第２９卷第４期 徐州师范大学学报（自然科学版） Ｖｏｌ＿２９，Ｎｏ．４ ２０１１年１２月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｘｕｚｈｏｕ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｄｅｃ．，２０１１ 混合单调算子的不动点定理及应用 张春花，徐 星 （徐州师范大学数学科学学院，江苏徐州２２１１１６） 摘要：讨论了一类带有正线性项的混合单调算子，借助迭代技巧得到一个新的不动点定理，并运用它证明一类非线 性积分方程正的概周期解的存在性． 关键词：混合单调算子；正线性算子；不动点；概周期解 中图分类号：：Ｏ１７５．９１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００７—６５７３（２０１１）０４—００３３ ０５ Ａ ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔ ｔｈｅｏｒｅｍ ｏｆ ｍｉｘｅｄ ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ ａｎｄ ｉｔｓ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ Ｚｈａｎｇ Ｃｈｕｎｈｕａ，Ｘｕ Ｘｉｎｇ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｘｕｚｈｏｕ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｕｚｈｏｕ ２２１１１６，Ｊｉａｎｇｓｕ，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｍｉｘｅｄ ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｗｉｔｈ ｐｏｓｔｉｖｅ ｌｉｎｅａｒ ｔｅｒｍ ｉｓ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｗｉｔｈ ｔｈｅ ａｉｄ ｏｆ ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ，ａ ｎｅｗ ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔ ｔｈｅｏｒｅｍ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ａｒｅ ａｐｐｌｉｅｄ ｔＯ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｉｎｇ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔ— ｅｎｃｅ ｏｆ ｐｏｓｔｉ ｖｅ ａｌｍｏｓｔ ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ａ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｉｎｔｅｒｇｒａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：：ｍｉｘｅｄ ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ；ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｌｉｎｅａｒ ｏｐｅｒａｔｏｒ；ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔ；ａｌｍｏｓｔ ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ０ 引言 Ｈ１）对ＶｔＥＲ，厂（ｔ，・）在Ｒ 上不减，ｇ（ｔ，・） 在Ｒ 上不增； 混合单调算子是一类非常重要的算子，很多学 Ｈ２）令Ｆ（ｔ，ｚ，Ｙ）一ｆ（ｔ，ｚ）十ｇ（ｔ， ），Ｖ ｔＥ Ｒ， 者对此做了大量的研究并获得了许多有意义的结 ∈（０，１），则存在函数 ：（０，１）一Ｒ ，满足 果口 ．它的很多理论被成功应用于非线性微分方 。（ ）＞ ， 程和非线性积分方程解的存在性方面的研究．受上 Ｆ（ｔ，２ｘ， ）≥ （ ）Ｆ（ ， ， ）， Ｖ ， ＞０． 述文献的启发，本文讨论了一类带有正线性项的混 定义１ｌ＿１ 设函数ｆＥ ＢＣ（Ｒ，Ｒ ）（或ＢＣ（Ｒ× 合单调算子，并把它应用到如下方程中去： ｎ， ）），对Ｖ ｓ＞０，若－厂的￡平移集 ｒｔ Ｔ（ｆ，ｅ）＝｛ｒｆｆＲｌｌｌ－厂（ ＋ｒ）一厂（￡）ｌｌ＜￡，Ｖｔ∈Ｒ｝， ｚ（ ）一 （￡一ｒ（￡））＋（１～ｙ）ｌＪ 卜ｒ（ｒ） （厂（ｓ，ｚ（５）） （或Ｔ（ｆ，ｅ）一｛ｒＥ ＲｌＩｌ厂（￡＋ｒ， ）一厂（ｔ，－ｚ）ｌｌ＜￡， ＋ｇ（Ｓ，ｚ（ｓ）））ｄｓ． （１） Ｖ（ｔ，ｚ）∈Ｒ×Ｗ，ＶＷ（二＝ ｝） ｌ相关概念与引理 是Ｒ上的相对紧集，则称，是概周期函数（或，关 于ｔ Ｅ Ｒ是概周期函数，且关于ｚＥ 是一致的），记 本文中，Ｅ为实Ｂａｎａｃｈ空间，ｌｌ・ｌｌ是Ｅ中的范 为，∈ＡＰ（Ｒ，Ｒ。）（或ＡＰ（Ｒ× ，Ｒ ））． 数，Ｋ为Ｅ中的一个锥，０是Ｅ中的零元．记Ｒ 为 假设ｆＥＡＰ（Ｒ，Ｒ ）．令｛ ，｝为满足 非负实数集， 为Ｒｑ上一开子集．ＢＣ（Ｒ，Ｒｑ）（或 １ ｒＴ Ｊ一ｌｉｍ寺Ｉ。。 』Ｊ ０ （ ）ｅ ｄｔ≠０ ＢＣ（Ｒ× ，Ｒ ））表示从Ｒ（或Ｒ×力）到 上所有有 界连续函数 （ ）（或 （￡，ｚ））按范数 的所有实数 的集合．显然，集合｛Ａ，｝是一个可数 ／ Ｎ 、 一ｓ删ｕｐ［１￣（ ）ｌｌ（或 ： 。ＩＩ￣（ｔ，ｚ）ｌ１） 集．称集合｛∑ ， ｝（Ｖ Ｎ， Ｅ Ｎ＋）为函数厂（￡）的 Ｉ Ｊ＝ｌ Ｊ 所构成的Ｂａｎａｃｈ空问． 模，记作ｍｏｄ（ｆ）． 本文赋予函数ｆ，ｇ如下条件： 引理１Ｉ１ 设－厂和ｇ是概周期函数，则下面两 收稿日期：２０１１—０７—２８ 基金项目：国家自然科学基金资助项目（１０３７１ＯｌＯ） 作者简介：张春花，女，硕士研究生，主要从事微分方程领域的研究，Ｅ—ｍａｉｌ：ｚｈａｎｇｃｈｕｎｈｕａ１１５＠１６３．ｃｏｍ． 引文格式：张春花，徐星．混合单调算子的不动点定理及应用．徐州师范大学学报：自然科学版，２０１１， （４）：３３—３７． Ｚｈａｎｇ Ｃｈｕｎｈｕａ，Ｘｕ Ｘｉｎｇ．Ａ ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔ ｔｈｅｏｒｅｍ ｏｆ ｍｉｘｅｄ ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ ａｎｄ ｉｔｓ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ．Ｊ Ｘｕｚｈｏｕ Ｎｏｒｍ Ｕｎｉｖ：Ｎａｔ Ｓｃｉ Ｅｄ，２０１１，２９ （４）：３３—３７． ３４ 徐州师范大学学报（自然科学版） 第２９卷 种叙述是等价的： １）ｒｏｏｄ（ｆ）￣ｍｏｄ（ｇ）： ２）任取序列｛ｔ２｝ｃ Ｒ，如果对Ｖ ｔ Ｅ Ｒ，均有 ｌｉｍ ｆ（ｔ＋ｔ２）一，（￡），则存在子序列｛ｔ ） ｛￡ ），对 Ｖｔ∈Ｒ，均有 ｌｉｍ ｇ（ｔ＋ｔ ）一ｇ（￡）． ＂—－。。 