出示）
，爸爸每月收入是妈妈每月收入的3倍。 ？ 4、交流结果。
估计有一步计算和两步计算两种情况。 一步计算：已知爸爸求妈妈。 已知妈妈求爸爸。
两步计算：已知爸妈收入和求爸爸或妈妈。 已知爸妈收入差求爸爸或妈妈。
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„„
顺势引入：今天我们就进一步来研究列方程解应用题。（板书）
（评：应用生活中学生熟悉的问题情景自然导入新课，充分体现新课程的理念。） 二、尝试，个别辅导。（课件出示）
小明的爸爸、妈妈每月共收入2100元，爸爸每月收入是妈妈每月收入的3倍。妈妈每月的收入是多少元？
小明的爸爸每月比妈妈多收入1050元，爸爸每月收入是妈妈每月收入的3倍。爸爸、妈妈每月的收入各是多少元？
比较两题异同后再解答。
（评：重视学生自学与解决问题能力的培养。） 三、小组交流，互帮互助。
（评：合作学习不仅仅是交流，更重要的是依靠学生自己消灭部分疑点，培养互助合作精神。）
四、全班交流，形成方法。 1、学生汇报，师板书。
解：设妈妈每月收入是x元，那么爸爸每月收入是3x元。 讨论设句中3x的由来及第2题中设谁的收入为x元较为妥当？ 2、强调检验。
（评：汇报交流，教师重在引导、点拨，统一认识，消除难点。） 五、练习巩固，形成技能。 1、课本128页练一练1。 2、课本128页练一练2。 3、课本128页练一练3、4、5。
（评：通过必要的练习，加深学生对知识的理解，对解题方法的掌握，落实双基。最好通过“比赛”的形式。）
六、课堂总结，学习评价。 1、学生自我总结。
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2、师生学习评价。
（评：课堂总结不是一种形式，通过课堂总结，不仅仅是回顾、整理、归纳知识，更重要的是使学生习得一种学习方法、解题策略，同时发展学生的自我评价能力。）
八、拓展延伸，延续兴趣。（机动）
小明的爸爸、妈妈每月共收入2230元，爸爸每月收入是妈妈每月收入的3倍还多130元。妈妈每月的收入是多少元？
（评：延伸题的安排，既可作为课堂机动题，又可作为课外兴趣题，发展学生思维，延续学生学习兴趣很有好处。）
总评：教师对新课程理念的结合和实施，下了较大的力气目标的定位体现了新课程的过程性目标，体现了知识、技能、情感三维目标。在教学内容的选用与整合上，教师充分考虑到新课程“数学的生活”和“生活的数学”的基本理念，从学生最熟悉的爸爸、妈妈身上引出数学问题，引导学生自己创造问题情景，自然“生长知识”。在教学模式的应用上，通过“创设问题情景—自然导入新课—学生自学—小组合作交流—汇报导引释疑—分层练习巩固—回顾总结反思—拓展延伸续趣”，真正把新课程强调的“自主探究、合作交流”等重要的学习方式有机渗透于各个教学环节中，收到了良好的教学效果。在培养学生提出问题、分析问题和解决问题上，教师充分发挥学生的主体作用，尽可能依靠学生自己去思索、去探究、去发现，体现了教师在课堂上的“组织者”、“合作者”、“引导者”、“促进者”和“平等中的首席”诸身份，从而较好地培养和发展了学生的多种能力。此外，多媒体课件的制作和应用，促进了课堂教学效率的提高。
值得探讨的是：对和（差）倍问题的分析，抓重点句分析和画线段图分析十分重要，教师在这一点上力度还欠缺，另外，学生对形如360－3x=x、360－x=3x的解法、一题多解，算术方法的理解，可能有困难，教师应予提示和指导。
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