两个集合的容斥关系公式之欧阳理创编

两个集合的容斥关系公式：A∪B = A+B - A∩B (∩:重合的部分） 时间：2021.03.05 创作：欧阳理 三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C 详细推理如下：

１、 等式右边改造 = ｛【（A+B - A∩B）+C - B∩C】 - C∩A ｝+ A∩B∩C

２、文氏图分块标记如右图图：１２４５构成Ａ，２３５６构成Ｂ，４５６７构成Ｃ

３、等式右边（）里指的是下图的１+２+３+４+５+６六部分：

那么A∪B∪C还缺部分７。

４、等式右边【】号里+Ｃ（４+５+６+７）后，相当于A∪B∪C多加了４+５+６三部分，

减去B∩C（即５+６两部分）后，还多加了部分４。 ５、等式右边｛｝里减去C∩A （即４+５两部分）后，A∪B∪C又多减了部分５，

欧阳阳理创编 2021.03.04

欧阳阳理创编 2021.03.04

则加上A∩B∩C（即５）刚好是A∪B∪C。 编辑本段 容斥原理1

如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。

例1 一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？

分析 依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。

答案 15+12-4=23

试一试 电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，其中11人两个频道都看过。两个频道都没看过的有多少人？ 100-(62+34-11)=15

欧阳阳理创编 2021.03.04

欧阳阳理创编 2021.03.04

编辑本段 容斥原理2 如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。

例2 某校六（1）班有学生45人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？

分析：参加足球队的人数25人为A类元素，参加排球队人数12人为B类元素，参加游泳队的人数24人为C类元素，既是A类又是B类的为足球排球都参加的12人，既是B类又C类的为足球游泳都参加的9人，既是C类又是A类的为排球游泳都参加的8人，三项都参加的是A类B类C类的总和设为X。注意：这个题说的每人都参加了体育训练队，所以这个班的总人数既为A类B类和C类的总和。

欧阳阳理创编 2021.03.04

欧阳阳理创编 2021.03.04

答案：25+22+24-12-9-8+X=45 解得X=3

例3 在1到1000的自然数中，能被3或5整除的数共有多少个？不能被3或5整除的数共有多少个？

分析：显然，这是一个重复计数问题（当然，如果不怕麻烦你可以分别去数3的倍数，5的倍数）。我们可以把“能被3或5整除的数”分别看成A类元素和B类元素，能“同时被3或5整除的数（15的倍数）”就是被重复计算的数，即“既是A类又是B类的元素”。求的是“A类或B类元素个数”。现在我们还不能直接计算，必须先求出所需条件。1000÷3=333……1，能被3整除的数有333个（想一想，这是为什么？）同理，可以求出其他的条件。 例4 分母是1001的最简分数一共有多少个？

分析：这一题实际上就是找分子中不能与1001进行约分的数。由于1001=7×11×13，所以就是找不能被7，11，13整除的数。

解答：1~1001中,有7的倍数1001/7 = 143 (个)；有11的倍数1001/11 = 91 (个),有13的倍数1001/13 = 77 (个)；有7´11=77的倍数1001/77 = 13 (个),有7´13=91的倍数1001/91 = 11 (个),有

11´13=143的倍数1001/43 = 7 (个).有1001的倍数1个.

欧阳阳理创编 2021.03.04

欧阳阳理创编 2021.03.04

由容斥原理知:在1~1001中,能被7或11或13整除的数有(143+91+7)-(13+11+7)+1=281(个),从而不能被7、11或13整除的数有1001-281=720(个).也就是说,分母为1001的最简分数有720个. 例5 某个班的全体学生在进行了短跑、游泳、投掷三个项目的测试后，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一项达到了优秀，达到了优秀的这部分学生情况如下表： 跑 泳 掷 跑、游泳 跑、投掷 泳、投掷 跑、游泳、投掷 求这个班的学生共有多少人？

分析：这个班的学生数，应包括达到优秀和没有达到优秀的。

试一试：一个班有42人，参加合唱队的有30人，参加美术组的有25人，有5人什么都没有参加，求两种都参加的有多少人？

在一根长的木棍上有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种将木棍分成12等份，第三种将木棍分成15等份。如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？ 分析

欧阳阳理创编 2021.03.04

欧阳阳理创编 2021.03.04

很显然，要计算木棍被锯成多少段，只需要计算出木棍上共有多少条不同的刻度线，在此基础上加1就是段数了。

若按将木棍分成10等份的刻度线锯开，木棍有9条刻度线。在此木棍上加上将木棍分成12等份的11条刻度线，显然刻度线有重复的，如5/10和6/12都是1/2。同样再加上将木棍分成15等份的刻度线，也是如此。所以，我们应该按容斥原理的方法来解决此问题。用容斥原理的那一个呢？想一想，被计数的事物有那几类？每一类的元素个数是多少？ 解答

不计木棍的两个端点，木棍的内部等分点数分别是9，11，14(相应于10，12，15等分)，共计34个

由于5，6的最小公倍数为30，所以10与12等份的等分点在30单位处相重，必须从34中减1．

又由于4，5的最小公倍数为20，所以12与15等份的等分点在20单位和40单位两处相重，必须再减去2，

同样，6，4的最小公倍数为12，所以15与10等份的等分点在12，24，36，48单位处相重，必须再减去4

由于这些相重点各不相同．所以从34个内分点中减去1，再减去2，再减去4，得27个刻度点。沿这些刻度点把木棍锯成28段.

时间：2021.03.05 创作：欧阳理 欧阳阳理创编 2021.03.04