如果ａ一｛ａ ）ＣＲ，则ａ 一｛ａ ｝是ａ的子集，即 口 ａ．对于函数，：Ｒ—Ｒ，若ｌｉｍ （ｔ＋ａ ）存在，令 ＂—＋（ ｇ（￡）一ｌｉｍ厂（ ＋口 ），这时便记为 ｆ—ｇ． 引理２ Ｅ”，引耻 设ｚ（ ）Ｅ ＢＣ（Ｒ，Ｒ），ｒ（ｔ）Ｅ ＡＰ（Ｒ，Ｒ），厂（ｔ， ）Ｅ ＡＰ（Ｒ×Ｒ ，Ｒ）．若ａ为一序 列，使 厂（￡， ）关于ｚＥＷ一致存在，其中ｗ为Ｒ 中任一紧子集， ｒ（ ），Ｔｏｘ（￡）在Ｒ上一致成立，则 ｒｒ ｒｔ Ｊ ｝ ｒ（ ｊ ｆ（ｓ， （ｓ））ｄｓ—ＩＪ卜－】 ｆ（ ） ｆ（５，丁ｄ （ｓ））ｄｓ． 口弓Ｉ理３口。 令．ＪＣ，ｒ Ｅ ＡＰ（Ｒ，Ｒ），贝Ｕ （￡）＝ Ｉ ｚ（ｓ）ｄｓ为概周期函数． Ｊ ｔ ｒ（ｆ） 定义２ｌ６］ 设Ｅ是实Ｂａｎａｃｈ空问，Ｋ是Ｅ的非 空凸闭集，若Ｋ满足 ｉ）当ｚＥＫ， ≥Ｏ时，，ＩｘＥＫ； ｉｉ）当ｚＥＫ，一 ＥＫ时， 一０， 则称Ｋ是Ｅ中的一个锥． 锥Ｋ在Ｅ中可诱导一个偏序≤： ｚ≤ ㈢ —ｚ Ｅ Ｋ． 若存在常数ｃ＞０，使得 ≤ｚ≤ 甘 ｌｊ≤ｃｌｌ Ｉｌ，则称 Ｋ为Ｅ中的正规锥，其中ｃ称作是Ｋ的正规常数． 记Ｋ。为Ｋ的内部．如果Ｋ。≠ ，则称Ｋ为体锥． 定义３ 设Ｅ是实Ｂａｎａｃｈ空间，Ｋ为Ｅ中的 一个锥．一个算子Ａ：Ｋ×Ｋ—Ｅ是混合单调的，若 Ａ（ｚ，．ｙ）关于ｚ非减，且关于 非增． 选择∞∈Ｋ＼｛０｝，令 Ｋｏ一｛ｚＥＥｌ ＞ｖ＞Ｏ，ｖ∞≤ ≤ ∞）． 这里 硭Ｋｏ且Ｋ： Ｋ． ２ 主要结果 定理１令Ｋ是实Ｂａｎａｃｈ空间Ｅ中的一个正 规锥， ∈Ｋ＼｛０｝．对一类算子Ａ—Ｄ＋Ａ，假设 ｈ ）Ａ：Ｋ：×Ｋｏ—Ｅ是一个混合单调算子， Ａ（（ｔＪ，（ｃＪ）∈Ｋ：，且存在一个函数西：（Ｏ，１）一（Ｏ，１），对 Ｖ ｔＥ（０，１），ｚ， Ｅ Ｋｏ，有 击（￡）＞ｔ， Ａ（ ，ｔ一 ）≥ （ ）Ａ（ ， ）； （２） ｈ：）Ｄ：Ｅ—Ｅ是正线性算子，满足 Ｄ（Ｋ：）ＣＫｏ Ｕ｛ ｝， Ｄ：ｒ０≤ 。，ｒＥ（０，１）． 则Ａ在Ｋ 中有唯一的不动点“ ．进一步地，如果 构造迭代序列 一Ａ（ｚ 一１，Ｙ 一１），Ｙ 一Ａ（ 一ｌ，ｚ 一１）， Ｅ Ｎ＋， 则对Ｖ（３ｃ。， 。）∈Ｋ ×Ｋ：，有 ｌ｛ｚ 一“ ｌｌ，ｌ ｌ一Ｕ ｌｌ一０， —ｃｘＤ． （３） 证 首先证明 ：Ｋ：×Ｋ：一Ｋ：． 由算子Ａ的混合单调性和算子Ｄ的线性性，可 知 是｝昆合单调的．事实上，令 ， ∈Ｋ ，可以选择 充分小的ｔＥ（０，１），使得 ≤ｚ≤ｔ～叫， ≤Ｙ≤ｔ－ ． 根据（２），易得 Ａ（３ｃ，ｙ）≥ （￡）Ａ（￡ ｚ，ｔｙ）， 即 Ａ（ｔ ，ｔｙ）≤ （ （￡））一 Ａ（ｘ， ）． （４） 因为Ａ（∞， ）ＥＫ：，所以存在以＞ ＞０，使得 ≤Ａ（∞，（￡Ｊ）≤ ． 由（４）可知 灭 （ ）∞≤乒（￡）Ａ（叫，叫）≤Ａ（￡∞，ｔ一 叫） ≤Ａ（ｚ， ）≤Ａ（ 一 叫，￡叫） ≤Ａ（ （ ））～∞， 从而Ａ（Ｉｚ， ）Ｅ Ｋ：．又因为Ａ—Ｄ＋Ａ，Ｄ是正线性 算子，所以Ａ（ｘ， ）∈Ｋ：． 令ｔ。Ｅ（Ｏ，１）充分小，满足 ０＜ｔｏ≤ 。一ｍｉｎ｛ ， 则Ｏ＜ 。≤ｍ。＜１，且 ￡。 ≤Ａ（叫，∞）≤ ； （ｃＪ． （５） 因为 （ ）＞￡，ｖ ｔＥ（ｏ，１），所以 ＞１，即 （ ） －－￣＋ｏｏ，忌一＋。。． 显然，存在是。ＥＮ＋，使得（ ）ｋｏ≥丢，从而有 ｏ（￡。）≥ｆ ｏ～． （６） 令Ｕ。一 ｏ（ｕ， 一ｔｏ 。山，则Ｕ。≤ ．构造迭代数列 Ｕ ：Ａ（ 一１， 一１）， 一Ａ（ １，“ １）． 