人教版数学八年级上册 14.2.2完全平方公式 教案

人教版数学八年级上册14.2.2完全平方公式 教案

第十四章 整式的乘法和因式分解

14.2 乘法公式

第二课时 14.2.2完全平方公式

1 教学目标

1.1 知识与技能：

[1] 熟练掌握完全平方公式的结构特征，并能灵活运用完全平方公式进行相关计算。 [2] 掌握完全平方公式的相关推论。 1.2过程与方法 ：

[1] 经历探索完全平方公式的过程，并会根据多项式的乘法法则推导完全平方公式。 [2] 会结合几何图形直观解释这一公式，渗透数形结合的思想。 1.3 情感态度与价值观 ：

[1] 在数学运算中培养学生细致严谨的精神素养。 [2] 培养学生灵活运用知识、勇于探求科学规律的意识。

2 教学重点/难点/易考点

2.1 教学重点

[1] 完全平方公式的结构及灵活运用。 2.2 教学难点

[1] 理解公式中字母的广泛含义（可以是数字、单项式、多项式）。 [2] a，b，a+b，ab，a−b， a2+b2，六者的关系。

3 专家建议

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大家看投影。学校为了美化环境，决定把原来的一块边长为a米的正方形花坛扩大。扩建完的花坛仍为正方形，边长增加b米。那新修建的花坛面积可以怎么表示呢？给大家两分钟时间想一想，学习小组之间可以交流和思考一下。

【生】（两分钟思考交流，给出答案）。整个正方形的边长为(a+b)，因此面积可以表示为(a+b)2。将整个正方形分为四部分，面积可以表示为a2+2ab+b2。 【师】大家从刚才这个例子中能得到什么样的猜想呢？ 【生】(a+b)2=a2+2ab+b。 [1] 探索和介绍：完全平方公式

【师】大家刚才提出了一个猜想，那下面请看投影上给出的多项式的乘法，大家按照多项式乘以多项式的法则，把结果算出来。 (p+1)2= (p+1)(p+1) = 。 (m+2)2= 。 【生】（计算并给出答案）。

【师】现在大家观察一下这两个等式，有什么共同的特点吗？

【生】左边都是两个完全相同的和相乘，右面是两个平方项的和加上一个单项式。

【师】非常好。那这样的话，我们可以抽象出下面这个通式，它包括了刚才各位提出的式子的特点。请大家算一算：(a+b)2等于多少。

【生】得出答案：(a+b)2=(a+b) (a+b)=a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2

【师】好了，大家现在得到了结论：(a+b)2=a2+2ab+b。这正好印证了大家刚才的猜想。这就是两数和的完全平方公式，也就是说两数和的平方，等于这两个数的平方和，加上这两个数的乘积的2倍。（板书并介绍概念） 【板书/PPT】

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一、完全平方公式 1. (a+b)2= a2+2ab+b2

【师】那我们接着来看下面一组多项式，请大家算出它们的结果。 (p−1)2= (p−1)(p−1) = 。 (m−2)2= 。 【生】（计算并给出答案）。

【师】这一组多项式和刚才有什么区别吗？

【生】左边变成完全相同的两个差相乘，右面变成了两个平方项的和减去一个单项式。 【师】非常好。那这样的话，请直接根据刚才的两数和的完全平方公式，大家算一算：(a−b)2等于多少。

【生】得出答案：(a−b)2=[a+(−b)]2=a2+2a(−b)+(−b)2 =a2−2ab+b2

【师】好了，大家现在得到了结论：(a−b)2=a2−2ab+b2，这就是两数差的完全平方公式，也就是说两数差的平方，等于这两个数的平方和，减去这两个数的乘积的2倍。（板书并介绍概念） 【板书/PPT】 (a−b)2= a2−2ab+b2

【师】刚才我们直观地用图形表示了两数和的完全平方公式，那下面大家能仿照刚才的方法，用旁边这幅图，直观说明(a−b)2= a2−2ab+b2吗？。 【生】（给出答案，跟之前的例子类似，这里略）

【师】我们刚才介绍的这一组公式，可以简写成(a±b)2= a2±2ab+b2 ，这一组公式就叫做完全平方公式。（板书给出概念，以及记忆口诀） 【板书/PPT】

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2. 简写：(a±b)2= a2±2ab+b2 ，完全平方公式

巧记：首平方，尾平方，积的2倍放中央，中间符号同前方。

【师】请大家注意完全平方的形式。这里的(a±b)2和a2±b2是有很大区别的。(a±b)2读作a与b的和（或差）的平方。a2±b2读作a与b的平方的和（或差）。(a±b)2先算和差，再平方； a2±b2先算各自的平方，再求和。另外，若a≠0且b≠0，则(a±b)2≠a2±b2，也就说，通常情况下，这两个式子不相等！ [2] 边学边练：相关例题讲解

