平行四边形
一、目标与策略
明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！
学习目标：
综合运用平行四边形的特征和识别方法进行计算及画图，初步学会简单的说理； 会利用平行四边形的特征进行平行四边形面积的计算．
认识平行四边形的特征和识别方法的联系，从而获得解决问题的能力和经验； 以一题多变的方式体会用运动、变换的观点看待问题，解决问题．
重点难点：
重点：平行四边形的定义、性质和判定方法． 难点：平行四边形性质的理解．
学习策略：
经历探索平行四边形的有关概念和性质的过程， 发展探究意识和合情推理的能力．
二、学习与应用
“凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对
知识回顾---复习
学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？
（一）四边形的性质：
（1）有 条边， 个内角； （3）外角和为： ；
（2）内角和是： ； （4）有 条对角线．
（二）全等三角形的判定方法： ，对于两个直角三角形，还有 判定方法．
（三）全等三角形的性质：全等三角形的对应角 ，对应边 ． （四）在平行四边形ABCD中，周长等于48，
（1）已知一边长12，则各边的长分别为： （2）已知AB=2BC，则各边的长分别为：
1
认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真
听课学习．请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。课堂笔记或者其知识要点——预习和课堂学习
它补充填在右栏。
知识点一：平行四边形的定义、表示方法
（一）平行四边形的定义：两组对边分别 的四边形叫做平行四边形．即在四边形ABCD中，若有AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形． （二）平行四边形的表示：平行四边形用符号“ ”表示，如平行四边形ABCD， 记作：“□ABCD”读作：“ ”．
（三）相关概念：在平行四边形中，相邻的边、角分别简称为 、 ；不相邻的边、角分别称为 、 ．
知识点二：平行四边形的性质
（一）从边看：平行四边形两组对边 且 ．即若四边形ABCD是平行四边形，则有 AB=CD且AB∥CD， AD=BC且AD∥BC；
（二）从角看：平行四边形邻角 ，对角 ．即若四边形ABCD 是平行四边形，则有∠A+∠B=∠B+∠C=∠C+∠D=∠D+∠A=180○；且∠A=∠C， ∠B=∠D；
（三）从对角线看：平行四边形的对角线 ．即若四边形ABCD是平行四边形，则有AO=CO，BO=DO；
（四）平行四边形是 图形，对角线的 为对称中心； （五）若一条直线过平行四边形的两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为 ，且这条直线二等分平行四边形的面积．
知识点三：平行线间的距离
（一）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的 ，叫做这两条平行线间的距离．
注：距离是指垂线段的长度，是正值．
（二）平行线间的距离处处 ．
知识点四：平行四边形的面积
（一）面积：平行四边形的面积= ，即如图1，有
SYABCD=BCBE=BCCF
图1
（二）同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积 ．即如图1 ，□ABCD与□BEFC有公共边BC，且同高，则有SYABCD=SYBEFC
知识点五：平行四边形的判定方法
（一）从边上看
（1）两组对边分别 的四边形是平行四边形． （2）两组对边分别 的四边形是平行四边形． （3）一组对边 的四边形是平行四边形． （二）从角上看
对角分别 的四边形是平行四边形． （三）从对角线上看
对角线互相 的四边形是平行四边形． 图形语言与符号语言
判定 图形语言 符号语言 在四边形ABCD中 边 ∵AB∥CD， AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形 在四边形ABCD中 边 ∵AB=CD， AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 在四边形ABCD中 边 ∵AB=CD， AB∥CD ∴四边形ABCD是平行四边形 角 在四边形ABCD中 ∵∠A=∠C， ∠B=∠D ∴四边形ABCD是平行四边形 对角线 在四边形ABCD中 o ∵OA=OC， OB=OD ∴四边形ABCD是平行四边形 知识点六：三角形中位线定理
（一）连接三角形两边的 线段叫做三角形的中位线．
（二）定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的 ．
认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反
三．若有其它补充可填在右栏空白处。
经典例题-自主学习
类型一：平行四边形的性质
例1．如图，平行四边形ABCD的对角线交于O（且AD≠CD）， 过O作OM⊥AC，
交AD于M，如果ΔCDM的周长是18cm， 求平行四边形ABCD的周长．
思路点拨：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等有时容易被忽视． 解析：
总结升华： 举一反三：
【变式1】如图，平行四边形ABCD的周长为60cm，对角线交于O，△AOB的周长