显然，“。， ｏ ＥＫｏ， “ｌ—Ａ（Ｕｏ， ｏ）≤Ａ（ ０，“ｏ）一 １， 且 Ｕ１一Ａ（ ０， ０）＝Ｄｕｏ＋Ａ（Ｍｏ， ｏ） ≥Ａ（“ｏ， ｏ）＝Ａ（ｔ￣ｏｏ ，ｔｏ ０ ） ≥ （￡ｏ）Ａ（ｔ￣ｏＯ一 ｃｕ，ｔｏ ｃｕ） ≥ （ ０）Ａ（ｃｃＪ，（Ｕ）≥ｚ ｔｏｍ—Ｕ０， １一Ａ（ ｏ， ｏ）＝Ｄｖｏ＋Ａ（ｖ０，Ｕ０） ≤ｒ ０＋Ａ（ｔｏ ０ ，￡ ｃｏ） 第４期 张春花，等：混合单调算子的不动点定理及应用 ３５ ｒＶｏ ＪＵ南 ｔ－ｋｏ＋１ｗ，ｔ％－］ｍ） ／＂＂６＇ｏ Ｊｉ－ Ａ ） ≤ｒ 十￡ ； （Ｕ —ｒ ０＋（１一ｒ） 。 一 ｏ． 由数学归纳法知 ｏ：≤ｕｌ≤ｕ２≤…≤“ ， ｝ ≤ ，ｒ１≤…≤ ｏ． 运用（２），（５），（６）和 。＝＝＝ｔｏ ∞易归纳得出 ‰≤ １≤ｕ２≤…≤ ≤… ≤ ≤…≤ １≤ ． （７） 对Ｖ ｘ，ｙ∈ｇｏ且ｘ，ｙ∈Ｅｕ。，口。］，存在Ａ＞０，满足 Ａ（ ０， ｏ）≤Ａ（ｚ， ）≤Ａ（ ｏ，ｕｏ） ≤ （“ｏ， ｏ）≤ ４（ ， ）． 令 。一÷， （￡）一 堕一１，则对Ｖ￡∈（ｏ，１），ｚ， ∈ Ｋｏ， ，ｙ∈［“ｏ， ］，有 Ａ（ｔｘ，ｔ一 、）一Ｄ（ｔｘ）＋Ａ（ｔｘ，ｔ一 ） ≥ｆＤ（ｚ）＋￡（１＋ 一１）Ａ（ｚ， ） ≥ｔＤ（ｘ）－￣－ｔ（１＋叩（￡））Ａ（ｚ， ） 一以（ ，３，）＋￡叩（￡）Ａ（ｚ， ） ≥ （ｚ， ）＋￡ ｏｑ（ｔ）Ａ（ｚ，．ｙ） ＝＝＝￡（１＋ ｏ叩（￡））Ａ（ ， ）． （８） 设ｔ 一ｓｕｐ｛ｔ＞Ｏ： ≥ｔｖ ）， ∈Ｎ＋，可知 “ ≥ｔ．ｖ ， ∈Ｎ＋． （９） 从而 “ ＋１≥“ ≥￡ ≥ｆ ｌ， ｎ∈Ｎ＋． 因此存在￡。＞０．，满足 ０＜Ｅｏ≤ｔ１≤ｔ２≤…≤ｔ ≤…≤１． 令ｔ 一ｌｉａｒ ｔ ，我们断言ｔ 一１． 否则，若￡＊≠１，即 ＊∈［￡。，１），则有 ＞１， 即 一１＞０．考虑两种情况： ａ）存在Ｎ，满足ｔ 一ｔ ．此时，对Ｖ ｎ＞Ｎ，有ｔ 一ｔ ， ≥ ．通过（８），可以得出 ａｎ＋ｌ—Ａ（“ ， ）≥Ａ（￡ ，（ｆ ）一 ｕ ） ≥ｔ （：【＋ ０ ｒ／（ｔ ））Ａ（ ，“ ） 一ｔ （１＋ ０ ７７（ｔ ））＂ｕｎ－￣１． 因此 ￡抖１≥ｔ （１＋ ０刁（￡ ））＞ｔ ， Ｖ ７２＞Ｎ． 令ｎ—ｃ×。，可以得到 ｔ ≥ｔ （１＋ ｏ （ｔ ））＞ｔ ， 这是矛盾的． ｂ）ｔ ＜ｆ ，Ｖ ｎ∈Ｎ＋．通过（８）可以得到 ，斗ｌ—Ａ（“ ， ）≥Ａ（￡ ，￡ “ ） 一 （ ｔ＊７Ｊｎ￣等・ ） ≥ ｔｎ（１＋ （ ）） ）－１￣ｎ） ≥ （１＋ 。 （￡ ））Ａ（ ， ） 一ｔ （１＋ ０刀（￡ ））７２ ＋１． 因此 ￡ １≥ｔ （１＋ ０刁（￡ ））＞ｔ ． 令 —Ｃｘ３，可以得到ｔ ≥￡ （１＋ 。刁（￡ ））＞￡ ，这是 矛盾的． 综合ａ），ｂ）可知ｔ 一１． 由（７）和（９）易知，对Ｖ ｋ∈Ｎ，有 ≤“ ＋女一“ ，７２ 一７２ ＋女≤ 一“ ≤（１一ｔ ）７２ ≤（１一ｔ ）７２ｌ， ∈Ｎ＋． 因为Ｋ是正规锥以及ｔ 一１，故存在“ ， ∈［ 。， ７２。］，满足 Ｉ 一“ ｌｌ一０，ｌ ｌ７２ 一 ｌｌ—Ｏ， —ｃｘ３， ≤ 一ｕ ≤７２ 一ｕ ≤（１一ｔ ）７２１， ∈Ｎ＋． 令 一Ｃ×３，可得 ０≤７２ 一“ ≤（１一ｔ ） １—０． 因此 一 ∈［ ｏ，７２０］． 如果算子 有其他的不动点 ∈Ｋｏ，则 一 Ａ（ ，ｕ ），且存在ｔ∈（Ｏ，１］，满足 ｔｕ ≤“ ≤ｔ一 “ ． 令 ｔ 一ｓｕｐ｛０＜ｔ＜１：ｔｕ ≤ ≤ｔ “ ｝． 