著名机构初中数学培优讲义直线与圆的位置关系.第03讲(A级).学生版

中考要求

内容 基本要求 了解直线与圆的位置关系；了解直线与圆的位置切线的概念，理解切线与过切点关系 的半径之间关系；会过圆上一点画圆的切线 切线长 了解切线长的概念 略高要求 能判定一条直线是否为圆的切线；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题 较高要求 能解决与切线有关的问题 会根据切线长知识解决简单问题 重难点

1．理解直线与圆的位置关系；

2．能够证明切线及利用切线解决相关问题．

课前预习

切线（tangent line ）

几何上，切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线。更准确的说，当切线经过曲线上的某点（即切点）时，切线的方向与曲线上该点的方向是相同的，此时，“切线在切点附近的部分”最接近“曲线在切点附近的部分”（无限逼近思想）。tangent在拉丁语中就是to touch的意思。类似的概念也可以推广到平面相切等概念中。

曲线切线和法线的定义

P和Q是曲线C上邻近的两点，P是定点，当Q点沿着曲线C无限地接近P点时，割线PQ的极限位置PT叫做曲线C在点P的切线，P点叫做切点；经过切点P并且垂直于切线PT的直线PN叫做曲线C在点P的法线（无限逼近的思想）

说明：平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线．这种定义不适用于一般的曲线；PT是曲线C在点P的切线，但它和曲线C还有另外一个交点；相反，直线l尽管和曲线C只有一个交点，

但它却不是曲线C的切线．

例题精讲

模版一 直线与圆位置关系的确定

设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表： 位置关系 图形 定义 性质及判定 相离 rdOl直线与圆没有公共点． 直线与圆有唯一公共点，直线叫做dr直线l与⊙O相离 相切 rdOl 圆的切线，唯一公共点叫做切点． 直线与圆有两个公共点，直线叫做dr直线l与⊙O相切 相交 rdOl 圆的割线． dr直线l与⊙O相交 二．切线的性质及判定 1. 切线的性质

（1） 定理：圆的切线垂直于过切点的半径．

推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

（2） 注意：这个定理共有三个条件，即一条直线满足：①垂直于切线②过切点③过圆心

①过圆心，过切点垂直于切线．AB过圆心，AB过切点M，则ABl． ②过圆心，垂直于切线过切点．AB过圆心，ABl，则AB过切点M． ③过切点，垂直于切线过圆心．ABl，AB过切点M，则AB过圆心．

AOMlB

2. 切线的判定

（1） 定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； （2） 距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；

（3） 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

注意：定理的题设是①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可；定理的结论是“直线是圆的切线”．因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：①连接半径，证直线与此半径垂直；②作垂直，证垂直在圆上．

OOlOlAAlA

3. 切线长和切线长定理

（1） 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2） 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切

线的夹角．

三．三角形的内切圆

1. 三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．

2. 多边形的内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形． 3. 直角三角形内切圆的半径与三边的关系

AAcbbCCaAcBBDOEFCBa

设a．b．c分别为△ABC中A．B．C的对边，面积为S，则内切圆半径为rs，其中p

p11abc．若C90，则rabc． 22

【例1】 （2011•成都）已知eO的面积为9cm2，若点O到直线l的距离为cm，则直线l与eO的位置

关系是（ ） A．相交

B．相切

C．相离

D．无法确定

【巩固】（2010•湘西州）如果一个圆的半径是8cm，圆心到一条直线的距离也是8cm，那么这条直线和这

个圆的位置关系是（ ） A．相离

【巩固】已知⊙O的半径为3cm，点P是直线l上一点，OP长为5cm，则直线l与eO的位置关系为（ ）

A．相交

【巩固】△ABC中，C90，AC3，BC4．给出下列三个结论：

（1）以点C为圆心，2.3 cm长为半径的圆与AB相离； （2）以点C为圆心，2.4 cm长为半径的圆与AB相切； （3）以点C为圆心，2.5 cm长为半径的圆与AB相交； 则上述结论中正确的个数是（ ） A．0个

