2015全国高中数学联赛甘肃预赛试题及答案

一、填空题（共10小题，每小题7分，满分70分）

1．已知ABC的外接圆半径为R，且2R(sin2Asin2C)(2ab)sinB（其中a、b分别是A、B的对边）. 那么C的大小为___________. 答案：45°

2．集合A{x2a1x3a5},B{x3x33},A(A答案：a,4B), 则a的取值范围是___________

281,3. 11029106C116...C1161被8除所得的余数是_____________. 3．611C11答案：5

4．在数列an中，a12,a210,对所有的正整数n都有an2an1an，则a2015 . 答案：-10

5．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P—ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝2，BC＝6.则二面角P—BD—A的大小为__________． 答案：60°.

x2y26．设双曲线221a0,b0的左右焦点分别为F1,F2，A是双曲线渐近

ab1线上的一点，AF2F1F2,原点O到直线AF1的距离为OF1,则双曲线的离心率为 .

3答案：6 217．已知a,b两个互相垂直的单位向量，且cacb1,则对任意的正实数t，|ctab|的最小值是

t____________. 答案：7 8．若关于x的方程1答案：kk

4kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围为____________.

x4

xx2y29．设x，y是正实数，且xy1，则的最小值是 . x2y11 410．设f(x)是定义在整数集上的函数，满足条件：⑴f(1)1,f(2)0；⑵对任意的x,y都有f(xy)f(x)f(1y)f(1x)f，则(yf(2015)=___________. 答案：答案：-1

二、解答题（共5小题，满分80分）

11．（本小题满分14分）已知函数f(x)＝2sin2(－x)－cos 2x.

（Ⅰ）求f(x)的最小正周期和单调递减区间；

（Ⅱ）若f(x)＜m＋2在x∈[0，]上恒成立，求实数m的取值范围．

解析：（Ⅰ）∵f(x)＝1－cos(－2x)－cos 2x

＝－(sin 2x＋cos 2x)＋1 ＝－2sin(2x＋)＋1，

∴f(x)的最小正周期T＝＝π，

由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z可得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，

∴f(x)的单调递减区间为[kπ－π，kπ＋](k∈Z)．…………………7分 （Ⅱ）∵x∈[0，]，∴≤2x＋≤π，∴≤sin(2x＋)≤1，

∴当sin(2x＋)＝时，f(x)取得最大值为1－，即f(x)max＝1－. 要使f(x)＜m＋2恒成立，需f(x)max＜m＋2， ∴1－＜m＋2，解得m＞－1－，

∴m的取值范围是(－1－，＋∞)．…………………14分

12．（本小题满分14分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．

(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式．

(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 10 20 16 16 15 13 10 频数 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率． ①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差． ②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由． 解 (1)当日需求量n≥16时，利润y＝80. 当日需求量n<16时，利润y＝10n－80. 所以y关于n的函数解析式为 y＝(n∈N)．…………………6分

(2)①X可能的取值为60,70,80，并且P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7. X的分布列为

X P 60 0.1 70 0.2 80 0.7 X的数学期望为E(X)＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76. 22

X的方差为D(X)＝(60－76)×0.1＋(70－76)×0.2＋(80－76)2×0.7＝44. ②方法一 花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下：

若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为

Y P 55 0.1 65 0.2 75 0.16 85 0.54 Y的数学期望为E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4. Y的方差为D(Y)＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04. 由以上的计算结果可以看出，D(X)故花店一天应购进16枝玫瑰花．…………………14分 方法二 花店一天应购进17枝玫瑰花．理由如下：

若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为

Y P 55 0.1 65 0.2 75 0.16 85 0.54 Y的数学期望为E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4. 由以上的计算结果可以看出，E(X)故花店一天应购进17枝玫瑰花．

2n1an13. （本小题满分16分）数列an满足a12，an1(nN).

1(n)an2n22n（Ⅰ）设bn，求数列bn的通项公式；

an（Ⅱ）设cn1，数列cn的前n项和为Sn，求Sn.

n(n1)an1an1an2n12n11解：（Ⅰ）由已知可得n1，即n，即bn1bnn

12an1an22(n)an2n211而b2b11,b2b12,221,b2b1(n1),

2n1n21累加得bnb1123(n1)， 222n21n21又b11,bn…………………8分 1a1222n22n12n1（Ⅱ）由（1）知an，an1， 2(n1)21bnn1(n1)211n22n21n2nn21111cn n(n1)2n22n(n1)2n12n(n1)2n1n(n1)2n122n1n2n(n1)2n1111Sn(23222111111)()()2n1212222222323[11] n2n(n1)2n111(1)n11221111n1n22 …………………16分 1()n11222(n1)222n11214. （本小题满分18分）已知函数f(x)lnxa(x1). x1 （Ⅰ）若函数f(x)在(0,)上为单调增函数，求a的取值范围；

2(mn). mn1a(x1)a(x1)(x1)22axx2(22a)x1. ………………5分 解析：（I）f(x)x(x1)2x(x1)2x(x1)2 （Ⅱ）设mn0,求证:lnmlnn因为f(x)在(0,)上为单调增函数，所以f(x)0在(0,)上恒成立. 即x2(22a)x10在(0,)上恒成立.1当x(0,)时,由x2(22a)x10,得2a2x.x111设g(x)x,x(0,).g(x)x2x2.xxx1所以当且仅当x,即x1时,g(x)有最小值2.x

所以2a22a2. 故a的取值范围是(,2].

m1)m2(mn)n （II）要证lnmlnn. ,只需证lnmnmn1n2(…………10分

m1)mn只需证ln0.

mn1n2(…………14分

设h(x)lnx2(x1). x1由（I）知h(x)在(0,)上是单调增函数，又

2(m1， nm1)mmn所以h()h(1)0,即ln0成立.

mnn1n所以

mnmn.

lnmlnn2…………18分

x2y215．（本小题满分18分）已知椭圆C:221ab0的左右焦点设F1，F2与椭圆短轴的一个端点构

ab成边长为4的正三角形.

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）过椭圆C上任意一点P做椭圆C的切线与直线F1P的垂线F1M相交于点M，求点M的轨迹方程； （Ⅲ）若切线MP与直线x=-2交于点N，求证：

|NF1|

为定值. |MF1|

x2y2解析：（Ⅰ）依题意，2c=a=4，∴ c=2，b=23；∴椭圆C的标准方程为1； ……………4分

1612（Ⅱ）设P(x0,y0)，由（Ⅰ），F1(2)0,过椭圆C上过P的切线方程为： 直线F1P的斜率kF1P，设P(x0,y0)，M(x,y)

x0xy0y1， ① 1612y0x2，则直线MF1的斜率kMF10， x02y0x02(x2)， y0于是，则直线MF1的方程为：y即 yy0(x02)(x2)， ②

① ②联立，解得 x = -8，

∴ 点M的轨迹方程为 x = -8. …………………10分

（Ⅲ）依题意及（Ⅱ），点M、N的坐标可表示为M(8,yM)、N(2,yN)， 点N在切线MP上，由①式得 yN点M在直线MF1上，由②式得 yM22N3(x08)， 2y06(x02)， y029(x08)236[y0(x02)2]222|NF1|y， |MF1|[(2)(8)]yM，

4y02y02y02|NF1|29(x08)21(x08)2∴ ， ③ 22|MF1|24y0236[y0(x02)2]16y0(x02)222x0y0注意到点P在椭圆C上，即 1，

1612于是y0

48x024|NF1|21|NF1|1， ∴ 代人③式并整理得 的值为定值. ……………18分 2|MF1|4|MF1|2