显然有 ０＜ｔ ≤１，ｔ ≤“ ≤ “ ． （１０） 若ｔ ＜１，则利用（８）和（１Ｏ）有 ｕ 一Ａ（“ ， ）≥Ａ（ｔ ｕ ，￡ ） ≥￡ （１＋ ０ ｒ／（ｔ ））Ａ（ｕ ，ｕ ） 一ｔ （１＋Ａ０ （ｔ ）） ， 一Ａ（ ，“ ）≤Ａ（ｔ７ “ ，ｔ ） ≤ （１＋ 。 （￡ ））一 （ ， ） 一￡ （１＋ ０ （￡ ））一 ． 即 ｔ＊（１＋ 。 （￡ ）） ≤ ≤ ｆ （１＋ ０叩（￡ ））一 “ ． 而由定义可以得出 ｔ ＞ｔ （１＋ ｏ刀（ｔ ））＞ｔ ， 矛盾，因此ｔ 一１，从而 ＝＝＝ ，即 在Ｓｏ中存在 唯一不动点． 参照［２，定理１］可证得（３）式成立．从而定理得 证． ３６ 徐州师范大学学报（自然科学版） 第２９卷 需要强调的是，如果Ｋ是体锥，记Ｋ。为它的内 部，若选择 ∈Ｋ。，则Ｋｏ—Ｋ。． 推论１ 令Ｋ是实Ｂａｎａｃｈ空间Ｅ中的一个正 规体锥，对一类算子Ａ＝Ｄ＋Ａ，假设 令 Ｗ一｛ｚ∈ＡＰ（Ｒ，Ｒ）ｌ ｚ（ ）≥０，Ｖ ｔ Ｅ Ｒ｝． 易知ｗ是一个正规锥．事实上，－厂 ，厂 ∈ｗ，若－厂 ≥ ≥０，则ｌｌ厂－ｌｌ≥ｌｌ－厂 ｌ１，由定义２知ｗ是正规的． 另外，令 ｈｉ）Ａ：Ｋ。×Ｋ。一Ｅ是一个混合单调算子， Ａ（ ， ）∈Ｋ。，且存在一个函数 ：（０，１）一（Ｏ，１），对 Ｗ。一｛ ＥＷｌ存在 ＞０满足－ｚ（￡）≥ ，ＶｔＥＲ｝． Ｖ ｔ∈（０，１）， ， ∈Ｋ。，有 （￡）＞ｔ， Ａ（灯，ｔ一 ）≥ （￡）Ａ（ ， ）； ｈｚ）Ｄ：Ｅ—Ｅ是正线性算子，满足 Ｄ（Ｋ。）（＝＝Ｋ。ＬＪ｛０｝， Ｄ３ｃ ０≤阿。， ｒ∈（０，１）． 则Ａ在Ｋ。中有唯一的不动点 ．进一步地，若构 造迭代序列 一Ａ（ 一】， 一１）， 一Ａ（ ｌ，－ｚ 一１）， Ｅ Ｎ＋， 贝０对Ｖ（ 。， 。）Ｅ Ｋ。×Ｋ。，有 ｌ 】一“ ｌｌ，Ｉ ｌ一 —，０， ３ 应用 定理２对方程（１），假设Ｈ１）～Ｈ ）成立，且 厂，ｇ，ｚ－满足下列条件： Ｈ。）ｆ，ｇ：Ｒ×Ｒ。。一Ｒ。。关于ｔ是概周期的，且关 于ｚ是一致的，ｚ属于Ｒ。。上的任意紧子集； Ｈ ）ｒ（￡）为Ｒ上一正概周期函数； Ｈ ）存在ｐ＞０， ＞０，满足 ｒｔ ｉｎｆ ｆ ｆ（ｓ，１０）ｄｓ≥ ． 则（１）存在唯一的定义在Ｒ上具有正的下确界的概 周期解 ，满足 ｍｏｄ（３ｃ ）（＝＝ｍｏｄ（ｆ。ｇ，ｒ）． 进一步地，若任取５Ｃ。， 。∈ＡＰ（Ｒ，Ｒ ），满足 ｉｎｆｚ。（ ）＞ｏ， ｉｎｆ ０（￡）＞０． ｆ∈Ｒ ｆ∈Ｒ。 作迭代序列 ｚ （￡）一弦一１（ｔ—ｒ（ ）） ｒｆ ＋（１一），）Ｉ （厂（ｓ，ｚ （ｓ）） ＋ｇ（ｓ， 一１（ ）））ｄｓ， ∈Ｎ＋， （ｆ）一７ｙ ｌ（ｔ—ｒ（ｔ）） ｒｔ ＋（１一ｙ）Ｉ （－厂（ｓ，Ｙ １（ｓ）） Ｊ ｒ（ｔ） ＋ｇ（Ｓ， ｌ（ｓ）））ｄｓ， Ｅ Ｎ＋， 则有 ｆｆ 一 ｌ【，ｆｆ 一 ＿ｌ一０，ｎ一。。．（１１） 证 令ｘ是定义在Ｒ上的全体概周期函数按 上确界范数构成的Ｂａｎａｃｈ空间，即 Ｉｊ—ｓｕｐ Ｉ ｚ（ ）１． 任取ｚ， ＥＷ。，考察算子 Ａ（／． ）［－ｚ， ］（ ）一（１一），）Ｉ Ｆ（ｓ， （ ）， （５））ｄｓ， 易知 一Ｆ（￡，ｌｚ（￡）， （ ））是概周期的．再由引理３可 知，Ａ ［ ， ］（ｚ）是概周期的，即 Ａ（， ［Ｖ ×ｗ。］ ＡＰ（Ｒ，Ｒ）． 另外，可以推出Ａ（ ）［ｗ。×ｗ。］（＝＝ｗ。．事实上，对 Ｖ ＥＷ。，存在ｎ＞Ｏ，满足ｚ（￡）＞Ⅱ，Ｖｔ∈Ｒ． 若ｎ≥ｐ，由Ｈ ），Ｈ ）和Ｈ５），有 Ａ（， ［ ， ］（ ） ｒｆ 一（１一ｙ）Ｉ Ｆ（ｓ，－ｚ（ｓ）， （ｓ））ｄｓ ｒｆ ≥（１一ｙ）ｆ Ｆ（ｓ， （５）， ．