【拓展】已知：点P到直线L的距离为3，以点P为圆心，r为半径画圆，如果圆上有且只有两点到直线L的距离均为2，则半径r的取值范围是（ ） A．r1

【例2】 如图，在Rt△ABC中，C90，B30，BC4cm，以点C为圆心，以2cm的长为半径作

圆，则eC与AB的位置关系是（）

B．相交 C．相切 D．不能确定

B．相切 C．相离 D．相交．相切．相离都有可能

B．1个 C．2个 D．3个

B．r2 C．2r4 D．1r5

A．相离

【巩固】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，C90，且ABADBC，AB是eO的直径，则

直线CD与eO的位置关系为（ ）

B．相切

C．相交

D．相切或相交

【巩固】正方形ABCD中，点P是对角线AC上的任意一点（不包括端点），以P为圆心的圆与AB相切，

则AD与eP的位置关系是（ ） A．相离

【拓展】如图，矩形ABCG（ABBC）与矩形CDEF全等，点B，C，D在同一条直线上，APE的顶

点P在线段BD上移动，使APE为直角的点P的个数是（ ）

B．相切

C．相交

D．不确定

A．相离

B．相切

C．相交

D．无法确定

A．0

B．1 C．2 D．3

【例3】 如图，点P在y轴上，eP交x轴于A，连接BP并延长交eP于C，过点C的直线交x轴B两点，

于D，且eP的半径为5，AB4．若函数y

k

（x0）的图象过C点，则k的值是（ ） x

yCPDAOBx

A．4

3为圆心，以3为半径作eA，则直线ykx2（k0）与eA【巩固】已知在直角坐标系中，以点A0， B．﹣4 C．25 D．4

的位置关系是（ ） A．相切

2，eA的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切【例4】 如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为3， B．相交 C．相离 D．与k值有关

eA点Q，则当PQ最小时，P点的坐标为（ ）

yPQOxA

A．（﹣4，0）

B．（﹣2，0）

C．（﹣4，0）或（﹣2，0）

D．（﹣3，0）

【巩固】如图，在△ABC中，AB15，AC12，BC9，经过点C且与边AB相切的动圆与CB、CA分别相交于点E、F，则线段EF长度的最小值是（ ） A．

12 5 B．

36 5 C．

15 2 D．8

BECFA

【巩固】如图，已知A、B两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C的圆心坐标为(－1，0)，半径为1．若D

是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是

A．2 B．1 C．22 D．22 2yB（0,2）DExC（-1,0）OA（2,0）

模版二 切线的性质及判定 ☞切线的性质

【例5】 如图，AB与⊙O相切于点B，线段OA与弦BC垂直于点D，AOB60，BC4cm，则切线

AB cm．

BOADC

【巩固】如图，若eO的直径AB与弦AC的夹角为30，切线CD与AB的延长线交于点D，且eO的半

径为2，则CD的长为（ ） A．23 B．43

C．2

D．4

CAOBD

【巩固】如图，P是半圆O的直径BC延长线上一点，PA切半圆于点A，AHBC于H，若PA1，

PBPC4，则PH___________．

APCHOB

☞切线的判定

【例6】 如图所示，AB是⊙O直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若AECODB．

判断直线BD和⊙O的位置关系，并给出证明；

DCAEFOB

【巩固】如图，已知⊙O的弦AB垂直于直径CD，垂足为F，点E在AB上，且EAEC，延长EC到点P，连结PB，若PBPE，试判断PB与⊙O的位置关系，并说明理由．

BPCFEAOD

【巩固】已知：如图，ABC内接于eO，AD是过A的一条射线，且BCAD．求证：AD是eO的

切线．

BOCAD

【巩固】已知：如图，AB是⊙O的直径，求C为⊙O上一点，MN过C点，ADMN于D，AC平分DAB．

证：MN为⊙O的切线．

NCMDAOBNCMDAOB

☞求线段长

【例7】 已知：如图，以AB为直径的eO交BC于点P，△ABC中，ABAC，PDACPD是eO的切线，

于点D．若CAB120，AB2，求BC的值．

【巩固】如图，在eO中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，连接AC，将△ACD沿AC翻折得到△ACF，

直线FC与直线AB相交于点G．若OBBG2，求CD的长．

1【巩固】如图，eO的直径AC13，弦BC12．过点A作直线MN，使BAMAOB．延长CB交MN2于点D，求AD的长．

MBDCOAN

课堂检测

1． 已知ABC60，点O在ABC的平分线上，OB5cm，以O为圆心3cm为半径作圆，则eO与BC的位置关系是________．

2． 如图，以等腰ABC中的腰AB为直径作eO，交BC于点D．过点D作DEAC，垂足为E．

（1）求证：DE为eO的切线；

（2）若eO的半径为5，BAC60，求DE的长．

AOECDB

总结复习

1．通过本堂课你学会了 ． 2．掌握的不太好的部分 ． 3．老师点评：① ．

② ．

③ ．

课后作业

1． 如图所示在RtABC中，B90，A的平分线交BC于D，E为AB上一点，DEDC，以D为

圆心，以DB的长为半径画圆．求证：（1）AC是⊙D的切线；（2）ABEBAC．

AEBAEBFDCDC

2． 已知：如图，C为⊙O上一点，DA交⊙O于B，连结AC、BC，且DCBCAB．求证：（1）DC为⊙O的切线；（2）CD2ADBD．

C

OABD

3． 如图，四边形ABCD内接于eO，BD是eO的直径，AECD，垂足为E，DA平分BDE．

（1）求证：AE是eO的切线；

（2）若DBC30，DE1cm，求BD的长．

AEDOBCo