等比数列的前n项和

邢台外国语学校 李朝科

教材：人教版（A）（必修5）第二章第5节

一、教材分析

1.从在教材中的地位与作用来看

《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养． 2.从学生认知角度看

从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错． 3. 学情分析

教学对象是高二的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因此片面、不严谨． 4. 重点、难点

教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用． 教学难点：公式的推导方法和公式的灵活运用．

公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数学思想，所以既是重点也是难点． 二、目标分析 知识与技能目标：

理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题． 过程与方法目标：

通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力． 情感与态度价值观：

通过对公式推导方法的探索与发现，优化学生的思维品质，渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点．

三、教学方法

利用计算机和实物投影等辅助教学，采用启发和探究-建构教学相结合的教学模式. 五、教学过程 教 学 过 程 【漫画演示】 话说猪八戒自西天取经回到了高老庄，从高员外手里接下了高老庄集团，摇身变成了CEO．可好景不长，便因资金周转不灵而陷入了窘境，急需大量资金投入，于是就找孙悟空帮忙．悟空一口答应：“行！我每天投资100万元，连续一个月（30天），但是有一个条件是：作为回报，从投资的第一天起你必须返还给我1元，第二天返还2元，第三天返还4元„„即后一天返还数为前一天的2倍．”八戒听了，心里打起了小算盘：“第一天：支出1元，收入100万；第二天：支出2元，收入100万，第三天：支出4元，收入100万元；„„哇，发财了„„” 心里越想越美„„再看看悟空的表情，心里又嘀咕了：“这猴子老是欺负我，会不会又在耍我？” 【教师提问】 (1)假如你是高老庄集团企划部的高参，请你帮八戒分析一下，按照悟空的投资方式，30天后，八戒能吸纳多少投资？又该返还给悟空多少钱？ (2)S30122223229(观察数字特征，引出课题) 1.师生互动，探讨问题：S30122223229 2329设计意图 创 设 情 境 依托市场经济背景，运用学生熟悉的人物编拟故事，以趣引思,激发学生学习热情. 等比数列前n项和的公式推导关 探 究 问 题 探讨1：设S3012222 ，记为（1）式，键是变“加”为注意观察每一项的特征，有何联系？ “减”，因此教 探讨2： 如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一学中应着力在这项，（1）式两边同乘以2则有2S3022223229230，儿做文章，从而记为（2）式．比较（1）(2）两式，你有什么发现？ 抓住培养学生的 经过比较、研究，学生发现：（1）、（2）两式有许多相同的项，辩证思维能力的把两式相减，相同的项就消去了，得到：S302是错位相减法，并要求学生纵观全过程， 301 ．指出：这就良好契机． 领悟数学应用价值 从特殊到一般,从模仿到创新，有利于学生的知识迁移和能力提反思：为什么（1）式两边要同乘以2呢？ 辨 析 质 疑 高． 3.学生自主探讨交流 Sna1a2a3an1an? 通过学生个别学一般等比数列前n项和：习，互相讨论，即Sna1a1qa1q2a1qn2a1qn1? 揭示知识的内在联系. 通过生生、师生间的探讨、合作，培养学生的洞察力．增强学生思维的严谨性.通过实物展示学生解决问题的方法，破除思维定势. 练习： 1．口答： 在公比为q的等比数列{an}中 (1)若a12,q1，则Sn________ 33 （2）若a11,q1，则Sn________ 2．判断是非： 剖析公式中的基nn11(12)①1248(2) （ ） 本量及结构特12n征，识记公式. 23n1(12)②12222 （ ） 2.解决情境问题 12③若c0且c1，则 cccc2462nc2[1(c2)n]1c2 （ ） 3．对公式的再认识． (1)对公比q的分类讨论 (2)公式中n的理解 巩 固 提 高 熟练公式运用，着重强调公式的选择. 例题讲解： 例1．（课本）求下列等比数列前8项的和 111（1）,,....... 2481,q0 （2）a127,a9243反 思 拓 广 作 业 布 置 （一）小结 引导学生从知识、思想、方法三个方面进行总结． 从知识的归纳进一步延伸到思想方法提炼，把数学的学习作为提高学生数学素养和文化水平的有效途径. （1）书面作业： 必做题：课本P78 练习1,2 思考：1.求11,21,31,41,51的前n项和． 2481632布置弹性作业以使各个层次的学2. “远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头生都有所发展.几盏灯？”这首中国古诗的答案是多少？ 提供参考网站， (2)研究性作业：查阅“芝诺悖论”,并从数列求和的角度便于学生开展自主学习. 加以解释． 六、教学设计说明 1．情境设置生活化.

本着新课程的教学理念，考虑到高二学生的心理特点以及初、高中教学的衔接，让学生初步了解“数学来源于生活”， 采用动漫故事的形式创设问题情景，意在营造和谐、积极的学习气氛，激发学生的探究欲. 2．问题探究活动化．

教学中本着以学生发展为本的理念，充分给学生想的时间、说的机会以及展示思维过程的舞台，通过他们自主学习、合作探究,展示学生解决问题的思想方法，共享学习成果，体验数学学习成功的喜悦.通过师生之间不断合作和交流，发展学生的数学观察能力和语言表达能力，培养学生思维的发散性和严谨性. 3．辨析质疑结构化．

在理解公式的基础上,及时进行正反两方面的“短、平、快”填空和判断是非练习.通过总结、辨析和反思，强化了公式的结构特征，促进学生主动建构，有助于学生形成知识模块，优化知识体系. 4．巩固提高梯度化．

例题为课本中的例题，进行适当的变式,可以提高学生的模式识别的能力，培养学生思维的深刻性和灵活性. 5．思路拓广数学化．

从整理知识提升到强化方法，由课内巩固延伸到课外思考，变“知识本位”为“学生本位”，使数学学习成为提高学生素质的有效途径. 6．作业布置弹性化．

通过布置弹性作业，为学有余力的学生提供进一步发展的空间．