ｙ（５））ｄｓ Ｊ ｆ（ｆ） ｆ＇ｔ ≥（１一ｙ）ＩＪ ｆ（ｆ） （ ）Ｆ（ｓ，ｚ（ｓ）， （ｓ））ｄｓ ｒｆ ≥（１一ｙ）Ｉ ｆ（ｓ，ｚ（ｓ））ｄｓ ≥（１一ｙ）Ｉ 厂（ｓ，口）ｄｓ ≥（ 一）， Ｌ㈤ （Ｊｆ一 ＂ ｓ，ｌＤ）ｄｓ ≥（１一ｙ） ； 若ａ＜．０，有 Ａ（，，ｇ）［ｚ，．ｙ］（ ） 一（１一ｙ）ｌ Ｆ（ｓ， （５）， （５））ｄｓ ｒｔ （１一），）ＩＪｔ－ｒ（ｆ） Ｆ（ｓ，口， （ｓ））ｄｓ ｒｔ （１一ｙ）ｊ ）Ｆ（ ｌｑ０ ￣ｏ ｌａ－Ｉａｙ（５）） ≥（１一ｙ） ‘ｐ－ ｄ）ｌ，√卜一ｆ¨） 、Ｆ（ｓ，ｌＤ，ｌＤ ａｙ（ ））ｄｓ ≥（卜７）￣（ｐ－Ｘａ ｊ 厂（５，ｐ）ｄ５ ≥（１一），） ． 因此Ａ（ ）［Ｗ。×Ｗ。］（＝＝ｗ。．令 （ ）一 ，￣２Ｅ（。，１）， Ｄ（ｚ）（ ）一 （￡一ｒ（￡））， （ ）［１ｚ， ］（￡）一Ｄ（－ｚ）（￡）＋Ａ（， ［ ， ］（ ）， ＶｔＥＲ，Ｖ ２Ｃ， ＥＷ。． 由Ｈ ）知，算子Ａ（厂，ｇ）是混合单调的，算子Ｄ为定 义在Ｗ。匕的正线性算子日属于Ｄ（Ｗｏ）Ｉ Ｊ｛０｝。因此 第４期 张春花，等：混合单调算子的不动点定理及应用 ３７ 可得 （，， ：Ｗ。×Ｗ。一Ｗ。． 另外，对Ｖ ｚ，ｙ∈Ｗ。， ∈（Ｏ，１），有 Ａ（，，ｇ）［ ｒ， 一 ］（ ） ＝（１一），）Ｉ Ｆ（ｓ，Ａｘ（ｓ）， （ｓ））ｄｓ ≥（１一），）ｌＪ ｔ－ｒ（ｆ） （ ）Ｆ（ｓ， （ｓ）， （ｓ））ｄｓ ≥（１——ｙ） Ｊ’ Ｆ（ｓ，ｚ（ｓ）， （ｓ））ｄ 一 （ ）Ａ（，，ｇ．Ｉｘ， ］（￡）． 再由Ｈ ）的条件，Ｖ ∈（Ｏ，１）， （ ）＞ ，从而有 ０＜ ＜ 一 （ ）≤ ＜１． 最后，选择ｚ。一１，则有Ｄｘ。＝ｙ≤ｙ・１． 因此，由推论１可知算子 在ｗ。中有唯一 不动点，记为 ，即有 ，墉 ［ｚ ，ｚ ］一ｚ ．对任意 满足 ｆ：＝ｆ， ｒ—ｒ，Ｔｏｇ—ｇ 的实序列ａ一（ ），由推论２可得 Ｔｏｘ （￡）＝７Ｔ。 （ｔ—ｒ（￡）） ＋（１～ｙ）丁０ Ｉ （厂（ ，ｚ （ ）） ＋ｇ（ｓ，ｚ （ ）））ｄｓ ： 。 （￡一ｆ（ ）） ＋（１～），）Ｉ （厂（ｓ， ｚ （ｓ）） ＋ｇ（ｓ，Ｔａｘ （ｓ）））ｄｓ ＝７Ｔ ｚ （￡一ｒ（ｔ）） ＋（１～），）Ｉ （，（ｓ，Ｔｏｘ （ ）） ＋ｇ（ｓ，Ｔ．ｘ （ｓ）））ｄｓ． 由不动点的唯一性，可得Ｔ０ｚ 一ｚ ．再根据引理 １，有ｍｏｄ（ｘ ）Ｃｍｏｄ（ｆ，ｇ，ｒ）． （１１）式的证明可以由推论ｌ很容易得出． 注１本文的结论将条件ｌｉｍ 生一。去掉， 以此来弱化［１４，定理２］的条件，因此是有意义的． 参考文献： Ｅ ｌ ｉ Ｇｕｏ Ｄａｊ ｕｎ，Ｌａｋｓｈｍｉｋａｎｔｈａｍ Ｖ．Ｃｏｕｐｌｅｄ ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔｓ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｗｉｔｈ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｎｏｎｌ Ａ一 ｎａｌ，１９８７，１１（５）：６２３． ［２］ Ｘｕ Ｂｉｎ，Ｙｕａｎ Ｒｏｎｇ．