比△BOC•的周长大8cm，求AB，BC的长．
解析：
【变式2】 已知：在平行四边形ABCD中，BE、DF分别平分∠ABC和∠ADC， 试
说明：BE=DF．
答案：
注：夹在两条平行线间的平行线段相等
【变式3】如图：在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的平分线，F是AB的中点，
AB=6，BC=4． 求：AE：EF：FB的值
解：
☆【变式4】如图，已知ΔABC是等边三角形，D、E分别是BC、AC上两点，且BD=CE，
以AD为边在AC一侧作正三角形ADF，求证：BE∥DF．
证明：
☆☆【变式5】在平行四边形ABCD中，BC=2AB， M为AD的中点，CE⊥AB于E．
求证：∠DME=3∠AEM
证明：
类型二：平行四边形的判定定理
☆例2．如图1，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，点E、F分别在CD、AB的延
长线上，且AE=AD，CF=CB．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形．
（2）若去掉已知条件的“∠DAB=60°”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
思路点拨：熟悉平行四边形的判定方法，根据具体题目选用最为简洁的定理进行证明。 解析：
总结升华：
举一反三：
【变式1】已知：平行四边形ABCD中，E、F分别AD、BC 的中点，G、H分别是
AB、CD的中点，AH、CG、BE、DF交点依次是M、 N、X、Y． 求证：四边形MNXY是平行四边形．
证明：
☆【变式2】如图，已知Rt△ABC中，ACB=90°
，CD⊥AB，垂足为D，AE平分CAB交CD于F，过F作FH∥AB，交BC于H．求证：CE=BH．
提示：通过利用平行四边形的性质构造全等，从而证明两线段相等． 证明：
【变式3】如图，已知△ABC，以BC为边在点A的同侧作正△DBC，以AC、AB为
边在△ABC的外部作正△EAC和正△FAB．求证：四边形AEDF是平行四边形．
证明：
类型三：构造平行四边形，应用性质
☆例3．在等边三角形ABC中，P为ΔABC内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF//AC，D，
E，F分别在AC，AB和BC上，试说明：PD+PF+PE=BA．
AGEDP
BHFC思路点拨：平行四边形对边相等是今后证明线段相等的重要手段，要牢记． 解析：
总结升华： ☆☆例4．已知△ABC中，AB=AC，D为AC延长线上一点，E为AB上一点，且
BE=CD，求证：DE被BC平分．
思路点拨：要说明两条线段相等可以利用中间过度线段、等腰三角形的性质，也可以通过全等三角形的对应边相等，可本题以上两种方法都不可取，结合题意本题可以构 造 来说明． 证明：
总结升华： 举一反三：
【变式1】如图，直角三角形ABC中，∠C=90°，
M为AB的中点， AM=AN， MN//AC，求证：MN=AC．
证明：
【变式2】□ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，G、H分别为AD、BC的中点，
求证：EF和GH互相平分．
解析：
类型四：三角形中位线
例5、如图所示，△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到D，使AD别为边BC、AC的中点。 （1）求证：DF=BE；
（2）过点A作AG∥BC，交DF于G，求证：AG=DG。
思路点拨：（1）E、F分别为BC、AC中点，则_____为△ABC的中位线，所以EF∥AB，
1AB，点E、F分 2EF________。而AD证明：
1AB。则EF=______。从而易证△DAF≌△EFC, 2 则DF=CE=BE。(2) AG与DG在同一个三角形中,只需证∠D=____________即可.
总结升华： 举一反三：
【变式】如图，已知P、R分别是长方形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、 PR的中点，点P在BC上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（ ） A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐变小 C．线段EF的长不变 D．无法确定 答案：
三、总结与测评
要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力．
总结规律和方法---强化所学
认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧。
在平行四边形的学习中，学习它的性质定理和判定方法时，主要从三个不同角度加以分析：边、角与对角线．对于边，从位置（比如平行、垂直等）和大小（比如相等或倍半关系等）两方面探讨邻边或对边的关系特征；对于角，以邻角和对角两方面为主，探讨其大小关系（比如相等、互补等）或具体度数；对于对角线，则探讨两条对角线之间的位置和大小关系，以及它们与边、角之间的关系．
除了边、角与对角线三个主要研究角度外，还涉及面积计算、对称特征等项内容． 这些不但适用于一般平行四边形，也适用于特殊的平行四边形（比如矩形、菱形和正方形等），还适用于其他的一些四边形（比如梯形等）的研究．
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