【师】（教师给出教材110页例题3和4的四个小题，并给出答案，这里注意强调学生怎样对应运用公式，并可以指出公式里的a，b还可以是数字，用于简化计算）。 [3] 完全平方公式的变号法则。

【师】好了，下面大家来思考这样一组问题（教材110页思考）。

 (a+b)2和(−a−b)2相等吗？  (a−b)2和(b−a)2相等吗？  (−a+b)2和(a−b)2相等吗？

大家可以自己动手算一算，或者简单一点的话，我们在学习有理数的时候曾经讲到过，(a−b)和(b−a)的关系，可以联想并得到答案。 【生】都相等，因为：

(−a−b)2=(−a)2−2·(−a)·b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2 (b−a)2=b2−2ab+a2=a2−2ab+b2=(a−b)2 (−a+b)2= (b−a)2=(a−b)2

【师】没错。那刚才的这几个问题就告诉我们，计算完全平方的结果时，最好先把括号里的首项化为正，这样便于对应公式。如果我们根据幂的乘方，就可以把这上面的一组结论推广

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到高次幂上（板书或PPT给出结论）。 【PPT/板书】

二、变号法则及其扩展：

1. 计算完全平方的结果时，最好先把括号里的首项化为正，可以简便运算。 2. 一般规律：(−a−b)2k=(a+b)2k ，(−a+b)2k=(a−b)2k= (b−a)2k，其中，k为正整数 【师】下面我们就根据刚才的这一组结论，来看下面两道例题。

（给出例题：(−2a−3b)2，(−2x+5)2，并运用上述知识把首项变成正，再按照完全平方公式计算） [4] 重要推论

【师】下面我们来挑战一个稍稍有点难度的题目。大家看，已知：a>b，且a+b=3，ab=2，则a−b=？大家可以先前后桌思考和讨论一下，看看这道题怎么做。 【生】（给出答案，思路应如下）。

【师】那根据刚才的启发，下面我们就来给出两组重要的关系（板书或PPT） 【板书/ppt】 三、两个重要关系

1. a2+b2=(a+b)2−2ab=(a−b)2+2ab 2. (a+b)2−(a−b)2=4ab

3. 知二推四：a，b，a+b，ab，a−b， a2+b2

【师】一般地，在a，b，a+b，ab，a−b， a2+b2中，只要能够知道其中两个的式子取值，就能够根据完全平方公式，求出另外四个式子的值！ [5] 课堂小结（投影，给出知识脉络图） 6.3 复习总结和作业布置

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[1] 课堂练习

1. 利用完全平方公式计算下列各题

(−2x+5)2= (−4x−3y)2 = 982= 512=

2. 计算(2x−1)2−(3x+1)2

3. 若(x−1)2=x2+kx+1，则49−k的值是多少? 4. 解不等式： (2x−5)2+(3x+1)2>13(x2−10)

5. 已知a+b=2，a2+b2=10，试利用完全平方公式，简便地求ab，(a−b)，a，b的值。 答案：

1. 4x2−20x+25，16x2+24xy+25x2，9604，2601

2. 原式= 4x2−4x+1−(9x2+6x+1)= 4x2−4x+1−9x2−6x−1= −5x2−10x 3. k=−2，49−k =492=(50−1)2=2500+1−100=2401 4. 解：(4x2−10x+25)+(9x2+6x+1)>13x2−130 4x2−10x+25+9x2+6x+1>13x2−130 13x2−4x+26>13x2−130 −4x>−156 x<44

5. (a+b)2=a2+2ab+b2=4，a2+b2=10，ab=−3

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(a−b)2=(a+b)2−4ab=4+12=16 ∴a−b=4或−4

若a−b=4，解二元一次方程组，得a=3，b=−1 同理，若a−b=−4，则得a=−1，b=3 [2] 作业布置

1、完成配套课后练习题 2、预习提纲： 因式分解：公式法

7 板书设计

第十四章 整式的乘法和因式分解

14.2 乘法公式 14.2.2 完全平方公式

一、完全平方公式 1. (a+b)2= a2+2ab+b2

(a−b)2= a2−2ab+b2

2. 简写：(a±b)2= a2±2ab+b2 ，完全平方公式

巧记：首平方，尾平方，积的2倍放中央，中间符号同前方。 二、变号法则及其扩展：

1. 计算完全平方的结果时，最好先把括号里的首项化为正，可以简便运算。 2. 一般规律：(−a−b)2k=(a+b)2k ，(−a+b)2k=(a−b)2k= (b−a)2k，其中，k为正整数 三、两个重要关系

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1. a2+b2=(a+b)2−2ab=(a−b)2+2ab 2. (a+b)2−(a−b)2=4ab

3. 知二推四：a，b，a+b，ab，a−b， a2+b2

（以上为黑板左侧内容，没有PPT教学设备的课堂可在右侧安排书写相应例题）

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