Ｏｎ ｔｈｅ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ａｌｍｏｓｔ ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｔｙｐｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｓｏｍｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｄｅｌａｙ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｅｑｕａ— ｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｊ Ｍａｔｈ Ａｎａｌ Ａｐｐｌ，２００５，３０４（１）：２４９． ［３］ Ｚｈａｏ Ｚｅｎｇｑｉｎ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ａｎｄ ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ ｏｆ ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔｓ ｆｏｒ ｓｏｍｅ ｍｉｘｅｄ ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ［Ｊ］．Ｎｏｎｌ Ａｎａｌ， ２０１０，７３（１０）：１４８１． ［４］ Ｚｈａｎｇ Ｚｈｉｔａｏ．Ｎｅｗ ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ｏｆ ｍｉｘｅｄ ｍｏｎ— ｏｔｏｎｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ａｎｄ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｊ Ｍａｔｈ Ａｎａｌ Ａｐ— ｐｌ。１９９６，２０４（１）：３０７． ［５］ Ｘｕ Ｂｉｎ，Ｚｈａｎｇ Ｚｈｉｔａｏ．Ｐｏｓｉｔｉｖｅ ａｌｍｏｓｔ ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｓｏｌｕ— ｔｉｏｎｓ ｏｆ ｓｏｍｅ ｎｅｕｔｒａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｎｏｎｌ Ａｎａｌ， ２００９，７１（５）：１４１． ［６］ Ｍａ Ｙ．Ｏｎ ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｍｉｘｅｄ ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ａｎｄ ａ ｋｉｎｄ ｏｆ ｔｗｏ－ｐｏｉｎｔ ｂｏｕｎｄｅｄ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ［Ｊ］．Ｉｎｄｉａｎ Ｊ Ｍａｔｈ，１９９９，４１（２）：２１１． ［７］ Ｌｉｕ Ｙａｎ，Ｗａｎｇ Ｒｕｉ．Ａ ｎｅｗ ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔ ｔｈｅｏｒｅｍ ａｎｄ ａｐ— ｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ［－Ｊ］．徐州师范大学学报：自然科学版，２０１０， ２８（４）：２９． ［８］ Ｚｈａｎｇ Ｚｈｉｔａｏ．Ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ｏｆ ｍｉｘｅｄ ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ａｎｄ ｉｔｓ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ａｃｔａ Ｍａｔｈ Ｓｉｎｉｃａ， １９９８，４１（６）：１１２１． ［９］ Ｘｕ Ｘｉｎｇ，Ｚｈａｎｇ Ｃｈｕｎｈｕａ．Ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ｆｏｒ ｍｉｘｅｄ ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｗｉｔｈ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｌｉｎｅａｒ ｔｅｒｍ ａｎｄ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．徐州师范大学学报：自然科学版， ２０１１，２９（３）：４０． ［１Ｏ］ Ｗｕ Ｙａｎｓｈｅｎｇ．Ｌｉ Ｇｕｏｚｈｅｎ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ａｎｄ ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ｏｆ ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔｓ ｆｏｒ ｍｉｘｅｄ ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｏｐｅｒａ— ｔｏｒｓ ａｎｄ ｔｈｅｉｒ ａｐｐｌｉｃａｔｉ０ｎｓ［Ｊ］．Ａｃｔ Ｍａｔｈ Ｓｉｎｉｃａ，２００３， ４６（ｉ）：Ｉ６１。 ［１１］ Ｆｉｎｋ Ａ Ｍ．Ａｌｍｏｓｔ ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ［Ｍ］．Ｂｅｒｌｉｎ：ｓｐｒｉｎｇｅｒ—Ｖｅｒｌａｇ，１９７４． ［１２］ Ｔｏｒｒｅｊｏｎ Ｒ．Ｐｏｓｉｔｉｖｅ ａｌｍｏｓｔ ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ａ ｓｔａｔｅ—ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｄｅｌａｙ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］． Ｎｏｎｌ Ａｎａｌ，１９９３，２０（１２）：１３８３． ［１３］ Ａｉｔ Ｄａｄｓ Ｅ，Ｅｚｚｉｎｂｉ Ｋ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｐｓｅｕｄｏ— ａｌｍｏｓｔ—ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｆｏｒ ｓｏｍｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｄｅｌａｙ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ａｒｉｓｉｎｇ ｉｎ ｅｐｉｄｅｍｉｃ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ［Ｊ］．Ｎｏｎｌ Ａｎａｌ，２０００，４１（１）：１． ［１４］ Ａｉｔ Ｄａｄｓ Ｅ，Ｅｚｚｉｎｂｉ Ｋ．Ａｌｍｏｓｔ ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｆｏｒ ｓｏｍｅ ｎｅｕｔｒａｌ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｎｏｎｌ Ａ— ｎａｌ，１９９７，２８（９）：１４７９． ［责任编辑：刘春林］